Grupuri de matrice (M2, științe ale naturii)

Un aparat de laborator combină două soluții-mamă și livrează, din ele, două amestecuri; rețeta e un tabel de patru numere. Tabelul răspunde ușor la întrebarea „ce obțin dacă torn atâta din fiecare?". Întrebarea grea e cealaltă: se poate merge înapoi? Uneori da, alteori nu — iar răspunsul nu ține de aparat, ci de un singur număr calculat din tabel. La clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), întrebarea aceasta primește un nume: care sunt matricele care au simetric față de înmulțire și ce formează ele la un loc. Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, printre exemplele de grupuri, „grupuri de matrice", în timp ce programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai conține structurile algebrice. Toate uneltele le ai deja din clasa a XI-a — înmulțirea matricelor, determinantul, inversa calculată cu matricea adjunctă — și niciuna nu se repredă aici. Ce e nou este privirea: nu mai calculezi cu matrice, ci spui ce structură formează o mulțime de matrice.

Ce vei învăța

• Vei ști care sunt matricele cu simetric față de înmulțire și de ce celelalte trebuie scoase din mulțime.
• Vei ști ce înseamnă notația $G{L}_2(\mathbb{R})$ și să-i verifici structura pe cele patru condiții, fiecare cu justificarea ei.
• Vei ști să pornești o familie de matrice cu parametru de la formula produsului și să scoți din ea ceilalți pași.
• Vei ști să determini elementul neutru și simetricul într-o astfel de familie, fără să presupui că neutrul este $I_2$.
• Vei ști să justifici că un grup de matrice nu este comutativ, cu un contraexemplu scris complet.
• Vei ști să folosești structura de grup ca să rezolvi $A\cdot X=B$, alegând partea de care înmulțești cu $A^{-1}$.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „grup de matrice"?

Ai învățat la clasa a XI-a că înmulțirea matricelor pătratice de ordinul al doilea nu iese din mulțime, că este asociativă și că $I_2$ nu schimbă nimic. Trei dintre cele patru condiții din definiția grupului sunt, așadar, deja verificate pentru toată mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Un grup de matrice este o mulțime $G$ de matrice pătratice, luată împreună cu înmulțirea matricelor, care îndeplinește toate cele patru condiții: produsul a două matrice din $G$ rămâne în $G$, înmulțirea este asociativă, în $G$ există un element neutru, iar fiecare matrice din $G$ are în $G$ un simetric. Simetricul se numește aici invers și se notează $A^{-1}$, pentru că legea este scrisă multiplicativ.

Toată dificultatea stă în ultima condiție, iar asociativitatea nu se redemonstrează: ea se moștenește de la înmulțirea din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, deci se scrie un singur rând, cu justificarea „proprietate moștenită".

2. De ce nu este ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ grup față de înmulțire?

Pentru că axioma simetricului cade, și cade rău. Matricea nulă $O_2$ n-are inversă: orice produs cu ea dă tot $O_2$. Dar nu doar ea. Ia matricea

$$L=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 4\end{array}\right).$$

Are $\det L=3\cdot 4-6\cdot 2=0$, deci — după criteriul demonstrat la Matrice inversabilă — nu e inversabilă, deși niciunul dintre elementele ei nu e nul. Vinovată e proporționalitatea liniilor: a doua e prima înmulțită cu $\frac{2}{3}$, deci informația se repetă și drumul înapoi se pierde.

Compară cu

$$S=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 7& 3\end{array}\right),\det S=5\cdot 3-2\cdot 7=1\ne 0,$$

care are inversa $S^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -7& 5\end{array}\right)$, și cu

$$R=\left(\begin{array}{cc}6& 11\\ 5& 9\end{array}\right),\det R=54-55=-1,R^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-9& 11\\ 5& -6\end{array}\right).$$

Ambele se pot „da la o parte", deci au simetric. Criteriul care le desparte de $L$ e unul singur: determinantul nenul, iar reparația e atunci evidentă — scoatem exact matricele vinovate.

3. Grupul $G{L}_2(\mathbb{R})$ și cei patru pași

Notăm cu $G{L}_2(\mathbb{R})$ acele matrice pătratice de ordinul al doilea, cu elemente reale, al căror determinant nu se anulează:

$$G{L}_2(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}.$$

Parcurgem condițiile, pe litere, fără să ne sprijinim pe vreo matrice concretă.

