Înmulțirea matricelor și ordinea factorilor (M2, științe ale naturii)

Până acum, toate operațiile cu matrice mergeau poziție cu poziție: aduni căsuța de sus-stânga cu căsuța de sus-stânga și gata. A treia operație rupe complet tiparul. La înmulțirea a două matrice, un singur număr din rezultat se obține dintr-o linie întreagă și dintr-o coloană întreagă, iar rezultatul poate avea alt format decât oricare dintre cele două matrice de la care ai plecat. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), aceasta este operația care face din matrice un instrument de calcul adevărat și de la care pornesc cerințele Subiectului al II-lea de la bacalaureatul M2.

Regula pare ciudată la prima vedere, dar ea nu a fost inventată ca să fie grea: este singura care răspunde la întrebarea „dacă știu cât conține fiecare rație din fiecare nutrient și câte kilocalorii dă un gram din fiecare nutrient, câtă energie are fiecare rație?". Lecția de astăzi construiește regula din această întrebare, apoi arată ce proprietăți are noua operație și, mai ales, ce proprietăți nu are: ordinea factorilor nu se poate schimba, un produs poate fi nul fără ca vreun factor să fie nul, iar simplificarea nu este permisă.

Ce vei învăța

• Vei ști să decizi, înainte de orice calcul, dacă produsul $A\cdot B$ există și ce format are.
• Vei ști să calculezi un element al produsului ca sumă de produse între o linie și o coloană, și să numeri corect câți termeni are acea sumă.
• Vei ști să calculezi complet produsul a două matrice pătratice de ordinul $2$, al unei matrice dreptunghiulare cu alta și al unei matrice cu o matrice coloană.
• Vei ști să arăți, pe un contraexemplu, că ordinea factorilor contează, și să folosești corect expresiile „înmulțire la stânga" și „înmulțire la dreapta".
• Vei ști să folosești proprietățile care se păstrează — asociativitatea, distributivitatea, rolul matricei unitate — și să recunoști cele trei care se pierd.
• Vei ști să rezolvi cerința tip de examen: calculul lui $A\cdot B$ și al lui $B\cdot A$ și compararea celor două rezultate.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu se înmulțesc matricele căsuță cu căsuță?

La ora de biologie se compară trei rații de hrană după conținutul lor de proteine, lipide și glucide, măsurat în grame la $100$ de grame de produs. Pe linii stau cele trei rații, pe coloane cei trei nutrienți:

$$H=\left(\begin{array}{ccc}20& 5& 60\\ 30& 10& 40\\ 15& 8& 75\end{array}\right),E=\left(\begin{array}{c}4\\ 9\\ 4\end{array}\right)$$

Coloana $E$ conține energia dată de un gram din fiecare nutrient, în kilocalorii: $4$ pentru proteine, $9$ pentru lipide, $4$ pentru glucide. Ca să afli energia primei rații nu ai ce înmulți căsuță cu căsuță — cele două tablouri nici măcar nu au același format. Calculul care are sens este altul: iei linia întâi din $H$, o potrivești peste coloana $E$ și aduni produsele, $20\cdot 4+5\cdot 9+60\cdot 4=365$ kilocalorii.

Exact acest calcul, repetat pentru fiecare linie, este definiția noii operații.

Produsul a două matrice $A$ și $B$ este definit numai atunci când numărul de coloane al lui $A$ este egal cu numărul de linii al lui $B$; dacă $A$ are formatul $m\times n$ și $B$ formatul $n\times p$, produsul $A\cdot B$ are formatul $m\times p$, iar elementul lui de pe linia $i$ și coloana $j$ este suma produselor dintre elementele liniei $i$ din $A$ și elementele coloanei $j$ din $B$, luate în ordine.

$$H\cdot E=\left(\begin{array}{c}365\\ 370\\ 432\end{array}\right)$$

Rezultatul se citește imediat: rațiile dau $365$, $370$ și, respectiv, $432$ de kilocalorii la $100$ de grame. Observă ce s-a întâmplat cu mărimile: gramele de nutrient din $H$ s-au combinat cu kilocaloriile pe gram din $E$, iar nutrienții — mărimea comună celor două tablouri — au dispărut din rezultat. Asta face produsul de matrice: leagă două tabele printr-o mărime pe care o are fiecare și o consumă.

