Acasă · Lecții · clasa a X-a · Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest

Împărțirea polinoamelor. Teorema împărțirii cu rest

Ai împărțit numere naturale cu rest încă din clasele mici: $47 : 5 = 9$ rest $2$ , adică $47 = 5 \cdot 9 + 2$ . Ce face ca această scriere să fie singura corectă? Doar condiția asupra restului: $0 \leq 2 < 5$ . Fără ea, ai putea scrie la fel de bine $47 = 5 \cdot 8 + 7$ sau $47 = 5 \cdot 7 + 12$ — egalități adevărate, care nu sunt însă împărțirea cu rest a lui $47$ la $5$ .

La polinoame se întâmplă exact același lucru, cu o singură schimbare: rolul de „măsură a mărimii" nu îl mai joacă valoarea numărului, ci gradul. Teorema studiată acum spune că orice polinom se împarte la orice polinom nenul, într-un singur fel, dacă cerem ca restul să aibă gradul mai mic decât al împărțitorului. Pe ea se sprijină tot ce urmează: schema lui Horner, teorema restului, teorema lui Bézout, divizibilitatea și descompunerea în factori.

Ce vei învăța

Vei ști să enunți corect teorema împărțirii cu rest pentru polinoame, cu tot cu condiția asupra gradului restului.
Vei ști să demonstrezi unicitatea câtului și a restului, printr-un raționament scurt bazat pe grade.
Vei ști să demonstrezi existența lor, prin inducție după gradul deîmpărțitului — demonstrația fiind chiar rețeta de calcul.
Vei ști să verifici dacă o egalitate dată reprezintă într-adevăr împărțirea cu rest a două polinoame.
Vei ști să folosești relația dintre grade: $grad q = grad f - grad g$ .
Vei ști să reconstitui deîmpărțitul din împărțitor, cât și rest și să determini parametri din condiția de împărțire exactă.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă „rest mic" la polinoame

La numere naturale, condiția „restul este mai mic decât împărțitorul" spune, în esență: nu mai poți scoate nici măcar o dată împărțitorul din rest. Altfel, împărțirea nu a fost dusă până la capăt.

La polinoame, „mai mic" nu are sens: nu putem compara $X^{2} + 1$ cu $X - 3$ ca mărimi. Ce putem compara sunt gradele, iar intuiția se păstrează perfect: atâta vreme cât restul are gradul cel puțin egal cu al împărțitorului, mai poți scoate din el un termen. Când gradul restului coboară sub gradul împărțitorului, procesul se oprește de la sine.

Condiția corectă este așadar: restul este polinomul nul sau are gradul strict mai mic decât gradul împărțitorului. Cele două variante se scriu împreună pentru că polinomul nul nu are grad în sensul obișnuit, iar el este exact ce obții la o împărțire exactă.

2. Enunțul teoremei

Teorema împărțirii cu rest. Fie $f, g \in C [X]$ două polinoame, cu $g \neq = 0$ . Atunci există și sunt unice polinoamele $q, r \in C [X]$ astfel încât

$f = g \cdot q + r, unde r = 0 sau grad r < grad g .$

Vocabularul, identic cu cel de la numere: $f$ se numește deîmpărțit, $g$ este împărțitorul, $q$ este câtul, iar $r$ este restul. Când $r = 0$ , spunem că împărțirea este exactă și că $g$ divide pe $f$ — noțiune pe care o vei aprofunda în Divizibilitatea polinoamelor.

Un exemplu, pe care îl vom verifica de mai multe ori: pentru $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1$ și $g = X^{2} + 1$ avem

$X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1 = (X^{2} + 1) (X + 2) + (- 6 X - 1) .$

Verifici desfăcând parantezele: $(X^{2} + 1) (X + 2) = X^{3} + 2 X^{2} + X + 2$ , iar adunând $- 6 X - 1$ obții exact $f$ . ✓ Restul $- 6 X - 1$ are gradul $1$ , mai mic decât gradul $2$ al împărțitorului, deci condiția e respectată și această scriere este împărțirea cu rest.

