Inelul: definiție și exemple (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Pe discul unui fotometru de laborator sunt așezate opt filtre, numerotate de la $0$ la $7$ . Discul se rotește într-un singur sens, iar după a opta poziție se întoarce de unde a plecat, așa că numerele nu cresc la nesfârșit: ele se adună și se înmulțesc „pe cerc". Dacă filtrul $6$ mai avansează $5$ poziții, ajunge la $3$ , nu la $11$ . Aceeași aritmetică „închisă" o întâlnești la ore, la zilele săptămânii, la codurile de control și oriunde un proces se repetă identic. Lecția de față îi dă un nume și o măsură: structura de inel, prima structură din programa clasei a XII-a în care două operații trăiesc împreună pe aceeași mulțime. La științe ale naturii (M2) tema intră în partea de algebră a bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția aparține suplimentului pentru Bacalaureatul M2. Inelele și corpurile se află în programa de examen din 2014, după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029; programa de științe ale naturii intrată în vigoare în 2025 nu le mai cuprinde la clasa a XII-a. Dacă dai examenul în una dintre aceste trei sesiuni, subiectul de algebră poate cere exact ce se află aici; dacă ești pe programa nouă, lecția rămâne o lectură care îți arată de ce adunarea și înmulțirea, atât de diferite între ele, se studiază totuși împreună.

Ce vei învăța

Vei ști să scrii definiția inelului și să parcurgi lista celor șapte condiții, fără să sari niciuna.
Vei ști să găsești, într-o structură dată, cele două elemente speciale — cel nul și cel unitate —, chiar când operațiile nu seamănă cu cele de pe numere.
Vei ști să lucrezi în $Z_{8}$ cu ambele operații: opuse, produse, distributivitate.
Vei ști să decizi, pentru o mulțime concretă cu două operații, care condiție cade — pentru că una singură ajunge.
Vei ști când un inel primește numele de comutativ și care sunt inelele numite de programa de examen.
Vei ști să folosești moștenirea: ce se verifică o singură dată, pentru toate submulțimile unei structuri cunoscute.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge o singură operație?

Până acum ai studiat mulțimi cu o lege de compoziție: ai verificat dacă e asociativă, dacă are element neutru, dacă fiecare element are simetric, iar când toate acestea se întâmplau ai spus că ai un grup — vezi Grupul: definiție și exemple. Aritmetica de zi cu zi are însă două operații, nu una, iar ele nu sunt independente: dacă ai trei probe de câte $120$ mg și trei de câte $80$ mg, masa totală se poate calcula în două feluri, $3 \cdot (120 + 80)$ sau $3 \cdot 120 + 3 \cdot 80$ , și amândouă dau $600$ mg. Nu e o coincidență a cifrelor, ci o lege care leagă înmulțirea de adunare: distributivitatea.

Inelul este o mulțime nevidă $A$ , înzestrată cu două operații notate $+$ și $\cdot$ , care îndeplinesc următoarele cerințe: prima operație e asociativă, e comutativă, are element neutru și dă fiecărui element un opus; a doua e asociativă și are element unitate; în plus, a doua se distribuie peste prima, atât înmulțind la stânga, cât și înmulțind la dreapta. Structura se notează $(A, +, \cdot)$ și se numește „inelul $A$ ".

Reține de la început cele două nume care revin peste tot: elementul neutru al adunării se numește elementul nul și se notează $0$ ; elementul neutru al înmulțirii se numește elementul unitate și se notează $1$ . Nu sunt neapărat numerele $0$ și $1$ — sunt doar numite așa, după rolul pe care îl joacă.

2. Care sunt cele șapte condiții, scrise pe listă?

Fie $A$ o mulțime nevidă pe care lucrează două operații. Structura $(A, +, \cdot)$ este inel dacă:

C1. ambele operații sunt bine definite pe $A$ : $x + y \in A$ și $x y \in A$ , oricare ar fi $x, y \in A$ ;
C2. adunarea este asociativă: $(x + y) + z = x + (y + z)$ ;
C3. adunarea are element nul: există $0 \in A$ cu $x + 0 = 0 + x = x$ ;
C4. fiecare element are opus: pentru orice $x \in A$ există $- x \in A$ cu $x + (- x) = 0$ ;
C5. adunarea este comutativă: $x + y = y + x$ ;
C6. înmulțirea este asociativă și are element unitate: $(x y) z = x (y z)$ și există $1 \in A$ cu $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$ ;
C7. a doua operație se distribuie peste prima, în ambele scrieri: $x (y + z) = x y + x z$ și $(y + z) x = y x + z x$ .