2. Când se poate calcula produsul a două matrice?

Condiția se verifică într-o secundă, scriind formatele unul lângă altul: $(m\times n)\cdot (n\times p)$. Numerele din mijloc trebuie să fie egale; dacă sunt, produsul există, iar formatul lui se citește din numerele rămase, cele de la margini, $m\times p$.

Pentru $H$ și $E$ de mai sus: $(3\times 3)\cdot (3\times 1)$ — numerele din mijloc sunt amândouă $3$, deci produsul există și are formatul $3\times 1$, adică este o coloană cu trei numere, cum am și obținut. În schimb $E\cdot H$ ar însemna $(3\times 1)\cdot (3\times 3)$, unde numerele din mijloc sunt $1$ și $3$; produsul acesta nu există.

Când condiția nu este îndeplinită, răspunsul corect la „calculați $A\cdot B$" este propoziția „produsul nu este definit", scrisă pe foaie. Nu este matricea nulă și nu este zero: pur și simplu nu există niciun obiect pe care operația să-l producă. Două matrice pătratice de același ordin se pot însă înmulți întotdeauna, în ambele ordini, pentru că numărul de coloane și cel de linii coincid din construcție — ele sunt singurul caz în care cele două ordini se pot compara direct.

3. Cum se calculează un element al produsului?

Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ se obține plimbând un deget pe linia $i$ a primei matrice și alt deget pe coloana $j$ a celei de-a doua, înmulțind perechile întâlnite și adunând rezultatele. Numărul de termeni ai sumei este exact numărul din mijloc al scrierii formatelor: la $(2\times 4)\cdot (4\times 3)$, fiecare element al produsului este o sumă de patru termeni, nici mai mulți, nici mai puțini.

Să calculăm complet un produs de matrice pătratice de ordinul $2$:

$$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}12& -6\\ 7& 24\end{array}\right)$$

Cele patru elemente vin din patru perechi linie–coloană: $2\cdot 5+(-1)\cdot (-2)=12$ pentru poziția $(1,1)$; $2\cdot 0+(-1)\cdot 6=-6$ pentru $(1,2)$; $3\cdot 5+4\cdot (-2)=7$ pentru $(2,1)$; $3\cdot 0+4\cdot 6=24$ pentru $(2,2)$. Linia se ia mereu din primul factor, coloana din al doilea — niciodată invers.

4. De ce contează ordinea factorilor?

La numere, $7\cdot 3$ și $3\cdot 7$ dau același lucru. La matrice, nu. Iată perechea cea mai simplă pe care merită să o ții minte:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 9\\ 6& 15\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 2& 19\end{array}\right)$$

Cele două rezultate nu au nicio poziție comună. Motivul e deja în definiție: în primul produs se combină liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua, în al doilea produs se combină exact invers. Sunt calcule diferite, deci nu e nicio surpriză că dau răspunsuri diferite — surpriza ar fi să dea același răspuns.

De aici vine și vocabularul pe care îl vei întâlni în enunțuri: a înmulți matricea $B$ la stânga cu $A$ înseamnă a forma $A\cdot B$, iar a o înmulți la dreapta cu $A$ înseamnă $B\cdot A$. Precizarea nu e pedanterie: fără ea, o indicație de rezolvare devine ambiguă. Există și perechi de matrice care se comportă cuminte, cu $A\cdot B=B\cdot A$, dar ele sunt excepții; din faptul că ai găsit una nu urmează nimic despre celelalte. Compară cu ce știi din clasa a X-a despre operațiile cu funcții și compunerea lor: nici acolo $f\circ g$ nu este $g\circ f$, și din același motiv.

5. Ce proprietăți se păstrează?

Trei dintre proprietățile obișnuite ale înmulțirii trec și la matrice, cu condiția ca toate produsele scrise să existe. Programa profilului cere cunoașterea și folosirea lor, nu demonstrația.

Distributivitatea apare în două variante tocmai pentru că ordinea contează: paranteza se poate desface și la stânga, și la dreapta, dar factorul rămâne de partea pe care a fost scris. Matricea unitate $I_n$ joacă rolul numărului $1$, iar matricea nulă rolul lui $0$ — sunt singurele două locuri din capitol unde intuiția de la numere funcționează fără corecturi.

Asociativitatea, în schimb, are o consecință practică imediată: la un lanț de trei matrice poți alege de unde începi calculul. Parantezele se mută liber; factorii, niciodată.

6. Ce se pierde față de înmulțirea numerelor?

Trei lucruri, și toate trei apar în subiectele de examen.