✏️Ilustrație: două rânduri paralele — sus, împărțirea numerică 47 = 5 · 9 + 2 cu eticheta „0 ≤ 2 < 5"; jos, împărțirea polinomială X³ + 2X² − 5X + 1 = (X² + 1)(X + 2) + (−6X − 1) cu eticheta „grad(−6X − 1) = 1 < 2 = grad(X² + 1)"; săgeți care leagă deîmpărțitul de deîmpărțit, câtul de cât, restul de rest

3. De ce este esențială condiția asupra gradului

Fără condiția asupra restului, scrierea $f = g q + r$ ar fi posibilă în nenumărate feluri. Ia $f = X^{3} - 1$ și $g = X - 1$ . Sunt adevărate ambele egalități:

$X^{3} - 1 = (X - 1) \cdot X^{2} + (X^{2} - 1), X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1) + 0.$

Prima este o identitate corectă — desfaci parantezele și te convingi — dar nu este împărțirea cu rest: restul $X^{2} - 1$ are gradul $2$ , mai mare decât gradul $1$ al împărțitorului. A doua respectă condiția ( $r = 0$ ) și este singura scriere validă.

Morala: „egalitate adevărată" și „împărțire cu rest" sunt lucruri diferite — a doua cere, pe lângă egalitate, și condiția asupra gradului. Aici e capcana exercițiilor de tip „verificați dacă…".

4. Unicitatea — demonstrație

Începem cu partea mai ușoară și mai instructivă a teoremei.

Demonstrație (unicitatea). Presupunem că polinomul $f$ s-ar putea scrie în două feluri:

$f = g q_{1} + r_{1} = g q_{2} + r_{2},$

ambele respectând condiția asupra restului. Scăzând cele două egalități obținem

$g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1} .$

Să presupunem, prin reducere la absurd, că $q_{1} \neq = q_{2}$ . Atunci $q_{1} - q_{2}$ este un polinom nenul, deci membrul stâng este un produs de două polinoame nenule și are gradul

$grad (g (q_{1} - q_{2})) = grad g + grad (q_{1} - q_{2}) \geq grad g .$

Pe de altă parte, $r_{1}$ și $r_{2}$ sunt fie nule, fie de grad mai mic decât $grad g$ , deci diferența lor $r_{2} - r_{1}$ este fie nulă, fie de grad strict mai mic decât $grad g$ . Am obținut că același polinom are gradul cel puțin $grad g$ și, în același timp, mai mic decât $grad g$ — contradicție.

Rămâne $q_{1} = q_{2}$ , iar de aici $r_{2} - r_{1} = g \cdot 0 = 0$ , deci și $r_{1} = r_{2}$ . $■$

Reține mecanismul: gradul produsului este suma gradelor, iar asta face imposibil ca un multiplu nenul al lui $g$ să aibă gradul mai mic decât $g$ — același argument care demonstrează, mai târziu, că un polinom de grad $n$ are cel mult $n$ rădăcini.

5. Existența — demonstrație prin inducție

Demonstrație (existența). Fixăm $g$ , de grad $m \geq 0$ , cu coeficientul dominant $b_{m} \neq = 0$ , și demonstrăm afirmația prin inducție după gradul lui $f$ , folosind metoda inducției matematice în varianta ei tare.

Cazul de bază. Dacă $f = 0$ sau $grad f < m$ , luăm $q = 0$ și $r = f$ . Egalitatea $f = g \cdot 0 + f$ este evidentă, iar condiția asupra restului e îndeplinită prin ipoteză.

Pasul inductiv. Fie $n = grad f \geq m$ și presupunem afirmația adevărată pentru toate polinoamele de grad mai mic decât $n$ . Notăm cu $a_{n}$ coeficientul dominant al lui $f$ și construim polinomul

$f_{1} = f - \frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} \cdot g .$

Ideea construcției: produsul $\frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} \cdot g$ are exact același termen dominant ca $f$ , anume $a_{n} X^{n}$ , deci prin scădere acest termen dispare. Prin urmare $f_{1} = 0$ sau $grad f_{1} < n$ .

Din ipoteza de inducție există $q_{1}$ și $r$ cu $f_{1} = g q_{1} + r$ și $r = 0$ sau $grad r < m$ . Înlocuind:

$f = f_{1} + \frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} g = g (q_{1} + \frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m}) + r .$

Am obținut scrierea căutată, cu $q = q_{1} + \frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m}$ . $■$

Această demonstrație merită citită de două ori, pentru că ea este chiar algoritmul de calcul: la fiecare pas împarți termenul dominant al restului parțial la termenul dominant al împărțitorului, înmulțești, scazi și cobori gradul. Exact asta vei face, organizat pe coloane, în Algoritmul împărțirii pas cu pas.

