Inele de matrice și inele de funcții reale (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un caiet de laborator ține, de obicei, tabele: două aparate, două probe, patru cifre așezate în pătrat. Când aduni rezultatele a două zile, aduni tabelele căsuță cu căsuță; când compui două transformări, le înmulțești după regula învățată la clasa a XI-a. Ai deci, pe aceeași mulțime de tabele, două operații — exact situația pe care lecția precedentă a botezat-o inel. La fel stau lucrurile cu funcțiile: două funcții se pot aduna și se pot înmulți, iar rezultatul e tot o funcție. Programa de examen cere nominal aceste două familii, iar lecția de față le parcurge pe amândouă. Suntem la clasa a XII-a, la științe ale naturii (M2), iar tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Suntem tot în suplimentul pentru Bacalaureatul M2: tema stă în programa de examen din 2014, pe care o dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, iar programa de științe ale naturii din 2025 nu o mai cuprinde la clasa a XII-a. Ce se schimbă față de lecția anterioară e doar materialul, nu metoda: lista celor șapte condiții din Inelul: definiție și exemple rămâne aceeași și se aplică întocmai, numai că elementele nu mai sunt numere.

Ce vei învăța

Vei ști să arăți că $M_{2} (R)$ este inel, folosind proprietățile operațiilor cu matrice din clasa a XI-a.
Vei ști să scrii contraexemplul care arată că înmulțirea matricelor nu este comutativă și să spui ce consecință are asta.
Vei ști să verifici că o mulțime de matrice de o formă dată rămâne închisă la ambele operații și formează inel.
Vei ști să lucrezi în inelul funcțiilor reale, cu adunarea și înmulțirea făcute pe puncte.
Vei ști să recunoști elementul nul și elementul unitate în fiecare dintre aceste inele.
Vei ști să decizi rapid când o mulțime de matrice sau de funcții nu e inel, numind condiția care cade.

Hai să descoperim împreună

1. De ce formează matricele pătratice un inel?

Fie $M_{2} (R)$ mulțimea matricelor pătratice de ordinul al doilea cu elemente reale, cu adunarea și înmulțirea învățate la clasa a XI-a — vezi Ecuații matriceale, unde amândouă sunt folosite din plin. Parcurgem lista.

Suma și produsul a două matrice de ordinul al doilea sunt tot matrice de ordinul al doilea, deci C1 e îndeplinită. Adunarea se face element cu element, așa că asociativitatea și comutativitatea ei (C2, C5) se reduc la asociativitatea și comutativitatea adunării numerelor reale; elementul nul este matricea nulă $O_{2}$ , iar opusa matricei $A$ este matricea $- A$ , obținută schimbând semnele tuturor elementelor (C3, C4). Înmulțirea matricelor este asociativă și are ca element unitate matricea unitate $I_{2}$ (C6), iar distributivitatea față de adunare are loc de ambele părți (C7) — toate trei sunt proprietăți demonstrate la clasa a XI-a, pe care aici le folosim, nu le redemonstrăm.

Prin urmare $(M_{2} (R), +, \cdot)$ este inel, cu elementul nul $O_{2}$ și elementul unitate $I_{2}$ . Reține că cele două elemente speciale nu mai sunt numere, ci matrice — de aceea definiția vorbește despre „elementul nul" și „elementul unitate", nu despre „zero" și „unu".

2. De ce nu este acest inel comutativ?

Aici e deosebirea care contează și singurul loc în care matricele se poartă altfel decât numerele. Luăm $A = (0321), B = (1250) .$ Atunci $A B = (45015), B A = (15074),$ deci $A B \neq = B A$ . Un singur contraexemplu ajunge: comutativitatea este o afirmație despre toate perechile, iar o afirmație de acest fel se respinge cu o singură pereche.

Consecința e practică, nu teoretică. Într-un inel comutativ, dacă ai verificat $x (y + z) = x y + x z$ , ai verificat automat și cealaltă formă a distributivității. Aici nu: $A (B + C) = A B + A C$ și $(B + C) A = B A + C A$ sunt afirmații diferite, și amândouă fac parte din condiția C7. De aceea definiția inelului cere distributivitatea de ambele părți: tocmai pentru cazuri ca acesta.