Întâi, comutativitatea, despre care am vorbit deja. Al doilea, regula produsului nul: la numere, dacă $x\cdot y=0$, atunci unul dintre ele e zero; la matrice, nu. De pildă

$$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

deși niciunul dintre factori nu este matricea nulă. Asemenea matrice se numesc divizori ai lui zero, iar existența lor este motivul pentru care, dintr-o egalitate cu produs, nu poți trage concluzii pripite.

Al treilea lucru pierdut este simplificarea. Din $A\cdot B=A\cdot C$ nu urmează $B=C$, oricât de departe de matricea nulă ar fi $A$. Exemplul de mai sus arată de ce: dacă $A\cdot D=O$ cu $D$ nenulă, atunci $A\cdot D$ și $A\cdot O$ sunt egale, deși $D$ și $O$ nu sunt. Și mai trebuie spus un lucru legat de toate acestea: la matrice nu există împărțire. Nu se scrie niciodată „$A$ împărțit la $B$"; ce se poate face, în anumite condiții, este înmulțirea cu inversa unei matrice — o noțiune care se construiește mai târziu în unitate, după determinanți.

7. Cum se comportă transpusa la produs?

Aici apare surpriza anunțată în lecția precedentă, adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr, unde transpusa se purta cuminte. La produs, regula este

$${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$$

adică ordinea se inversează. Nu e un capriciu: dacă $A$ este de format $2\times 3$ și $B$ de format $3\times 4$, atunci ${}^{t}A$ este $3\times 2$, iar ${}^{t}B$ este $4\times 3$; scrierea ${}^{t}A\cdot {}^{t}B$ ar cere $(3\times 2)\cdot (4\times 3)$, unde numerele din mijloc nu coincid, deci produsul nici nu ar exista. Ordinea inversată, $(4\times 3)\cdot (3\times 2)$, funcționează și dă formatul $4\times 2$ — exact formatul transpusei produsului.

Regula aceasta este ușor de verificat pe un exemplu numeric și e bine să o faci măcar o dată, pentru că la examen apare ca subpunct de sine stătător.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Energia rațiilor, calculată cu un produs

Un al doilea lot de trei rații are compoziția dată de matricea $F$, cu rațiile pe linii și nutrienții pe coloane, în grame la $100$ de grame de produs:

$$F=\left(\begin{array}{ccc}25& 12& 50\\ 18& 6& 65\\ 10& 20& 45\end{array}\right)$$

a) Arătați că produsul $F\cdot E$ există, cu $E$ din prima secțiune, și precizați formatul lui. b) Calculați energia fiecărei rații, la $100$ de grame de produs. c) Rația a doua are cele mai multe glucide dintre cele trei. Este și cea mai bogată în energie?

Rezolvare. a) Aplicăm regula pe noile tablouri: $F$ are trei linii și trei coloane, iar $E$ are trei linii și o coloană, deci formatele se scriu $(3\times 3)\cdot (3\times 1)$. Numerele din mijloc sunt egale, deci produsul există și are formatul $3\times 1$.

b) Fiecare element este o sumă de trei produse, câte unul pentru fiecare nutrient: linia întâi dă $25\cdot 4+12\cdot 9+50\cdot 4=408$, linia a doua $18\cdot 4+6\cdot 9+65\cdot 4=386$, iar linia a treia $10\cdot 4+20\cdot 9+45\cdot 4=400$.

$$F\cdot E=\left(\begin{array}{c}408\\ 386\\ 400\end{array}\right)$$

Unitatea rezultatului este kilocaloria: grame înmulțite cu kilocalorii pe gram dau kilocalorii.

c) Nu. Rația a doua are $65$ de grame de glucide, mai mult decât celelalte două, dar dă cea mai puțină energie, $386$ de kilocalorii. Explicația stă în coloana $E$: un gram de lipide aduce $9$ kilocalorii, mai mult decât dublul celor $4$ aduse de un gram de glucide, iar rația a doua are cele mai puține lipide dintre cele trei. Produsul cântărește fiecare nutrient cu energia lui, nu numără gramele.

Exemplul 2 — Un produs în care fiecare element are trei termeni

Calculați $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& -3\\ 4& 5\end{array}\right)$.

Rezolvare. Formatele: $(2\times 3)\cdot (3\times 2)$. Numerele din mijloc sunt amândouă $3$, deci produsul există și are formatul $2\times 2$; fiecare element va fi o sumă de trei termeni.