Observă și de ce lucrăm cu coeficienți complecși: împărțirea la $b_{m}$ trebuie să fie mereu posibilă. În $C$ (ca și în $R$ sau $Q$ ) orice număr nenul are invers, deci totul funcționează — dar coeficienții câtului pot ieși fracționari chiar dacă $f$ și $g$ au coeficienți întregi.

6. Ce se citește din grade

Dacă $grad f = n \geq m = grad g$ , atunci din $f = g q + r$ rezultă imediat, prin compararea termenilor dominanți:

$grad q = n - m, grad r \leq m - 1.$

Prima relație e utilă înainte de orice calcul: împărțind un polinom de gradul $7$ la unul de gradul $3$ , câtul are gradul $4$ , iar restul cel mult gradul $2$ . A doua explică de ce împărțirea la un polinom de gradul $1$ dă întotdeauna un rest constant — observație care va deveni teorema restului.

7. Trei cazuri care par speciale, dar nu sunt

Deîmpărțit „prea mic". Dacă $grad f < grad g$ , câtul este $q = 0$ și restul este chiar $r = f$ — exact ca la $3 : 7 = 0$ rest $3$ . Împărțind $- 2 X + 3$ la $X^{2} + 1$ obții $q = 0$ , $r = - 2 X + 3$ .

Împărțitor constant. Dacă $g = c$ este o constantă nenulă, condiția forțează $r = 0$ : împărțirea la o constantă nenulă este întotdeauna exactă. Astfel, $2 X^{2} - 4 X + 6$ împărțit la $2$ dă câtul $X^{2} - 2 X + 3$ și restul $0$ .

Rest nul. Când $r = 0$ , avem $f = g q$ , deci $f$ se descompune. Toată teoria divizibilității pornește de aici.

8. Problema inversă și determinarea parametrilor

Dacă știi $g$ , $q$ și $r$ , deîmpărțitul se reconstituie imediat prin înmulțire: $f = g q + r$ . De exemplu, pentru $g = X^{2} - 3 X + 1$ , $q = 2 X + 5$ și $r = - 4 X + 7$ :

$g q = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 6 X^{2} - 15 X + 2 X + 5 = 2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 5,$ $f = 2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 5 + (- 4 X + 7) = 2 X^{3} - X^{2} - 17 X + 12.$

Acest calcul este, totodată, verificarea obligatorie a oricărei împărțiri: după ce ai găsit $q$ și $r$ , înmulțești înapoi și trebuie să obții exact deîmpărțitul. Fă-l de fiecare dată — costă treizeci de secunde și îți garantează punctajul.

A doua aplicație tipică: se cere ca împărțirea să fie exactă, iar din condiția $r = 0$ se determină parametrii. Scrii $f = g q + r$ cu $q$ și $r$ având coeficienți necunoscuți (le știi gradele!), identifici coeficienții și pui $r = 0$ .

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea unei împărțiri

Arătați că egalitatea $X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1 = (X^{2} + 1) (X + 2) + (- 6 X - 1)$ reprezintă împărțirea cu rest a lui $f = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1$ la $g = X^{2} + 1$ .

Rezolvare. Sunt de verificat două lucruri, nu unul singur.

Egalitatea. $(X^{2} + 1) (X + 2) = X^{3} + 2 X^{2} + X + 2$ , iar $X^{3} + 2 X^{2} + X + 2 - 6 X - 1 = X^{3} + 2 X^{2} - 5 X + 1$ ✓.

Condiția asupra restului. $grad (- 6 X - 1) = 1 < 2 = grad (X^{2} + 1)$ ✓.

Ambele fiind îndeplinite, egalitatea este împărțirea cu rest, deci $q = X + 2$ și $r = - 6 X - 1$ . Prin unicitate, nicio altă pereche $(q, r)$ nu are această proprietate.

Exemplul 2 — O egalitate adevărată care nu este împărțire cu rest

Se dă egalitatea $X^{3} - 1 = (X - 1) \cdot X^{2} + (X^{2} - 1)$ . Este ea împărțirea cu rest a lui $X^{3} - 1$ la $X - 1$ ? Dacă nu, scrieți împărțirea corectă.

Rezolvare. Egalitatea este adevărată: $(X - 1) X^{2} + X^{2} - 1 = X^{3} - X^{2} + X^{2} - 1 = X^{3} - 1$ ✓. Dar restul propus, $X^{2} - 1$ , are gradul $2$ , iar împărțitorul are gradul $1$ — condiția $grad r < grad g$ nu este respectată, deci nu avem împărțirea cu rest.