Primele cinci condiții spun, împreună, că $(A, +)$ este grup comutativ. A șaptea e singura care leagă cele două operații între ele; de aceea se scrie pe un singur rând, dar cu ambele forme — la inelele în care înmulțirea nu e comutativă, cele două forme sunt afirmații diferite și niciuna nu o dă pe cealaltă.

Când, pe deasupra, produsul nu depinde de ordinea factorilor, adică $x y = y x$ oricare ar fi cele două elemente, inelul se numește comutativ. Atenție la asimetrie: comutativitatea adunării este obligatorie (C5), cea a înmulțirii este o proprietate în plus, nu o cerință.

3. Care sunt inelele de numere cerute de programa de examen?

Programa de examen numește patru mulțimi de numere: $Z$ , $Q$ , $R$ și $C$ . Toate patru, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, sunt inele comutative; rolul de element nul îl joacă numărul $0$ , iar pe cel de element unitate îl joacă numărul $1$ . Nu rămâne nimic de demonstrat: cele șapte condiții sunt chiar regulile de calcul pe care le folosești din gimnaziu.

Merită totuși observat ce nu spune lista. Nicăieri nu se cere ca elementele nenule să aibă invers la înmulțire. În $Z$ ele nu au: singurele numere întregi al căror invers e tot întreg sunt $1$ și $- 1$ . În $Q$ și în $R$ , dimpotrivă, orice număr nenul are invers. Deosebirea aceasta nu schimbă cu nimic faptul că toate patru sunt inele — dar primește un nume propriu și o teoremă în Corpul: corpuri numerice și clase modulo p, lecția a treia a unității.

Programa mai cere, în același rând, inele de matrice și inele de funcții reale. Ele se construiesc la fel, pe aceeași listă de șapte condiții, dar au un amănunt care le face interesante și care nu apare la numere; le lucrăm pe amândouă în Inele de matrice și inele de funcții reale, lecția următoare. Aici ne oprim la numere și la clasele de resturi.

4. Cum arată cele două operații în $Z_{8}$ ?

Discul cu opt filtre din deschidere este mulțimea claselor de resturi modulo $8$ : $Z_{8} = {\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}, \hat{4}, \hat{5}, \hat{6}, \hat{7}},$ în care $\overset{a}{^}$ adună la un loc toate numerele întregi care dau restul $a$ la împărțirea cu $8$ — împărțirea cu rest o știi din gimnaziu, de la Teorema împărțirii cu rest. Operațiile se fac pe reprezentanți: $\overset{a}{^} + \hat{b} = a + b$ și $\overset{a}{^} \cdot \hat{b} = ab$ , iar rezultatul se reduce la restul împărțirii cu $8$ .

Că $(Z_{8}, +)$ este grup comutativ — adică exact condițiile C1–C5 — s-a arătat la Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n: elementul nul este $\hat{0}$ , iar opusul lui $\overset{a}{^}$ este $8 - a$ pentru $a \neq = 0$ . Nu le reluăm; le folosim. Ce este nou aici e a doua operație, pe care o scriem întreagă, în tabla ei:

$\cdot$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{6}$	$\hat{7}$
$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$	$\hat{0}$
$\hat{1}$	$\hat{0}$	$\hat{1}$	$\hat{2}$	$\hat{3}$	$\hat{4}$	$\hat{5}$	$\hat{6}$	$\hat{7}$
$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{6}$	$\hat{0}$	$\hat{2}$	$\hat{4}$	$\hat{6}$
$\hat{3}$	$\hat{0}$	$\hat{3}$	$\hat{6}$	$\hat{1}$	$\hat{4}$	$\hat{7}$	$\hat{2}$	$\hat{5}$
$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$	$\hat{0}$	$\hat{4}$
$\hat{5}$	$\hat{0}$	$\hat{5}$	$\hat{2}$	$\hat{7}$	$\hat{4}$	$\hat{1}$	$\hat{6}$	$\hat{3}$
$\hat{6}$	$\hat{0}$	$\hat{6}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$	$\hat{0}$	$\hat{6}$	$\hat{4}$	$\hat{2}$
$\hat{7}$	$\hat{0}$	$\hat{7}$	$\hat{6}$	$\hat{5}$	$\hat{4}$	$\hat{3}$	$\hat{2}$	$\hat{1}$

Tabla se citește repede și spune trei lucruri. În toate căsuțele apar numai clase din $Z_{8}$ , deci C1 e îndeplinită și pentru înmulțire. Tabla este simetrică față de diagonala principală, deci înmulțirea este comutativă — inelul va fi comutativ. Iar linia lui $\hat{1}$ și coloana lui $\hat{1}$ reproduc prima linie și prima coloană a tablei, semn că $\hat{1}$ este elementul unitate. Asociativitatea înmulțirii și distributivitatea se moștenesc din $Z$ , pentru că amândouă operațiile se fac pe reprezentanți: ce e adevărat pentru numere întregi rămâne adevărat după ce iei restul.

