Imaginea unei funcții pe un interval (M2, științe ale naturii)

Un termostat de seră poate fi reglat între $16$ și $28$ de grade; un motor de mașină scoate, la turațiile lui obișnuite, între $40$ și $110$ cai-putere; un medicament ține concentrația din sânge între două praguri, sub care nu are efect și peste care devine periculos. De fiecare dată, întrebarea practică nu este „ce valori poate primi variabila", ci ce valori poate lua mărimea — adică, în limbaj matematic, care este imaginea funcției. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), ea se determină cu derivata, iar la bacalaureatul M2 apare la Subiectul al III-lea, ascunsă de pildă într-o cerință de tipul „arătați că $f(x)\ge k$".

Toate uneltele sunt deja pe masă: știi să afli monotonia, extremele, curbura și limitele la capetele domeniului, adică știi să întocmești tabelul de variație. Lecția de astăzi nu adaugă niciun calcul nou; adaugă o citire: cum se obține, din tabloul acela, mulțimea valorilor funcției și, mai ales, cum se decide la fiecare capăt dacă paranteza se închide sau rămâne deschisă.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este imaginea unei funcții și de ce ea se calculează, spre deosebire de codomeniu, care se declară.
• Vei ști să citești imaginea de pe un interval de monotonie, uitându-te doar la capetele lui.
• Vei ști să hotărăști, la fiecare capăt, dacă paranteza este dreaptă sau rotundă, și să justifici alegerea.
• Vei ști să parcurgi rețeta în patru pași, aceeași la orice funcție din programa profilului.
• Vei ști ce se întâmplă când domeniul nu este un interval și de ce răspunsul poate fi o reuniune.
• Vei ști să treci de la imagine la o inegalitate demonstrată, exact cum cere ultimul subpunct al problemei de analiză.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se cere când enunțul spune „determinați imaginea funcției"?

Imaginea unei funcții $f:D\to \mathbb{R}$ este mulțimea formată din toate valorile luate de funcție atunci când $x$ parcurge domeniul, adică $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$. Se notează $\mathrm{Im}f$ sau $f(D)$ și se citește „mulțimea valorilor funcției". Când cerința spune „pe intervalul $I$", se determină $f(I)$, adică se lucrează numai cu $x$ din $I$.

Deosebirea față de codomeniu merită fixată din prima. Codomeniul este mulțimea scrisă în enunț, după săgeată: el spune unde au voie să cadă valorile. Imaginea spune unde cad ele de fapt. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, codomeniul este $\mathbb{R}$ — așa s-a declarat —, dar imaginea este $[0,+\infty )$, pentru că niciun pătrat nu e negativ. Codomeniul se citește, imaginea se calculează.

Ai mai făcut asta, fără derivate, în clasa a IX-a: la mulțimea valorilor unei funcții pătratice răspunsul ieșea din poziția vârfului parabolei, citită pe grafic și controlată prin calcul. Metoda aceea merge doar la gradul al doilea. Derivata o înlocuiește cu una care merge la toate funcțiile din programă.

2. De ce se citește imaginea din tabelul de variație?

Cheia e o observație simplă. Pe un interval pe care funcția este continuă și strict monotonă, valorile ei acoperă exact intervalul dintre valorile de la capete — nimic mai mult, nimic mai puțin. Dacă $f$ crește pe $[a,b]$, atunci $f([a,b])=[f(a),f(b)]$; dacă scade, capetele se inversează. Funcția nu poate „sări" peste nicio valoare intermediară, pentru că este continuă, și nu poate lua de două ori aceeași valoare pe un interval de strictă monotonie. Ca și la regula monotoniei, rezultatul e folosit, nu demonstrat: la profilul științe ale naturii se admite ca atare, fiindcă teorema care îl justifică pe nume rămâne la matematică-informatică.

De aici, rețeta se scrie singură: tabelul de variație taie deja domeniul în intervale de monotonie și îți dă, gata calculate, valorile și limitele de la capetele fiecăruia. Imaginea se obține luând pe rând fiecare interval de monotonie, scriind imaginea lui și reunind rezultatele.

Ia tabelul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-24x+30$, construit în lecția precedentă: funcția crește de la $-\infty$ până la $58$, scade de la $58$ până la $-50$, apoi crește de la $-50$ până la $+\infty$. Imaginile celor trei bucăți sunt $(-\infty ,58]$, $[-50,58]$ și $[-50,+\infty )$, iar reuniunea lor este tot $\mathbb{R}$. Observă ce s-a întâmplat: funcția are și maxim, și minim local, dar imaginea ei este toată dreapta reală. Extremele locale nu mărginesc nimic.

