Grupul: definiție și grupuri numerice (M2, științe ale naturii)

Un termometru arată $18$ grade, temperatura scade cu $5$ și apoi crește cu $5$: ai revenit de unde ai plecat. O balanță arată o masă, adaugi o greutate și o iei înapoi: aceeași masă. Ceea ce fac aceste două situații e mai mult decât un calcul — ele descriu o lume în care orice mișcare se poate anula. Mulțimile în care operația se poartă astfel poartă, în algebra clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2), numele de grup, iar cuvântul acesta este capul de serie al întregului capitol de structuri algebrice din programa de bacalaureat M2.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$" este în programa de examen (OMEN 4430/2014) și nu mai apare în programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28), din care structurile algebrice au fost scoase. Lecția de față ia din acel rând definiția și grupurile numerice; grupurile de matrice și grupul claselor de resturi sunt materia lecțiilor următoare ale unității. Pornim de la cele patru proprietăți studiate la proprietățile unei legi de compoziție și de la tabla scrisă în legea de compoziție internă și tabla operației, iar din gimnaziu folosim doar noțiunea de inversă a unei fracții.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce condiții adună cuvântul „grup" și de ce niciuna dintre ele nu poate lipsi.
• Vei ști să parcurgi cele patru controale prin care o pereche mulțime–lege se dovedește grup, și să numești condiția care cade când nu se dovedește.
• Vei ști care sunt grupurile numerice de bază și de ce trebuie scos zeroul din $\mathbb{Q}$ și din $\mathbb{R}$ la înmulțire.
• Vei ști să obții un grup scoțând din mulțime elementele vinovate, tehnica pe care se sprijină cerințele de examen.
• Vei ști să rezolvi o ecuație într-un grup cu ajutorul simetricului și să explici de ce soluția e unică.
• Vei ști când ai voie să adaugi cuvântul comutativ și de ce nu poți schimba ordinea într-un grup despre care nu s-a demonstrat nimic în privința ei.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un grup?

Pleci de la o mulțime $G$ care are măcar un element și de la o lege internă $\ast$ definită pe ea. Îi ceri legii trei lucruri — aceleași din lecția anterioară —, însă pe ultimul îl ceri pentru toate elementele.

Perechea $(G,\ast )$ poartă numele de grup atunci când $\ast$ e lege de compoziție internă pe $G$ și, în plus, trec toate trei controalele de mai jos:

• asociativitatea — mutarea parantezelor nu schimbă rezultatul, $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$, oricum ai alege $x$, $y$ și $z$ din $G$;
• elementul neutru — există în $G$ un element $e$ pe care îl poți compune cu orice fără să schimbi nimic, adică $x\ast e=e\ast x=x$;
• simetricul fiecărui element — pentru fiecare $x$ din $G$ se găsește în $G$ un $x^{\prime }$ care îl duce înapoi la $e$, adică $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=e$.

Adăugând la cele trei și proprietatea $x\ast y=y\ast x$, structura primește numele de grup comutativ, căruia i se mai spune și abelian.

Citește cu atenție ce lipsește din listă: comutativitatea nu este cerută. Un grup poate fi necomutativ, iar programa de examen din 2014 cere nominal grupurile de matrice, care sunt tocmai astfel de grupuri. Când numărul de elemente al unui grup finit e important, el se notează $\mathrm{card}G$.

Observă și ce se schimbă față de lecția anterioară. Acolo studiam o lege și constatam, de pildă, că un singur element nu are simetric. Aici cerința e totală: fiecare element trebuie să aibă simetricul lui, în mulțime. Un singur element fără simetric strică tot.

2. De ce tocmai aceste trei condiții?

Pentru că fiecare dintre ele cade, separat, într-o situație pe care o cunoști — iar când cade, se pierde ceva anume.

Cade asociativitatea. Pe $\mathbb{R}$ luăm scăderea. Pentru tripletul $(9,4,2)$ avem $(9-4)-2=3$, iar $9-(4-2)=7$; cum $3\ne 7$, scăderea nu e asociativă. Fără asociativitate nu poți scrie $x\ast y\ast z$ fără paranteze, deci nici nu poți prelucra expresii lungi.

Cad simetricii la adunare. Pe $\mathbb{N}$ luăm adunarea: e asociativă, zeroul e neutru, dar opusul lui $3$ ar fi $-3$, care a rămas afară. Fără simetrici nu poți „da înapoi" o operație, deci nu poți rezolva ecuații.