Așadar $(Z_{8}, +, \cdot)$ este un inel comutativ, în care $\hat{0}$ ține locul lui zero, iar $\hat{1}$ pe cel al unității. Același raționament merge, cuvânt cu cuvânt, pentru orice $n \geq 2$ .

5. O mulțime care trece de șase condiții și cade la a șaptea

Verificarea pe listă nu e o formalitate: se întâmplă des ca o mulțime să treacă de aproape toate condițiile și să cadă la una singură. Ia, în $Z_{8}$ , mulțimea claselor „pare" $P = {\hat{0}, \hat{2}, \hat{4}, \hat{6}},$ cu aceleași două operații. Suma și produsul a două clase pare rămân pare, deci C1 e îndeplinită; asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $Z_{8}$ , deci C2, C5 și C7 la fel; $\hat{0}$ este în $P$ , deci C3; iar opusele sunt tot pare, fiindcă $- \hat{2} = \hat{6}$ și $- \hat{4} = \hat{4}$ , deci și C4.

Rămâne C6, și aici totul se oprește. Un element unitate al lui $P$ ar trebui să lase pe loc, prin înmulțire, clasa $\hat{2}$ ; dar în $P$ nu există așa ceva: $\hat{0} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ , $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4}$ , $\hat{4} \cdot \hat{2} = \hat{0}$ și $\hat{6} \cdot \hat{2} = \hat{4}$ — niciun rezultat nu e $\hat{2}$ . Cum $\hat{1}$ nu aparține lui $P$ , mulțimea $P$ nu este inel, deși a trecut de șase condiții din șapte. Ține minte tiparul: o singură condiție care cade răstoarnă concluzia, iar cea uitată cel mai des este chiar existența unității.

6. Cum verifici pe hârtie, fără să demonstrezi de șapte ori?

Când mulțimea ta este cuprinsă într-o structură despre care știi deja că e inel — $R$ , $C$ , $Z_{n}$ —, condițiile de calcul C2, C5 și C7 nu se mai verifică: ce se verifică pentru toate elementele structurii mari rămâne valabil și pentru cele pe care le-ai ales tu. Rămân de arătat doar patru lucruri, și în ordinea aceasta: că suma și produsul nu ies din mulțime (C1), că elementul nul îi aparține (C3), că opusul fiecărui element rămâne înăuntru (C4) și că elementul unitate este și el acolo (C6). Abia după al patrulea punct ai voie să scrii concluzia.

Când mulțimea nu e cuprinsă în nimic cunoscut, nu ai scurtături: parcurgi lista întreagă. Iar dacă vrei să arăți că o mulțime nu e inel, nu trebuie să verifici nimic altceva decât condiția care cade — un singur contraexemplu, scris complet, încheie discuția.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Care condiție cade la mulțimea numerelor nenegative?

Stabilește dacă $[0, + \infty)$ , cu adunarea și înmulțirea obișnuite, este inel.

Rezolvare. Mulțimea aceasta a mai fost cântărită o dată, la Grupul: definiție și exemple, cu o singură operație; acum o trecem prin lista întreagă. Suma și produsul a două numere nenegative sunt nenegative, deci C1 e îndeplinită. Asociativitatea, comutativitatea și distributivitatea se moștenesc din $R$ , deci C2, C5, C7. Elementul nul $0$ aparține mulțimii (C3), la fel elementul unitate $1$ (C6). Cade însă C4: numărul $2$ ar trebui să aibă un opus în mulțime, adică un $y \geq 0$ cu $2 + y = 0$ ; dar $2 + y \geq 2$ pentru orice $y \geq 0$ , deci nu există. Prin urmare $[0, + \infty)$ nu este inel.

Exemplul 2 — Distributivitatea, verificată pe un caz

Verifică, în $Z_{8}$ , egalitatea $\hat{3} \cdot (\hat{4} + \hat{7}) = \hat{3} \cdot \hat{4} + \hat{3} \cdot \hat{7}$ .