3. Capăt închis sau capăt deschis — cine decide?

Aici se strecoară cele mai multe greșeli, iar regula are trei cazuri, toate scurte.

Capăt inclus în domeniu. Acolo funcția are valoare, deci valoarea aparține imaginii: paranteza este dreaptă. La un domeniu de forma $[a,b]$ amândouă capetele intră.

Capăt exclus, sau $\pm \infty$. Acolo funcția nu are valoare, ci doar limită. Limita este o margine spre care valorile se apropie oricât de mult, fără să o atingă: paranteza este rotundă. Dacă limita este infinită, capătul rămâne oricum deschis.

Excepția care se verifică ultima. O valoare care apare ca limită la un capăt poate fi totuși atinsă în alt punct al domeniului; atunci ea face parte din imagine, iar capătul se închide. Regula practică: notează întâi parantezele după primele două cazuri, apoi întreabă-te dacă vreo margine deschisă nu cumva este atinsă pe altă ramură.

Un exemplu care le arată pe toate trei: pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$, valoarea $0$ se atinge în $x=0$, deci intră; limita la $\pm \infty$ este $1$, valoare pe care funcția nu o ia niciodată, deci rămâne afară. Imaginea este $[0,1)$.

4. Cum determini imaginea, în patru pași?

1. Domeniul cerut — tot domeniul funcției sau intervalul precizat în enunț.
2. Monotonia, din semnul derivatei întâi: intervalele și punctele de extrem.
3. Valorile și limitele la capetele fiecărui interval de monotonie: valori în capetele incluse, limite în cele excluse și la $\pm \infty$.
4. Scrierea imaginii: câte un interval pentru fiecare bucată de monotonie, cu parantezele puse după regula din paragraful 3, apoi reuniunea lor, adusă la forma cea mai simplă.

Merită subliniat al doilea pas: la această lecție nu se cere derivata a doua. Curbura nu schimbă mulțimea valorilor; doar monotonia și capetele o hotărăsc. Tabelul poate fi deci cel simplu, cu trei rânduri, iar punctele de extrem intră în calcul cu valorile lor, nu cu natura lor.

5. Ce se întâmplă când domeniul nu este un interval?

Când domeniul are un gol — de exemplu $\mathbb{R}\setminus \{a\}$ —, funcția are două ramuri, iar fiecare se tratează separat. Imaginea este reuniunea celor două imagini, iar reuniunea poate să nu fie un interval.

Regula de care să te ții: pe un interval, imaginea unei funcții continue este tot un interval; dacă îți iese o reuniune de bucăți disjuncte, atunci domeniul nu era un interval, altfel ai greșit undeva. Este o probă rapidă de corectitudine, pe care merită să o faci de fiecare dată înainte de a scrie răspunsul.

Tot aici intră și un avertisment de redactare: concluziile nu se dau niciodată „peste gol". La o funcție cu două ramuri nu se spune „funcția este descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{a\}$" și nici nu se compară direct valorile de pe ramuri diferite; se scriu două propoziții, câte una pe ramură, și abia la sfârșit se reunesc rezultatele.

6. La ce folosește imaginea?

Prima folosință, cea mai des întâlnită la examen, este demonstrarea unei inegalități. Cerința „arătați că $f(x)\ge k$ pentru orice $x\in I$" se rezolvă arătând că cea mai mică valoare a funcției pe $I$ este mai mare sau egală cu $k$ — adică determinând imaginea, sau măcar marginea ei de jos. Redactarea completă spune în ce punct se atinge minimul și cât valorează acolo.

A doua folosință este discuția ecuației $f(x)=m$: ecuația are soluții exact pentru acele valori $m$ care aparțin imaginii. Dacă imaginea este $[12,+\infty )$, atunci ecuația $f(x)=10$ nu are nicio soluție, iar $f(x)=12$ are cel puțin una.