Cad numai simetricii. Pe $\mathbb{Z}$ luăm înmulțirea. E asociativă, are elementul neutru $1$, dar $3$ nu are invers întreg, fiindcă $\frac{1}{3}$ nu este număr întreg. Singurele numere întregi care au invers în $\mathbb{Z}$ sunt $1$ și $-1$.

Trei situații, trei pierderi diferite. De aceea definiția cere toate trei condițiile deodată: fiecare dintre ele aduce ceva ce celelalte nu pot da.

3. Care sunt grupurile numerice?

Le strângem într-un tabel, cu verdictul fiecăreia. Sunt mulțimile de numere pe care le folosești de ani de zile, privite acum ca structuri.

Toate cele cinci grupuri din tabel sunt comutative. Merită reținut cum se citește tabelul: pe aceeași mulțime, schimbarea legii schimbă verdictul — $(\mathbb{Z},+)$ e grup, iar $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu este. Structura nu e o proprietate a mulțimii, ci a perechii mulțime–lege.

Și mai observă steluța de la ${\mathbb{Q}}^{\ast }$ și ${\mathbb{R}}^{\ast }$. Dacă am lăsa zeroul înăuntru, tot tabloul s-ar strica dintr-un singur element: $0\cdot x=0$ pentru orice $x$, deci $0$ nu ajunge niciodată la $1$ și nu are invers. Un singur element vinovat, și mulțimea nu mai e grup.

4. Cum obții un grup scoțând elementele vinovate?

Observația de mai sus e, de fapt, o metodă, și pe ea se sprijină aproape toate cerințele de examen. Când o mulțime nu e grup fiindcă anumite elemente nu au simetric, le scoți și verifici dacă ce rămâne se ține pe picioare.

Metoda are patru pași, în această ordine:

1. Legea rămâne internă pe mulțimea micșorată? Dacă din două elemente rămase iese unul dintre cele scoase, nu ai făcut nimic.
2. Asociativitatea — nu se reverifică dacă a fost deja demonstrată pe mulțimea mare: o egalitate adevărată pentru toate elementele e adevărată și pentru o parte dintre ele.
3. Elementul neutru a rămas în mulțime?
4. Toate elementele rămase au simetric, iar simetricul e tot în mulțime?

Pe $\mathbb{R}$ cu înmulțirea, elementul vinovat e $0$, iar ${\mathbb{R}}^{\ast }$ trece toți cei patru pași: produsul a două numere nenule e nenul, $1\ne 0$ a rămas, iar $\frac{1}{x}$ e nenul pentru orice $x$ nenul.

5. Un grup construit dintr-o lege dată prin formulă

Aplicăm metoda pe legea care apare cel mai des în cerințele de algebră. Pe $\mathbb{R}$ definim

$$x\ast y=xy-3x-3y+12.$$

Întâi căutăm elementul absorbant: $3\ast y=3y-9-3y+12=3$, oricare ar fi $y$. Deci $3$ înghite orice, iar legea se scrie factorizat $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$ — control prin desfacere: $(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3$, adică formula dată. Elementul $3$ nu poate avea simetric, exact ca $0$ la înmulțire. Îl scoatem și lucrăm pe $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

Pasul 1 — legea e internă pe $G$. Dacă $x\ne 3$ și $y\ne 3$, atunci $x-3$ și $y-3$ sunt nenuli, deci produsul lor e nenul și $x\ast y=(x-3)(y-3)+3\ne 3$. Rezultatul rămâne în $G$.

Pasul 2 — asociativitatea. Din $x\ast y-3=(x-3)(y-3)$ obținem, pentru ambele grupări, aceeași expresie $(x-3)(y-3)(z-3)+3$, deci legea e asociativă. Fiind adevărată pe $\mathbb{R}$, rămâne adevărată pe $G$.

Pasul 3 — elementul neutru. Din $(x-3)(e-3)=x-3$, cu $x\ne 3$, rezultă $e-3=1$, deci $e=4$. Cum $4\ne 3$, elementul neutru este în $G$.

Pasul 4 — simetricii. Din $(x-3)(x^{\prime }-3)=1$ obținem $x^{\prime }=3+\frac{1}{x-3}$, definit pentru orice $x\in G$; în plus $x^{\prime }\ne 3$, fiindcă $\frac{1}{x-3}$ nu e zero. Așadar orice element al lui $G$ are simetric în $G$.

Concluzia: $(\mathbb{R}\setminus \{3\},\ast )$ este grup, iar formula fiind simetrică în $x$ și $y$, este grup comutativ.