Pasul 0 — produsul rămâne în mulțime. Dacă $\det A\ne 0$ și $\det B\ne 0$, atunci $\det (AB)=\det A\cdot \det B$, ca produs de două numere nenule, este nenul. Deci $AB\in G{L}_2(\mathbb{R})$.

Pasul 1 — asociativitatea. E moștenită: pe ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ea a fost demonstrată o dată, la clasa a XI-a. Un rând.

Pasul 2 — elementul neutru. $\det I_2=1\ne 0$, deci $I_2$ chiar aparține mulțimii, iar $A{I}_2=I_{2}A=A$.

Pasul 3 — inversul. Pentru $\det A\ne 0$ inversa $A^{-1}$ există; mai trebuie arătat că ea este tot în mulțime. Din $A{A}^{-1}=I_2$ obținem $\det A\cdot \det (A^{-1})=1$, deci $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det A}\ne 0$.

Așadar $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ este grup, cu elementul neutru $I_2$.

4. Cum arăți că o familie de matrice cu un parametru formează grup?

Programa de examen cere structura de grup pe exemple, iar acesta e tiparul cu parametru: se dă o mulțime de matrice care depind de un număr și se cere structura. Rețeta are patru pași și începe întotdeauna cu formula produsului.

Fie

$$D(a)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right),a\in {\mathbb{R}}^{\ast },G=\{D(a)\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}.$$

Pasul 0. Înmulțim două matrice din familie:

$$D(a)\cdot D(b)=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ab& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=D(ab).$$

Din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $ab\ne 0$, deci $D(ab)\in G$. Egalitatea $D(a)D(b)=D(ab)$ este cheia problemei: o scrii prima și te sprijini pe ea la toți pașii următori.

Pasul 1. Asociativitatea se moștenește.

Pasul 2. Căutăm parametrul $u$ pentru care $D(a)D(u)=D(a)$ oricare ar fi $a$. Din formula produsului, condiția devine $au=a$, deci $u=1$, iar elementul neutru este $D(1)=I_2$, care aparține lui $G$ pentru că $1\ne 0$.

Pasul 3. Căutăm, pentru $D(a)$, parametrul $v$ cu $D(a)D(v)=D(1)$, adică $av=1$, de unde $v=\frac{1}{a}$ — număr real nenul, deci $D\left(\frac{1}{a}\right)\in G$. Inversul lui $D(a)$ este $D\left(\frac{1}{a}\right)$.

Grupul e, în plus, comutativ: $D(a)D(b)=D(ab)=D(ba)=D(b)D(a)$. Și $\det D(a)=a\ne 0$, deci toate matricele familiei sunt inversabile — o confirmare independentă a pasului $3$.

5. Este orice grup de matrice comutativ?

Nu, și e important să știi asta înainte de a „muta factorii". Fie

$$U=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right),V=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

Determinanții sunt $\det U=6$ și $\det V=2-1=1$, deci amândouă sunt în $G{L}_2(\mathbb{R})$. Calculăm produsele în ambele ordini:

$$UV=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 6\end{array}\right),VU=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 6\end{array}\right).$$

Cele două rezultate diferă, deci $G{L}_2(\mathbb{R})$ nu este comutativ. Urmează o consecință de care ai nevoie imediat: necunoscuta dintr-o ecuație se scoate din partea în care stă. Când ecuația arată ca $A\cdot X=B$, matricea $A^{-1}$ intră înaintea ambilor membri, iar răspunsul e $X=A^{-1}B$; când arată ca $X\cdot A=B$, ea intră după, iar răspunsul e $X=B{A}^{-1}$. Notează partea pe foaie înainte de a calcula ceva — este grija deprinsă la Ecuații matriceale, acum cu numele de structură pus alături.

Un control util: $\det (UV)=12-6=6$, iar $\det U\cdot \det V=6\cdot 1=6$. Produsul determinanților nu vede ordinea factorilor, deși produsul matricelor o vede.

6. De ce nu are voie să presupui că elementul neutru este $I_2$?

E cea mai frecventă scurtătură greșită a capitolului: „grupul e format din matrice, deci neutrul e matricea unitate" — o confuzie între grupul mare și mulțimea studiată.

Uită-te la pasul $2$ de mai sus: acolo nu am spus „neutrul este $I_2$", ci am căutat parametrul $u$ pentru care $D(a)D(u)=D(a)$, iar abia calculul a arătat că $u=1$. Regula generală: dacă familia are formula produsului $A(x)\cdot A(y)=A(x\ast y)$ pentru o lege $\ast$ pe parametri, atunci elementul neutru al familiei este $A(e)$, unde $e$ este neutrul legii $\ast$ — iar $e$ nu este obligatoriu numărul $1$.