A treia, pe care traseul o folosește imediat, este studiul bijectivității: o funcție strict monotonă pe un interval $I$ devine bijectivă de la $I$ la propria imagine, iar codomeniul potrivit pentru asta e tocmai $\mathrm{Im}f$. Cum se scrie riguros o asemenea demonstrație e tema lecției despre funcții bijective pe intervale; aici e destul să reții că imaginea calculată acum este exact mulțimea care se pune acolo în locul codomeniului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Activitatea unui stup, pe un interval închis

Numărul de albine plecate după hrană dintr-un stup, la $t$ ore după răsăritul soarelui, este $N(t)=t^3-18t^2+96t+40$ (în sute de albine), pentru $t\in [0,10]$. Determinați imaginea funcției $N$ și spuneți între ce valori se mișcă activitatea stupului.

Rezolvare. Domeniul este intervalul închis $[0,10]$, deci amândouă capetele aparțin domeniului.

Derivata: $N^{\prime }(t)=3t^2-36t+96=3(t-4)(t-8)$, cu zerourile $4$ și $8$, amândouă în interval. Valorile: $N(0)=40$, $N(4)=64-288+384+40=200$, $N(8)=512-1152+768+40=168$, $N(10)=1000-1800+960+40=200$; în plus $N^{\prime }(0)=96$ și $N^{\prime }(10)=36$.

Pe cele trei intervale de monotonie imaginile sunt $[40,200]$, $[168,200]$ și $[168,200]$, iar reuniunea lor este $[40,200]$. Toate parantezele sunt drepte, pentru că toate capetele aparțin domeniului.

Interpretarea: activitatea stupului variază între $4000$ și $20000$ de albine plecate după hrană. Minimul se atinge la răsărit, iar valoarea cea mai mare apare de două ori — la patru ore după răsărit și la capătul intervalului —, ceea ce descrie cele două vârfuri de activitate, de dimineață și de seară.

Exemplul 2 — Când marginea nu se atinge

Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x^2+3}$.

Rezolvare. Numitorul este strict pozitiv, deci funcția e definită pe tot $\mathbb{R}$ și ia numai valori pozitive.

Derivata: $f^{\prime }(x)=-\frac{12x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$, cu semnul dat de $-12x$: pozitivă pentru $x<0$, negativă pentru $x>0$. Punctul $0$ este deci punct de maxim, cu $f(0)=2$. Limitele la ambele capete sunt $0$, pentru că numitorul crește nemărginit.

Pe $(-\infty ,0]$ funcția crește de la limita $0$ la valoarea $2$, deci imaginea bucății este $(0,2]$ — paranteză rotundă la $0$, pentru că acolo e limită, nu valoare, și dreaptă la $2$, pentru că $2=f(0)$. Pe $[0,+\infty )$ se obține la fel $(0,2]$. Reuniunea lor: $\mathrm{Im}f=(0,2]$.

Verificarea cu bunul-simț: o fracție cu numărător $6$ și numitor strict pozitiv nu poate fi zero, dar poate fi oricât de mică; iar valoarea cea mai mare se obține când numitorul e cel mai mic, adică pentru $x=0$, unde iese $\frac{6}{3}=2$.

Exemplul 3 — Un minim global și un capăt exclus

Determinați imaginea funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+\frac{16}{x}$.

Rezolvare. Domeniul este intervalul deschis $(0,+\infty )$: capătul $0$ nu aparține domeniului.

Derivata: $f^{\prime }(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2x^3-16}{x^2}$. Numitorul e pozitiv, deci semnul e dat de $2x^3-16$, care se anulează pentru $x^3=8$, adică $x=2$, e negativ înainte și pozitiv după. Valoarea: $f(2)=4+8=12$.

Limitele: când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, termenul $\frac{16}{x}$ crește nemărginit, deci limita este $+\infty$; la $+\infty$, termenul $x^2$ face același lucru.

Pe $(0,2]$ funcția scade de la $+\infty$ la $12$, deci imaginea este $[12,+\infty )$; pe $[2,+\infty )$ crește de la $12$ la $+\infty$, deci tot $[12,+\infty )$. Prin urmare $\mathrm{Im}f=[12,+\infty )$.

Paranteza de la $12$ este dreaptă pentru că valoarea se atinge, în punctul $2$. Capătul $+\infty$ rămâne totdeauna deschis: nu e un număr.

Exemplul 4 — Un domeniu care nu este interval

Determinați imaginea funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$.

Rezolvare. Domeniul este $(-\infty ,3)\cup (3,+\infty )$, deci avem două ramuri, tratate separat.

