Care dintre mulțimile de mai jos, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, nu este inel?

mulțimea numerelor întregi mai mari decât $$-4$$

Care este elementul unitate al inelului ℤ₈?

Clasa 1, pentru că 1· a= a pentru orice clasă, de exemplu 1· 5= 5. Elementul nul este 0, care se scrie la fel de bine 8, fiindcă 8 dă restul 0.

Cum rezolv ecuația 3x= 1 în ℤ₈?

Încerci clasele până găsești produsul 1: 3·3=9=8+1, deci x= 3. Cum 3 și 8 nu au divizori comuni, soluția există și este singura dintre cele opt clase.

De ce nu pot simplifica mereu într-un inel ℤₙ?

Pentru că produse egale pot veni din factori diferiți. În ℤ₈, 2· 1= 2 și 2· 5= 10= 2, deși 1≠ 5. Simplificarea cu 2 ar duce la o concluzie falsă.

Cum se înmulțesc clasele de resturi modulo n?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Inelul

Înmulțești doi reprezentanți ca pe numere întregi și aduci rezultatul la restul lui la împărțirea cu $n$ : $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ . Exemplu în $Z_{8}$ : $\hat{5} \cdot \hat{7} = 35$ , iar $35 = 8 \cdot 4 + 3$ , deci produsul este $\hat{3}$ . Rezultatul nu depinde de reprezentanții aleși. Surpriza față de numere: $\hat{4} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ , deși niciun factor nu este clasa nulă, fiindcă $8$ divide $8$ .

Lista. $(A, +, \cdot)$ e inel când: ambele operații rămân în $A$ ; adunarea poate muta parantezele și schimba literele între ele, are un element nul $0$ , iar fiecare element își găsește opusul; înmulțirea poate muta parantezele și are un element unitate $1$ ; iar înmulțirea se distribuie peste adunare, în amândouă scrierile. Primele cinci cerințe spun, împreună, că $(A, +)$ e grup comutativ; a șaptea e singura punte între operații.

Numele arată rolul. Elementul nul și elementul unitate nu sunt neapărat numerele $0$ și $1$ : în clasele de resturi ele sunt $\hat{0}$ și $\hat{1}$ . Când nici înmulțirea nu vede care factor e scris întâi, inelul se numește comutativ — la adunare însușirea e obligatorie, la înmulțire e un adaos.

Scurtătura. Dacă mulțimea ta e cuprinsă într-un inel cunoscut, cerințele de calcul se moștenesc și rămân patru controale: operațiile nu ies din mulțime, elementul nul îi aparține, opusele rămân înăuntru, elementul unitate e acolo. O singură cerință căzută schimbă verdictul, iar cea sărită cel mai des e chiar unitatea.

Interdicția. Simplificarea nu e permisă într-un inel oarecare: din $a x = a y$ cu $a$ nenul nu iese $x = y$ .

De reținut

$\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ , redus modulo $n$
în $Z_{n}$ : elementul nul $\hat{0}$ , elementul unitate $\hat{1}$
un produs poate fi $\hat{0}$ fără ca vreun factor să fie $\hat{0}$

Greșeala tipică

Se înmulțesc clasele și rezultatul se lasă nereduse, ca $35$ în $Z_{8}$ ; clasa se aduce între $\hat{0}$ și $\hat{7}$ , deci produsul este $\hat{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

În inelul $(Z_{34}, +, \cdot)$ , rezultatul calculului $13 \cdot \hat{7}$ este:
- a) $23$
- b) $25$
- c) $\hat{9}$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $23$

Înmulțim reprezentanții și reducem: $13 \cdot 7 = 91$ , iar $91 = 34 \cdot 2 + 23$ , deci rezultatul este $23$ . Varianta b) ar ieși dintr-o scădere greșită la reducere ( $91 - 66$ ), c) din $13 + 7 - 11$ , iar d) din $13 \cdot 7 = 91$ redus greșit la $91 - 71$ . Un rezultat din $Z_{34}$ se scrie întotdeauna cu reprezentantul din ${0, 1, \dots, 33}$ .
Care dintre mulțimile de mai jos, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, nu este inel?
- a) $Z$
- b) $Z_{34}$
- c) mulțimea numerelor întregi mai mari decât $- 4$
- d) $Q$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) mulțimea numerelor întregi mai mari decât $- 4$

