Integrala definită: aria de sub grafic (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Într-un atelier, o placă de tablă se decupează după o curbă trasată pe desen, iar înainte de tăiere cineva trebuie să spună cât va cântări piesa. Masa se află înmulțind densitatea cu grosimea și cu aria, deci totul se reduce la o singură întrebare: cât măsoară suprafața aceea cu o latură dreaptă și una curbată? Întrebării acesteia îi răspunde integrala definită, noțiunea cu care se deschide capitolul de analiză al clasei a XII-a de la profilul științe ale naturii (M2) și care se cere, cu acest nume, la bacalaureatul M2.

Merită spus de ce este nevoie de o noțiune nouă. Dacă marginea de sus a plăcii ar fi un segment, formula trapezului ar rezolva problema în zece secunde; fiindcă este o curbă, niciuna dintre formulele învățate până acum nu se potrivește. Lecția de față dă un nume și un semn de scriere ariei de sub un grafic, iar în lecțiile următoare vei învăța cum se calculează acel număr în câteva rânduri. Tema stă în amândouă programele de examen — în cea din 2014, după care se dau sesiunile 2027, 2028 și 2029, și în programa nouă, pentru proba MAT_P2 din 2030, la domeniul „Analiză matematică" —, așa că munca de aici se vede direct în lucrare.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă integrala definită a unei funcții continue și pozitive pe un interval închis și de ce ea este, prin chiar definiția ei, o arie.
Vei ști să scrii corect $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și să numești fiecare bucată a acestei scrieri.
Vei ști să deosebești integrala definită, care este un număr, de integrala nedefinită, care este o familie de funcții.
Vei ști să calculezi integrala unei funcții constante și a unei funcții de gradul întâi pozitive, folosind numai aria dreptunghiului și a trapezului.
Vei ști ce se întâmplă când cele două limite de integrare coincid.
Vei ști să treci de la o suprafață descrisă în cuvinte la integrala care îi dă aria, și invers.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este integrala definită a unei funcții continue și pozitive?

Pornim de la desen, nu de la formulă. Ia o funcție $f$ definită și continuă pe un interval închis $[a, b]$ , care ia numai valori pozitive. Graficul ei este o curbă neîntreruptă, așezată deasupra axei $O x$ . Între curbă și axă, tăiată la stânga de dreapta verticală $x = a$ și la dreapta de dreapta verticală $x = b$ , se decupează o suprafață. Ea poartă numele de subgraficul funcției pe $[a, b]$ , iar despre ea vorbește toată lecția.

Integrala definită a lui $f$ pe $[a, b]$ este aria acestei suprafețe, adică a celei mărginite de graficul lui $f$ , de axa $O x$ și de cele două verticale, și se notează $\int_{a}^{b} f (x) d x$ — noțiunea fiind definită astfel pentru orice funcție $f$ continuă și pozitivă pe un interval închis $[a, b]$ , cu $a < b$ . Citește cu grijă toate condițiile: intervalul trebuie să fie închis și mărginit, funcția trebuie să fie continuă pe el, iar valorile ei trebuie să fie pozitive — adică $f (x) \geq 0$ peste tot pe $[a, b]$ , ceea ce îi îngăduie graficului să atingă axa, dar nu să coboare sub ea. Dacă una dintre condiții cade, propoziția de mai sus nu mai are sens, iar ce se întâmplă atunci vei afla la lecțiile despre proprietățile integralei și despre arii.

Merită observat cât de neobișnuită este această definiție față de tot ce ai întâlnit până acum la analiză. Limita, derivata și primitiva se definesc prin operații cu numere sau cu funcții; integrala definită se sprijină, în schimb, pe o noțiune geometrică, aria. Programa de la științe ale naturii spune acest lucru pe față: noțiunea își are originea în aria subgraficului unei funcții continue și pozitive. Abia după ce numărul primește un nume și un semn de scriere vine, la lecția despre formula Leibniz-Newton, mijlocul de a-l calcula fără să desenezi nimic.

2. De unde știm că suprafața aceea are o arie?

Întrebarea nu e pedantă. Ai măsurat până acum arii de poligoane, de disc și de sectoare, iar de fiecare dată formula venea dintr-o construcție. Aici nu ai nicio construcție: marginea de sus e o curbă oarecare.

Răspunsul, la nivelul acestei clase, se acceptă fără demonstrație și sună așa: pentru orice funcție continuă și pozitivă pe un interval închis, suprafața de sub grafic are o arie bine determinată. Continuitatea este exact ceea ce face posibil acest lucru: graficul unei funcții continue nu are salturi, nu sare peste valori, nu se rupe — vezi Continuitatea unei funcții —, așa că suprafața de sub el este dintr-o bucată, mărginită de sus și de jos, și poate fi acoperită oricât de exact cu figuri pe care le știi măsura. Acesta este și motivul practic pentru care programa cere ca funcțiile din capitol să fie continue: fără continuitate, nici discuția despre arie nu ar mai fi simplă.