Împărțirea corectă folosește identitatea cunoscută $X^{3} - 1 = (X - 1) (X^{2} + X + 1)$ , deci $q = X^{2} + X + 1$ și $r = 0$ : împărțirea este exactă.

Exemplul 3 — Reconstituirea deîmpărțitului

La împărțirea unui polinom $f$ la $g = X^{2} - 3 X + 1$ s-au obținut câtul $q = 2 X + 5$ și restul $r = - 4 X + 7$ . Determinați $f$ .

Rezolvare. Aplicăm direct relația $f = g q + r$ :

$g q = (X^{2} - 3 X + 1) (2 X + 5) = 2 X^{3} + 5 X^{2} - 6 X^{2} - 15 X + 2 X + 5 = 2 X^{3} - X^{2} - 13 X + 5.$

Adunând restul: $f = 2 X^{3} - X^{2} - 17 X + 12$ .

Control de coerență: $grad f = 3 = 2 + 1 = grad g + grad q$ ✓, iar $grad r = 1 < 2$ ✓.

Exemplul 4 — Ce grade pot avea câtul și restul

Un polinom $f$ de gradul $9$ se împarte la un polinom $g$ de gradul $4$ . Ce grad are câtul și ce grade poate avea restul?

Rezolvare. Din $f = g q + r$ și $grad r < 4$ , termenul dominant al lui $f$ provine în întregime din produsul $g q$ , deci

$grad q = 9 - 4 = 5.$

Restul este fie polinomul nul, fie are gradul $0$ , $1$ , $2$ sau $3$ . Nu poate avea gradul $4$ sau mai mare — atunci împărțirea nu ar fi fost dusă până la capăt.

Exemplul 5 — Când deîmpărțitul are gradul mai mic

Determinați câtul și restul împărțirii lui $f = - 2 X + 3$ la $g = X^{2} + 1$ .

Rezolvare. Gradul lui $f$ este $1$ , mai mic decât gradul $2$ al lui $g$ , deci nu putem „scoate" nimic. Scrierea $f = (X^{2} + 1) \cdot 0 + (- 2 X + 3)$ respectă condiția, pentru că $grad (- 2 X + 3) = 1 < 2$ . Prin unicitate, $q = 0$ și $r = - 2 X + 3$ .

Nu este un caz patologic: e echivalentul lui $3 : 7 = 0$ rest $3$ de la numere.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

Se consideră polinomul $f = X^{3} + a X^{2} + b X + 6$ , cu $a, b \in R$ . Determinați $a$ și $b$ astfel încât împărțirea lui $f$ la $g = X^{2} - 1$ să fie exactă, apoi determinați câtul.

Rezolvare. Cum $grad f = 3$ și $grad g = 2$ , câtul are gradul $1$ ; îl scriem $q = X + c$ (coeficientul dominant este $1$ , pentru că și $f$ , și $g$ sunt unitare). Împărțirea fiind exactă, cerem $f = g \cdot q$ :

$(X^{2} - 1) (X + c) = X^{3} + c X^{2} - X - c .$

Identificăm coeficienții cu cei ai lui $f = X^{3} + a X^{2} + b X + 6$ :

$a = c, b = - 1, 6 = - c .$

Din ultima relație $c = - 6$ , deci $a = - 6$ și $b = - 1$ . Așadar $f = X^{3} - 6 X^{2} - X + 6$ , iar câtul este $q = X - 6$ .

Verificare (obligatorie): $(X^{2} - 1) (X - 6) = X^{3} - 6 X^{2} - X + 6$ ✓, iar restul este $0$ , deci împărțirea este într-adevăr exactă.

Să exersăm

Algoritmul organizat de împărțire în scris îl vei învăța în lecția următoare; aici lucrăm cu enunțul teoremei, cu verificări și cu transformări algebrice. La fiecare exercițiu în care obții un cât și un rest, verifică înmulțind înapoi.

1. Enunță teorema împărțirii cu rest pentru polinoame, precizând explicit condiția asupra restului. Explică în cuvinte de ce fără această condiție teorema ar fi falsă.