Rezolvare. Membrul stâng: $\hat{4} + \hat{7} = 11 = \hat{3}$ , deci $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{1}$ . Membrul drept: $\hat{3} \cdot \hat{4} = 12 = \hat{4}$ și $\hat{3} \cdot \hat{7} = 21 = \hat{5}$ , cu suma $\hat{4} + \hat{5} = \hat{9} = \hat{1}$ . Cele două rezultate coincid, deci egalitatea se verifică. Observă ordinea gesturilor: în stânga aduni întâi și înmulțești după, în dreapta invers — asta și spune C7.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „în $Z_{8}$ avem $\hat{4} \cdot \hat{2} = \hat{4} \cdot \hat{6}$ , deci, simplificând cu $\hat{4}$ , obținem $\hat{2} = \hat{6}$ ". Găsește greșeala.

Rezolvare. Prima egalitate este corectă: $\hat{4} \cdot \hat{2} = \hat{8} = \hat{0}$ și $\hat{4} \cdot \hat{6} = 24 = \hat{0}$ , deci amândouă produsele sunt $\hat{0}$ . Greșeala e pasul al doilea: simplificarea nu este una dintre cele șapte condiții. Ea se face, în $Q$ sau în $R$ , înmulțind cu inversul factorului comun — dar lista de mai sus nu cere ca elementele nenule să aibă invers, iar în $Z_{8}$ clasa $\hat{4}$ nu are. Concluzia $\hat{2} = \hat{6}$ este, evident, falsă: sunt clase diferite. Reține: într-un inel oarecare se adună, se scade și se înmulțește, dar nu se simplifică.

Exemplul 4 — Model din științe: bilanțul unei diluții

Într-un laborator se prepară $4$ probe identice, fiecare din $25$ mL soluție-mamă și $15$ mL apă. Calculează volumul total în două feluri și spune ce condiție din listă ai folosit.

Rezolvare. Primul fel: volumul unei probe este $25 + 15 = 40$ mL, deci în total $4 \cdot 40 = 160$ mL. Al doilea fel: în total intră $4 \cdot 25 = 100$ mL soluție-mamă și $4 \cdot 15 = 60$ mL apă, adică $100 + 60 = 160$ mL. Rezultatele coincid, iar egalitatea $4 \cdot (25 + 15) = 4 \cdot 25 + 4 \cdot 15$ este chiar condiția C7, distributivitatea, scrisă pe cifre. Ea este motivul pentru care un bilanț de laborator poate fi verificat pe două drumuri: dacă cele două numere nu ies egale, greșeala e de calcul, nu de metodă.

Exemplul 5 — Mulțimea numerelor iraționale

Arată că mulțimea numerelor iraționale, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, nu este inel.

Rezolvare. Cade chiar prima condiție. Produsul $5 \cdot 5 = 5$ este rațional, deși ambii factori sunt iraționali, deci înmulțirea iese din mulțime și C1 nu e îndeplinită. Nici adunarea nu se poartă mai bine: $5 + (- 5) = 0$ , tot un număr rațional. Nu mai are rost să verificăm restul condițiilor: o mulțime pe care operațiile nu sunt bine definite nu poate fi inel.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

(Cerință construită pe rândul din programa de examen, în formatul unei probleme cu trei subpuncte legate.)

Se consideră inelul $(Z_{8}, +, \cdot)$ .

a) Calculează $\hat{5} \cdot \hat{6} + \hat{3}$ .

b) Rezolvă ecuația $x + \hat{6} = \hat{3}$ .

c) Arată că suma tuturor claselor din $Z_{8}$ este $\hat{4}$ .

Rezolvare. a) $\hat{5} \cdot \hat{6} = 30 = \hat{6}$ , pentru că $30 = 3 \cdot 8 + 6$ . Atunci $\hat{6} + \hat{3} = \hat{9} = \hat{1}$ .

b) Adunăm în ambii membri opusul lui $\hat{6}$ , care este $\hat{2}$ : obținem $x = \hat{3} + \hat{2} = \hat{5}$ . Verificare: $\hat{5} + \hat{6} = 11 = \hat{3}$ , deci soluția este $x = \hat{5}$ .

c) Adunăm reprezentanții: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ , iar $28 = 3 \cdot 8 + 4$ , deci suma este $28 = \hat{4}$ . Se poate și mai scurt, grupând fiecare clasă cu opusa ei: $\hat{1} + \hat{7} = \hat{0}$ , $\hat{2} + \hat{6} = \hat{0}$ , $\hat{3} + \hat{5} = \hat{0}$ , iar ce rămâne nepereche este $\hat{0} + \hat{4} = \hat{4}$ .