Există familii pentru care $e$ iese cu totul altceva; un astfel de caz e lucrat integral în Exemplul $6$. Ține minte disciplina: elementul neutru se caută, nu se recunoaște.

7. Ce se cere efectiv la examenul M2 din tema aceasta?

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$", iar la capitolul de calcul matriceal al clasei a XI-a limitează matricele inversabile la ordinele $2$ și $3$. Matricele din lecția de față sunt toate de ordinul al doilea, deci sub acest plafon. Rândul acela se împarte între trei lecții: grupurile numerice la Grupul: definiție și grupuri numerice, clasele de resturi la Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, iar matricele aici.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu, timpul de lucru este de trei ore, iar cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Algebra probei se rezolvă la Subiectul al II-lea, cu două probleme de câte trei cerințe; în modelul acela ele sunt un calcul cu matrice și un polinom, fără structuri algebrice — pe acelea le cere programa. Cerințele din lecție sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Apartenența la $G{L}_2(\mathbb{R})$ și inversul

Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ 2& 5\end{array}\right)$ aparține grupului $G{L}_2(\mathbb{R})$ și determină simetricul ei în acest grup.

Rezolvare. Calculăm determinantul: $\det A=3\cdot 5-7\cdot 2=15-14=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$. Simetricul în grup este inversa, iar pentru ordinul al doilea formula cu adjuncta se scrie direct:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}5& -7\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& -7\\ -2& 3\end{array}\right).$$

Proba, în ambele ordini: $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}15-14& -21+21\\ 10-10& -14+15\end{array}\right)=I_2$, și la fel $A^{-1}\cdot A=I_2$.

Exemplul 2 — Două ecuații care arată la fel și nu sunt

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 3& 7\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$. Rezolvă în $G{L}_2(\mathbb{R})$ ecuațiile $A\cdot X=B$ și $X\cdot A=B$.

Rezolvare. Întâi verificăm că $A$ are simetric: $\det A=28-27=1\ne 0$, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -9\\ -3& 4\end{array}\right)$.

Pentru prima ecuație înmulțim la stânga cu $A^{-1}$ și obținem $X=A^{-1}B$:

$$X=\left(\begin{array}{cc}7& -9\\ -3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}35-36& 7-18\\ -15+16& -3+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -11\\ 1& 5\end{array}\right).$$

Pentru a doua înmulțim la dreapta și obținem $X=B{A}^{-1}$:

$$X=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& -9\\ -3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}35-3& -45+4\\ 28-6& -36+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}32& -41\\ 22& -28\end{array}\right).$$

Soluțiile sunt diferite, exact fiindcă grupul nu este comutativ. Proba se face în ecuația de la care ai pornit: $\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 3& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -11\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$.

Exemplul 3 — O familie cu doi parametri

Fie $P=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{R},a^2\ne b^2\right\}$. Arată că $(P,\cdot )$ este grup comutativ.

Rezolvare. Pasul 0. Înmulțim două matrice din $P$:

$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ d& c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac+bd& ad+bc\\ ad+bc& ac+bd\end{array}\right),$$

care are aceeași formă. Mai trebuie condiția asupra determinantului: cum $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)=a^2-b^2$, iar determinantul produsului este produsul determinanților, obținem $(a^2-b^2)(c^2-d^2)\ne 0$. Deci produsul rămâne în $P$.

Pasul 1. Asociativitatea se moștenește. Pasul 2. Pentru $a=1$ și $b=0$ avem $1^2-0^2=1\ne 0$, deci $I_2\in P$, iar $I_2$ este element neutru. Pasul 3. Inversa se calculează cu adjuncta:

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{a^2-b^2}\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ -b& a\end{array}\right),$$

care are tot forma cerută, cu parametrii $\frac{a}{a^2-b^2}$ și $\frac{-b}{a^2-b^2}$; determinantul ei este $\frac{1}{a^2-b^2}\ne 0$, deci ea aparține lui $P$.