2. Verifică egalitatea $2 X^{3} - X^{2} + 3 X - 5 = (X^{2} + 2) (2 X - 1) + (- X - 3)$ și arată că ea reprezintă împărțirea cu rest a lui $f = 2 X^{3} - X^{2} + 3 X - 5$ la $g = X^{2} + 2$ .

3. Un polinom de gradul $11$ se împarte la unul de gradul $3$ . Ce grad are câtul? Ce grade poate avea restul?

4. La împărțirea unui polinom $f$ la $g = X^{2} + X - 2$ s-au obținut câtul $q = 3 X - 1$ și restul $r = 5 X + 4$ . Determină $f$ .

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Restul împărțirii a două polinoame poate avea gradul egal cu gradul împărțitorului."

6. Folosind identitatea $X^{4} - 1 = (X^{2} - 1) (X^{2} + 1)$ , scrie împărțirea cu rest a lui $X^{4} - 1$ la $X^{2} - 1$ și precizează câtul și restul.

7. Se dă egalitatea $X^{4} + 3 X^{2} + 2 = (X^{2} + 1) (X^{2} + 1) + (X^{2} + 1)$ . Verifică faptul că egalitatea este adevărată, apoi explică de ce ea nu este împărțirea cu rest a lui $X^{4} + 3 X^{2} + 2$ la $X^{2} + 1$ și scrie împărțirea corectă.

8. Un polinom $f$ de gradul $5$ împărțit la $g$ dă restul de gradul $2$ . Ce grade poate avea $g$ ? Dar câtul?

9. Verifică egalitatea $2 X^{3} + X^{2} - 4 X + 1 = (2 X - 1) (X^{2} + X - \frac{3}{2}) - \frac{1}{2}$ și explică de ce ea este împărțirea cu rest, deși $f$ și $g$ au coeficienți întregi, iar câtul nu.

10. Determină $a \in R$ astfel încât restul împărțirii polinomului $f = X^{3} + a X + 1$ la $g = X^{2} + 1$ să fie un polinom constant.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă restul împărțirii lui $f$ la $g$ este $0$ și $f \neq = 0$ , atunci $grad f \geq grad g$ ."

12. Pornind de la $X^{5} = X^{3} (X^{2} + 1) - X^{3}$ și continuând procedeul, scrie împărțirea cu rest a lui $X^{5}$ la $X^{2} + 1$ .

13. (Problemă aplicată.) Costul total al producerii a $x$ mii de piese este modelat de $C (x) = 3 x^{3} - x^{2} + 5$ (mii de lei), iar capacitatea unui utilaj de $x^{2} + 2$ (mii de piese). Știind că $3 X^{3} - X^{2} + 5 = (X^{2} + 2) (3 X - 1) + (- 6 X + 7)$ , verifică egalitatea prin înmulțire și precizează câtul și restul.

14. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există două perechi diferite $(q_{1}, r_{1})$ și $(q_{2}, r_{2})$ care să respecte ambele condițiile teoremei împărțirii cu rest pentru aceleași $f$ și $g$ ."

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră $f = X^{3} + a X^{2} + b X - 12$ , cu $a, b \in R$ . a) Determinați $a$ și $b$ astfel încât împărțirea lui $f$ la $X^{2} - 4$ să fie exactă. b) Determinați câtul împărțirii.

16. Scoțând factor comun $X^{2}$ din primii trei termeni, arată că $X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1 = X^{2} (X^{2} + X + 1) + X + 1$ și deduce câtul și restul împărțirii lui $f = X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1$ la $g = X^{2} + X + 1$ .

17. Folosind identitatea $(X^{2} + 1)^{2} = X^{4} + 2 X^{2} + 1$ , determină câtul și restul împărțirii lui $f = X^{4} + 2 X^{2} + 3$ la $g = X^{2} + 1$ .

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice $n \geq 2$ , împărțirea lui $X^{n} - 1$ la $X - 1$ este exactă și câtul este $X^{n - 1} + X^{n - 2} + \dots + X + 1$ . Verifică apoi afirmația pentru $n = 5$ , desfăcând produsul.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru orice $f$ și orice $g \neq = 0$ există și sunt unice $q$ și $r$ cu $f = g q + r$ și $r = 0$ sau $grad r < grad g$ . Fără condiția asupra restului, scrierea nu ar mai fi unică: pentru orice polinom $h$ ai avea $f = g (q - h) + (r + g h)$ , deci o infinitate de perechi.

