Pentru ce m are ecuația f(x) = m soluții?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Imaginea unei funcții

Ecuația $f (x) = m$ are soluție exact când $m$ aparține imaginii funcției, adică mulțimii valorilor pe care $f$ le ia efectiv. Imaginea se citește din tabelul de variație. De exemplu, $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ are minimul $f (2) = 3$ și tinde la $+ \infty$ la ambele capete, deci $Im f = [3, + \infty)$ . Ecuația are soluții pentru $m \geq 3$ : una singură pentru $m = 3$ și două pentru $m > 3$ . Pentru $m < 3$ nu are soluții reale.

Codomeniul e o declarație din enunț; imaginea se obține prin calcul. Imaginea strânge toate valorile luate cu adevărat de funcție, $Im f = {f (x) ∣ x \in D}$ , și se citește din ultimul rând al tabelului de variație. Programa de examen M_șt-nat o cere pe ocolite, prin sintagma „imaginea unei mulțimi printr-o funcție", precum și prin studiul funcțiilor cu derivate; la proba MAT_P2 din $2030$ determinarea ei pe un interval e scrisă pe nume.

Ideea care ține tot. Pe un interval unde funcția e continuă și strict monotonă, valorile ei umplu fără goluri segmentul dintre cele două capete. Imaginea întreagă se obține reunind imaginile bucăților de monotonie.

Parantezele. Dreaptă la un capăt inclus în domeniu, unde funcția are valoare; rotundă la un capăt exclus sau la $\pm \infty$ , unde funcția are doar limită. Excepția se verifică la sfârșit: o margine care apare ca limită poate fi atinsă în alt punct, și atunci capătul se închide.

Greșeala care se repetă este oprirea la extremele locale. Ele nu mărginesc funcția: fără valorile sau limitele de la capetele domeniului, răspunsul e aproape sigur greșit. Când domeniul are o gaură, ramurile se tratează separat, iar imaginea poate fi o reuniune; pe un interval, însă, ea este totdeauna tot un interval. Cerința „arătați că $f (x) \geq k$ " se rezolvă cu marginea de jos a imaginii.

De reținut

$f (x) = m$ are soluție $⟺ m \in Im f$
imaginea se citește din tabelul de variație: valori atinse și limite la capete
valoare atinsă: capăt închis; limită neatinsă: capăt deschis

Greșeala tipică

Se ia drept imagine codomeniul din enunț, de exemplu $R$ ; imaginea se calculează și poate fi mai mică, cum este $[3, + \infty)$ pentru $x^{2} - 4 x + 7$ .

Exerciții din această mini-lecție

Determină imaginea funcției $f : [3, 8] \to R$ , $f (x) = 5 x - 11$ .
- a) $[3, 8]$
- b) $[4, 29]$
- c) $(4, 29)$
- d) $[- 11, 29]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $[4, 29]$

Derivata este constanta $5 > 0$ , deci funcția urcă strict pe tot intervalul, iar amândouă capetele aparțin domeniului: $f (3) = 4$ și $f (8) = 29$ , deci $Im f = [4, 29]$ . Varianta a) răspunde cu mulțimea lui $x$ în loc de mulțimea lui $f (x)$ , c) deschide capete care se ating, iar d) folosește termenul liber în locul valorii din capătul stâng.
Determină imaginea funcției $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 9}{x ^{2} + 1}$ .
- a) $[1, 9]$
- b) $(1, 9)$
- c) $(1, 9]$
- d) $[9, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(1, 9]$

Scriem $f (x) = 1 + \frac{8}{x ^{2} + 1}$ . Când $x^{2}$ crește de la $0$ la infinit, fracția scade de la $8$ spre $0$ , deci valorile coboară de la $9$ spre $1$ . Valoarea $9$ se atinge, în $x = 0$ , deci paranteza de acolo este dreaptă; valoarea $1$ este doar limita la $\pm \infty$ , deci paranteza este rotundă. Rezultă $Im f = (1, 9]$ .
Determină valorile reale ale numărului $m$ pentru care ecuația $x^{4} - 4 x^{2} + 11 = m$ are cel puțin o soluție reală.
- a) $m \geq 7$
- b) $m \geq 11$
- c) $m \in [7, 11]$
- d) $m \in R$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $m \geq 7$

Ecuația are soluție exact pentru valorile $m$ din imaginea funcției $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 11$ . Avem $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2)$ , cu zerourile $- 2$ , $0$ și $2$ ; minimele se ating în $\pm 2$ , unde $f (\pm 2) = 4 - 8 + 11 = 7$ , iar limitele la capete sunt $+ \infty$ . Deci $Im f = [7, + \infty)$ . Varianta b) ia valoarea din $0$ , care e doar un maxim local.

Întrebări conexe

Ce imagine are funcția $e^{x}$ ?

Imaginea este $(0, + \infty)$ : funcția este strict crescătoare, tinde la $0$ la $- \infty$ și la $+ \infty$ la $+ \infty$ , fără să atingă vreodată $0$ . De aceea ecuația $e^{x} = m$ are soluție doar pentru $m > 0$ , și anume $x = ln m$ .

Cum aflu imaginea unei funcții cu logaritm pe un interval închis?

Dacă funcția este monotonă pe interval, imaginea este intervalul dintre valorile de la capete. Pentru $lo g_{2} x$ pe $[1, 8]$ , funcția crește, $lo g_{2} 1 = 0$ și $lo g_{2} 8 = 3$ , deci imaginea este $[0, 3]$ . Ambele capete sunt atinse, deci parantezele sunt drepte.

Cum decid dacă un capăt al imaginii este închis sau deschis?

Un capăt este închis dacă valoarea este atinsă și deschis dacă este doar o limită. Pentru $f (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ pe $[0, + \infty)$ , $f^{'} (x) = \frac{2}{( x + 1 ) ^{2}} > 0$ , $f (0) = 0$ este atins, iar $2$ este limita la $+ \infty$ , neatinsă. Imaginea este $[0, 2)$ .

Ce imagine are o funcție de gradul al treilea definită pe R?

Imaginea este $R$ . Limitele la cele două capete sunt $- \infty$ și $+ \infty$ , iar funcția este continuă, deci trece prin toate valorile reale. De aceea orice ecuație $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = m$ , cu $a \neq = 0$ , are cel puțin o soluție reală.

Între ce valori variază o temperatură modelată pe un interval de timp?

Afli imaginea funcției pe acel interval. Dacă $T (t) = t^{2} - 6 t + 20$ grade, cu $t \in [0, 5]$ ore, minimul este $T (3) = 11$ , iar la capete $T (0) = 20$ și $T (5) = 15$ . Temperatura variază deci între $11$ și $20$ de grade, adică imaginea este $[11, 20]$ .

Oamenii mai întreabă și: pentru ce valori ale lui m ecuația are soluții · ecuația f de x egal m · valorile lui m pentru care f(x) = m are soluție · discuția ecuației f(x)=m