Se consideră $$A=\begin{pmatrix}7 & 8\\5 & 2\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}4 & 6\\3 & 1\end{pmatrix}$$. Calculează $$A\cdot B$$.

$$\begin{pmatrix}52 & 50\\26 & 32\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}58 & 44\\26 & 26\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}28 & 48\\15 & 2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}76 & 29\\32 & 17\end{pmatrix}$$

Se consideră $$A=\begin{pmatrix}5 & 4 & 4\\3 & 0 & 5\end{pmatrix}$$ și $$B=\begin{pmatrix}1 & -2\\2 & 4\\6 & -3\end{pmatrix}$$. Calculează $$A\cdot B$$.

$$\begin{pmatrix}37 & -6\\33 & -21\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}13 & -6\\33 & -21\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}37 & 33\\-6 & -21\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-1 & 4 & -6\\22 & 8 & 28\\21 & 24 & 9\end{pmatrix}$$

De ce contează ordinea la produsul matricelor?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Produsul a două matrice

Fiindcă un element al produsului combină o linie a primului factor cu o coloană a celui de-al doilea. Schimbând ordinea, se întâlnesc alte linii cu alte coloane. Pentru $A = (1021)$ și $B = (1301)$ ies $A B = (7321)$ și $B A = (1327)$ , diferite. Uneori produsele nici nu au același format: o matrice $2 \times 3$ ori una $3 \times 2$ dă $2 \times 2$ , iar invers dă $3 \times 3$ .

A treia operație părăsește regula „fiecare căsuță cu perechea ei": un singur număr al rezultatului se naște dintr-un rând întreg și dintr-o coloană întreagă. De aceea produsul are o condiție de existență proprie — numerele din mijlocul scrierii $(m \times n) \cdot (n \times p)$ trebuie să coincidă —, iar forma rezultatului, $m \times p$ , se citește din cele rămase la margini. Când condiția nu e îndeplinită, pe foaie se scrie că operația nu se poate face; tabloul nul ar fi un rezultat, nu o imposibilitate.

Numărul de termeni ai fiecărei sume este chiar numărul din mijloc, iar rândul vine mereu de la primul factor, coloana de la al doilea. De aici și expresiile „înmulțit la stânga" și „înmulțit la dreapta", care nu sunt pedanterie: ele arată care dintre două calcule diferite s-a făcut.

Rămân valabile asociativitatea, cele două distributivități și rolurile speciale ale lui $I_{n}$ și ale tabloului nul. Se pierd trei lucruri, toate vizibile în exerciții: comutativitatea, concluzia obișnuită dintr-un produs nul și dreptul de a tăia un factor comun.

Capcana. Transpusa răstoarnă ordinea, $^{t} (A \cdot B) =^{t} B \cdot^{t} A$ , singura scriere pentru care se potrivesc și formatele. Iar o pereche care face excepție și comută nu spune nimic despre restul tablourilor.

De reținut

$(m \times n) \cdot (n \times p)$ dă o matrice $m \times p$
în general $A B \neq = B A$ , iar uneori $B A$ nici nu există
$A \cdot I_{n} = I_{n} \cdot A = A$ și $(A B) C = A (B C)$

Greșeala tipică

Se simplifică $A B - B A$ la $O_{n}$ , ca la numere; diferența este nulă doar dacă matricele comută, lucru care se verifică prin calcul.

Exerciții din această mini-lecție

Matricea $A$ este de tipul $4 \times 3$ , iar matricea $B$ este de tipul $3 \times 5$ . Ce se poate spune despre produsul $B \cdot A$ ?
- a) este de tipul $5 \times 4$
- b) este de tipul $3 \times 3$
- c) nu este definit
- d) este de tipul $4 \times 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) nu este definit

Scriem formatele alăturat, în ordinea cerută: $(3 \times 5) \cdot (4 \times 3)$ . Numerele din mijloc sunt $5$ și $4$ , deci nu coincid, iar produsul nu se poate face. Varianta d) dă formatul celuilalt produs, $A \cdot B$ , care chiar există; variantele a) și b) combină numere de la margini fără să verifice condiția. Ordinea în care se scriu cei doi factori decide dacă produsul există, nu numai cât valorează.
Se consideră $A = (7582)$ și $B = (4361)$ . Calculează $A \cdot B$ .
- a) $(58264426)$
- b) $(52265032)$
- c) $(2815482)$
- d) $(76322917)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(52265032)$