3. Ce se întâmplă cu o mulțime de matrice de o formă dată?

Programa cere „inele de matrice", nu doar inelul tuturor matricelor, așa că merită văzut și un exemplu de submulțime. Fie $T = {(a 0 b c) a, b, c \in R},$ adică matricele care au zero în colțul din stânga-jos. La Grupuri de matrice ai văzut ce se poate întâmpla cu o submulțime când operația e una singură: matricele cu elemente întregi și determinant nenul nu formează grup, fiindcă inversa iese din mulțime. Aici familia e alta, operațiile sunt două, iar răspunsul se schimbă. Verificăm cele patru lucruri cerute de metoda din lecția precedentă, restul moștenindu-se din $M_{2} (R)$ .

Cele două operații nu scot din mulțime. Suma a două astfel de matrice este $(a + a^{'} 0 b + b^{'} c + c^{'})$ , iar produsul este $(a 0 b c) (a^{'} 0 b^{'} c^{'}) = (a a^{'} 0 a b^{'} + b c^{'} c c^{'}) .$ Amândouă au din nou zero în același colț, deci C1 e îndeplinită. Elementul nul: $O_{2}$ are forma cerută, cu $a = b = c = 0$ . Opusele: opusa lui $(a 0 b c)$ este $(- a 0 - b - c)$ , tot din $T$ . Elementul unitate: $I_{2}$ se obține pentru $a = c = 1$ și $b = 0$ , deci aparține lui $T$ .

Concluzie: $(T, +, \cdot)$ este inel. Nu este însă comutativ, iar formula produsului spune de ce: la colțul din dreapta-sus apare $a b^{'} + b c^{'}$ , care se schimbă dacă inversezi ordinea. Vei vedea asta pe cifre în Exemplul 1.

4. Cum se adună și se înmulțesc două funcții?

Fie $F$ mulțimea tuturor funcțiilor $f : R \to R$ . Pe ea se definesc două operații pe puncte, adică valoare cu valoare: $(f + g) (x) = f (x) + g (x), (f g) (x) = f (x) \cdot g (x), oricare ar fi x \in R .$ Rezultatul fiecăreia este tot o funcție de la $R$ la $R$ , deci C1 e îndeplinită. Pentru celelalte condiții există un argument scurt care le acoperă pe toate: o egalitate între funcții înseamnă egalitate a valorilor în fiecare punct, iar în fiecare punct rămân de comparat numere reale, unde egalitatea este deja cunoscută. Asociativitatea, comutativitatea adunării și distributivitatea sunt deci moștenite din $R$ , punct cu punct.

Rămân elementele speciale. Elementul nul este funcția constantă nulă, cea care dă $0$ în orice punct; elementul unitate este funcția constantă $1$ , cea care dă $1$ în orice punct; iar opusa funcției $f$ este funcția $- f$ , definită prin $(- f) (x) = - f (x)$ . Prin urmare $(F, +, \cdot)$ este inel, de data aceasta comutativ, fiindcă înmulțirea numerelor reale este comutativă în fiecare punct.

Merită lămurit, înainte de orice calcul, ce înseamnă aici egalitatea: două funcții sunt egale când au același domeniu, același codomeniu și aceeași valoare în fiecare punct. De aceea, ca să arăți că o egalitate între funcții este falsă, îți ajunge un singur punct în care valorile diferă, exact cum, la matrice, îți ajunge o singură căsuță. Iar ca să arăți că este adevărată, nu poți verifica punct cu punct — trebuie să lucrezi cu expresiile, așa cum se face în exemplele de mai jos.

Atenție la elementul unitate: el este funcția care dă $1$ peste tot, nu o funcție care ia valoarea $1$ într-un punct oarecare. Confuzia aceasta este cea mai frecventă la acest capitol și se lămurește într-o singură verificare, ca în exercițiul 17.