6. De ce se rezolvă orice ecuație într-un grup?

Aici stă adevăratul câștig al structurii, iar afirmația se demonstrează în câteva rânduri.

Propoziție. Fie $(G,\ast )$ un grup și $a,b\in G$. Atunci ecuația $a\ast x=b$ are exact o soluție în $G$, anume $x=a^{\prime }\ast b$.

Demonstrație. Că $a^{\prime }\ast b$ este soluție se verifică direct: $a\ast (a^{\prime }\ast b)=(a\ast a^{\prime })\ast b=e\ast b=b$, unde am folosit, în ordine, asociativitatea, definiția simetricului și definiția elementului neutru. Că nu există alta: dacă $x_1$ și $x_2$ sunt amândouă soluții, atunci $a\ast x_1=a\ast x_2$; compunem la stânga cu $a^{\prime }$ și obținem $(a^{\prime }\ast a)\ast x_1=(a^{\prime }\ast a)\ast x_2$, adică $e\ast x_1=e\ast x_2$, deci $x_1=x_2$. $■$

Observă că demonstrația folosește toate cele trei axiome — asociativitatea la mutarea parantezelor, elementul neutru la sfârșit, simetricul la început. Scoate una dintre ele și raționamentul cade.

Un control pe un grup cunoscut: în $(\mathbb{R},+)$, ecuația $7+x=3$ are soluția $x=(-7)+3=-4$, unde $-7$ este simetricul lui $7$. Într-un grup, așadar, nu „treci termenul în cealaltă parte" — compui cu simetricul, iar regula din gimnaziu este chiar acest lucru, scris prescurtat.

7. Unde se vede structura de grup în științe?

Variațiile de temperatură ale unei probe formează un grup față de adunare. Compunerea a două variații succesive e suma lor, asociativitatea e a adunării numerelor reale, variația nulă e elementul neutru, iar fiecărei variații $\Delta t$ îi corespunde $-\Delta t$, care o anulează. De aceea ai voie să însumezi variațiile dintr-un tabel de măsurători în orice ordine și să întrebi, cu sens, „cu cât ar trebui să se schimbe temperatura ca să revenim la valoarea inițială?".

Prin contrast, factorii de amplificare ai unui semnal nu formează grup față de înmulțire pe $\mathbb{R}$. Înmulțirea e asociativă și are elementul neutru $1$, dar factorul $0$ — semnalul stins — nu se poate anula: dacă semnalul a fost oprit, niciun amplificator nu îl mai aduce înapoi. Este exact elementul vinovat din subsecțiunea 4, întâlnit acum într-un montaj, nu într-un tabel.

Reține ideea de fond: a spune că o mulțime de mărimi formează grup înseamnă a spune că orice transformare e reversibilă. Acolo unde apare o pierdere ireversibilă — energie disipată, semnal stins, informație ștearsă —, structura de grup se rupe, iar elementul care o rupe e chiar cel care nu are simetric.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași mulțime, două legi

Stabilește dacă mulțimea numerelor întregi pare formează grup față de adunare, respectiv față de înmulțire.

Rezolvare. Față de adunare, da. Legea e internă: $2k+2m=2(k+m)$ e par. Asociativitatea e cea a adunării numerelor întregi. Elementul neutru este $0$, care e par. Simetricul lui $2k$ este $-2k$, tot par. Grupul e comutativ.

Față de înmulțire, nu. Legea e internă, iar înmulțirea e asociativă, dar elementul neutru ar trebui să fie $1$, care nu este par; iar dacă am renunța la el, n-am mai avea niciun candidat, fiindcă $2k\cdot e=2k$ pentru orice $k$ cere $e=1$. Cade axioma elementului neutru, deci nici nu se mai pune problema simetricilor.

Exemplul 2 — Un grup dat printr-o lege aditivă

Pe $\mathbb{Z}$ se consideră $x\ast y=x+y+4$. Arată că $(\mathbb{Z},\ast )$ este grup comutativ și determină simetricul lui $6$.

Rezolvare. Legea e internă: suma a trei numere întregi e un număr întreg. Asociativitatea: $(x\ast y)\ast z=(x+y+4)+z+4=x+y+z+8$, iar $x\ast (y\ast z)=x+(y+z+4)+4=x+y+z+8$ — expresiile coincid. Comutativitatea se citește din formă, $x$ și $y$ având același rol.