Comutativitatea se citește din formula produsului: schimbând între ele perechile $(a,b)$ și $(c,d)$ se obțin aceleași expresii, $ac+bd$ și $ad+bc$. Control numeric, cu $a=3$, $b=1$ și $c=2$, $d=5$: produsul este $\left(\begin{array}{cc}11& 17\\ 17& 11\end{array}\right)$ în ambele ordini, iar determinantul lui, $121-289=-168$, coincide cu produsul determinanților, $(9-1)(4-25)=8\cdot (-21)$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev consideră mulțimea $K$ a matricelor din $G{L}_2(\mathbb{R})$ care au toate elementele numere întregi, și scrie: „produsul a două astfel de matrice are tot elemente întregi și determinant nenul, asociativitatea se moștenește, $I_2$ aparține mulțimii — deci $(K,\cdot )$ este grup." Unde greșește?

Rezolvare. Primii trei pași sunt corecți: la înmulțire se fac doar înmulțiri și adunări de întregi, iar determinantul produsului, fiind produsul a două numere nenule, nu se anulează; asociativitatea chiar se moștenește; $I_2$ are elemente întregi și determinantul $1$.

Elevul a sărit însă pasul $3$: nu a verificat că inversul rămâne în mulțime. Pentru $N=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 1& 4\end{array}\right)$ avem $\det N=7$, deci

$$N^{-1}=\frac{1}{7}\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -1& 3\end{array}\right),$$

ale cărei elemente nu sunt întregi; prin urmare $N^{-1}$ nu aparține lui $K$, iar $(K,\cdot )$ nu este grup. Morala: cele patru condiții se verifică toate, iar cea care cade cel mai des este ultima.

Exemplul 5 — Un montaj în două trepte

Un bloc de prelucrare a semnalului are două trepte. Prima transformă perechea de tensiuni de la intrare după tabelul $E_1=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, a doua după $E_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 5\end{array}\right)$. Arată că montajul întreg este reversibil și spune ce matrice descrie drumul înapoi.

Rezolvare. Trecerea prin ambele trepte înseamnă înmulțirea cu $E_1$ și apoi cu $E_2$, deci matricea montajului este

$$E=E_2\cdot E_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 12& 13\end{array}\right).$$

Determinantul ei este $\det E=52-12=40$, iar controlul independent îl dă proprietatea de la pasul $0$: $\det E_2\cdot \det E_1=5\cdot 8=40$. Cum $40\ne 0$, matricea $E$ are simetric, iar drumul înapoi se face cu

$$E^{-1}=\frac{1}{40}\left(\begin{array}{cc}13& -1\\ -12& 4\end{array}\right).$$

Interpretarea fizică: două trepte reversibile dau un montaj reversibil, fiindcă produsul a două numere nenule e nenul. Dacă una dintre trepte ar pierde informație — determinant nul —, montajul întreg ar deveni ireversibil. Tensiunile se măsoară în volți, iar elementele matricelor sunt numere pure.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră mulțimea $G=\{M(a)\mid a\in {\mathbb{R}}^{\ast }\}$, unde $M(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)$.

a) Arată că $M(a)\cdot M(b)=M(2ab)$, pentru orice $a$, $b$ numere reale nenule.

b) Arată că $(G,\cdot )$ este grup comutativ.

c) Determină elementul neutru al grupului și inversul matricei $M(a)$.

Rezolvare. a) Înmulțim element cu element:

$$M(a)\cdot M(b)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ a& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}b& b\\ b& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ab+ab& ab+ab\\ ab+ab& ab+ab\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2ab& 2ab\\ 2ab& 2ab\end{array}\right)=M(2ab).$$

b) Pasul 0: din $a\ne 0$ și $b\ne 0$ rezultă $2ab\ne 0$, deci $M(2ab)\in G$. Pasul 1: asociativitatea se moștenește de la înmulțirea matricelor. Pașii 2 și 3 sunt la punctul c). Comutativitatea: $M(a)M(b)=M(2ab)=M(2ba)=M(b)M(a)$.

c) Căutăm $u$ cu $M(a)M(u)=M(a)$ pentru orice $a$. Din a), condiția este $2au=a$, adică $u=\frac{1}{2}$, deci elementul neutru este

$$M\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\ne I_2.$$

Pentru invers, căutăm $v$ cu $M(a)M(v)=M\left(\frac{1}{2}\right)$, adică $2av=\frac{1}{2}$, de unde $v=\frac{1}{4a}$, număr real nenul. Deci inversul lui $M(a)$ este $M\left(\frac{1}{4a}\right)$.

