Se consideră mulțimea $$P=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\2b&a\end{pmatrix}\ \middle|\ a,b\in\mathbb{R}\right\}$$, cu adunarea și înmulțirea matricelor. Care afirmație este adevărată?

$$P$$ este inel comutativ, cu elementul unitate $$I_2$$.

$$P$$ nu este inel, fiindcă produsul a două elemente ale lui poate ieși din $$P$$.

$$P$$ este inel, dar nu este comutativ.

$$P$$ nu este inel, fiindcă $$I_2$$ nu aparține lui $$P$$.

Sunt inel matricele triunghiulare de ordin 2?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inele de matrice și de funcții

Da, matricele de forma $(a 0 b c)$ formează inel. Suma păstrează zeroul din colț, iar produsul $(a 0 b c) (d 0 e f) = (a d 0 a e + b f c f)$ la fel. $O_{2}$ , $I_{2}$ și opusele au aceeași formă, iar celelalte condiții se moștenesc. Inelul nu este comutativ: pentru $(1012)$ și $(1003)$ , colțul din dreapta sus al produsului este $3$ într-o ordine și $1$ în cealaltă.

Aceeași listă, alte elemente. Matricele pătratice de tipul $2 \times 2$ cu elemente reale formează inel: adunarea se face căsuță cu căsuță, elementul nul este $O_{2}$ , opusa lui $A$ este $- A$ , iar elementul unitate este $I_{2}$ . Cele trei însușiri de calcul vin din clasa a XI-a și nu se redemonstrează.

Necomutativitatea. Aici e singura deosebire față de numere: există matrice cu $A B \neq = B A$ , iar un singur contraexemplu, cu amândouă produsele scrise, o dovedește. Consecința practică: $A (B + C) = A B + A C$ și $(B + C) A = B A + C A$ cer calcule separate — de aceea puntea dintre operații se cere în amândouă scrierile.

Funcțiile. Pe mulțimea funcțiilor $f : R \to R$ operațiile se fac pe puncte: $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ și $(f g) (x) = f (x) g (x)$ . Fiecare cerință se controlează într-un punct oarecare, unde rămâne o egalitate între numere reale. Elementul nul e funcția constantă $0$ , iar elementul unitate e funcția constantă $1$ ; nu e de ajuns ca o funcție să nimerească valoarea $1$ într-un punct.

Cum se decide repede. Înmulțești două elemente oarecare, scrise cu litere, și vezi dacă forma se păstrează; apoi cauți cele două elemente speciale.

De reținut

o familie de matrice e inel când sumele și produsele rămân în familie și conține $O_{2}$ , $I_{2}$ și opusele
în inelul funcțiilor, operațiile se fac punct cu punct
unitatea inelului funcțiilor este funcția constantă $1$

Greșeala tipică

Se consideră elementul unitate al inelului funcțiilor funcția $f (x) = x$ , pentru că $f (1) = 1$ ; unitatea este funcția constantă $1$ , care lasă neschimbată orice funcție la înmulțire.

Exerciții din această mini-lecție

În inelul funcțiilor reale se consideră $f (x) = x^{2} + 13$ și $g (x) = 6 x - 6$ . Funcția $f + g$ este:
- a) $x^{2} + 6 x + 19$
- b) $x^{2} + 6 x + 7$
- c) $x^{2} + 12 x + 7$
- d) $6 x^{3} - 6 x^{2} + 78 x - 78$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} + 6 x + 7$

Adunarea se face pe puncte, valoare cu valoare: $(f + g) (x) = x^{2} + 13 + 6 x - 6 = x^{2} + 6 x + 7$ . Proba într-un punct, $x = 1$ : $f (1) = 14$ și $g (1) = 0$ , cu suma $14$ ; pe de altă parte $1 + 6 + 7 = 14$ . Varianta a) adună termenii liberi în loc să-i scadă, c) dublează coeficientul lui $x$ , iar d) dă produsul celor două funcții, nu suma.
În inelul funcțiilor reale se consideră $f (x) = 3 x + 1$ și $g (x) = x^{2} - 2$ . Funcția $f g$ este:
- a) $3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 2$
- b) $3 x^{3} + x^{2} + 6 x + 2$
- c) $3 x^{3} - x^{2} - 6 x + 2$
- d) $3 x^{3} + x^{2} - 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 2$