2. $(X^{2} + 2) (2 X - 1) = 2 X^{3} - X^{2} + 4 X - 2$ ; adunând $- X - 3$ obținem $2 X^{3} - X^{2} + 3 X - 5$ ✓. Restul are gradul $1 < 2$ , deci este împărțirea cu rest: $q = 2 X - 1$ , $r = - X - 3$ .

3. $grad q = 11 - 3 = 8$ . Restul este nul sau are gradul $0$ , $1$ ori $2$ .

4. $g q = (X^{2} + X - 2) (3 X - 1) = 3 X^{3} + 2 X^{2} - 7 X + 2$ ; adunând $r = 5 X + 4$ obținem $f = 3 X^{3} + 2 X^{2} - 2 X + 6$ . Verificare a gradelor: $3 = 2 + 1$ ✓.

5. Fals. Condiția din teoremă cere gradul restului strict mai mic decât al împărțitorului. Dacă restul ar avea gradul egal, s-ar mai putea scoate din el măcar un termen, deci împărțirea nu ar fi terminată — și, în plus, s-ar pierde unicitatea.

6. $X^{4} - 1 = (X^{2} - 1) (X^{2} + 1) + 0$ , deci $q = X^{2} + 1$ și $r = 0$ : împărțirea este exactă. (Restul $0$ respectă condiția din teoremă.)

7. $(X^{2} + 1)^{2} = X^{4} + 2 X^{2} + 1$ , iar adunând $X^{2} + 1$ obținem $X^{4} + 3 X^{2} + 2$ ✓ — egalitatea este adevărată. Nu este însă împărțirea cu rest, pentru că restul propus, $X^{2} + 1$ , are gradul $2$ , egal cu gradul împărțitorului. Corect: $X^{4} + 3 X^{2} + 2 = (X^{2} + 1) (X^{2} + 2) + 0$ , deci $q = X^{2} + 2$ , $r = 0$ .

8. Din $grad r = 2$ și condiția $grad r < grad g$ rezultă $grad g \geq 3$ ; cum împărțirea are sens ca împărțire propriu-zisă, $grad g \leq 5$ . Deci $g$ poate avea gradul $3$ , $4$ sau $5$ , iar câtul, respectiv, gradul $2$ , $1$ sau $0$ .

9. $(2 X - 1) (X^{2} + X - \frac{3}{2}) = 2 X^{3} + 2 X^{2} - 3 X - X^{2} - X + \frac{3}{2} = 2 X^{3} + X^{2} - 4 X + \frac{3}{2}$ ; scăzând $\frac{1}{2}$ obținem $2 X^{3} + X^{2} - 4 X + 1$ ✓. Restul, $- \frac{1}{2}$ , are gradul $0 < 1$ ✓. Coeficienții fracționari apar pentru că în algoritm se împarte la coeficientul dominant al lui $g$ , aici $2$ — teorema garantează existența câtului în $C [X]$ , nu în $Z [X]$ .

10. $X^{3} + a X + 1 = (X^{2} + 1) X + (a - 1) X + 1$ , deci restul este $(a - 1) X + 1$ . El este constant exact când $a - 1 = 0$ , adică $a = 1$ ; atunci restul este $1$ . (Control: pentru $a = 5$ restul ar fi $4 X + 1$ , care nu e constant.)

11. Adevărat. Din $r = 0$ rezultă $f = g q$ , iar $f \neq = 0$ obligă $q \neq = 0$ . Atunci $grad f = grad g + grad q \geq grad g$ , pentru că $grad q \geq 0$ .

12. $X^{5} = X^{3} (X^{2} + 1) - X^{3}$ , iar $- X^{3} = - X (X^{2} + 1) + X$ . Punând la un loc: $X^{5} = (X^{2} + 1) (X^{3} - X) + X$ . Restul $X$ are gradul $1 < 2$ ✓, deci $q = X^{3} - X$ și $r = X$ . Verificare: $(X^{2} + 1) (X^{3} - X) = X^{5} - X^{3} + X^{3} - X = X^{5} - X$ , plus $X$ dă $X^{5}$ ✓.

13. $(X^{2} + 2) (3 X - 1) = 3 X^{3} - X^{2} + 6 X - 2$ ; adunând $- 6 X + 7$ obținem $3 X^{3} - X^{2} + 5$ ✓. Câtul este $3 X - 1$ , restul $- 6 X + 7$ , iar $grad r = 1 < 2$ ✓.