Observă rezultatul, pentru că e surprinzător: $\det M(a)=a^2-a^2=0$ pentru orice $a$, deci niciuna dintre matricele acestui grup nu este inversabilă în sensul de la clasa a XI-a. Ele au totuși simetric în $G$, față de neutrul lui $G$. Structura de grup se judecă mereu în raport cu mulțimea și cu legea date în enunț, nu cu ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ și $I_2$.

Să exersăm

Calculează întâi determinantul sau formula produsului, apoi parcurge cei patru pași în ordine. Elementul neutru se caută, nu se presupune.

1. Arată că $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 9& 4\end{array}\right)$ aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$ și calculează $A^{-1}$.

2. Stabilește dacă $B=\left(\begin{array}{cc}6& 15\\ 2& 5\end{array}\right)$ este element al grupului $G{L}_2(\mathbb{R})$ și justifică.

3. Pentru $X=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 8& 3\end{array}\right)$ și $Y=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 4\end{array}\right)$, verifică numeric egalitatea $\det (XY)=\det X\cdot \det Y$.

4. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 3& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}9& 5\\ 7& 4\end{array}\right)$. a) Arată că $A$ și $B$ aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$. b) Calculează $\det (AB)$ fără a calcula produsul. c) Determină $B^{-1}$ și verifică egalitatea $\det (B^{-1})=\frac{1}{\det B}$.

5. Calculează ambele produse pentru $U=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $W=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$ și spune ce concluzie tragi despre comutativitate.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Fiindcă $G{L}_2(\mathbb{R})$ nu este grup comutativ, în el nu există două matrice diferite care să comute între ele.

7. Rezolvă ecuația $A\cdot X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 8\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $A$, $B$ și $C$ aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$ și $A\cdot B=A\cdot C$, atunci $B=C$.

9. Arată că, dacă $A$ și $B$ aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$, atunci și $A{B}^{-1}$ aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$, și scrie $\det (A{B}^{-1})$ în funcție de $\det A$ și $\det B$.

10. Determină numerele reale $m$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m\end{array}\right)$ nu aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $H$ mulțimea matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ și $b\in \mathbb{R}$. a) Calculează produsul a două matrice din $H$. b) Arată că rezultatul rămâne în $H$ și precizează elementul neutru. c) Determină inversul matricei $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$.

12. (Problemă aplicată.) Un aparat combină două soluții-mamă după tabelul $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)$: prima linie dă compoziția primului amestec, a doua pe a celui de-al doilea. Stabilește dacă, știind cele două amestecuri, se pot reconstitui cantitățile inițiale, și explică ce anume din tabel face imposibil drumul înapoi.

13. Rezolvă ecuația $X\cdot A=B$ cu datele de la exercițiul $7$ și compară soluția cu cea de acolo.

14. Explică de ce, într-un grup de matrice, inversul unui element trebuie să aparțină mulțimii studiate, nu doar lui ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

15. (Găsește greșeala.) Un elev înmulțește două matrice cu determinantul $3$, respectiv $5$, și obține o matrice cu determinantul $8$. Arată că a greșit, fără să vezi matricele.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $F(a)=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 1\end{array}\right)$, $a\in \mathbb{R}$. Calculează $F(a)\cdot F(b)$ și arată că mulțimea acestor matrice nu are element neutru.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă produsul a două matrice de ordinul al doilea nu este în $G{L}_2(\mathbb{R})$, atunci niciuna dintre ele nu este în $G{L}_2(\mathbb{R})$.

18. (Provocare.) Arată că singura matrice $A$ din $G{L}_2(\mathbb{R})$ care verifică $A\cdot A=A$ este $I_2$. Dă apoi un exemplu de matrice din ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, diferită de $I_2$ și de $O_2$, pentru care egalitatea are totuși loc.

Răspunsuri și explicații

1. $\det A=7\cdot 4-3\cdot 9=28-27=1\ne 0$, deci $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$, iar $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -9& 7\end{array}\right)$. Proba: $A\cdot A^{-1}=I_2$.

2. Nu: $\det B=6\cdot 5-15\cdot 2=30-30=0$, deci $B$ nu este inversabilă și nu aparține grupului. Se vede și direct: a doua linie este prima împărțită la $3$.

3. $\det X=9-8=1$, $\det Y=8-7=1$. Produsul este $XY=\left(\begin{array}{cc}7& 25\\ 19& 68\end{array}\right)$, cu $\det (XY)=476-475=1=1\cdot 1$. Egalitatea se verifică.