5. O mulțime de funcții care nu este inel

Ia mulțimea funcțiilor de gradul I, adică a funcțiilor de forma $f (x) = m x + n$ cu $m \neq = 0$ . Ea cade chiar la prima condiție, și de două ori. Suma funcțiilor $f (x) = 2 x + 1$ și $g (x) = - 2 x + 5$ este funcția constantă $6$ , care nu mai este de gradul I; produsul acelorași funcții este $- 4 x^{2} + 8 x + 5$ , o funcție de gradul al II-lea. Cum operațiile ies din mulțime, C1 nu e îndeplinită și discuția se încheie: mulțimea funcțiilor de gradul I nu este inel.

Exemplul arată ceva mai general. O familie de funcții definită printr-o condiție asupra gradului nu rezistă la operații, pentru că gradul urcă la înmulțire și poate coborî la adunare. Familiile care rezistă sunt cele definite printr-o condiție care se păstrează, cum e „funcțiile constante" sau „funcțiile pare".

6. Ce ai de scris, în ce ordine

Pentru o mulțime de matrice sau de funcții, scrierea are mereu aceeași formă. Întâi calculezi suma și produsul a două elemente oarecare, scrise cu litere, și arăți că rezultatele au forma cerută. Apoi spui, într-un rând, că restul condițiilor de calcul se moștenesc din $M_{2} (R)$ , respectiv din $R$ . La final identifici elementul nul, opusele și elementul unitate, verificând că toate aparțin mulțimii. Dacă vrei să arăți că mulțimea nu e inel, îți ajunge un contraexemplu pentru condiția care cade.

Ce nu intră la profilul științe ale naturii: legăturile dintre două inele diferite și mutarea structurii dintr-unul în altul, care la mate-info ocupă o lecție întreagă — vezi Inele de matrice cu structură remarcabilă. Aici ne oprim la recunoașterea structurii. Ce urmează, în schimb, este întrebarea care desparte inelele între ele: în care dintre ele se poate împărți? Răspunsul e în Corpul: corpuri numerice și clase modulo p.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Produsul a două matrice din $T$ , în ambele ordini

Calculează produsul matricelor $(5013)$ și $(2031)$ în ambele ordini și verifică faptul că rezultatele rămân în $T$ .

Rezolvare. Primul produs: $(5013) (2031) = (100163) .$ Al doilea: $(2031) (5013) = (100113) .$ Ambele rezultate au zero în colțul din stânga-jos, deci sunt în $T$ , cum promitea formula generală. Colțurile din dreapta-sus diferă însă, $16$ față de $11$ , deci cele două matrice nu comută — pe diagonală, în schimb, apar aceleași numere în ambele cazuri.

Exemplul 2 — Distributivitatea, verificată pe cifre

Pentru $A = (3401)$ , $B = (0234)$ și $C = (4102)$ , verifică egalitatea $A (B + C) = A B + A C$ .

Rezolvare. Întâi membrul stâng: $B + C = (4336)$ , deci $A (B + C) = (3401) (4336) = (1219918) .$ Apoi membrul drept: $A B = (02916)$ și $A C = (121702)$ , cu suma $(1219918)$ . Cele două rezultate coincid, deci condiția C7 se verifică pe acest triplet. Atenție: am înmulțit de fiecare dată cu $A$ la stânga; cealaltă formă a distributivității cere un calcul separat.

Exemplul 3 — Suma, produsul și opusa în inelul funcțiilor

Pentru $f (x) = 2 x + 5$ și $g (x) = x^{2} - 3 x$ , calculează $f + g$ , $f g$ și $- f$ .

Rezolvare. Adunăm valorile: $(f + g) (x) = 2 x + 5 + x^{2} - 3 x = x^{2} - x + 5$ . Înmulțim valorile: $(f g) (x) = (2 x + 5) (x^{2} - 3 x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 5 x^{2} - 15 x = 2 x^{3} - x^{2} - 15 x .$ Opusa lui $f$ este $(- f) (x) = - 2 x - 5$ . Proba se face într-un punct, de pildă $x = 2$ : $f (2) = 9$ , $g (2) = - 2$ , iar $(f + g) (2) = 4 - 2 + 5 = 7 = 9 + (- 2)$ , respectiv $(f g) (2) = 16 - 4 - 30 = - 18 = 9 \cdot (- 2)$ .

