Cum arăt că un interval e grup cu o lege dată?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupul și grupurile numerice

Definiția. Perechea $(G,\ast )$ e grup când legea e internă pe $G$, poate muta parantezele, are un element neutru $e$ în $G$ și când fiecare element al lui $G$ își găsește simetricul tot în $G$. Comutativitatea nu face parte din listă: când există, adăugăm cuvântul comutativ, care se demonstrează, nu se presupune.

Grupurile numerice. $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$ și $(\mathbb{R},+)$ sunt grupuri, cu $e=0$ și $x^{\prime }=-x$; $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ sunt grupuri, cu $e=1$ și $x^{\prime }=\frac{1}{x}$. Zeroul se scoate fiindcă produsul lui cu orice element rămâne zero, deci nu ajunge la $1$. Structura nu aparține mulțimii, ci perechii mulțime–lege: $(\mathbb{Z},+)$ e grup, $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu.

Metoda de examen. Când o lege dată prin formulă are un element care înghite tot, acela nu poate avea simetric; îl scoți din mulțime și reiei cei patru pași, începând cu întrebarea dacă nu cumva, din două elemente păstrate, iese tocmai unul dintre cele aruncate. Pasul acesta se sare cel mai des.

Câștigul structurii. Oricare ar fi $a$ și $b$ luate din grup, ecuația $a\ast x=b$ se rezolvă o singură dată, cu $x=a^{\prime }\ast b$; demonstrația se sprijină pe toate cele trei condiții.

De reținut

• grup: lege internă, asociativă, cu element neutru și cu simetric pentru fiecare element
• legea $(x-a)(y-a)+a$ pe $(a,+\infty )$: neutrul $a+1$, simetricul $a+\frac{1}{x-a}$
• comutativitatea nu face parte din definiție

Greșeala tipică

Se verifică doar că legea e internă, asociativă și are neutru, uitând simetricii; $(\mathbb{Z},\cdot )$ le are pe primele trei, dar $2$ nu are invers în $\mathbb{Z}$, deci nu e grup.

Exerciții din această mini-lecție

1. Care dintre mulțimile de mai jos formează grup față de adunarea numerelor?

   • a) mulțimea numerelor naturale
   • b) mulțimea numerelor întregi care se divid cu $9$
   • c) mulțimea numerelor raționale strict pozitive
   • d) intervalul $[-5,5]$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) mulțimea numerelor întregi care se divid cu $9$

   Pentru b): $9k+9m=9(k+m)$, adunarea e asociativă, $0=9\cdot 0$ e în mulțime, iar simetricul lui $9k$ este $-9k=9(-k)$, tot în mulțime. La a) cade simetricul: opusul lui $3$ este $-3$, care nu e natural. La c) lipsește elementul neutru $0$, care nu e strict pozitiv. La d) cade chiar internitatea: $3+4=7$ iese din interval.

2. Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\ast y=xy-30x-30y+930$. Numărul care trebuie scos din $\mathbb{R}$ pentru a obține un grup și elementul neutru al acestui grup sunt, pe rând:

   • a) $30$ și $31$
   • b) $31$ și $30$
   • c) $30$ și $930$
   • d) $0$ și $1$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $30$ și $31$

   Legea se scrie $x\ast y=(x-30)(y-30)+30$, deci $30\ast y=30$ pentru orice $y$: numărul $30$ înghite tot și nu are simetric, așa că el se scoate. Pe $\mathbb{R}\setminus \{30\}$, condiția $(x-30)(e-30)=x-30$ dă $e-30=1$, adică $e=31$, care chiar aparține mulțimii.

3. În grupul $(\mathbb{R}\setminus \{30\},\ast )$, cu $x\ast y=xy-30x-30y+930$, soluția ecuației $32\ast x=36$ este:

   • a) $31$
   • b) $33$
   • c) $34$
   • d) $36$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $33$

   Ecuația devine $(32-30)(x-30)+30=36$, adică $2(x-30)=6$, deci $x-30=3$ și $x=33$, număr diferit de $30$. Verificare: $32\ast 33=2\cdot 3+30=36$. Varianta a) este elementul neutru; c) iese scăzând $36-32$ și adunând $30$ la rezultatul greșit $4$; d) repetă pur și simplu membrul drept.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: cum arăt că o mulțime este grup · grup pe un interval cu lege factorizată · verificarea axiomelor grupului · grupul pe (a, plus infinit)