Elementul neutru: din $x+e+4=x$ rezultă $e=-4$, număr întreg. Simetricul lui $x$: din $x+x^{\prime }+4=-4$ rezultă $x^{\prime }=-8-x$, tot întreg, pentru orice $x$. Toate cele patru condiții sunt îndeplinite, deci $(\mathbb{Z},\ast )$ este grup comutativ. Pentru $x=6$ obținem $x^{\prime }=-14$; verificare: $6\ast (-14)=6-14+4=-4$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Mulțimea numerelor reale strict pozitive formează grup față de adunare, pentru că adunarea este asociativă și comutativă." Găsește greșeala și spune ce axiome cad.

Rezolvare. Greșeala e de listă: elevul a verificat două proprietăți, dintre care una nici măcar nu e cerută de definiție, și a sărit peste cele care contează.

Cad două axiome. Elementul neutru al adunării ar trebui să fie $0$, dar $0$ nu este strict pozitiv, deci nu aparține mulțimii. Și, chiar dacă l-am adăuga, simetricul lui $5$ ar fi $-5$, care iese din mulțime; niciun element strict pozitiv nu are opus strict pozitiv. Reține: comutativitatea nu face parte din definiția grupului, iar prezența ei nu compensează lipsa altei axiome.

Exemplul 4 — Citește tabelul

Completează cele două căsuțe lipsă din tabelul de mai jos și scrie verdictul pentru fiecare rând.

Rezolvare. Primul rând: legea e asociativă, elementul neutru e $0$, iar simetricul lui $x$ este $-x$, număr rațional. Verdictul este da, grup comutativ.

Al doilea rând: căsuța lipsă este nu. Elementul neutru există și este $1$, dar $2$ nu are invers natural, fiindcă $\frac{1}{2}$ nu e număr natural. Singurul element simetrizabil este $1$ însuși, deci verdictul „nu" din tabel e corect.

Al treilea rând: căsuța lipsă este $1$. Produsul a două numere reale nenule e nenul, $1$ e nenul, iar $\frac{1}{x}$ e nenul pentru orice $x$ nenul — toate cele patru condiții sunt îndeplinite.

Exemplul 5 — Ecuații rezolvate în două grupuri

Rezolvă ecuația $5\ast x=1$ în grupul $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, unde $\ast$ este înmulțirea, și ecuația $x+9=2$ în grupul $(\mathbb{Z},+)$. Folosește propoziția din subsecțiunea 6.

Rezolvare. În $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ elementul neutru este $1$, iar simetricul lui $5$ este $\frac{1}{5}$. Prin propoziție, soluția este $x=\frac{1}{5}\cdot 1=\frac{1}{5}$, unică. Verificare: $5\cdot \frac{1}{5}=1$.

În $(\mathbb{Z},+)$ elementul neutru este $0$, iar simetricul lui $9$ este $-9$. Legea fiind comutativă, ecuația $x+9=2$ se scrie $9+x=2$, deci $x=(-9)+2=-7$, unică. Verificare: $-7+9=2$. Observă că același raționament a mers în două grupuri foarte diferite: asta câștigi studiind structura, nu exemplul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pe mulțimea $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+12$, despre care se știe că determină pe $G$ o structură de grup comutativ, cu elementul neutru $4$.

a) Calculează $5\ast 6$ și $(-1)\ast 1$.

b) Determină simetricul lui $-1$ în raport cu legea $\ast$.

c) Determină numerele $x\in G$ pentru care $x\ast x=12$.

Rezolvare. a) Cu forma factorizată: $5\ast 6=(5-3)(6-3)+3=2\cdot 3+3=9$ și $(-1)\ast 1=(-4)(-2)+3=8+3=11$. Control pe formula inițială: $5\ast 6=30-15-18+12=9$ și $(-1)\ast 1=-1+3-3+12=11$.

b) Simetricul lui $-1$ este numărul $x^{\prime }$ cu $(-1)\ast x^{\prime }=4$. Scriem $(-1-3)(x^{\prime }-3)+3=4$, adică $-4(x^{\prime }-3)=1$, deci $x^{\prime }-3=-\frac{1}{4}$ și $x^{\prime }=\frac{11}{4}$. Cum $\frac{11}{4}\ne 3$, simetricul este în $G$. Verificare: $(-1)\ast \frac{11}{4}=(-4)\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)+3=4$.

c) Condiția devine $(x-3{)}^2+3=12$, adică $(x-3{)}^2=9$, deci $x-3=3$ sau $x-3=-3$. Obținem $x=6$ sau $x=0$, amândouă în $G$. Verificare: $0\ast 0=0-0-0+12=12$.