Exemplul 4 — Citește tabelul

Două funcții $u$ și $v$ sunt date prin valorile lor în patru puncte:

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$u (x)$	$3$	$1$	$- 1$	$- 3$
$v (x)$	$1$	$0$	$1$	$4$

Completează valorile funcțiilor $u + v$ și $uv$ în aceste puncte și spune dacă vreuna dintre cele două funcții date poate fi elementul unitate al inelului.

Rezolvare. Adunăm și înmulțim pe coloane. Pentru $u + v$ obținem, în ordine, $4$ , $1$ , $0$ , $1$ ; pentru $uv$ obținem $3$ , $0$ , $- 1$ , $- 12$ . Niciuna dintre funcțiile date nu poate fi elementul unitate: elementul unitate ia valoarea $1$ în orice punct, iar $u$ ia valoarea $1$ doar în $x = 0$ , iar $v$ doar în $x = - 1$ și în $x = 1$ . Observă și că $(u + v) (1) = 0$ fără ca vreuna dintre valori să fie nulă — la funcții, ca la numere, doi termeni nenuli pot avea suma nulă.

Exemplul 5 — Model din științe: masa dintr-un vas

Într-un vas de laborator, concentrația unei substanțe scade după legea $c (t) = 20 - 2 t$ , măsurată în miligrame pe mililitru, iar volumul crește după legea $V (t) = 5 + t$ , în mililitri, unde $t$ este timpul în ore, cu $t \in [0; 5]$ . Scrie funcția care dă masa de substanță din vas și calculează masa la momentele $t = 0$ și $t = 2$ .

Rezolvare. Masa este produsul, pe puncte, al celor două funcții: $m (t) = c (t) \cdot V (t) = (20 - 2 t) (5 + t) = 100 + 10 t - 2 t^{2} .$ La $t = 0$ obținem $m (0) = 100$ mg, iar la $t = 2$ obținem $m (2) = 100 + 20 - 8 = 112$ mg. Modelul are sens pe tot intervalul ales: concentrația rămâne pozitivă până la $t = 10$ ore, iar volumul crește, deci ambele mărimi sunt pozitive pe $[0; 5]$ . Reține ideea: înmulțirea din inelul funcțiilor nu e o convenție algebrică, ci exact operația prin care se combină două mărimi măsurate în același moment.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Cerință construită pe rândul din programa de examen, în formatul unei probleme cu trei cerințe legate.)

Se consideră mulțimea $M_{2} (Z)$ a matricelor de ordinul al doilea cu toate elementele numere întregi.

a) Arată că suma și produsul a două matrice din $M_{2} (Z)$ rămân în $M_{2} (Z)$ .

b) Precizează elementul nul, elementul unitate și opusa unei matrice din această mulțime.

c) Arată că înmulțirea nu este comutativă, folosind matricele $(2150)$ și $(6015)$ .

Rezolvare. a) Elementele sumei sunt sume de numere întregi, iar elementele produsului sunt sume de produse de numere întregi; cum suma și produsul a două numere întregi sunt tot numere întregi, toate cele patru elemente rezultate sunt întregi.

b) Elementul nul este $O_{2}$ , elementul unitate este $I_{2}$ — amândouă au elemente întregi —, iar opusa unei matrice se obține schimbând semnele, deci rămâne cu elemente întregi. Împreună cu punctul a) și cu moștenirea celorlalte condiții din $M_{2} (R)$ , rezultă că $M_{2} (Z)$ este inel.

c) Calculăm cele două produse: $(2150) (6015) = (126271), (6015) (2150) = (135300) .$ Rezultatele sunt diferite, deci inelul nu este comutativ.