14. Fals. Este exact conținutul părții de unicitate din teoremă: din $g q_{1} + r_{1} = g q_{2} + r_{2}$ rezultă $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ , iar un multiplu nenul al lui $g$ nu poate avea gradul mai mic decât $grad g$ . Deci $q_{1} = q_{2}$ și $r_{1} = r_{2}$ .

15. a) Câtul are gradul $1$ și este unitar, deci $q = X + c$ . Din $(X^{2} - 4) (X + c) = X^{3} + c X^{2} - 4 X - 4 c = X^{3} + a X^{2} + b X - 12$ obținem $a = c$ , $b = - 4$ și $- 4 c = - 12$ , deci $c = 3$ , $a = 3$ , $b = - 4$ . b) $q = X + 3$ . Verificare: $(X^{2} - 4) (X + 3) = X^{3} + 3 X^{2} - 4 X - 12$ ✓, cu restul $0$ .

16. $X^{2} (X^{2} + X + 1) = X^{4} + X^{3} + X^{2}$ , deci $f = X^{2} (X^{2} + X + 1) + X + 1$ ✓. Restul $X + 1$ are gradul $1 < 2$ , deci $q = X^{2}$ și $r = X + 1$ .

17. $X^{4} + 2 X^{2} + 3 = (X^{4} + 2 X^{2} + 1) + 2 = (X^{2} + 1)^{2} + 2$ , deci $q = X^{2} + 1$ și $r = 2$ (rest constant, de grad $0 < 2$ ✓).

18. Desfacem produsul $(X - 1) (X^{n - 1} + X^{n - 2} + \dots + X + 1)$ : fiecare termen $X^{k}$ produce $X^{k + 1} - X^{k}$ , iar suma este telescopică — se reduce totul, în afară de $X^{n}$ și $- 1$ . Rezultă $X^{n} - 1$ , deci restul este $0$ . Pentru $n = 5$ : $(X - 1) (X^{4} + X^{3} + X^{2} + X + 1) = X^{5} + X^{4} + X^{3} + X^{2} + X - X^{4} - X^{3} - X^{2} - X - 1 = X^{5} - 1$ ✓.

De reținut

Teorema: pentru orice $f$ și orice $g \neq = 0$ există și sunt unice $q$ și $r$ cu $f = g q + r$ și $r = 0$ sau $grad r < grad g$ .
Condiția asupra restului este obligatorie. Fără ea, scrierea $f = g q + r$ e posibilă în infinit de multe feluri; cu ea, este posibilă într-un singur fel.
Unicitatea se demonstrează scăzând cele două scrieri: $g (q_{1} - q_{2}) = r_{2} - r_{1}$ ; un multiplu nenul al lui $g$ nu poate avea gradul mai mic decât $g$ .
Existența se demonstrează prin inducție după $grad f$ , iar demonstrația conține chiar algoritmul: scazi $\frac{a _{n}}{b _{m}} X^{n - m} \cdot g$ și cobori gradul.
Grade: $grad q = grad f - grad g$ , iar $grad r \leq grad g - 1$ . Împărțirea la un polinom de gradul $1$ dă mereu rest constant.

Greșeli frecvente

Verificarea doar a egalității. O egalitate $f = g q + r$ poate fi adevărată fără să fie împărțirea cu rest. Verifică întotdeauna și condiția asupra gradului restului — acolo se pierd punctele.
„Restul este mai mic decât împărțitorul." La polinoame nu comparăm polinoame, ci grade. Formularea corectă: „ $r = 0$ sau $grad r < grad g$ ".
Uitarea cazului $r = 0$ . Polinomul nul nu are grad în sensul obișnuit, deci enunțul trebuie să-l trateze separat. Dacă spui doar „ $grad r < grad g$ ", ai exclus fără să vrei împărțirile exacte.
Presupunerea că împărțitorul poate fi nul. Condiția $g \neq = 0$ este esențială: la fel ca la numere, împărțirea la zero nu are sens.
Așteptarea unui cât cu coeficienți întregi. Din $f, g \in Z [X]$ nu rezultă $q \in Z [X]$ : la fiecare pas se împarte la coeficientul dominant al lui $g$ , deci apar fracții ori de câte ori acesta nu este $1$ sau $- 1$ .