Să exersăm

La fiecare cerință, parcurge cei patru pași în ordine și numește axioma care cade, dacă mulțimea nu e grup.

1. Care dintre $(\mathbb{N},\cdot )$, $(\mathbb{Z},+)$ și $(\mathbb{R},\cdot )$ sunt grupuri? Câte o propoziție de justificare.

2. Arată că $(\mathbb{R},\ast )$, cu $x\ast y=x+y-8$, este grup comutativ și determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

3. Rezolvă ecuația $(-2)\ast x=5$ în grupul de la exercițiul precedent.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup, ecuația $a\ast x=a$ are soluția $x=e$ și numai pe ea."

5. Formează mulțimea numerelor raționale strict pozitive grup față de înmulțire? Determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

6. Pe $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, cu $x\ast y=xy-3x-3y+12$, calculează $7\ast 7$ și simetricul lui $7$.

7. De ce nu este $(\mathbb{Z},\cdot )$ grup, deși înmulțirea e asociativă și are element neutru?

8. (Problemă aplicată.) Poziția unui cursor pe o riglă gradată se schimbă prin deplasări, iar două deplasări succesive se adună. Arată că mulțimea deplasărilor posibile formează grup față de adunare și spune ce reprezintă, fizic, elementul neutru și simetricul.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un grup, singurul element $x$ cu $x\ast x=x$ este elementul neutru."

10. Formează mulțimea numerelor raționale nenule grup față de legea $x\ast y=\frac{xy}{4}$? Determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

11. Arată că mulțimea numerelor reale de forma $a+b\sqrt{2}$, cu $a$ și $b$ raționale, formează grup față de adunare.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=xy-3x-3y+12$. a) Calculează $2\ast 4$. b) Arată că $3\ast y=3$ pentru orice $y$ real. c) Deduce de ce numărul $3$ trebuie scos din mulțime ca $\ast$ să determine un grup.

13. În grupul $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$, rezolvă ecuația $4x=3$ scriind soluția cu ajutorul simetricului lui $4$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Formează mulțimea numerelor întregi impare grup față de înmulțire?

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice grup are cel puțin două elemente."

16. Pentru fiecare dintre $(\mathbb{N},+)$, $([0,+\infty ),\cdot )$ și $(\mathbb{R},-)$, spune care axiomă a grupului cade.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Formează mulțimea numerelor reale strict pozitive grup față de legea $x\ast y=2xy$? Determină elementul neutru și simetricul lui $x$.

18. (Provocare.) În grupul $G=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, cu $x\ast y=xy-3x-3y+12$, determină numărul $x$ al cărui simetric este $\frac{10}{3}$, apoi arată că singurul element pentru care $x\ast x^{\prime }=x$ este elementul neutru.

Răspunsuri și explicații

1. $(\mathbb{N},\cdot )$ nu este grup: $2$ nu are invers natural. $(\mathbb{Z},+)$ este grup: legea e internă și asociativă, $e=0$, iar simetricul lui $x$ este $-x$. $(\mathbb{R},\cdot )$ nu este grup: $0$ nu are invers, fiindcă $0\cdot x=0\ne 1$ pentru orice $x$.

2. Legea e internă pe $\mathbb{R}$ și asociativă: ambele grupări dau $x+y+z-16$. Este comutativă, formula fiind simetrică. Din $x+e-8=x$ rezultă $e=8$, iar din $x+x^{\prime }-8=8$ rezultă $x^{\prime }=16-x$, număr real pentru orice $x$. Toate condițiile sunt îndeplinite, deci $(\mathbb{R},\ast )$ e grup comutativ.

3. $(-2)+x-8=5$ dă $x=15$. Verificare: $(-2)\ast 15=-2+15-8=5$.

4. Adevărat. Elementul neutru verifică $a\ast e=a$, deci este soluție. Unicitatea vine din propoziția subsecțiunii 6, aplicată cu $b=a$: ecuația $a\ast x=a$ are exact o soluție, iar aceea este $a^{\prime }\ast a=e$.

5. Da. Produsul a două numere raționale strict pozitive e rațional strict pozitiv, înmulțirea e asociativă, $e=1$ e în mulțime, iar $x^{\prime }=\frac{1}{x}$ e tot rațional strict pozitiv. Grupul e comutativ.