Să exersăm

1. Calculează suma $(1342) + (0541)$ .

2. Calculează produsul $(1024) (3025)$ și verifică faptul că rezultatul are tot zero în colțul din stânga-jos.

3. Arată, prin calcul, că $(3215) I_{2} = (3215)$ și că $I_{2} (3215) = (3215)$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Mulțimea funcțiilor $f : R \to R$ cu proprietatea $f (0) = 0$ , cu adunarea și înmulțirea pe puncte, este inel.

5. Arată că matricele $(1036)$ și $(5021)$ aparțin mulțimii $T$ și calculează produsul lor, în această ordine.

6. (Problemă aplicată.) Un laborator notează numărul de probe analizate de două aparate, în două zile, în matricele $L = (4320)$ și $M = (2306)$ , cu aparatele pe linii și tipurile de probă pe coloane. Calculează $L + M$ , spune ce înseamnă rezultatul și ce ar însemna, în acest context, matricea $O_{2}$ .

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A = (4320)$ și $B = (0541)$ . a) Calculează $A + B$ . b) Calculează $A B$ și $B A$ . c) Verifică egalitatea $A (B + I_{2}) = A B + A$ .

8. Calculează $f + g$ și $f g$ pentru $f (x) = x + 2$ și $g (x) = x^{2} - 4$ .

9. Determină opusa funcției $h (x) = 3 x - 6$ în inelul funcțiilor și calculează valoarea funcției $h + (- h)$ în punctul $x = 5$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) În inelul funcțiilor reale se consideră $u (x) = x^{2} + 1$ și $v (x) = 2 x - 1$ . a) Calculează $u + v$ . b) Calculează $uv$ . c) Verifică, în punctul $x = 1$ , egalitatea dintre valoarea produsului și produsul valorilor.

11. Arată că suma și produsul a două funcții constante sunt tot funcții constante și precizează care funcție constantă este elementul unitate.

12. Verifică, în punctul $x = 2$ , egalitatea $p (q + r) = pq + p r$ pentru $p (x) = x - 1$ , $q (x) = 2 x$ și $r (x) = x^{2}$ .

13. Explică de ce $O_{2}$ nu poate fi element unitate pentru înmulțirea matricelor și precizează care matrice joacă acest rol.

14. Determină matricea $X$ pentru care $X + (1036) = (4015)$ și verifică faptul că $X$ aparține mulțimii $T$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează produsul $(1342) (2306)$ și arată că toate elementele lui sunt numere întregi.

16. Precizează pentru care dintre mulțimile următoare produsul pe puncte a două funcții ale ei rămâne în mulțime: funcțiile pare, funcțiile de gradul I, funcțiile constante.

17. Arată că funcția $f (x) = x^{2}$ nu este elementul unitate al inelului funcțiilor, deși $f (1) = 1$ .

18. (Provocare.) Găsește două matrice din $T$ , amândouă diferite de $O_{2}$ și de $I_{2}$ , al căror produs nu depinde de ordinea factorilor, și spune ce au ele special.

Răspunsuri și explicații

1. $(1883)$ ; adunarea se face element cu element.

2. $(1024) (3025) = (301220)$ . Colțul din stânga-jos este $1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0$ , cum arată și formula generală din §3: acolo apare mereu $0 \cdot a^{'} + c \cdot 0$ .

3. Ambele produse dau $(3215)$ . Așa se vede că $I_{2}$ este element unitate: lasă matricea neschimbată, indiferent de partea din care înmulțești.

4. Fals. Suma și produsul a două astfel de funcții se anulează tot în $0$ , deci niciuna dintre operații nu scoate din mulțime, iar opusa unei funcții cu $f (0) = 0$ are aceeași proprietate. Cade însă C6: elementul unitate ar trebui să fie funcția constantă $1$ , care în $0$ ia valoarea $1$ , nu $0$ , deci nu aparține mulțimii. Iar nicio altă funcție nu poate juca acel rol, pentru că elementul unitate al lui $F$ este unic.