Derivata: $f^{\prime }(x)=\frac{2(x-3)-(2x-1)}{(x-3{)}^2}=-\frac{5}{(x-3{)}^2}$, strict negativă pe tot domeniul: funcția scade pe fiecare ramură, fără să aibă vreun punct de extrem. Limitele: la $\pm \infty$ raportul tinde la $2$; în $3$, numărătorul tinde la $5$ și numitorul la $0$, deci limita la stânga este $-\infty$ și cea la dreapta $+\infty$.

Pe prima ramură funcția scade de la $2$ (limită la $-\infty$) până la $-\infty$, deci imaginea ei este $(-\infty ,2)$. Pe a doua scade de la $+\infty$ până la $2$ (limită la $+\infty$), deci imaginea este $(2,+\infty )$. Reuniunea: $\mathrm{Im}f=(-\infty ,2)\cup (2,+\infty )=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Valoarea $2$ nu se atinge niciodată — de amândouă părțile e doar limită. Proba: ecuația $f(x)=2$, înmulțită cu $x-3$, ar cere ca expresiile $2x-1$ și $2x-6$ să fie egale, ceea ce e imposibil, fiindcă ele diferă mereu prin $5$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev rezolvă: „Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x+1$. Avem $f^{\prime }(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$, cu punctul de maxim $-1$ și punctul de minim $1$. Cum $f(-1)=5$ și $f(1)=-3$, imaginea funcției este $[-3,5]$." Găsiți greșeala și determinați imaginea corectă.

Rezolvare. Derivata și punctele de extrem sunt calculate corect: $f(-1)=-2+6+1=5$ și $f(1)=2-6+1=-3$. Greșeala este în ultimul pas: elevul a folosit doar extremele locale, uitând complet capetele domeniului.

Domeniul este $\mathbb{R}$, deci capetele sunt $-\infty$ și $+\infty$, iar limitele acolo sunt $-\infty$ și $+\infty$ — după termenul dominant $2x^3$. Funcția crește pe $(-\infty ,-1]$, deci imaginea acestei bucăți este $(-\infty ,5]$, nu $\{5\}$.

Pe cele trei intervale de monotonie imaginile sunt $(-\infty ,5]$, $[-3,5]$ și $[-3,+\infty )$, iar reuniunea lor este $\mathbb{R}$. Prin urmare $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}$: funcția ia orice valoare reală, deși are și un maxim, și un minim local.

Reține proba: un extrem local mărginește funcția doar pe o vecinătate, nu pe tot domeniul. Ca să afli imaginea, trebuie neapărat și capetele — fie valori, fie limite.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-\ln x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2x-1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$. b) Determinați imaginea funcției $f$. c) Arătați că $2x-\ln x\ge 1+\ln 2$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Rezolvare.

a) $f^{\prime }(x)=2-\frac{1}{x}=\frac{2x-1}{x}$, pentru orice $x>0$.

b) Numitorul $x$ este pozitiv pe domeniu, deci semnul derivatei este semnul lui $2x-1$: negativ pe $\left(0,\frac{1}{2}\right)$, pozitiv pe $\left(\frac{1}{2},+\infty \right)$. Punctul $\frac{1}{2}$ este punct de minim, cu $f\left(\frac{1}{2}\right)=1-\ln \frac{1}{2}=1+\ln 2$. Limitele: când $x$ se apropie de $0$ prin valori pozitive, $-\ln x$ crește nemărginit, deci limita este $+\infty$; la $+\infty$, termenul $2x$ face același lucru.

Pe fiecare dintre cele două bucăți imaginea este $[1+\ln 2,+\infty )$, deci $\mathrm{Im}f=[1+\ln 2,+\infty )$.

c) Inegalitatea cerută spune exact că toate valorile funcției sunt cel puțin $1+\ln 2$, adică tocmai ce arată imaginea de la punctul b). Scris pe pași: minimul funcției pe $(0,+\infty )$ este $f\left(\frac{1}{2}\right)=1+\ln 2$, deci $f(x)\ge f\left(\frac{1}{2}\right)$ pentru orice $x>0$, adică $2x-\ln x\ge 1+\ln 2$, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: o formulă de derivată de verificat, o etapă de studiu al funcției și o inegalitate de demonstrat. Punctul c) nu cere niciun calcul nou — el este punctul b) rescris în limbajul inegalităților. De aceea merită, la examen, ca imaginea să fie determinată chiar și atunci când cerința nu o numește: ea este drumul cel mai scurt spre ultimul subpunct.

Să exersăm

La fiecare exercițiu: domeniul cerut, monotonia, valorile și limitele la capete, apoi imaginea scrisă cu parantezele potrivite.