Poziția $(1,1)$: $1\cdot 2+0\cdot 0+2\cdot 4=10$. Poziția $(1,2)$: $1\cdot 1+0\cdot (-3)+2\cdot 5=11$. Poziția $(2,1)$: $(-1)\cdot 2+3\cdot 0+1\cdot 4=2$. Poziția $(2,2)$: $(-1)\cdot 1+3\cdot (-3)+1\cdot 5=-5$.

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}10& 11\\ 2& -5\end{array}\right)$$

Reține că formatul rezultatului nu seamănă cu niciunul dintre cele două: dintr-o matrice cu trei coloane și una cu trei linii a ieșit o matrice de ordinul $2$.

Exemplul 3 — Ordinea factorilor, pe același exemplu

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 0\end{array}\right)$, calculați $A\cdot B$ și $B\cdot A$ și comparați rezultatele.

Rezolvare. Ambele produse există, pentru că matricele sunt pătratice de același ordin.

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& -6\\ 8& 0\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& -3\\ 12& 4\end{array}\right)$$

La primul produs, poziția $(1,1)$ vine din $3\cdot 1+1\cdot 4=7$; la al doilea, aceeași poziție vine din $1\cdot 3+(-2)\cdot 0=3$. Nu s-a greșit nimic: sunt două calcule diferite. Cele două matrice nu au nici măcar o poziție comună, deci $A\cdot B\ne B\cdot A$, iar scrierea „produsul lui $A$ cu $B$" fără precizarea ordinii ar fi ambiguă.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev trebuie să calculeze $A\cdot B$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 7& 5\end{array}\right)$ și scrie pe poziția $(1,1)$ numărul $8$, iar pe poziția $(1,2)$ numărul $3$. Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Numerele scrise arată limpede ce s-a întâmplat: elevul a înmulțit căsuță cu căsuță, ca la adunare — $2\cdot 4=8$ și $3\cdot 1=3$. Produsul a două matrice nu se calculează așa; fiecare element al rezultatului este o sumă de produse, nu un singur produs.

Corect, poziția $(1,1)$ se obține din linia întâi a lui $A$ și coloana întâi a lui $B$: $2\cdot 4+3\cdot 7=29$. Poziția $(1,2)$ vine din linia întâi și coloana a doua: $2\cdot 1+3\cdot 5=17$. Analog se calculează linia a doua, iar rezultatul este

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}29& 17\\ 4& 1\end{array}\right)$$

Un semn care prinde greșeala din prima: dacă vreun element al rezultatului se obține dintr-o singură înmulțire, sigur ai sărit peste termeni. Numărul de termeni e dat de numărul din mijloc al formatelor — aici, doi.

Exemplul 5 — Produs nul cu factori nenuli

Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 4& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 2& 10\end{array}\right)$. a) Arătați că $A\cdot B=O_2$. b) Calculați $B\cdot A$ și spuneți ce se vede din comparația celor două produse.

Rezolvare. a) Calculăm cele patru poziții: $6\cdot 1+(-3)\cdot 2=0$; $6\cdot 5+(-3)\cdot 10=0$; $4\cdot 1+(-2)\cdot 2=0$; $4\cdot 5+(-2)\cdot 10=0$. Deci

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

deși niciunul dintre cei doi factori nu este matricea nulă.

b) Schimbăm ordinea și refacem cele patru sume: $1\cdot 6+5\cdot 4=26$; $1\cdot (-3)+5\cdot (-2)=-13$; $2\cdot 6+10\cdot 4=52$; $2\cdot (-3)+10\cdot (-2)=-26$. Rezultă

$$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}26& -13\\ 52& -26\end{array}\right)$$

Așadar un produs poate fi matricea nulă într-o ordine și cu totul altceva în cealaltă: din $A\cdot B=O_2$ nu urmează nici că vreun factor e nul, nici că $B\cdot A$ ar fi nul. Sunt două afirmații diferite, iar într-o rezolvare se demonstrează exact cea din enunț.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$. a) Calculați $A\cdot B$. b) Arătați că $A\cdot B\ne B\cdot A$. c) Calculați $A\cdot B-B\cdot A$ și arătați că suma elementelor de pe diagonala principală a matricei obținute este $0$.