Să exersăm

1. Precizează elementul nul și elementul unitate în inelele $Z$ , $Q$ și $R$ .

2. Calculează în $Z_{8}$ : $\hat{7} \cdot \hat{5} + \hat{6}$ .

3. Determină opusele claselor $\hat{1}$ , $\hat{3}$ și $\hat{7}$ în $Z_{8}$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Mulțimea ${\hat{0}, \hat{1}, \hat{2}, \hat{3}}$ , cu operațiile din $Z_{8}$ , este inel.

5. Verifică, pe cazul claselor $\hat{2}$ , $\hat{3}$ și $\hat{7}$ din $Z_{8}$ , egalitatea $(\hat{2} + \hat{3}) \cdot \hat{7} = \hat{2} \cdot \hat{7} + \hat{3} \cdot \hat{7}$ .

6. Precizează care dintre cele șapte condiții cade pentru mulțimea numerelor întregi impare, cu adunarea și înmulțirea obișnuite.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\hat{3} \cdot \hat{3} \cdot \hat{3}$ în $Z_{8}$ .

8. Verifică asociativitatea înmulțirii pe tripletul $\hat{3}$ , $\hat{5}$ , $\hat{6}$ din $Z_{8}$ , calculând separat $(\hat{3} \cdot \hat{5}) \cdot \hat{6}$ și $\hat{3} \cdot (\hat{5} \cdot \hat{6})$ .

9. (Problemă aplicată.) Un tehnician afirmă că valorile citite pe o balanță, rotunjite la jumătatea de gram, adică mulțimea numerelor de forma $\frac{k}{2}$ cu $k$ întreg, formează inel cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Verifică afirmația și spune care condiție cade, dacă e cazul.

10. Scrie care dintre cele șapte condiții folosește egalitatea $(x + y) z = x z + y z$ și de ce ea nu se deduce din $z (x + y) = z x + z y$ atunci când înmulțirea nu e comutativă.

11. Calculează $\hat{2} \cdot (\hat{3} + \hat{6}) + \hat{5}$ în $Z_{8}$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră inelul $Z_{8}$ . a) Calculează $\hat{4} \cdot \hat{5} + \hat{2}$ . b) Determină opusul clasei $\hat{5}$ . c) Arată că $\hat{6} \cdot \hat{6} = \hat{4}$ .

13. Arată că mulțimea numerelor raționale, cu adunarea și înmulțirea obișnuite, îndeplinește toate cele șapte condiții și precizează care dintre ele are nevoie de faptul că $0$ nu este numitor.

14. Un elev spune că „orice inel are cel puțin două elemente". Explică de ce afirmația e adevărată pentru toate inelele din această lecție, numind condițiile pe care se sprijină.

15. Arată că în $Z_{8}$ clasa $\hat{7}$ este opusul clasei $\hat{1}$ și calculează apoi $\hat{7} \cdot \hat{7}$ .

16. Determină toate clasele $\overset{x}{^}$ din $Z_{8}$ pentru care $\hat{2} \cdot \overset{x}{^} = \hat{0}$ .

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează în $Z_{8}$ suma $\hat{3} + \hat{3} + \hat{3} + \hat{3}$ și compară rezultatul cu $\hat{4} \cdot \hat{3}$ .

18. (Provocare.) Determină toate clasele $\overset{a}{^}$ din $Z_{8}$ pentru care $\overset{a}{^} \cdot \overset{a}{^} = \overset{a}{^}$ .

Răspunsuri și explicații

1. În toate trei, elementul nul este $0$ și elementul unitate este $1$ . Deosebirea dintre ele nu stă în aceste două elemente, ci în inversabilitate, temă a lecției despre corpuri.

2. $\hat{7} \cdot \hat{5} = 35 = \hat{3}$ , pentru că $35 = 4 \cdot 8 + 3$ ; apoi $\hat{3} + \hat{6} = \hat{9} = \hat{1}$ .

3. Opusul lui $\hat{1}$ este $\hat{7}$ , opusul lui $\hat{3}$ este $\hat{5}$ , opusul lui $\hat{7}$ este $\hat{1}$ ; în fiecare caz suma dă $\hat{8} = \hat{0}$ .

4. Fals. Adunarea scoate din mulțime, deci cade C1: $\hat{2} + \hat{3} = \hat{5}$ , iar $\hat{5}$ nu se află printre cele patru clase. Observă că înmulțirea singură nu ar fi trădat nimic pe primele căsuțe — tocmai de aceea C1 se cere pentru ambele operații.