1. Determină imaginea funcției $f:[1,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+5$.

2. Determină imaginea funcției $f:[-2,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x-8$.

3. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2+3$, determină imaginea funcției pe intervalul $[-2,2]$.

4. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4+2$.

5. Determină imaginea funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{9}{x}$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o funcție are un punct de maxim local, atunci imaginea ei este mărginită superior."

7. Determină imaginea funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6\left(1-e^{-x}\right)$, și justifică fiecare dintre cele două paranteze.

8. Pentru $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-10\sqrt{x}$, determină imaginea funcției.

9. Determină imaginea funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+6}{x-2}$.

10. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^5-5x+2$, are imaginea $\mathbb{R}$, deși are două puncte de extrem.

11. (Problemă aplicată.) Concentrația de sare dintr-un bazin, la $t$ ore de la pornirea instalației, este $c(t)=\frac{30t}{t+6}$ grame pe litru, $t\ge 0$. Determină imaginea funcției $c$ și spune dacă concentrația poate ajunge vreodată la $30$ de grame pe litru.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+16x+71$. Arată că $f(x)\ge 7$, pentru orice număr real $x$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-5\ln x$. Determină punctul de minim al funcției $f$ și arată că $f(x)\ge 5-5\ln 5$, pentru orice $x>0$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[1,8]\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{16}{x}$. Determină imaginea funcției $f$.

15. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $\frac{x^2+5}{x-2}=m$ are cel puțin o soluție în intervalul $(2,+\infty )$.

16. Fie $f:[1,5]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-21x^2+60x$. Determină imaginea funcției și precizează în ce puncte se ating cele două capete ale ei.

17. O funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este strict crescătoare, cu $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-4$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=7$. Scrie imaginea funcției și explică de ce amândouă parantezele sunt rotunde.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x}{x^2+1}$. Determină imaginea funcției și deduce de aici că $|2x|\le x^2+1$, pentru orice număr real $x$.

Răspunsuri și explicații

1. Funcția este strict crescătoare (derivata este $2$), iar amândouă capetele aparțin domeniului: $f(1)=7$ și $f(4)=13$, deci imaginea este $[7,13]$.

2. $f^{\prime }(x)=2x-2$, cu zeroul $1$, punct de minim; $f(1)=-9$. La capete, $f(-2)=0$ și $f(4)=0$. Cea mai mare valoare este $0$, cea mai mică este $-9$, deci imaginea este $[-9,0]$.

3. $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$, cu zerourile $-1$, $0$ și $1$, toate în interval. Valorile: $f(-2)=11$, $f(-1)=2$, $f(0)=3$, $f(1)=2$, $f(2)=11$. Imaginea este $[2,11]$: ambele capete se ating, fiecare în câte două puncte, iar valoarea $3$ din $0$ este un maxim doar local.

4. $f^{\prime }(x)=4x^3$, negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $x>0$, deci $0$ este punct de minim, cu $f(0)=2$; limitele la ambele capete sunt $+\infty$. Imaginea este $[2,+\infty )$.

5. Funcția este strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$, cu limita $+\infty$ în $0$ și limita $0$ la $+\infty$; niciuna nu se atinge. Imaginea este $(0,+\infty )$.

6. Fals. Un maxim local compară valorile doar pe o vecinătate. Contraexemplu: $f(x)=2x^3-6x+1$ are maxim local în $-1$, cu valoarea $5$, dar imaginea ei este $\mathbb{R}$, pentru că la $+\infty$ funcția crește nemărginit.

7. $f^{\prime }(x)=6e^{-x}>0$ pe tot domeniul, deci funcția este strict crescătoare. Capătul $0$ aparține domeniului, cu $f(0)=6(1-1)=0$, deci paranteza de acolo este dreaptă; la $+\infty$ avem $e^{-x}\to 0$, deci limita este $6$ — margine spre care valorile se apropie fără să o atingă, deci paranteza este rotundă. Imaginea este $[0,6)$.

8. $f^{\prime }(x)=1-\frac{5}{\sqrt{x}}$, cu zeroul $x=25$, punct de minim, și $f(25)=-25$; capătul $0$ aparține domeniului, cu $f(0)=0$, iar la $+\infty$ limita este $+\infty$. Pe $[0,25]$ imaginea este $[-25,0]$, pe $[25,+\infty )$ este $[-25,+\infty )$, deci în total $[-25,+\infty )$. (În $0$ funcția are valoare, dar nu e derivabilă: într-un tabel, rândurile derivatelor ar primi acolo bara $|$, iar rândul lui $f$ valoarea $0$.)

9. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-2)-(x+6)}{(x-2{)}^2}=-\frac{8}{(x-2{)}^2}<0$: funcția scade pe fiecare ramură. Limitele la $\pm \infty$ sunt $1$, iar în $2$ limitele laterale sunt $-\infty$ (la stânga) și $+\infty$ (la dreapta). Imaginile ramurilor sunt $(-\infty ,1)$ și $(1,+\infty )$, deci $\mathrm{Im}f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

10. $f^{\prime }(x)=5x^4-5=5\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)$; factorul $x^2+1$ este mereu pozitiv, deci zerourile sunt $-1$ și $1$. Funcția are maxim local în $-1$, unde $f(-1)=-1+5+2=6$, și minim local în $1$, unde $f(1)=1-5+2=-2$. Limitele la capete sunt $-\infty$ și $+\infty$, deci imaginile bucăților sunt $(-\infty ,6]$, $[-2,6]$ și $[-2,+\infty )$, cu reuniunea $\mathbb{R}$.

11. $c^{\prime }(t)=\frac{30(t+6)-30t}{(t+6{)}^2}=\frac{180}{(t+6{)}^2}>0$: concentrația crește mereu. În capătul inclus $t=0$ avem $c(0)=0$, iar la $+\infty$ limita este $30$, valoare care nu se atinge niciodată. Imaginea este $[0,30)$: concentrația se apropie oricât de mult de $30$ de grame pe litru, dar rămâne mereu sub acest prag.

12. $f^{\prime }(x)=2x+16$, cu zeroul $-8$, punct de minim, și $f(-8)=64-128+71=7$. Cum limitele la ambele capete sunt $+\infty$, imaginea este $[7,+\infty )$, deci $f(x)\ge 7$ pentru orice $x$ real.

13. $f^{\prime }(x)=1-\frac{5}{x}=\frac{x-5}{x}$, cu zeroul $5$: derivata e negativă pe $(0,5)$ și pozitivă pe $(5,+\infty )$, deci $5$ este punct de minim, cu $f(5)=5-5\ln 5$. Imaginea este $[5-5\ln 5,+\infty )$, ceea ce înseamnă exact $f(x)\ge 5-5\ln 5$ pentru orice $x>0$.

14. $f^{\prime }(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{(x-4)(x+4)}{x^2}$, iar în intervalul $[1,8]$ se află doar zeroul $4$, punct de minim. Valorile: $f(1)=1+16=17$, $f(4)=4+4=8$, $f(8)=8+2=10$. Funcția scade de la $17$ la $8$, apoi crește la $10$, deci imaginea este $[8,17]$.

15. Ecuația are soluție exact pentru acele valori $m$ care aparțin imaginii funcției $f(x)=\frac{x^2+5}{x-2}$ pe $(2,+\infty )$. Prin regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-2)-\left(x^2+5\right)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-5}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-5)(x+1)}{(x-2{)}^2}$. Pe $(2,+\infty )$ numitorul și factorul $x+1$ sunt pozitive, deci semnul e dat de $x-5$: funcția scade pe $(2,5)$ și crește pe $(5,+\infty )$, cu minimul $f(5)=\frac{30}{3}=10$. Limitele la capete sunt amândouă $+\infty$ — în $2$ prin valori mai mari, fiindcă numărătorul tinde la $9>0$, iar numitorul la $0$ prin valori pozitive. Imaginea este deci $[10,+\infty )$, iar ecuația are cel puțin o soluție exact pentru $m\ge 10$.

16. $f^{\prime }(x)=6x^2-42x+60=6(x-2)(x-5)$, cu zerourile $2$ și $5$; pe $[1,2]$ funcția urcă, pe $[2,5]$ coboară. Valorile: $f(1)=2-21+60=41$, $f(2)=16-84+120=52$, $f(5)=250-525+300=25$. Imaginea este $[25,52]$: capătul de sus se atinge în punctul de maxim $2$, iar cel de jos în capătul $5$ al domeniului.

17. Funcția crește de la limita $-4$ la limita $7$, iar niciuna dintre ele nu este valoare a funcției, ci doar margine spre care valorile se apropie când $x$ merge spre infinit. Imaginea este deci $(-4,7)$, cu amândouă parantezele rotunde.