Înmulțirea se face pe puncte: $(3 x + 1) (x^{2} - 2) = 3 x^{3} - 6 x + x^{2} - 2 = 3 x^{3} + x^{2} - 6 x - 2$ . Proba într-un punct, $x = 2$ : $p (2) = 7$ , $q (2) = 2$ , iar produsul valorilor este $14$ ; pe de altă parte $24 + 4 - 12 - 2 = 14$ . Variantele b) și c) greșesc semnele din desfacere, iar d) uită coloana lui $x$ .
Se consideră mulțimea $P = {(a 2 b b a) a, b \in R}$ , cu adunarea și înmulțirea matricelor. Care afirmație este adevărată?
- a) $P$ nu este inel, fiindcă produsul a două elemente ale lui poate ieși din $P$ .
- b) $P$ este inel comutativ, cu elementul unitate $I_{2}$ .
- c) $P$ este inel, dar nu este comutativ.
- d) $P$ nu este inel, fiindcă $I_{2}$ nu aparține lui $P$ .
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $P$ este inel comutativ, cu elementul unitate $I_{2}$ .

Produsul păstrează forma: $(a 2 b b a) (c 2 d d c) = (a c + 2 b d 2 (a d + b c) a d + b c a c + 2 b d)$ , iar expresiile $a c + 2 b d$ și $a d + b c$ nu se schimbă la interschimbarea perechilor, deci înmulțirea e comutativă. Suma păstrează și ea forma, $O_{2}$ se obține pentru $a = b = 0$ , opusele rămân înăuntru, iar $I_{2}$ se obține pentru $a = 1$ și $b = 0$ .

Întrebări conexe

Care este elementul nul al inelului funcțiilor reale?

Funcția constantă $0$ , cea care ia valoarea $0$ în orice punct: adunată cu orice funcție $f$ , o lasă neschimbată. O funcție care se anulează doar într-un punct, ca $x - 1$ , nu este elementul nul.

Cum verific distributivitatea în inelul funcțiilor reale?

Punct cu punct: $f (x) (g (x) + h (x)) = f (x) g (x) + f (x) h (x)$ este o egalitate între numere reale. Pentru $f = x$ , $g = 1$ , $h = x^{2}$ , în $x = 2$ ambele părți dau $2 \cdot 5 = 10$ și $2 + 8 = 10$ . Toate condițiile de inel se verifică la fel, reducându-le la proprietăți ale numerelor reale.

Are opus orice funcție în inelul funcțiilor reale?

Da, funcția $- f$ , cu valoarea $- f (x)$ în fiecare punct. Pentru $f (x) = x^{2} - 3$ , opusa este $- x^{2} + 3$ , iar suma lor este funcția constantă $0$ , elementul nul al inelului.

Formează inel matricele cu determinantul $1$ ?

Nu. Suma nu păstrează proprietatea: $I_{2} + I_{2} = 2 I_{2}$ are determinantul $4$ . În plus, $O_{2}$ are determinantul $0$ , deci elementul nul nici nu aparține mulțimii. Un singur contraexemplu ajunge ca să arate că mulțimea nu este inel.

Formează inel matricele diagonale de ordinul al doilea?

Da, iar inelul lor este comutativ. Produsul a două matrice diagonale este diagonal, cu elementele $a c$ și $b d$ pe diagonală, iar ordinea factorilor nu contează. $O_{2}$ și $I_{2}$ sunt și ele diagonale.

Oamenii mai întreabă și: matrice de forma a b 0 c inel · inelul matricelor triunghiulare · matrice superior triunghiulare formează inel · inel de matrice de ordinul doi exemplu