La c) cade chiar prima cerință: $- 3$ și $- 3$ sunt în mulțime, dar $- 3 + (- 3) = - 6$ nu mai este; pe deasupra, opusul lui $5$ ar fi $- 5$ , tot în afară. Celelalte trei sunt inele comutative: $Z$ și $Q$ sunt cerute nominal de programa de examen, iar la $Z_{34}$ operațiile se fac pe reprezentanți, elementul nul fiind $\hat{0}$ și elementul unitate $\hat{1}$ .
În inelul $(Z_{34}, +, \cdot)$ , soluția ecuației $x + 18 = \hat{6}$ este:
- a) $12$
- b) $24$
- c) $22$
- d) $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $22$

Adunăm în ambii membri opusul lui $18$ , care este $34 - 18 = 16$ : obținem $x = \hat{6} + 16 = 22$ . Verificare: $22 + 18 = 40 = \hat{6}$ , fiindcă $40 = 34 + 6$ . Pentru celelalte: $12 + 18 = 30$ , $24 + 18 = 42$ dă $\hat{8}$ , iar $16 + 18 = 34$ dă $\hat{0}$ .

Întrebări conexe

Cum verific distributivitatea în $Z_{6}$ pe un exemplu?

Calculezi ambele părți: $\hat{2} (\hat{3} + \hat{5}) = \hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4}$ , iar $\hat{2} \cdot \hat{3} + \hat{2} \cdot \hat{5} = \hat{0} + \hat{4} = \hat{4}$ . Exemplul ilustrează proprietatea, dar demonstrația se face cu litere: ea se moștenește de la numerele întregi, prin reprezentanți. Un exemplu reușit nu dovedește proprietatea pentru toate clasele.

Este inel mulțimea numerelor pare cu operațiile obișnuite?

Nu, după definiția din programă, care cere element unitate: adunarea și înmulțirea rămân în mulțime, dar $1$ nu este par, iar niciun număr par $u$ nu verifică $u \cdot x = x$ pentru toate numerele pare $x$ .

Care este elementul unitate al inelului $Z_{8}$ ?

Clasa $\hat{1}$ , pentru că $\hat{1} \cdot \overset{a}{^} = \overset{a}{^}$ pentru orice clasă, de exemplu $\hat{1} \cdot \hat{5} = \hat{5}$ . Elementul nul este $\hat{0}$ , care se scrie la fel de bine $\hat{8}$ , fiindcă $8$ dă restul $0$ .

Cum rezolv ecuația $\hat{3} x = \hat{1}$ în $Z_{8}$ ?

Încerci clasele până găsești produsul $\hat{1}$ : $3 \cdot 3 = 9 = 8 + 1$ , deci $x = \hat{3}$ . Cum $3$ și $8$ nu au divizori comuni, soluția există și este singura dintre cele opt clase.

De ce nu pot simplifica mereu într-un inel $Z_{n}$ ?

Pentru că produse egale pot veni din factori diferiți. În $Z_{8}$ , $\hat{2} \cdot \hat{1} = \hat{2}$ și $\hat{2} \cdot \hat{5} = 10 = \hat{2}$ , deși $\hat{1} \neq = \hat{5}$ . Simplificarea cu $\hat{2}$ ar duce la o concluzie falsă.

Oamenii mai întreabă și: înmulțirea în Z8 · produsul claselor de resturi · tabla înmulțirii modulo n · cum înmulțesc în Zn

Cum se înmulțesc clasele de resturi modulo n?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum verific distributivitatea în Z6​ pe un exemplu?

Este inel mulțimea numerelor pare cu operațiile obișnuite?

Care este elementul unitate al inelului Z8​?

Cum rezolv ecuația 3^x=1^ în Z8​?

De ce nu pot simplifica mereu într-un inel Zn​?

Continuă cu

Cum verific distributivitatea în $Z_{6}$ pe un exemplu?

Care este elementul unitate al inelului $Z_{8}$ ?

Cum rezolv ecuația $\hat{3} x = \hat{1}$ în $Z_{8}$ ?

De ce nu pot simplifica mereu într-un inel $Z_{n}$ ?