18. $f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2+1\right)-2x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, cu zerourile $-1$ și $1$: funcția scade, crește, apoi scade din nou. Valorile: $f(-1)=-1$ (minim) și $f(1)=1$ (maxim), iar limitele la $\pm \infty$ sunt $0$. Imaginea este $[-1,1]$, adică $-1\le \frac{2x}{x^2+1}\le 1$ pentru orice $x$ real. Înmulțind cu numitorul, care e strict pozitiv, se obține $-\left(x^2+1\right)\le 2x\le x^2+1$, adică $|2x|\le x^2+1$.

De reținut

• Imaginea unei funcții este mulțimea valorilor pe care ea le ia efectiv, $\mathrm{Im}f=\{f(x)\mid x\in D\}$; codomeniul se declară în enunț, imaginea se calculează.
• Pe un interval de strictă monotonie pe care funcția e continuă, imaginea este exact intervalul dintre valorile de la capete; imaginea totală este reuniunea imaginilor bucăților.
• Paranteza este dreaptă la un capăt inclus în domeniu și rotundă la un capăt exclus sau la $\pm \infty$ — afară de cazul în care valoarea-limită este atinsă în alt punct al domeniului.
• Extremele locale nu mărginesc funcția: $2x^3-6x+1$ are și maxim, și minim local, dar imaginea ei este $\mathbb{R}$. Fără limitele la capete, răspunsul e aproape sigur greșit.
• Cerința „arătați că $f(x)\ge k$" se rezolvă cu imaginea: se determină cea mai mică valoare a funcției și se compară cu $k$, spunând și în ce punct se atinge.

Greșeli frecvente

• Determini imaginea pe tot domeniul, deși enunțul cere pe un interval. La $f(x)=x^3-12x+20$ imaginea pe $\mathbb{R}$ este $\mathbb{R}$, dar pe $[0,3]$ este $[4,20]$. Primul lucru de citit în enunț este pe ce mulțime se lucrează.
• Uiți valorile din capetele închise ale domeniului. La un domeniu de forma $[a,b]$ maximul poate fi chiar $f(a)$ sau $f(b)$, fără ca acolo derivata să se anuleze; în tabel, capetele au coloană proprie tocmai de aceea.
• Răspunzi cu mulțimea lui $x$ în loc de mulțimea lui $f(x)$. Domeniul și imaginea se scriu la fel, ca intervale, și se confundă ușor; imaginea se citește din ultimul rând al tabelului, nu din primul.
• Spui „valoarea minimă este $m$" când $m$ e doar margine. Pentru $f(x)=\frac{6}{x^2+3}$ valorile coboară spre $0$ fără să-l atingă: inegalitatea $f(x)>0$ e adevărată, dar „valoarea minimă este $0$" e falsă, pentru că $0$ nu e valoare a funcției.
• Scrii imaginea unei funcții continue pe un interval ca reuniune de bucăți. Pe un interval, rezultatul este totdeauna un singur interval; o reuniune apare numai când domeniul are un gol. Dacă îți iese altfel, ai reunit greșit bucățile.

Aplică acasă

1. Prețul urmărit o săptămână. Alege un produs online și notează-i prețul în fiecare zi, timp de șapte zile. Scrie mulțimea valorilor observate și spune care este cea mai mică și care cea mai mare. Apoi întreabă-te: dacă ai urmări un an, ar exista un preț spre care valorile se apropie fără să-l atingă? Ai făcut deosebirea dintre valoare atinsă și margine.

2. Cinci funcții, două metode. Scrie cinci funcții de gradul al doilea și determină-le imaginea pe $\mathbb{R}$ folosind forma canonică, așa cum ai învățat în clasa a IX-a. Verifică apoi două dintre ele cu derivata și cu tabelul de variație. Compară efortul și explică de ce metoda cu derivata merge și acolo unde forma canonică nu mai există.