La profilul matematică-informatică (M1), drumul până la această afirmație este mult mai lung: acolo se construiește un aparat întreg, cu tăieri repetate ale intervalului, care duce la aceeași concluzie pe cale riguroasă. Programa de la științe ale naturii ocolește acel drum și cere altceva, mai aproape de practica laboratorului: să recunoști aria, să o estimezi de pe un grafic și să o calculezi cu o formulă. Așa vom proceda și noi.

3. Cum se citește notația $\int_{a}^{b} f (x) d x$ ?

Scrierea are patru bucăți, fiecare cu rolul ei, și merită numite pe rând.

Semnul $\int$ este un $s$ alungit, de la „sumă": ideea din spatele lui este că suprafața se compune din fâșii subțiri, adunate.
Numărul $a$ , scris jos, este limita inferioară de integrare; numărul $b$ , scris sus, este limita superioară de integrare. Ele arată unde începe și unde se termină fâșia verticală decupată din plan.
Funcția $f$ se numește funcția de integrat sau integrandul.
Simbolul $d x$ spune după care literă se face integrarea; el nu este un factor și nu poate lipsi, la fel ca la integrala nedefinită, unde ai învățat rolul lui la Mulțimea primitivelor. Integrala nedefinită.

Cea mai importantă deosebire a lecției de azi este însă alta, și de ea depind toate rezolvările tale de aici înainte: $\int f (x) d x$ este o familie de funcții, iar $\int_{a}^{b} f (x) d x$ este un număr. Prima scriere cere neapărat $+ C$ , a doua nu îl primește niciodată, fiindcă un număr nu are constantă de integrare. Cele două limite de sus și de jos sunt singurul semn vizibil care le desparte, așa că, înainte de orice calcul, uită-te dacă integrala are sau nu limite.

Litera de sub integrală este, de altfel, fără importanță: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ sunt același număr, pentru că descriu aceeași suprafață. Se spune că variabila de integrare este mută. În schimb, literele $a$ și $b$ contează foarte mult: ele fixează suprafața.

4. Care sunt singurele două cazuri pe care le rezolvă geometria?

Deocamdată nu ai nicio formulă de calcul. Ai totuși două situații în care aria se află din gimnaziu, și tocmai ele vor fi, la lecția următoare, proba pe care se sprijină formula generală.

Funcția constantă. Dacă $f (x) = c$ , cu $c > 0$ , graficul este un segment orizontal, iar suprafața de sub el este un dreptunghi cu baza $b - a$ și înălțimea $c$ . Prin urmare $\int_{a}^{b} c d x = c (b - a) .$ Pe un caz concret: $\int_{1}^{4} 5 d x = 5 \cdot 3 = 15$ , fiindcă dreptunghiul are baza $3$ și înălțimea $5$ .

Funcția de gradul întâi. Dacă $f (x) = m x + n$ ia numai valori pozitive pe $[a, b]$ , graficul este un segment oblic, iar suprafața de sub el este un trapez dreptunghic ale cărui baze măsoară $f (a)$ și $f (b)$ , iar înălțimea, $b - a$ — reia, dacă e nevoie, Aria trapezului. Aria lui se scrie $\int_{a}^{b} (m x + n) d x = \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} \cdot (b - a) .$ Pe un caz concret: pentru $g (x) = 5 x + 3$ pe $[0, 4]$ avem $g (0) = 3$ și $g (4) = 23$ , deci $\int_{0}^{4} (5 x + 3) d x = \frac{3 + 23}{2} \cdot 4 = 52$ .

Reține deosebirea de statut între cele două rezultate: ele nu sunt formule noi de analiză, ci arii de figuri cunoscute, citite prin notația de azi. Puterea metodei se va vedea abia când marginea de sus nu mai este un segment.

5. Ce se întâmplă când cele două limite sunt egale?

Este un caz de margine care lămurește definiția. Dacă $a = b$ , fâșia verticală se strânge într-o singură dreaptă, iar suprafața se reduce la un segment. Un segment nu are grosime, deci are aria zero, și scriem $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ pentru orice funcție $f$ continuă. Nu contează cât de mare este $f$ acolo: o suprafață de lățime nulă rămâne de arie nulă.