5. Amândouă au $0$ în colțul din stânga-jos, deci sunt în $T$ . Produsul este $(1036) (5021) = (5056)$ , tot din $T$ .

6. $L + M = (6626)$ : pe fiecare poziție stă numărul total de probe de acel tip analizate de acel aparat în cele două zile. Matricea $O_{2}$ ar însemna o zi în care niciun aparat nu a analizat nicio probă; ea este elementul nul, fiindcă adăugată la orice tabel nu schimbă nimic.

7. a) $A + B = (4861)$ . b) $A B = (1001812)$ și $B A = (1223010)$ , deci $A B \neq = B A$ . c) $B + I_{2} = (1542)$ , iar $A (B + I_{2}) = (1432012)$ ; pe de altă parte $A B + A = (1432012)$ . Egalitatea se verifică — este distributivitatea, scrisă cu $C = I_{2}$ .

8. $(f + g) (x) = x^{2} + x - 2$ și $(f g) (x) = (x + 2) (x^{2} - 4) = x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$ . Proba în $x = 3$ : $f (3) = 5$ , $g (3) = 5$ , iar produsul valorilor, $25$ , coincide cu $27 + 18 - 12 - 8 = 25$ .

9. Opusa este $(- h) (x) = - 3 x + 6$ . Atunci $(h + (- h)) (5) = (3 \cdot 5 - 6) + (- 3 \cdot 5 + 6) = 9 - 9 = 0$ , adică valoarea funcției constante nule — cum trebuia, fiindcă $h + (- h)$ este chiar elementul nul.

10. a) $(u + v) (x) = x^{2} + 2 x$ . b) $(uv) (x) = (x^{2} + 1) (2 x - 1) = 2 x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ . c) În $x = 1$ : $u (1) = 2$ , $v (1) = 1$ , produsul valorilor este $2$ ; iar $(uv) (1) = 2 - 1 + 2 - 1 = 2$ . Cele două coincid, cum cere chiar definiția înmulțirii pe puncte.

11. Suma a două funcții constante este constantă, iar produsul lor la fel, deci niciuna dintre cele două operații nu scoate din mulțime. Elementul unitate este funcția constantă $1$ , care aparține mulțimii; elementul nul este funcția constantă $0$ , iar opusa funcției constante $k$ este funcția constantă $- k$ . Mulțimea funcțiilor constante este, așadar, inel.

12. În $x = 2$ : $p (2) = 1$ , $q (2) = 4$ , $r (2) = 4$ . Membrul stâng: $p (2) \cdot (q (2) + r (2)) = 1 \cdot 8 = 8$ . Membrul drept: $p (2) q (2) + p (2) r (2) = 4 + 4 = 8$ . Egalitatea se verifică, iar motivul e că într-un punct totul se reduce la distributivitatea numerelor reale.

13. Elementul unitate trebuie să lase orice matrice neschimbată prin înmulțire, iar $O_{2}$ face exact contrariul: înmulțită cu orice matrice dă $O_{2}$ . Rolul de element unitate îl are $I_{2}$ .

14. Scădem: $X = (4015) - (1036) = (30 - 2 - 1)$ . Are $0$ în colțul din stânga-jos, deci aparține lui $T$ . Scăderea e permisă fiindcă $T$ conține opusele: a scădea înseamnă a aduna opusa.

15. $(1342) (2306) = (14122412)$ . Toate elementele sunt sume de produse de numere întregi, deci întregi — de aceea produsul a două matrice cu elemente întregi rămâne în $M_{2} (Z)$ .

16. Funcțiile pare: da, produsul a două funcții pare este par, fiindcă valorile în $- x$ și în $x$ rămân egale. Funcțiile de gradul I: nu, produsul urcă la gradul al II-lea. Funcțiile constante: da, produsul a două constante este constant.

17. Ar trebui ca $f \cdot g = g$ pentru orice funcție $g$ . Ia $g$ funcția constantă $1$ : atunci $(f g) (x) = x^{2}$ , iar în punctul $x = 2$ obținem $4$ , în loc de $1$ . Deci $f$ nu este element unitate, deși în punctul $x = 1$ se poartă ca și cum ar fi.