Fiecare căsuță este o sumă de doi termeni: $7 \cdot 4 + 8 \cdot 3 = 52$ , $7 \cdot 6 + 8 \cdot 1 = 50$ , $5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 26$ și $5 \cdot 6 + 2 \cdot 1 = 32$ . Varianta a) este celălalt produs, $B \cdot A$ , care iese cu totul altfel; varianta c) înmulțește căsuțele între ele, adică folosește regula de la adunare; varianta d) ia din al doilea factor rândurile în loc de coloane, deci calculează, de fapt, $A \cdot^{t} B$ .
Se consideră $A = (534045)$ și $B = 126 - 2 4 - 3$ . Calculează $A \cdot B$ .
- a) $(3733 - 6 - 21)$
- b) $(1333 - 6 - 21)$
- c) $(37 - 6 33 - 21)$
- d) $- 1 2221 4824 - 6 289$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(3733 - 6 - 21)$

Formatele se scriu $(2 \times 3) \cdot (3 \times 2)$ , deci produsul există și are ordinul $2$ , iar fiecare căsuță adună trei termeni: $5 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 6 = 37$ , $5 \cdot (- 2) + 4 \cdot 4 + 4 \cdot (- 3) = - 6$ , $3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 5 \cdot 6 = 33$ și $3 \cdot (- 2) + 0 \cdot 4 + 5 \cdot (- 3) = - 21$ . Varianta b) sare al treilea termen din prima căsuță, c) este transpusa rezultatului, iar d) este produsul luat în ordinea cealaltă, care are formatul $3 \times 3$ .

Întrebări conexe

Ce format are produsul unei matrice $2 \times 3$ cu o coloană de 3 elemente?

Are formatul $2 \times 1$ : se păstrează numărul de linii al primului factor și numărul de coloane al celui de-al doilea. De exemplu, $(13 0 - 1 21) \cdot 251 = (42)$ , fiindcă $2 + 0 + 2 = 4$ și $6 - 5 + 1 = 2$ .

Există matrice care comută la înmulțire?

Da, în cazuri speciale. $I_{n}$ comută cu orice matrice de ordinul $n$ , iar o matrice comută cu ea însăși. Și $A = (1021)$ comută cu $B = (3043)$ : ambele produse dau $(30103)$ . Comutarea trebuie verificată prin calcul, nu presupusă.

Cât face o matrice înmulțită cu $I_{2}$ ?

Rămâne neschimbată: $A \cdot I_{2} = I_{2} \cdot A = A$ pentru orice $A$ de ordinul $2$ . De exemplu, $(52 - 1 3) \cdot (1001) = (52 - 1 3)$ . Matricea unitate are la înmulțire rolul numărului $1$ , iar egalitatea ține în ambele ordini, deși înmulțirea matricelor nu este, în general, comutativă.

Poate produsul a două matrice nenule să fie matricea nulă?

Da, spre deosebire de numere. Pentru $A = (1111)$ și $B = (1 - 1 - 1 1)$ fiecare element al lui $A B$ este $1 - 1 = 0$ , deci $A B = O_{2}$ . De aici rezultă că din $A B = O_{2}$ nu se poate trage concluzia că $A$ sau $B$ este nulă.

Pot muta parantezele într-un produs de trei matrice?

Da: înmulțirea matricelor este asociativă, deci $(A B) C = A (B C)$ ori de câte ori produsele există. Ce nu ai voie să faci este să schimbi ordinea factorilor. Poți alege gruparea care dă calcule mai scurte, de exemplu înmulțind întâi două matrice care produc multe zerouri.

Oamenii mai întreabă și: de ce AB nu este egal cu BA · înmulțirea matricelor nu este comutativă · ordinea factorilor la matrice · contează ordinea la înmulțirea matricelor