Rezolvare.

a) Matricele sunt pătratice de ordinul $2$, deci produsul există:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}7& 9\\ -2& -4\end{array}\right)$$

b) Calculăm și celălalt produs, schimbând rolurile:

$$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 0\end{array}\right)$$

Este de ajuns o singură poziție pe care cele două matrice diferă, de exemplu $(1,1)$, unde primul produs are $7$, iar al doilea $3$. Deci $A\cdot B\ne B\cdot A$.

c) Scădem poziție cu poziție cele două matrice de mai sus:

$$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -4& -4\end{array}\right)$$

Suma elementelor de pe diagonala principală este $4+(-4)=0$, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Structura e cea a Subiectului al II-lea din modelul oficial al probei M_șt-nat: o problemă cu trei subpuncte de câte cinci puncte, gradate. La punctul b) nu e nevoie să compari toate cele patru poziții — o singură nepotrivire e suficientă, dar trebuie scrisă explicit.

Să exersăm

Primul rând al oricărei rezolvări: formatele scrise alăturat. Dacă numerele din mijloc nu coincid, calculul se oprește acolo.

1. Matricea $A$ are formatul $3\times 2$, iar $B$ formatul $2\times 4$. Există produsul $A\cdot B$? Dar $B\cdot A$? Precizează formatele produselor care există.

2. Calculează $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 5\end{array}\right)$.

3. Calculează $\left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)$ și precizează formatul rezultatului.

4. Calculează $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)$ și compară formatul cu cel obținut la exercițiul 3.

5. Calculează $\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -2& 7\end{array}\right)\cdot I_2$ și spune ce proprietate ai verificat.

6. Calculează $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& -2\\ 0& 5\end{array}\right)$.

7. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$, calculează $A\cdot B$ și $B\cdot A$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 7& -6\end{array}\right)$ dau același rezultat în amândouă ordinile de înmulțire."

9. Arată că $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right)=O_2$.

10. (Problemă aplicată.) Numărul de atomi de carbon, hidrogen și oxigen din moleculele de glucoză, etanol și acid acetic este dat de matricea $N=\left(\begin{array}{ccc}6& 12& 6\\ 2& 6& 1\\ 2& 4& 2\end{array}\right)$, iar masele atomice, în unități atomice de masă, de coloana $M=\left(\begin{array}{c}12\\ 1\\ 16\end{array}\right)$. Calculează $N\cdot M$ și spune ce reprezintă numerele obținute.

11. Verifică asociativitatea, calculând $(A\cdot B)\cdot C$ și $A\cdot (B\cdot C)$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}4& 5\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 6& 7\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 4& 5\end{array}\right)$. Calculează $A\cdot B$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pentru matricele de la exercițiul 12, arată că $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 13& 15\end{array}\right)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$. Calculează $A\cdot B-B\cdot A$.

15. Verifică pe matricele din exercițiul 12 egalitatea ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$.

16. Pentru matricele din exercițiul 7, calculează $2(A\cdot B)$ și $(2A)\cdot B$ și compară rezultatele.

17. Se dau $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ -2& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}7& 7\\ -2& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}5& 7\\ -3& 2\end{array}\right)$. Arată că produsele $A\cdot B$ și $A\cdot C$ sunt egale, deși $B\ne C$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice matrice $A$ de format $2\times 3$, produsul $A\cdot {}^{t}A$ este o matrice pătratică simetrică de ordinul $2$, apoi verifică afirmația pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 3& 4\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. Pentru $A\cdot B$ formatele sunt $(3\times 2)\cdot (2\times 4)$: numerele din mijloc coincid, deci produsul există și are formatul $3\times 4$. Pentru $B\cdot A$ avem $(2\times 4)\cdot (3\times 2)$, cu $4$ și $3$ în mijloc, deci acest produs nu este definit.

2. $\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 14\\ 8& -2\end{array}\right)$, pentru că $1\cdot 4+3\cdot 1=7$, $1\cdot (-1)+3\cdot 5=14$, $2\cdot 4+0\cdot 1=8$ și $2\cdot (-1)+0\cdot 5=-2$.

3. $\left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\end{array}\right)$, o matrice de format $1\times 1$, pentru că $2\cdot 5+(-3)\cdot 4=-2$.

4. $\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -15\\ 8& -12\end{array}\right)$, de format $2\times 2$. Aceleași două matrice, ordine schimbată, formate complet diferite ale rezultatului: $1\times 1$ la exercițiul 3, $2\times 2$ aici.

