Cum calculez o integrală definită cu figuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrala definită

Când graficul unei funcții pozitive este format din segmente sau arce cunoscute, integrala este chiar aria figurii de sub el. Aria se calculează cu formulele din geometrie. Exemplu: $\int_{1}^{5} (x + 2) d x$ este aria trapezului dreptunghic cu bazele $f (1) = 3$ și $f (5) = 7$ și înălțimea $4$ , deci $\frac{3 + 7}{2} \cdot 4 = 20$ . O funcție constantă dă un dreptunghi, iar una de gradul întâi care pornește din zero dă un triunghi. Metoda cere ca funcția să nu coboare sub axa $O x$ pe interval.

Fie $f$ o funcție continuă, cu valori nenegative, definită pe un interval închis și mărginit $[a, b]$ , unde $a < b$ . Numărul $\int_{a}^{b} f (x) d x$ măsoară, prin chiar definiția lui, aria regiunii mărginite de grafic, de axa $O x$ și de cele două verticale ridicate din capete. Spre deosebire de limită, de derivată sau de primitivă, noțiunea nu vine dintr-o operație, ci dintr-o figură — motiv pentru care fiecare dintre cele trei cerințe contează.

Scrierea are patru părți: semnul de integrare, limitele, funcția de integrat și $d x$ , care arată variabila și nu poate lipsi. Variabila este mută, deci $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ dau același număr; limitele, dimpotrivă, hotărăsc regiunea.

O deosebire se cere ținută minte de la primul exercițiu: fără limite, rezultatul e o mulțime de funcții și cere $+ C$ ; cu limite, el este un singur număr, căruia nu i se adaugă nicio constantă. Cifrele scrise sus și jos sunt singurul semn care le desparte.

Deocamdată geometria dă răspunsul în două situații. O funcție constantă ridică un dreptunghi, cu $\int_{a}^{b} c d x = c (b - a)$ ; una de gradul întâi, cu valori pozitive, ridică un trapez dreptunghic de baze $f (a)$ și $f (b)$ . Cu limite egale, rezultatul e nul. Tema se dă la amândouă generațiile de examen.

De reținut

pentru $f \geq 0$ continuă, $\int_{a}^{b} f (x) d x$ este aria de sub grafic
constantă: $c (b - a)$ ; gradul întâi pozitiv: aria trapezului $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2} (b - a)$
integrala definită este un număr, fără $+ C$

Greșeala tipică

Se adaugă $+ C$ la rezultatul unei integrale definite; rezultatul este un număr, aria unei figuri, deci nu are nicio constantă.

Exerciții din această mini-lecție

Numărul $\int_{1}^{8} 6 d x$ este egal cu:
- a) $48$
- b) $42$
- c) $54$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $42$

Funcția constantă $f (x) = 6$ este continuă și pozitivă, iar suprafața de sub graficul ei este un dreptunghi cu baza $8 - 1 = 7$ și înălțimea $6$ , deci $\int_{1}^{8} 6 d x = 6 \cdot 7 = 42$ . Varianta a) înmulțește cu $b$ , nu cu $b - a$ — greșeala apare mai ales când capătul din stânga nu este zero; c) și d) nu corespund niciunei arii a acestui dreptunghi.
Numărul $\int_{0}^{5} (4 x + 3) d x$ este egal cu:
- a) $130$
- b) $55$
- c) $65$
- d) $23$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $65$

Pe $[0, 5]$ funcția $4 x + 3$ este continuă și pozitivă, fiindcă din $x \geq 0$ rezultă $4 x + 3 \geq 3$ . Suprafața de sub grafic este un trapez dreptunghic cu bazele $f (0) = 3$ și $f (5) = 23$ și înălțimea $5$ , deci integrala este $\frac{3 + 23}{2} \cdot 5 = 65$ . Varianta a) uită împărțirea la doi, iar d) dă valoarea funcției în capătul din dreapta, nu aria.
Aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f (x) = 7 x$ , axa $O x$ și dreapta $x = 4$ este:
- a) $56$
- b) $112$
- c) $28$
- d) $14$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $56$

Pe $[0, 4]$ funcția este continuă și pozitivă, iar trapezul degenerează într-un triunghi dreptunghic, fiindcă baza mică este $f (0) = 0$ . Catetele lui sunt $4$ , pe axa $O x$ , și $f (4) = 28$ , deci aria este $\frac{4 \cdot 28}{2} = 56$ . Varianta b) uită împărțirea la doi, c) dă înălțimea din capătul din dreapta, iar d) înjumătățește greșit.

Întrebări conexe

Cât este integrala de sub un semicerc?

Graficul lui $9 - x^{2}$ pe $[- 3, 3]$ este semicercul de rază $3$ din semiplanul de sus. Integrala $\int_{- 3}^{3} 9 - x^{2} d x$ este aria semidiscului, $\frac{π \cdot 9}{2} = \frac{9 π}{2} \approx 14, 14$ , calculată fără nicio primitivă, doar din formula ariei cercului.

Ce reprezintă integrala pe un grafic viteză–timp?

Aria de sub graficul vitezei este distanța parcursă. La o viteză constantă de $15$ m/s timp de $4$ s, aria este un dreptunghi de $60$ m. Dacă viteza crește uniform de la $0$ la $10$ m/s în $5$ s, aria este un triunghi, adică $25$ m.

Cât este integrala definită când limitele sunt egale?

Este zero: între $a$ și $a$ nu există nicio lățime, deci figura de sub grafic are aria nulă. De exemplu, $\int_{3}^{3} (x^{2} + 1) d x = 0$ , oricât de mare ar fi funcția în punctul $3$ .

Poate integrala unei funcții pozitive să iasă negativă?

Nu, dacă limita de jos este mai mică decât cea de sus: integrala este atunci aria unei figuri, iar ariile nu sunt negative. Un rezultat negativ la o funcție pozitivă arată o greșeală de calcul, de obicei un semn pierdut la scădere.

Cum se schimbă integrala definită dacă dublez funcția?

Se dublează și ea, fiindcă toate înălțimile figurii se dublează. $\int_{0}^{4} 3 d x$ este aria unui dreptunghi $4 \times 3$ , adică $12$ , iar $\int_{0}^{4} 6 d x$ este aria unui dreptunghi $4 \times 6$ , adică $24$ .

Oamenii mai întreabă și: integrala definită calculată ca arie · integrala definită cu trapez · aria de sub grafic fără primitive · integrala definită din geometrie