18. De pildă $(3004)$ și $(2005)$ : ambele produse dau $(60020)$ . Ele sunt speciale prin faptul că au $b = 0$ , adică sunt matrice diagonale; în formula produsului din §3, colțul din dreapta-sus devine $a \cdot 0 + 0 \cdot c^{'} = 0$ în ambele ordini, deci nimic nu se mai schimbă la inversare.

De reținut

$(M_{2} (R), +, \cdot)$ este inel, cu elementul nul $O_{2}$ și elementul unitate $I_{2}$ ; el nu este comutativ, iar contraexemplul se scrie cu ambele produse calculate.
O mulțime de matrice de o formă dată este inel dacă suma și produsul păstrează forma, iar $O_{2}$ , $I_{2}$ și opusele aparțin mulțimii; restul condițiilor se moștenesc din $M_{2} (R)$ .
În inelul funcțiilor reale operațiile se fac pe puncte; toate condițiile se verifică punct cu punct, unde rămân egalități între numere reale.
Elementul nul al inelului funcțiilor este funcția constantă $0$ , iar elementul unitate este funcția constantă $1$ — nu o funcție care ia valoarea $1$ într-un punct.
Familiile definite prin gradul funcției nu sunt inele: gradul crește la înmulțire și poate scădea la adunare, deci cade chiar prima condiție.

Greșeli frecvente

Se inversează ordinea factorilor la matrice. $A B$ și $B A$ sunt, în general, matrice diferite, așa că într-un calcul lung ordinea nu se schimbă „ca să iasă mai ușor". Semnul că ai greșit: rezultatul nu se potrivește cu proba pe un element.
Se confundă elementul unitate cu elementul nul la matrice. $O_{2}$ este neutru la adunare, $I_{2}$ la înmulțire; într-o listă de verificări trebuie găsite amândouă, nu unul singur.
Se înmulțesc funcțiile prin compunere. Operația din inelul funcțiilor este $(f g) (x) = f (x) g (x)$ , nu $f (g (x))$ . Sunt două operații complet diferite, cu rezultate diferite chiar pe exemple simple.
Se declară inel o mulțime de funcții fără a verifica unitatea. Cel mai des cade tocmai funcția constantă $1$ , care nu aparține mulțimii alese; verificarea ei durează un rând.
Se verifică distributivitatea într-o singură ordine la matrice. Cum înmulțirea nu e comutativă, $A (B + C) = A B + A C$ și $(B + C) A = B A + C A$ cer calcule separate; la un inel comutativ, una o dă pe cealaltă.

Aplică acasă

Caietul de laborator ca matrice. Notează, timp de două zile, câte pagini scrii la două materii diferite, într-un tabel $2 \times 2$ cu zilele pe linii și materiile pe coloane. Adună cele două tabele ale săptămânii și verifică dacă suma coincide cu numărătoarea directă. Scrie apoi ce tabel joacă rolul elementului nul.
Două funcții, două operații. Alege două funcții simple, una de gradul I și una de gradul al II-lea, și calculează suma și produsul lor. Verifică rezultatele în trei puncte, adunând și înmulțind întâi valorile, apoi înlocuind în expresia obținută. Repetă cu opusele lor și observă ce se schimbă.
Rămâne sau nu în familie? Ia trei familii de funcții la alegere — funcțiile care se anulează în $1$ , funcțiile crescătoare, funcțiile care iau numai valori pozitive — și decide, pentru fiecare, dacă suma și produsul rămân în familie. Scrie contraexemplul acolo unde răspunsul e „nu"; vei vedea că cele mai multe familii cad la una dintre cele două operații.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri: dacă elevul aplică lista celor șapte condiții la elemente care nu mai sunt numere; dacă scrie corect contraexemplul de necomutativitate, cu ambele produse calculate; și dacă identifică elementul nul și elementul unitate în fiecare dintre cele două inele — mai ales la funcții, unde ele sunt funcții constante, nu numere.