5. $\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -2& 7\end{array}\right)\cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}6& -5\\ -2& 7\end{array}\right)$, pentru că fiecare element al produsului ia din coloana lui $I_2$ un singur $1$, restul termenilor fiind nuli. S-a verificat că matricea unitate este element neutru la înmulțire, adică joacă rolul numărului $1$.

6. Fiecare element este o sumă de trei termeni: $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ -1& 3& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& -2\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 0\end{array}\right)$.

7. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$, iar $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$. Cele două produse există amândouă, dar sunt matrice diferite.

8. Adevărat. Calculate amândouă, produsele ies identice: $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 7& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}40& -15\\ 35& -30\end{array}\right)$, iar în cealaltă ordine $\left(\begin{array}{cc}8& -3\\ 7& -6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}40& -15\\ 35& -30\end{array}\right)$. Explicația este mai scurtă decât calculul: matricea $A$ este $5I_2$, iar matricea unitate lasă orice factor neschimbat, așa că amândouă ordinile duc la $5B$. Exercițiul arată totuși un singur caz fericit: dintr-o pereche care se comportă cuminte nu urmează nimic despre altele, iar la matrice oarecare ordinea factorilor rămâne esențială.

9. $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 1& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, pentru că $3\cdot 2+6\cdot (-1)=0$, $3\cdot 4+6\cdot (-2)=0$, $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$ și $1\cdot 4+2\cdot (-2)=0$.

10. $N\cdot M=\left(\begin{array}{c}180\\ 46\\ 60\end{array}\right)$: linia întâi dă $6\cdot 12+12\cdot 1+6\cdot 16=180$, linia a doua $2\cdot 12+6\cdot 1+1\cdot 16=46$, linia a treia $2\cdot 12+4\cdot 1+2\cdot 16=60$. Numerele sunt masele moleculare ale celor trei substanțe, în unități atomice de masă: $180$ pentru glucoză, $46$ pentru etanol, $60$ pentru acidul acetic; numeric, ele coincid cu masele molare exprimate în grame pe mol.

11. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}42& 27\end{array}\right)$, deci $(A\cdot B)\cdot C=\left(\begin{array}{c}3\end{array}\right)$, pentru că $42\cdot 2+27\cdot (-3)=84-81=3$. Pe celălalt drum, $B\cdot C=\left(\begin{array}{c}12\\ -9\end{array}\right)$, iar $A\cdot (B\cdot C)=\left(\begin{array}{c}3\end{array}\right)$, din $4\cdot 12+5\cdot (-9)=48-45=3$. Rezultatele coincid, cum cere asociativitatea.

12. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 13& 13\end{array}\right)$.

13. $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 13& 15\end{array}\right)$, pentru că $1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0$, $1\cdot 0+(-2)\cdot 3=-6$, $4\cdot 2+5\cdot 1=13$ și $4\cdot 0+5\cdot 3=15$. Comparând cu răspunsul precedent, se vede din nou că ordinea factorilor schimbă rezultatul.

14. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 5& 3\end{array}\right)$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 5\end{array}\right)$, deci $A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& -2\end{array}\right)$.

15. ${}^t(A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}2& 13\\ -4& 13\end{array}\right)$. Pe celălalt drum, ${}^{t}B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -2& 5\end{array}\right)$ și ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$, iar ${}^{t}B\cdot {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}2& 13\\ -4& 13\end{array}\right)$ — aceeași matrice.

16. $2(A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 6& 2\end{array}\right)$, iar $(2A)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 6& 2\end{array}\right)$. Cele două coincid: un scalar poate fi mutat liber în interiorul unui produs de matrice, spre deosebire de factorii înșiși.

17. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}33& 9\\ -22& -6\end{array}\right)$ și $A\cdot C=\left(\begin{array}{cc}33& 9\\ -22& -6\end{array}\right)$, deci cele două produse sunt egale. Matricele $B$ și $C$ sunt însă diferite, de exemplu pe poziția $(1,1)$, unde apar $7$ și $5$. Simplificarea cu $A$ ar fi dat un rezultat fals.

18. Transpusa produsului este ${}^t(A\cdot {}^{t}A)={}^t({}^{t}A)\cdot {}^{t}A=A\cdot {}^{t}A$, adică produsul coincide cu transpusa lui, ceea ce înseamnă că este simetric; formatul este $(2\times 3)\cdot (3\times 2)$, adică $2\times 2$. Pe exemplul dat, ${}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 3\\ -1& 4\end{array}\right)$ și $A\cdot {}^{t}A=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 25\end{array}\right)$, într-adevăr simetrică.