4. a) $\det A=25-24=1\ne 0$ și $\det B=36-35=1\ne 0$, deci ambele aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$. b) $\det (AB)=\det A\cdot \det B=1\cdot 1=1$. c) $B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ -7& 9\end{array}\right)$, cu $\det (B^{-1})=36-35=1=\frac{1}{1}$.

5. $UW=\left(\begin{array}{cc}5& 15\\ 8& 2\end{array}\right)$, iar $WU=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 20& 2\end{array}\right)$. Rezultatele diferă, deci înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar $G{L}_2(\mathbb{R})$ nu este grup comutativ. Un singur contraexemplu este de ajuns.

6. Fals. Necomutativitatea înseamnă că $XY=YX$ nu are loc pentru orice pereche, nu că n-are loc pentru niciuna. Contraexemplu imediat: orice matrice $A$ din grup comută cu simetricul ei, fiindcă $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I_2$ — chiar definiția simetricului.

7. $\det A=16-15=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}8& -5\\ -3& 2\end{array}\right)$. Înmulțind la stânga, $X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}8-20& -5\\ -3+8& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-12& -5\\ 5& 2\end{array}\right)$. Proba: $A\cdot X=\left(\begin{array}{cc}-24+25& -10+10\\ -36+40& -15+16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$.

8. Adevărat. Cum $\det A\ne 0$, matricea $A$ are simetric. Înmulțim la stânga cu $A^{-1}$: din $A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)$ iese $(A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C$, adică $I_{2}B=I_{2}C$ și $B=C$. La matrice oarecare simplificarea nu e permisă; aici merge tocmai fiindcă $A$ are simetric în grup.

9. Din $\det B\ne 0$ rezultă $\det (B^{-1})=\frac{1}{\det B}\ne 0$, deci $B^{-1}\in G{L}_2(\mathbb{R})$. Atunci $\det (A{B}^{-1})=\det A\cdot \det (B^{-1})=\frac{\det A}{\det B}$, un raport de două numere nenule, deci nenul: $A{B}^{-1}\in G{L}_2(\mathbb{R})$.

10. Determinantul este $m^2-4$, iar matricea nu aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$ exact când acesta se anulează: $m^2=4$, deci $m=2$ sau $m=-2$.

11. a) $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}c& d\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}ac& ad+b\\ 0& 1\end{array}\right)$, care are aceeași formă. b) Din $a\ne 0$ și $c\ne 0$ rezultă $ac\ne 0$, deci produsul rămâne în $H$; pentru $a=1$ și $b=0$ se obține $I_2\in H$, iar $I_2$ este element neutru. c) Determinantul este $2$, deci inversul este $\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -3\\ 0& 1\end{array}\right)$, care are tot forma cerută.

12. Nu se pot reconstitui: $\det \left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)=6-6=0$, deci tabelul nu este inversabil. Motivul se citește direct din el: a doua linie este prima înmulțită cu $2$, adică al doilea amestec are exact aceeași compoziție ca primul, doar în cantitate dublă. Cele două măsurători aduc aceeași informație, deci una dintre ele e de prisos, iar sistemul are o infinitate de soluții.

13. Înmulțind la dreapta, $X=B{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}8& -5\\ -3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -5\\ 29& -18\end{array}\right)$. Soluția diferă de cea de la exercițiul $7$: într-un grup necomutativ, partea de care înmulțești schimbă rezultatul. Proba: $X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}16-15& 40-40\\ 58-54& 145-144\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$.

14. Pentru că definiția grupului cere ca simetricul fiecărui element să fie tot element al grupului. O matrice poate avea inversă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, dar aceasta să nu respecte forma cerută de mulțimea studiată — cazul din Exemplul $4$, unde inversa unei matrice cu elemente întregi are elemente fracționare. Atunci condiția a patra cade și structura nu este grup.

15. Determinantul produsului este produsul determinanților, deci ar trebui să fie $3\cdot 5=15$, nu $8$. Elevul a adunat determinanții în loc să-i înmulțească — greșeală care se prinde fără niciun calcul cu matricele.

16. $F(a)\cdot F(b)=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& b\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 1\end{array}\right)=F(a)$: produsul păstrează primul factor și îl uită pe al doilea. Un element neutru $F(u)$ ar trebui să verifice și $F(u)\cdot F(a)=F(a)$; dar membrul stâng este $F(u)$, deci ar trebui ca $F(u)=F(a)$ oricare ar fi $a$, ceea ce e imposibil. Mulțimea nu are element neutru, deci nu poate fi grup.