Aplică acasă

Paralela cu numerele. Ia trei perechi de numere naturale și scrie pentru fiecare împărțirea cu rest, subliniind condiția asupra restului. Construiește apoi, pentru fiecare, o „scriere greșită" cu rest prea mare — mecanismul greșelii este identic cu cel de la polinoame.
Fabrică deîmpărțiți. Alege un $g$ de gradul $2$ , un $q$ de gradul $2$ și un $r$ de gradul $1$ , la întâmplare, și calculează $f = g q + r$ . Dă-i colegului doar $f$ și $g$ și cere-i $q$ și $r$ ; tu ai deja răspunsul. Repetă de trei ori.
Verificatorul. Într-o foaie de calcul, pune pe o linie coeficienții lui $g$ , pe alta pe cei ai lui $q$ și calculează cu formule coeficienții produsului. Vei vedea de ce înmulțirea înapoi este cea mai rapidă verificare de la examen.

Pentru părinți și profesori

Lecția este piesa de rezistență teoretică a capitolului: din ea derivă teorema restului, schema lui Horner, teorema lui Bézout și întreaga teorie a divizibilității. Accentul cade pe enunț și pe demonstrații, nu pe calcul — algoritmul propriu-zis vine în lecția următoare.

De verificat în caiet: (1) enunțul conține condiția „ $r = 0$ sau $grad r < grad g$ ", nu doar egalitatea; (2) la unicitate folosește corect faptul că gradul produsului este suma gradelor; (3) verifică fiecare împărțire prin înmulțire înapoi. Întrebări de control: „De ce nu ajunge egalitatea $f = g q + r$ ?"; „Ce grad are câtul, dacă $f$ are gradul $6$ și $g$ gradul $2$ ?"; „Poate restul să fie $0$ ?".

La Bacalaureat M1 teorema apare rareori de enunțat, dar foarte des de folosit: „determinați $a$ astfel încât $f$ să se dividă cu…", „aflați restul împărțirii lui $f$ la…". Semn că elevul a înțeles: știe dinainte ce grad are restul și scrie forma generală a acestuia fără să efectueze împărțirea.

Întrebări frecvente

Cum se enunță teorema împărțirii cu rest pentru polinoame? Pentru orice polinoame $f$ și $g$ , cu $g \neq = 0$ , există și sunt unice polinoamele $q$ (câtul) și $r$ (restul) astfel încât $f = g \cdot q + r$ , unde $r = 0$ sau gradul lui $r$ este strict mai mic decât gradul lui $g$ .

De ce trebuie ca gradul restului să fie mai mic decât al împărțitorului? Pentru că altfel scrierea nu ar fi unică: din orice pereche $(q, r)$ poți obține alta, luând $q - h$ și $r + g h$ . Condiția asupra gradului elimină această libertate și, intuitiv, spune că împărțirea a fost dusă până la capăt.

Ce se întâmplă dacă gradul deîmpărțitului este mai mic decât al împărțitorului? Câtul este $0$ și restul este chiar deîmpărțitul: $f = g \cdot 0 + f$ . Este exact situația de la numere, unde $3 : 7$ dă câtul $0$ și restul $3$ .

Cum verific rapid dacă am împărțit corect două polinoame? Înmulțești câtul cu împărțitorul, aduni restul și compari cu deîmpărțitul; trebuie să obții exact același polinom. Apoi verifici că gradul restului este mai mic decât gradul împărțitorului. Ambele controale sunt obligatorii.

Ce grad are câtul împărțirii? Dacă $grad f \geq grad g$ , câtul are gradul $grad f - grad g$ . De exemplu, un polinom de gradul $7$ împărțit la unul de gradul $3$ dă un cât de gradul $4$ și un rest de grad cel mult $2$ .

Câtul poate avea coeficienți fracționari dacă polinoamele au coeficienți întregi? Da. Algoritmul împarte la coeficientul dominant al împărțitorului, deci, dacă acesta nu este $1$ sau $- 1$ , apar fracții. Teorema garantează existența câtului și a restului în mulțimea polinoamelor cu coeficienți complecși, nu întregi.

Ce înseamnă că o împărțire este exactă? Înseamnă că restul este polinomul nul, deci $f = g \cdot q$ . Spunem atunci că $g$ divide pe $f$ — punctul de plecare al teoriei divizibilității.

Unde se folosește teorema împărțirii cu rest la Bacalaureat M1? În aproape toate problemele de polinoame: aflarea restului împărțirii la $X - a$ , schema lui Horner, teorema lui Bézout, determinarea parametrilor din condiții de divizibilitate.