5. Membrul stâng: $\hat{2} + \hat{3} = \hat{5}$ și $\hat{5} \cdot \hat{7} = 35 = \hat{3}$ . Membrul drept: $\hat{2} \cdot \hat{7} = 14 = \hat{6}$ , $\hat{3} \cdot \hat{7} = 21 = \hat{5}$ , iar $\hat{6} + \hat{5} = 11 = \hat{3}$ . Egalitatea se verifică; e forma „la dreapta" a condiției C7.

6. Cade C1, dar numai pentru adunare: $3 + 5 = 8$ nu e impar. Înmulțirea, în schimb, nu iese din mulțime, iar $1$ este impar — semn că o mulțime poate fi bine așezată față de o operație și deloc față de cealaltă. Cade, în plus, și C3, fiindcă $0$ nu e impar.

7. $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{9} = \hat{1}$ , apoi $\hat{1} \cdot \hat{3} = \hat{3}$ . Se poate și direct: $3^{3} = 27 = 3 \cdot 8 + 3$ , deci $27 = \hat{3}$ .

8. $(\hat{3} \cdot \hat{5}) \cdot \hat{6}$ : $\hat{3} \cdot \hat{5} = 15 = \hat{7}$ , apoi $\hat{7} \cdot \hat{6} = 42 = \hat{2}$ . $\hat{3} \cdot (\hat{5} \cdot \hat{6})$ : $\hat{5} \cdot \hat{6} = 30 = \hat{6}$ , apoi $\hat{3} \cdot \hat{6} = 18 = \hat{2}$ . Aceleași rezultate, deci asociativitatea se verifică pe acest triplet.

9. Afirmația este falsă. Suma a două numere de forma $\frac{k}{2}$ rămâne de aceeași formă, dar produsul nu: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ , iar $\frac{1}{4}$ nu se scrie ca jumătate de număr întreg. Cade deci C1, pentru înmulțire. Practic: dacă înmulțești două valori rotunjite la jumătatea de gram, rezultatul nu mai este o valoare afișabilă pe aceeași balanță.

10. Este condiția C7, în forma „la dreapta". Când înmulțirea nu e comutativă, $z (x + y)$ și $(x + y) z$ sunt produse diferite, așa că din prima egalitate nu rezultă a doua; de aceea definiția le cere pe amândouă. La inelele din lecția de față, unde înmulțirea e comutativă, ele se obțin una din alta.

11. $\hat{3} + \hat{6} = \hat{9} = \hat{1}$ , apoi $\hat{2} \cdot \hat{1} = \hat{2}$ și $\hat{2} + \hat{5} = \hat{7}$ .

12. a) $\hat{4} \cdot \hat{5} = 20 = \hat{4}$ , apoi $\hat{4} + \hat{2} = \hat{6}$ . b) Opusul lui $\hat{5}$ este $\hat{3}$ , pentru că $\hat{5} + \hat{3} = \hat{8} = \hat{0}$ . c) $\hat{6} \cdot \hat{6} = 36 = \hat{4}$ , pentru că $36 = 4 \cdot 8 + 4$ .

13. Toate cele șapte condiții sunt îndeplinite: suma și produsul a două fracții sunt fracții, calculele se fac ca în $R$ , elementul nul este $0$ , elementul unitate este $1$ , iar opusul lui $\frac{p}{q}$ este $\frac{- p}{q}$ . Faptul că $0$ nu poate fi numitor nu privește niciuna dintre cele șapte condiții — el este necesar ca scrierea unui număr rațional să aibă sens, deci intervine înaintea listei.

14. Afirmația se sprijină pe C3 și pe C6: inelul conține elementul nul și elementul unitate. Dacă cele două ar coincide, inelul ar avea un singur element; toate inelele din lecție au $0 \neq = 1$ , așa că au cel puțin două elemente. În $Z_{8}$ , de pildă, $\hat{0} \neq = \hat{1}$ .

15. $\hat{1} + \hat{7} = \hat{8} = \hat{0}$ , deci $\hat{7}$ este opusul lui $\hat{1}$ . Apoi $\hat{7} \cdot \hat{7} = 49 = \hat{1}$ , pentru că $49 = 6 \cdot 8 + 1$ . Rezultatul e firesc: produsul a doi opuși ai unității dă unitatea.

16. Căutăm clasele cu $2 x = \hat{0}$ , adică $8 ∣ 2 x$ , deci $4 ∣ x$ . Soluțiile sunt $\overset{x}{^} = \hat{0}$ și $\overset{x}{^} = \hat{4}$ ; se verifică și pe linia lui $\hat{2}$ din tablă, unde $\hat{0}$ apare exact în coloanele lui $\hat{0}$ și $\hat{4}$ .