De reținut

• Produsul $A\cdot B$ există numai dacă numărul de coloane al lui $A$ este egal cu numărul de linii al lui $B$; scrie formatele alăturat, $(m\times n)\cdot (n\times p)$, și citește rezultatul, $m\times p$, din numerele de la margini.
• Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului este suma produselor dintre linia $i$ a primului factor și coloana $j$ a celui de-al doilea; numărul de termeni ai sumei este numărul din mijloc al formatelor.
• Înmulțirea matricelor nu este comutativă: $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt calcule diferite, pot avea formate diferite și, de obicei, unul dintre ele nici nu există.
• Se păstrează asociativitatea, ambele distributivități, rolul de element neutru al lui $I_n$ și cel de element absorbant al matricei nule; se pierd comutativitatea, regula produsului nul și dreptul de a simplifica.
• Transpusa unui produs inversează ordinea factorilor: ${}^t(A\cdot B)={}^{t}B\cdot {}^{t}A$, singura scriere pentru care și formatele se potrivesc.

Greșeli frecvente

• Crezi că „produsul nu există" înseamnă „produsul este matricea nulă". Sunt două lucruri complet diferite: matricea nulă este un rezultat, iar inexistența produsului înseamnă că operația nu se poate face. Pe foaie se scrie propoziția, nu un tablou de zerouri.
• Scrii formatul rezultatului după primul factor. Produsul unei matrice $2\times 3$ cu una $3\times 5$ are formatul $2\times 5$, nu $2\times 3$: numărul de linii vine din primul factor, dar numărul de coloane vine din al doilea.
• Confunzi matricea unitate cu un element absorbant. Din $A\cdot I_2$ nu iese $I_2$, ci chiar $A$; matricea care „înghite" totul este cea nulă, nu cea unitate.
• Vrei să „împarți la o matrice". La matrice nu există împărțire, deci dintr-o egalitate cu produs nu poți muta un factor de partea cealaltă. Ce se poate face uneori — înmulțirea cu inversa, precizând de care parte — se învață după determinanți.
• Găsești o pereche cu $A\cdot B=B\cdot A$ și tragi concluzia că ordinea nu contează. Există matrice care se înmulțesc în ambele ordini cu același rezultat, dar ele sunt excepții. Un singur exemplu favorabil nu demonstrează o regulă; un singur contraexemplu, în schimb, o dărâmă.

Aplică acasă

1. Masa molară a ceea ce ai în bucătărie. Alege trei substanțe cu formula chimică scrisă pe ambalaj sau cunoscută din manual — de pildă sarea, bicarbonatul și zahărul. Scrie matricea „substanță × element", cu numărul de atomi din fiecare element chimic care apare, și coloana maselor atomice corespunzătoare. Calculează produsul și compară rezultatele cu masele molare din tabel; dacă un rând nu iese, verifică întâi formula, apoi calculul.

2. Ordinea care schimbă rezultatul. Găsește trei perechi de acțiuni din viața de zi cu zi la care ordinea contează — de exemplu a pune șosetele și a pune pantofii — și trei perechi la care ordinea nu schimbă nimic. Scrie-le într-un tabel cu două coloane. Explică apoi, în două-trei rânduri, de ce înmulțirea matricelor seamănă cu prima coloană, iar adunarea lor cu a doua.

3. Produsul, pus la probă în foaia de calcul. Scrie două matrice de ordinul $3$ într-o foaie de calcul și obține produsul lor cu funcția dedicată înmulțirii matricelor. Schimbă apoi un singur element din prima matrice și numără câte elemente ale rezultatului se modifică. Explică de ce sunt exact atâtea, pornind de la definiția elementului produsului.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți" — „operații cu matrice: … înmulțirea; proprietăți ale operațiilor". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare la Subiectul al II-lea, în prima problemă, capitolul „Elemente de calcul matriceal" al programei de examen (OMEN 4430/2014). Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

La profilul matematică-informatică materia aceasta este împărțită în trei lecții — definiția, tehnica de calcul și proprietățile — și continuă cu puterile unei matrice, absente din Anexa 28 și din programa de examen M2, și cu ecuațiile matriceale, care lipsesc din Anexa 28, dar rămân în programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 și au lecție proprie în suplimentul clasei. Aici totul stă într-o singură oră, iar timpul câștigat merge în verificarea dimensiunilor și în interpretarea rezultatului. Comparația detaliată se vede în versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: înmulțirea a două matrice.