17. Fals. Din $\det (AB)=\det A\cdot \det B=0$ rezultă că măcar unul dintre determinanți este nul, nu că sunt nuli amândoi. Contraexemplu: $A=I_2$ și $B=O_2$ dau produsul $O_2$, care nu e în $G{L}_2(\mathbb{R})$, deși $\det A=1\ne 0$.

18. Fie $A\in G{L}_2(\mathbb{R})$ cu $A\cdot A=A$. Cum $\det A\ne 0$, matricea are simetric; înmulțim egalitatea la stânga cu $A^{-1}$: $A^{-1}(A\cdot A)=A^{-1}A$, deci $(A^{-1}A)A=I_2$, adică $I_2\cdot A=I_2$ și $A=I_2$. Condiția $\det A\ne 0$ este esențială: pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 0\end{array}\right)$, care are determinantul nul, se verifică $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 0& 0\end{array}\right)=A$, deși $A$ nu este nici $I_2$, nici $O_2$.

De reținut

• Mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ nu este grup față de înmulțire: matricele cu determinantul nul nu au invers, iar structura devine grup abia după eliminarea lor.
• $G{L}_2(\mathbb{R})=\{A\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})\mid \det A\ne 0\}$ este grup față de înmulțire, cu elementul neutru $I_2$ și cu simetricul $A^{-1}$; pasul $0$ se sprijină pe $\det (AB)=\det A\cdot \det B$.
• La o familie de matrice cu parametru, totul pornește de la formula produsului; asociativitatea se moștenește, iar neutrul și inversul se obțin rezolvând o ecuație în parametru.
• Elementul neutru al unui grup de matrice se caută, nu se presupune: el nu este obligatoriu $I_2$ și poate avea chiar determinantul nul.
• $G{L}_2(\mathbb{R})$ nu este comutativ, deci ecuațiile $A\cdot X=B$ și $X\cdot A=B$ au, în general, soluții diferite: $A^{-1}B$, respectiv $B{A}^{-1}$.

Greșeli frecvente

• Presupunerea că neutrul este $I_2$. Se scrie „elementul neutru este $I_2$" fără nicio verificare. Corect este să pui condiția $A\cdot U=A$ în mulțimea dată și să afli $U$ din ea; uneori iese $I_2$, alteori nu.
• Oprirea după primii trei pași. Produsul rămâne în mulțime, asociativitate, neutru — și concluzia „deci e grup". Lipsește tocmai condiția care cade cel mai des: simetricul trebuie să aparțină mulțimii studiate, nu doar lui ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.
• Redemonstrarea asociativității. Se pierd rânduri întregi înmulțind trei matrice generice. Mulțimea fiind inclusă în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, proprietatea se moștenește și se justifică într-un rând.
• Confundarea condiției „determinant nenul" cu „niciun element nul". Matricea $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 4\end{array}\right)$ are toate elementele nenule și determinantul zero, în timp ce $I_2$ are două elemente nule și determinantul $1$.
• Inversarea produsului fără schimbarea ordinii. Se scrie $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$. Regula corectă este $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$; ordinea se schimbă tocmai pentru că înmulțirea matricelor nu este comutativă.

Aplică acasă

1. Familia ta cu parametru. Alege un număr $k\ne 0$ și construiește mulțimea matricelor $\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& k\end{array}\right)$ cu $a$ real nenul. Calculează produsul a două dintre ele, caută elementul neutru punând condiția potrivită și verifică dacă el aparține mulțimii. Notează pentru ce valori ale lui $k$ răspunsul este da.

2. Vânătoarea de determinanți nuli. Scrie zece matrice de ordinul al doilea cu elemente întregi între $-4$ și $4$ și calculează determinanții. Numără câte aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$ și, la cele care nu aparțin, spune ce relație leagă cele două linii.

3. Proba necomutativității. Scrie cinci perechi de matrice de ordinul al doilea cu elemente între $-3$ și $3$ și determinantul nenul, apoi calculează, pentru fiecare pereche, produsul în ambele ordini. Notează în dreptul câtor perechi ai obținut același rezultat, încearcă să spui ce au în comun acelea și ce înseamnă asta pentru o ecuație cu necunoscută matriceală.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul leagă existența simetricului de condiția $\det A\ne 0$; dacă, în fața unei familii cu parametru, scrie întâi formula produsului; și dacă caută elementul neutru în loc să-l recunoască. Ultimul e pragul real al capitolului.