17. $\hat{3} + \hat{3} + \hat{3} + \hat{3} = 12 = \hat{4}$ , iar $\hat{4} \cdot \hat{3} = 12 = \hat{4}$ . Rezultatele coincid, ceea ce arată că înmulțirea cu $\hat{4}$ face, și aici, ce face înmulțirea cu un număr natural: adună de patru ori același termen.

18. Verificăm toate cele opt clase, folosind diagonala tablei: $\hat{0} \cdot \hat{0} = \hat{0}$ și $\hat{1} \cdot \hat{1} = \hat{1}$ — două soluții; apoi $\hat{2} \cdot \hat{2} = \hat{4}$ , $\hat{3} \cdot \hat{3} = \hat{1}$ , $\hat{4} \cdot \hat{4} = \hat{0}$ , $\hat{5} \cdot \hat{5} = \hat{1}$ , $\hat{6} \cdot \hat{6} = \hat{4}$ , $\hat{7} \cdot \hat{7} = \hat{1}$ , niciunul egal cu clasa de plecare. Răspuns: doar $\overset{a}{^} = \hat{0}$ și $\overset{a}{^} = \hat{1}$ .

De reținut

Un inel este o mulțime cu două operații: adunarea, față de care e grup comutativ, și înmulțirea, asociativă și cu element unitate, legate între ele prin distributivitate — cele șapte condiții C1–C7.
Elementul nul $0$ și elementul unitate $1$ sunt numite după rolul lor, nu după cifre: în $Z_{8}$ ele sunt clasele $\hat{0}$ și $\hat{1}$ .
Inelele cerute de programa de examen sunt $Z$ , $Q$ , $R$ , $C$ , $Z_{n}$ , inelele de matrice și inelele de funcții reale; primele cinci sunt comutative.
O singură condiție care cade răstoarnă concluzia: mulțimea numerelor nenegative pică la opuse, cea a numerelor iraționale chiar la prima condiție, mulțimea claselor pare din $Z_{8}$ la elementul unitate.
Într-un inel oarecare nu se simplifică: din $a x = a y$ cu $a \neq = 0$ nu rezultă $x = y$ , pentru că lista nu cere ca elementele nenule să aibă invers.

Greșeli frecvente

Se verifică operațiile, dar se uită elementele. Cel mai des lipsește elementul unitate: se arată că operațiile nu scot din mulțime și se scrie concluzia, deși $1$ nu aparține mulțimii. Parcurge lista până la capăt, apoi scrie „este inel".
Se scrie „ $(A, +)$ este grup", fără „comutativ". Comutativitatea adunării (C5) face parte din definiție, nu e o observație în plus; la înmulțire, dimpotrivă, comutativitatea este o proprietate suplimentară, care se cere spusă separat.
Se calculează în $Z_{n}$ fără a reduce la final. Rezultatul unei operații trebuie scris ca una dintre cele $n$ clase: în $Z_{8}$ , răspunsul $30$ nu e greșit, dar nu e terminat — se scrie $\hat{6}$ .
Se simplifică într-un inel, din obișnuință. Regula „împart ambii membri la același număr" vine din lucrul cu numere raționale și nu se transportă: în $Z_{8}$ ea duce la concluzii false, cum s-a văzut în Exemplul 3.
Se declară că o mulțime nu e inel, fără a numi condiția. „Nu se poate" nu e răspuns; răspunsul este „cade C4, pentru că elementul $2$ nu are opus în mulțime" — cu elementul scris.

Aplică acasă

Discul cu opt poziții. Decupează un disc de carton, împarte-l în opt sectoare numerotate de la $\hat{0}$ la $\hat{7}$ și prinde deasupra un ac indicator. Pornind din $\hat{0}$ , avansează de fiecare dată cu trei sectoare și notează pozițiile prin care treci, până te întorci la punctul de plecare. Scrie apoi șirul obținut ca sumă repetată și verifică-l înmulțind în $Z_{8}$ .
Lista, aplicată la o mulțime aleasă de tine. Alege o mulțime de numere: multiplii lui $10$ , numerele întregi mai mari decât $- 5$ , numerele reale de forma $a + b$ cu $a$ întreg și $b \in {0; 0, 5}$ . Parcurge cele șapte condiții, una câte una, și scrie în dreptul fiecăreia „da" sau contraexemplul. Vei vedea că o mulțime aleasă la întâmplare cade, de obicei, la prima sau la a patra condiție.
Unde se ascunde distributivitatea. Caută în manualul de fizică sau de chimie trei formule în care o paranteză se desface prin înmulțire — o lege de compunere a forțelor, o formulă de concentrație, un bilanț de masă. Scrie pentru fiecare ambele forme, cea cu paranteză și cea desfăcută, și calculează-le pe cifre, ca să verifici că dau același rezultat.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul enunță complet definiția inelului, cu toate cele șapte condiții; dacă lucrează corect cu ambele operații în $Z_{8}$ , reducând rezultatul la una dintre cele opt clase; și dacă, pus în fața unei mulțimi care nu e inel, numește condiția care cade și o susține cu un element concret. Ultimul lucru este cel mai greu și cel mai des cerut.