6. Direct din formulă, $7\ast 7=49-21-21+12=19$; cu forma factorizată, $(7-3{)}^2+3=16+3=19$. Simetricul lui $7$: din $(7-3)(x^{\prime }-3)=1$ obținem $x^{\prime }-3=\frac{1}{4}$, deci $x^{\prime }=\frac{13}{4}$. Verificare: $7\ast \frac{13}{4}=4\cdot \frac{1}{4}+3=4$.

7. Pentru că axioma a treia cade: singurele numere întregi care au invers întreg sunt $1$ și $-1$. De pildă, inversul lui $5$ ar fi $\frac{1}{5}$, care nu e număr întreg. Primele două axiome sunt îndeplinite, dar o structură e grup numai când sunt îndeplinite toate.

8. O deplasare este un număr real, pozitiv la dreapta și negativ la stânga, iar suma a două numere reale e un număr real; adunarea e asociativă. Elementul neutru este deplasarea nulă, adică „nu mut cursorul". Simetricul deplasării $d$ este $-d$, adică deplasarea de aceeași mărime în sens opus, care readuce cursorul unde era. Mulțimea deplasărilor formează, așadar, grup comutativ față de adunare.

9. Adevărat. Din $x\ast x=x$ compunem la stânga cu $x^{\prime }$ și obținem $(x^{\prime }\ast x)\ast x=x^{\prime }\ast x$, adică $e\ast x=e$, deci $x=e$. Raționamentul folosește asociativitatea și existența simetricului, deci nu se poate repeta într-o mulțime care nu e grup.

10. Da. Legea e internă pe mulțimea numerelor raționale nenule, fiindcă un produs de numere nenule împărțit la $4$ e nenul. Asociativitatea: ambele grupări dau $\frac{xyz}{16}$. Din $\frac{xe}{4}=x$ rezultă $e=4$, iar din $\frac{x{x}^{\prime }}{4}=4$ rezultă $x^{\prime }=\frac{16}{x}$, nenul pentru orice $x$ nenul.

11. Suma a două astfel de numere este $(a+c)+(b+d)\sqrt{2}$, de aceeași formă, fiindcă $a+c$ și $b+d$ sunt raționale; adunarea e asociativă și comutativă. Elementul neutru este $0=0+0\sqrt{2}$, iar simetricul lui $a+b\sqrt{2}$ este $(-a)+(-b)\sqrt{2}$, tot de forma cerută. Deci mulțimea formează grup comutativ.

12. a) $2\ast 4=8-6-12+12=2$. b) $3\ast y=3y-9-3y+12=3$, oricare ar fi $y$ real. c) Elementul neutru este $4$, dar din b) rezultă că $3\ast y=3\ne 4$ pentru orice $y$, deci $3$ nu are simetric. Axioma a treia cade din cauza unui singur element; scoțându-l, mulțimea rămasă devine grup.

13. Elementul neutru este $1$, iar simetricul lui $4$ este $\frac{1}{4}$. Soluția este $x=\frac{1}{4}\cdot 3=\frac{3}{4}$. Verificare: $4\cdot \frac{3}{4}=3$.

14. Nu. Legea e internă (produsul a două numere impare e impar), e asociativă și are elementul neutru $1$, care e impar. Cade însă ultima axiomă: inversul lui $3$ ar fi $\frac{1}{3}$, care nu e număr întreg impar. Singurele elemente simetrizabile sunt $1$ și $-1$.

15. Fals. Mulțimea $\{0\}$ cu adunarea este grup: legea e internă, e asociativă, elementul neutru este $0$, iar simetricul lui $0$ este tot $0$. Are un singur element. Un grup cu un singur element se poate construi pe orice mulțime cu un element, luând drept lege singura operație posibilă.

16. La $(\mathbb{N},+)$ cade axioma simetricilor: $3$ nu are opus natural. La $([0,+\infty ),\cdot )$ cade tot ea: $0$ nu are invers. La $(\mathbb{R},-)$ cade asociativitatea, ceea ce se vede pe tripletul $(9,4,2)$: $(9-4)-2=3$, iar $9-(4-2)=7$.

17. Da. Legea e internă, fiindcă un dublu produs de numere strict pozitive e strict pozitiv, și e asociativă: ambele grupări dau $4xyz$. Din $2xe=x$ rezultă $e=\frac{1}{2}$, care e strict pozitiv, iar din $2x{x}^{\prime }=\frac{1}{2}$ rezultă $x^{\prime }=\frac{1}{4x}$, tot strict pozitiv. Grupul e comutativ.