Calculul propriu-zis este cel din clasa a XI-a. Nou e felul de a scrie: o demonstrație de structură se redactează pe pași numerotați, fiecare cu justificarea lui, iar pasul asociativității se rezolvă într-un rând. Un caiet în care pașii nu sunt separați vizibil e semnul că elevul reproduce, nu raționează.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce condiție trebuie să îndeplinească o matrice ca să aibă simetric?"; „Cum se caută elementul neutru al unei familii cu parametru?"; „Ce se strică la mulțimea matricelor cu elemente întregi?"; „De ce partea din care înmulțești schimbă răspunsul?".

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027, 2028 și 2029. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche, iar programa lor de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la elementele de algebră ale clasei a XII-a, „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$"; locul temei la proba scrisă este Subiectul al II-lea. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) structurile algebrice nu mai apar deloc la clasa a XII-a, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează în programa de examen. Pentru prima promoție care învață după programa nouă, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă notația $G{L}_2(\mathbb{R})$?

Ea strânge la un loc matricele de ordinul al doilea, cu elemente reale, al căror determinant nu se anulează, împreună cu înmulțirea obișnuită a matricelor. Structura se verifică repede: determinantul unui produs e produsul determinanților, deci produsul nu iese din mulțime; asociativitatea vine de la clasa a XI-a; $I_2$ are determinantul $1$, deci e înăuntru; iar simetricul unei matrice are determinantul $\frac{1}{\det A}$, tot nenul.

Ce se strică dacă luăm toate matricele de ordinul al doilea?

Se strică a patra condiție, cea a simetricului. Primele trei stau în picioare, dar o matrice al cărei determinant se anulează nu poate fi „dată la o parte": informația pe care o duce se pierde pe drum și nu mai există drum înapoi. Se scot din mulțime tocmai aceste matrice, iar rămășița poartă numele $G{L}_2(\mathbb{R})$.

De unde încep la o familie de matrice cu parametru?

De la produs: înmulțești două matrice ale familiei și scrii rezultatul tot ca element al ei. Egalitatea obținută le dă pe toate celelalte. Din ea se citește că produsul nu iese din familie, asociativitatea o iei gata demonstrată, iar neutrul și simetricul ies rezolvând, în parametru, ecuațiile $A(x)A(u)=A(x)$ și $A(x)A(v)=A(u)$. Nimic nu se ghicește.

Este elementul neutru al unui grup de matrice întotdeauna $I_2$?

Nu. Dacă familia are formula produsului $A(x)A(y)=A(x\ast y)$, atunci neutrul ei este $A(e)$, unde $e$ este neutrul legii $\ast$ dintre parametri — iar acesta nu este obligatoriu $1$. În Exemplul $6$ din lecție neutrul are toate elementele egale cu $\frac{1}{2}$ și determinantul nul, deci nu este $I_2$ și nici măcar nu aparține lui $G{L}_2(\mathbb{R})$.

De ce contează de care parte așez simetricul?

Fiindcă înmulțirea matricelor nu este comutativă, iar necunoscuta se eliberează numai din partea în care stă. Dacă necunoscuta e a doua, simetricul trebuie așezat în față la amândoi membrii; dacă e prima, el vine în urmă. Rezultatele celor două așezări sunt, în general, matrice diferite — le vezi calculate în Exemplul $2$.

La ce folosește determinantul în toată lecția aceasta?

La un singur lucru, dar esențial: el spune dacă o matrice are simetric față de $I_2$. Atenție totuși la limita lui: criteriul acesta se aplică atunci când legea de grup este înmulțirea obișnuită, iar neutrul căutat este $I_2$. La o familie cu alt neutru, cum e cea din Exemplul $6$, determinantul nu mai decide nimic.

Prin ce diferă tema aceasta de cea de la mate-info (M1)?

Programa de examen M2 dă o listă scurtă de exemple de grupuri — grupuri numerice, grupuri de matrice și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$ — și atât se cere aici. La matematică-informatică, lista de exemple remarcabile este mai lungă și cuprinde un capitol întreg care la M2 nu se studiază deloc. Pentru comparație: Capitolul de exemple remarcabile de la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, unde stă algebra probei; fiecare cerință valorează cinci puncte. Modelul publicat pentru sesiunea 2026 la această specializare are acolo o problemă de calcul matriceal și una de polinoame, fără structuri algebrice — pe acestea le cere programa de examen. Alte grupuri cerute de programă: Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n și Morfisme și izomorfisme de grupuri.