Trei lucruri verifică lecția: (1) scrierea formatelor înaintea oricărui calcul; (2) calculul unui element ca sumă de produse, cu numărul corect de termeni; (3) compararea lui $A\cdot B$ cu $B\cdot A$ pe același exemplu. Patru întrebări de control, de pus oral: „Câți termeni are un element al produsului dintre o matrice $2\times 5$ și una $5\times 3$?"; „De unde iei linia și de unde coloana?"; „Ce scrii pe foaie dacă produsul nu se poate calcula?"; „Dacă $A\cdot B$ este matricea nulă, ce poți spune despre $A$ și $B$?". Semne că elevul a înțeles: scrie formatele înainte de primul număr, nu se mai miră când cele două produse ies diferite și verifică unitatea rezultatului la problemele din chimie și biologie. Modelarea propriu-zisă, cu tablouri de date reale, continuă în matricele în contexte practice.

Întrebări frecvente

Ce scriu dacă produsul a două matrice nu se poate calcula? Se scrie, ca propoziție, că produsul nu este definit, împreună cu motivul: cele două numere din mijlocul scrierii formatelor nu coincid. Nu se răspunde cu matricea nulă și nu se lasă spațiul gol. La examen, justificarea prin formate este ea însăși răspunsul, chiar dacă nu urmează niciun calcul.

Cum verific repede dacă am greșit un element al produsului? Numără termenii sumei din care l-ai obținut: trebuie să fie exact numărul din mijloc al formatelor. Apoi verifică de unde ai luat cele două șiruri de numere: linia vine din factorul scris în față, coloana din cel scris în urmă. Cele mai multe greșeli vin din aceste două locuri, iar controlul lor durează câteva secunde pentru fiecare element.

Se poate ca $A\cdot B$ să existe, iar $B\cdot A$ să nu existe? Da, și este cazul obișnuit. Dacă $A$ are formatul $2\times 3$, iar $B$ formatul $3\times 4$, produsul $A\cdot B$ există și este de tip $2\times 4$, în timp ce $B\cdot A$ ar cere $(3\times 4)\cdot (2\times 3)$, unde numerele din mijloc sunt $4$ și $2$. Cele două ordini se pot pune față în față numai la matrice pătratice de același ordin, singurele pentru care amândouă produsele există.

Ce înseamnă că înmulțesc o matrice „la stânga" sau „la dreapta"? A înmulți matricea $B$ la stânga cu $A$ înseamnă a forma produsul $A\cdot B$, cu $A$ scrisă în fața lui $B$; a o înmulți la dreapta înseamnă $B\cdot A$. Precizarea este necesară pentru că ordinea schimbă rezultatul, iar uneori doar unul dintre cele două produse există. În enunțuri, expresia apare exact în această formă.

La ce ajută înmulțirea matricelor, dacă nu se comportă ca înmulțirea numerelor? Ea leagă două tabele printr-o mărime comună și o elimină din rezultat: grame de nutrient și kilocalorii pe gram dau kilocalorii, numere de atomi și mase atomice dau mase molare. Nicio altă operație nu face asta. Faptul că ordinea contează nu e un defect, ci reflectă realitatea modelată, unde cele două tabele au roluri diferite.

Prin ce se deosebește înmulțirea matricelor la M2 față de M1? Regula de calcul este identică, dar la științe ale naturii ea se predă într-o singură lecție, cu elemente numere reale și cu accent pe modelele din chimie și biologie. La matematică-informatică tema se întinde pe trei lecții și continuă cu puterile unei matrice, temă care nu apare în programa profilului științe. Modelul oficial cere totuși produsul unei matrice cu ea însăși, $A(3)\cdot A(3)$, calculat cu regula de aici.

La ce subiect apare înmulțirea matricelor la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, în prima dintre cele două probleme, care are trei subpuncte de câte cinci puncte. Cerințele se construiesc pe calculul unui produs, pe compararea lui $A\cdot B$ cu $B\cdot A$ sau pe o expresie care combină produsul cu adunarea; în modelul oficial, al doilea subpunct cere chiar produsul unei matrice cu ea însăși. Forma exactă a cerințelor se citește în model, nu se presupune.