18. Din $3+\frac{1}{x-3}=\frac{10}{3}$ obținem $\frac{1}{x-3}=\frac{1}{3}$, deci $x-3=3$ și $x=6$. Verificare pe formula inițială: $6\ast \frac{10}{3}=20-18-10+12=4$, adică tocmai elementul neutru. Pentru partea a doua, $x\ast x^{\prime }=4$ prin însăși definiția simetricului, oricare ar fi $x$; egalitatea $x\ast x^{\prime }=x$ devine atunci $x=4$, adică exact elementul neutru.

De reținut

• $(G,\ast )$ este grup dacă legea e internă pe $G$, e asociativă, are element neutru și orice element al lui $G$ e simetrizabil; dacă legea e și comutativă, grupul se numește comutativ.
• Comutativitatea nu face parte din definiția grupului: sunt grupuri necomutative, iar prezența comutativității nu compensează lipsa altei axiome.
• Grupurile numerice de bază sunt $(\mathbb{Z},+)$, $(\mathbb{Q},+)$, $(\mathbb{R},+)$, $({\mathbb{Q}}^{\ast },\cdot )$ și $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$; $(\mathbb{Z},\cdot )$ nu e grup, iar zeroul trebuie scos la înmulțire, fiindcă nu are invers.
• Verificarea se face în patru pași, în ordine: legea e internă, e asociativă, are element neutru în mulțime, toate elementele au simetric în mulțime.
• Într-un grup, ecuația $a\ast x=b$ are exact o soluție, $x=a^{\prime }\ast b$; demonstrația folosește toate cele trei axiome, deci în afara grupurilor concluzia nu mai e garantată.

Greșeli frecvente

• Uitarea primului pas. Internitatea legii se controlează înaintea axiomelor. Când un compus părăsește mulțimea, căutarea elementului neutru rămâne fără obiect, fiindcă structura s-a rupt deja la pasul zero.
• Simetricul găsit, dar neverificat. Formula poate da un număr care nu aparține mulțimii — ca $-5$ pe mulțimea numerelor strict pozitive. Simetricul trebuie să fie în mulțime, altfel elementul nu e simetrizabil.
• „Are element neutru, deci e grup." A treia condiție privește fiecare element al mulțimii, fără excepție. La $(\mathbb{Z},\cdot )$ neutrul există, dar doar $1$ și $-1$ își găsesc perechea care îi anulează, iar structura nu e grup.
• Reparația făcută fără al doilea control. Când scoți din mulțime elementele care n-au simetric, e ușor să te oprești acolo și să declari structura reparată. Mai rămâne de văzut dacă legea a rămas internă pe ce a mai rămas: dacă din două elemente păstrate iese unul dintre cele scoase, reparația n-a schimbat nimic.
• Verificarea unei singure egalități. La elementul neutru și la simetric, definiția cere două egalități. Doar când legea a fost demonstrată comutativă se poate verifica una singură, spunând de ce.

Aplică acasă

1. Patru pași pe cinci perechi. Scrie cinci perechi mulțime–lege, dintre care cel puțin două cu legi date prin formulă, și parcurge pentru fiecare cei patru pași. Acolo unde mulțimea nu e grup, notează exact care pas a căzut și pe ce element; acolo unde este, scrie elementul neutru și formula simetricului.

2. Vânătoarea elementului vinovat. Ia trei mulțimi de numere care nu formează grup față de o lege aleasă de tine și încearcă să le repari scoțând cât mai puține elemente. Pentru fiecare reparație, verifică întâi dacă legea a rămas internă — e pasul care se uită cel mai des.

3. Reversibil sau nu. Caută în manualul de fizică sau de chimie trei procese, dintre care unul reversibil și două ireversibile. Pentru fiecare, scrie mulțimea mărimilor implicate și legea prin care se compun două etape, apoi spune dacă structura obținută e grup și ce mărime joacă rolul elementului care nu are simetric.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce noțiunea centrală a capitolului, iar dificultatea ei nu e de calcul, ci de disciplină: totul se verifică în ordine, iar o singură condiție neîndeplinită schimbă verdictul. Elevul trebuie să înțeleagă că „grup" nu descrie o mulțime, ci o pereche formată dintr-o mulțime și o lege — de aceea aceeași mulțime de numere poate fi grup față de adunare și să nu fie față de înmulțire.