3. Inegalitatea rescrisă. Caută o cerință de bacalaureat M2 de forma „arătați că $f(x)\ge k$" și rezolvă-o în două feluri: mai întâi cu tabelul de monotonie, apoi determinând imaginea funcției și arătând că toate valorile ei sunt cel puțin $k$. Scrie care dintre cele două redactări ți se pare mai scurtă și de ce.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4, unde conținutul este scris exact așa: „Tabelul de variație: sinteza proprietăților funcției; determinarea imaginii funcției pe un interval". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; acolo programa de examen (OMEN 4430/2014) nu numește determinarea imaginii ca temă separată, dar o cere de două ori pe ocolite: în capitolul de funcții, prin „imaginea unei mulțimi printr-o funcție", și în „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", ca pas al studiului. În modelul oficial al probei M_șt-nat, ultima cerință a primei probleme de la Subiectul al III-lea este o inegalitate care se rezolvă tocmai prin valoarea extremă a funcției pe un interval — adică prin ceea ce se învață aici. Lecția este deci utilă ambelor generații. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) deosebirea dintre codomeniu și imagine, spusă în cuvintele elevului; (2) folosirea limitelor la capete, nu doar a extremelor locale; (3) justificarea fiecărei paranteze, dreaptă sau rotundă; (4) trecerea de la imagine la inegalitate. Patru întrebări de control: „Imaginea se citește din ce rând al tabelului?"; „De ce la $+\infty$ paranteza nu poate fi dreaptă?"; „Dă-mi o funcție cu maxim local a cărei imagine este $\mathbb{R}$"; „Cum arăți, folosind imaginea, că $f(x)\ge k$?". Semn că elevul a înțeles: scrie imaginea pe câte o bucată de monotonie și abia apoi reunește, în loc să caute direct „cea mai mică și cea mai mare valoare". Continuarea firească este studiul bijectivității pe intervale, unde imaginea determinată aici devine codomeniul potrivit.

Întrebări frecvente

Ce se cere, de fapt, când enunțul spune „determinați imaginea funcției"? Se cere mulțimea valorilor pe care funcția le ia efectiv, scrisă ca interval sau ca reuniune de intervale. Răspunsul nu conține niciun $x$: el este o submulțime a axei valorilor, obținută din ultimul rând al tabelului de variație. Când enunțul adaugă „pe intervalul $I$", se lucrează numai cu acel interval.

Ce diferență este între imaginea unei funcții la M2 și la mate-info (M1)? Definiția e aceeași, dar drumul e mai scurt la profilul științe ale naturii: imaginea se citește din tabelul de variație, fără teorema valorilor intermediare și fără proprietatea lui Darboux, care la M2 rămân în afara programei de bază. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții folosește acele rezultate și tratează în plus funcțiile trigonometrice.

La ce subiect apare imaginea unei funcții la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, prima problemă. În modelul oficial al probei, publicat, cerința nu spune „determinați imaginea", ci cere o inegalitate de tipul „arătați că $f(x)\ge k$" — o cerință deghizată, a cărei rezolvare trece exact prin mulțimea valorilor. De aceea merită determinată chiar și când nu e cerută pe nume.

Cum scriu imaginea când domeniul are un gol? Tratezi separat fiecare ramură, îi scrii imaginea și abia la sfârșit reunești rezultatele. La $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$ ramura din stânga dă $(-\infty ,2)$, cea din dreapta dă $(2,+\infty )$, iar răspunsul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Concluziile nu se dau niciodată peste gol, iar valorile de pe cele două ramuri nu se compară între ele.

Imaginea coincide vreodată cu codomeniul? Da, se poate întâmpla, și atunci funcția se numește surjectivă: orice funcție polinomială de gradul al treilea are imaginea $\mathbb{R}$, adică exact codomeniul declarat, cum se vede în Exemplul 5. Coincidența nu e însă regula — la orice funcție de gradul al doilea, codomeniul $\mathbb{R}$ e mult mai larg decât imaginea, care e o semidreaptă. De aceea imaginea se calculează de fiecare dată, nu se presupune.

Ce se schimbă dacă restrâng domeniul la un interval mai mic? Imaginea se micșorează sau rămâne la fel, niciodată nu crește, pentru că se aleg valorile din mai puține puncte. La $f(x)=x^3-12x+20$ imaginea pe $\mathbb{R}$ este $\mathbb{R}$, pe $[0,3]$ este doar $[4,20]$. De aceea intervalul din enunț trebuie citit înainte de a începe calculul.

Cum folosesc imaginea ca să demonstrez o inegalitate? Determini imaginea pe intervalul din cerință și compari capătul potrivit cu numărul dat. Pentru „$f(x)\ge k$" e destul ca marginea de jos a imaginii să fie cel puțin $k$; redactarea completă spune în ce punct se atinge minimul și cât valorează el. Pentru „$f(x)\le k$" se lucrează la fel, cu marginea de sus.