Dificultatea reală nu e calculul, ci schimbarea de obicei: până acum elevul a lucrat cu o singură operație pe rând, iar acum trebuie să le țină pe amândouă în minte și să le verifice separat. Semnele că a înțeles: nu mai confundă elementul nul cu elementul unitate; nu mai declară „este inel" înainte de a găsi ambele elemente neutre; și nu mai simplifică automat într-o egalitate de produse. Întrebări de control, bune de pus acasă: „Câte condiții are lista și care leagă cele două operații?", „Ce înseamnă că o operație nu scoate din mulțime?", „De ce mulțimea numerelor iraționale nu e inel?", „Care e opusul lui $\hat{5}$ în $Z_{8}$ ?".

Programa și examenul. Tema aparține suplimentului: ea se află în programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat), cea aprobată prin OMEN 4430/2014, la domeniul de algebră, rândul „Inel, exemple: inele numerice, $Z_{n}$ , inele de matrice, inele de funcții reale", și se dă în sesiunile 2027, 2028 și 2029. Programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu o mai cuprinde la clasa a XII-a, deci pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030 ea nu mai este materie de examen. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest fel stau la Subiectul al II-lea; proba durează trei ore, are trei subiecte de câte $30$ de puncte și $10$ puncte din oficiu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că o mulțime are structură de inel?

Este o mulțime nevidă pe care sunt date două operații, o adunare și o înmulțire, care îndeplinesc șapte condiții: adunarea e asociativă, comutativă, are element nul și opuse; înmulțirea e asociativă și are element unitate; iar a doua operație se distribuie peste prima, în ambele scrieri. Se notează $(A, +, \cdot)$ .

Care este diferența dintre un grup și un inel?

Un grup are o singură operație, un inel are două. Mai exact, într-un inel adunarea singură formează un grup comutativ, iar înmulțirea aduce încă două cerințe — asociativitatea și elementul unitate — plus legătura dintre operații, distributivitatea. Un inel este deci un grup căruia i s-a adăugat o a doua operație, legată de prima.

Ce se studiază la inele la mate-info (M1) și nu intră la științe ale naturii?

La mate-info tema e mult mai întinsă: acolo se studiază regulile de calcul dintr-un inel, elementele inversabile, legile date prin formule pe $R$ sau pe $Z$ și legăturile dintre inele. La M2, programa de examen cere doar definiția și exemplele. Pentru comparație, aceeași temă la mate-info (M1).

Cum arăt, pe hârtie, că o mulțime este inel?

Dacă mulțimea e cuprinsă într-un inel cunoscut, verifici patru lucruri: că suma și produsul nu ies din mulțime, că elementul nul îi aparține, că opusele rămân înăuntru și că elementul unitate e acolo; restul condițiilor se moștenesc. Dacă nu e cuprinsă în nimic cunoscut, parcurgi lista întreagă, condiție cu condiție.

De ce spunem „inel comutativ", dacă adunarea e oricum comutativă?

Pentru că adjectivul se referă numai la a doua operație. Comutativitatea adunării este obligatorie pentru orice inel, fiind condiția C5; comutativitatea înmulțirii nu este cerută de definiție, așa că inelele în care ea are loc primesc un nume separat. Inelele de numere și $Z_{n}$ sunt comutative.

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Tema este în programa de examen din 2014, la algebră, și se dă în sesiunile 2027, 2028 și 2029. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de algebră de acest tip apar la Subiectul al II-lea, sub forma unei probleme cu trei cerințe legate, ca Exemplul 6 din lecție.

De ce se lucrează cu clasele de resturi și nu direct cu numerele întregi?

Pentru că multe procese se repetă identic după un număr fix de pași: pozițiile unui disc, orele, zilele. În astfel de situații conta numai restul împărțirii, iar clasele de resturi sunt tocmai instrumentul care păstrează restul și uită restul informației. Ele dau, în plus, primele exemple de inele cu un număr finit de elemente.