De verificat în caiet: cei patru pași apar scriși, în ordine, la fiecare verificare; simetricul e însoțit de controlul apartenenței la mulțime; acolo unde structura nu e grup, e numită axioma care cade și elementul care o strică; comutativitatea nu e confundată cu o axiomă a grupului. Întrebări de control: „Care sunt cele trei condiții din definiția grupului?"; „De ce nu e mulțimea numerelor naturale grup față de adunare?"; „Ce se schimbă dacă scoți zeroul din mulțimea numerelor raționale?"; „De ce are orice ecuație soluție unică într-un grup?". Semn că a înțeles: în fața unei mulțimi care nu e grup, caută singur elementul de scos și verifică imediat dacă legea a rămas internă.

Programa și examenul. Suplimentul de examen al lecției este rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$" din capitolul „Grupuri" al programei de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, clasa a XII-a). Lecția acoperă din el definiția și grupurile numerice; grupurile de matrice și grupul claselor de resturi revin lecțiilor următoare ale unității. Rândul nu mai apare în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a XII-a din 2029–2030, unde capitolul de structuri algebrice lipsește cu totul. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema se cere. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe a cinci puncte, prima despre matrice și a doua despre un polinom; o structură algebrică nu apare în acel model, care este însă unul singur și nu spune ce se dă la fiecare sesiune, în timp ce programa cere tema explicit. Planificarea se sprijină pe cele trei ore de matematică pe săptămână din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie, iar tema nu figurează nici în programa probei MAT_P2 din 2030.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o mulțime formează grup față de o lege?

Înseamnă că legea nu iese din mulțime, că poți muta parantezele, că există în mulțime un element care nu schimbă nimic și că fiecare element poate fi anulat de un altul din aceeași mulțime. Structura nu aparține mulțimii singure, ci perechii dintre ea și lege: aceleași numere pot forma grup față de adunare și nu față de înmulțire.

Care este ordinea în care fac verificarea?

Întâi te uiți dacă rezultatul compunerii nu iese din mulțime; apoi dacă parantezele se pot muta; apoi cauți elementul care lasă totul neschimbat și controlezi că nu a rămas în afară; la urmă iei fiecare element și îi cauți perechea care îl anulează, controlând din nou apartenența. Primul control e cel sărit cel mai ușor.

De ce pică mulțimea numerelor naturale la adunare?

Primele două condiții sunt îndeplinite, iar zeroul joacă rolul elementului care nu schimbă nimic. Se rupe însă ultima: ca să anulezi pe $3$ ți-ar trebui $-3$, iar numerele negative au rămas în afara mulțimii. Trecând la $\mathbb{Z}$, lipsa se acoperă și structura devine grup.

De ce trebuie scos zeroul la înmulțire?

Pentru că $0\cdot x=0$ pentru orice $x$, deci produsul nu ajunge niciodată la elementul neutru $1$: zeroul nu are invers. De aceea $(\mathbb{R},\cdot )$ nu e grup, dar $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este — scoaterea unui singur element repară structura, fiindcă produsul a două numere nenule rămâne nenul.

Trebuie ca într-un grup ordinea să nu conteze?

Nu. Cele trei condiții din definiție nu spun nimic despre ordine, deci există grupuri în care $x\ast y$ și $y\ast x$ diferă. Când ordinea chiar nu contează, adăugăm cuvântul „comutativ" (numit și „abelian", după matematicianul Niels Henrik Abel) și îl scriem separat, fiindcă el se demonstrează, nu se presupune.

De ce are orice ecuație soluție unică într-un grup?

Pentru că poți compune cu simetricul lui $a$: ecuația $a\ast x=b$ dă $x=a^{\prime }\ast b$, iar dacă două elemente ar fi soluții, compunerea cu $a^{\prime }$ la stânga le-ar face egale. Demonstrația folosește toate cele trei axiome, deci concluzia e adevărată în orice grup, oricât de neobișnuită ar fi legea.

La ce subiect apar grupurile la Bacalaureatul M2?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 le așază la capitolul „Grupuri", în partea de algebră, care se rezolvă la Subiectul al II-lea. O cerință pe această temă pornește de la o mulțime cu o lege dată prin formulă, iar subpunctele cer un calcul, elementul neutru, simetricul unui element sau rezolvarea unei ecuații.

Se studiază grupurile și la mate-info (M1)? Ce diferă?

Da, și acolo capitolul e mult mai lung: la matematică-informatică grupurile ocupă douăzeci de lecții și ajung până la teoreme despre grupuri finite. La științe ale naturii se cer numai definiția și exemplele — grupuri numerice, grupuri de matrice și clasele de resturi. Pentru comparație: grupul la mate-info (M1).