Dificultatea capitolului nu este calculul, ci abstractizarea: elevul trebuie să accepte că „ $0$ " și „ $1$ " sunt nume de roluri, jucate aici de $O_{2}$ și $I_{2}$ , respectiv de funcțiile constante. Un semn sigur că a înțeles este că, pus în fața unei mulțimi noi de matrice, începe prin a înmulți două elemente generice, scrise cu litere, și abia apoi caută elementele speciale. Întrebări de control: „Ce înseamnă că înmulțirea nu e comutativă și cum se arată?", „Care e elementul unitate al inelului funcțiilor?", „De ce funcțiile de gradul I nu formează inel?", „Ce se moștenește din $M_{2} (R)$ atunci când lucrezi cu o submulțime?".

Programa și examenul. Tema aparține suplimentului: rândul „Inel, exemple: inele numerice, $Z_{n}$ , inele de matrice, inele de funcții reale" se află în programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) aprobată prin OMEN 4430/2014, care se aplică în sesiunile 2027, 2028 și 2029; inelele de matrice și cele de funcții reale sunt cerute acolo nominal. Programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde la clasa a XII-a, deci pentru generația care va da proba MAT_P2 în 2030 ea nu mai este materie de examen. Operațiile cu matrice pe care se sprijină lecția rămân însă în programa clasei a XI-a, la ambele generații. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest fel stau la Subiectul al II-lea. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este un inel de matrice?

Este o mulțime de matrice pătratice care rămâne închisă la adunare și la înmulțire, conține matricea nulă, matricea unitate și opusele elementelor sale, și care formează astfel un inel cu operațiile obișnuite. Exemplele din lecție sunt $M_{2} (R)$ , mulțimea matricelor cu elemente întregi și mulțimea matricelor cu zero în colțul din stânga-jos.

De ce contează că înmulțirea matricelor nu e comutativă?

Pentru că schimbă regulile de calcul: nu poți muta factorii, iar distributivitatea trebuie verificată în ambele forme. Tot de aici vine faptul că formulele cunoscute de la numere, care presupun comutativitatea, nu se pot folosi fără verificare. Un singur contraexemplu, cu ambele produse scrise, este de ajuns pentru a arăta necomutativitatea.

Cum se înmulțesc două funcții în inelul funcțiilor reale?

Pe puncte: $(f g) (x) = f (x) \cdot g (x)$ , adică se înmulțesc valorile, în fiecare punct al domeniului. Rezultatul este tot o funcție definită pe $R$ . Operația aceasta nu are legătură cu compunerea funcțiilor, la care se calculează întâi $g (x)$ și apoi se aplică $f$ ; cele două dau rezultate diferite.

Care este elementul unitate al inelului funcțiilor?

Funcția constantă $1$ , adică funcția care ia valoarea $1$ în orice punct. Ea este singura cu proprietatea că înmulțită cu orice funcție o lasă neschimbată. Elementul nul este, analog, funcția constantă $0$ . Ambele sunt funcții, nu numere, chiar dacă numele lor vine de la numerele $1$ și $0$ .

Se studiază inelele de matrice și la mate-info (M1)?

Da, dar mult mai departe: acolo se studiază familii de matrice care se comportă ca numerele complexe și legăturile dintre inele, cu ajutorul cărora se rezolvă ecuații matriceale. La științe ale naturii, programa de examen cere doar recunoașterea structurii. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema este în programa de examen din 2014, la algebră, și se dă în sesiunile 2027, 2028 și 2029. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest tip apar la Subiectul al II-lea, ca problemă cu trei cerințe legate — formatul Exemplului 6 din lecție.

Cum îmi dau seama repede că o mulțime de matrice nu e inel?

Caută mai întâi matricea unitate: dacă $I_{2}$ nu are forma cerută de mulțime, discuția s-a încheiat. Apoi verifică dacă produsul a două elemente generice rămâne în mulțime, înmulțindu-le: dacă în rezultat apare un element care strică forma, iarăși ai terminat. Un singur contraexemplu, scris complet, este suficient.