Reciproca merită și ea gândită, pentru că ascunde o capcană. Dacă $a < b$ și integrala iese zero, funcția nu poate fi „mare" pe nicăieri: fiind continuă și pozitivă, ea trebuie să fie identic nulă pe tot intervalul. Ajunge ca $f$ să fie strict pozitivă într-un singur punct pentru ca, prin continuitate, să rămână strict pozitivă pe o vecinătate întreagă a lui — vezi Semnul unei funcții continue —, iar acolo suprafața ar conține un dreptunghi cu arie nenulă.

6. Ce fel de număr este integrala unei funcții pozitive?

Fiind o arie, integrala definită a unei funcții continue și pozitive pe $[a, b]$ , cu $a < b$ , este un număr mai mare sau egal cu zero. Un rezultat negativ, obținut la un asemenea exercițiu, este semn sigur de greșeală, și e cel mai bun control pe care îl poți face fără să reiei calculul.

Merită reținut și ordinul de mărime. Suprafața de sub grafic este cuprinsă în dreptunghiul care are aceeași bază $b - a$ și înălțimea egală cu cea mai mare valoare a funcției pe interval; ea cuprinde, la rândul ei, dreptunghiul de aceeași bază și de înălțime egală cu cea mai mică valoare. De aici, fără niciun calcul, integrala stă între două numere ușor de scris. Pe această observație, foarte simplă, se sprijină lecția următoare, Estimarea unei integrale de pe grafic, unde vei învăța să strângi încadrarea cât de mult ai nevoie.

7. La ce folosește aria de sub un grafic?

Întoarce-te la placa de tablă din deschidere. Marginea ei de sus urmează o curbă trasată pe desen, iar marginea de jos este dreaptă. Dacă așezi reperul cu axa $O x$ pe marginea dreaptă și scrii legea $f$ după care se înalță conturul, aria piesei devine exact $\int_{a}^{b} f (x) d x$ , unde $a$ și $b$ sunt capetele plăcii. Cum se află efectiv numărul acela vei vedea la lecția despre formula Leibniz-Newton; deocamdată, ce trebuie să reții este traducerea: o întrebare de atelier a devenit o integrală, iar o integrală este o mărime pe care matematica știe s-o trateze.

Traducerea aceasta este mult mai generală decât pare. Ori de câte ori o mărime se adună continuu, iar graficul arată cât se adaugă în fiecare punct, mărimea totală este aria de sub grafic. Vei întâlni situația la fizică, la chimie și la biologie, iar principiul care stă în spatele ei — legătura dintre ritmul de variație și cantitatea acumulată — este tratat la Primitive în științe: de la rată la cantitate. Aici ne interesează doar că aria nu este, de fiecare dată, o suprafață de tablă: ea poate fi o masă, un volum, o cantitate de căldură. Unitatea de măsură a rezultatului se citește atunci înmulțind unitatea de pe axa verticală cu unitatea de pe axa orizontală.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Integrala unei funcții constante

Calculează $\int_{2}^{6} 7 d x$ și spune ce suprafață măsoară rezultatul.

Rezolvare. Funcția $f (x) = 7$ este continuă și pozitivă pe $[2, 6]$ , deci integrala are sensul din definiție. Suprafața de sub grafic este dreptunghiul cu baza $6 - 2 = 4$ și înălțimea $7$ , așadar $\int_{2}^{6} 7 d x = 7 \cdot 4 = 28$ . Rezultatul măsoară aria dreptunghiului care are baza pe axa $O x$ , între cele două limite de integrare, și înălțimea egală cu valoarea constantă a funcției.

Exemplul 2 — Integrala unei funcții de gradul întâi

Calculează $\int_{1}^{3} (2 x + 5) d x$ .

Rezolvare. Pe $[1, 3]$ funcția $f (x) = 2 x + 5$ este continuă și ia numai valori pozitive, fiindcă din $x \geq 1$ rezultă $2 x + 5 \geq 2 \cdot 1 + 5 = 7$ . Suprafața de sub grafic este un trapez dreptunghic ale cărui baze măsoară $f (1) = 7$ și $f (3) = 11$ , iar înălțimea, $3 - 1 = 2$ ; prin urmare $\int_{1}^{3} (2 x + 5) d x = \frac{7 + 11}{2} \cdot 2 = 18$ .

Exemplul 3 — Citește graficul și scrie integrala

Pe un desen, graficul unei funcții de gradul întâi trece prin punctele $(0, 3)$ și $(5, 13)$ . Scrie integrala care dă aria de sub grafic pe $[0, 5]$ și calculeaz-o.

Rezolvare. Panta se citește din cele două puncte: creșterea pe verticală este $13 - 3 = 10$ , pe o creștere orizontală de $5$ , deci panta este $2$ . Cum graficul taie axa verticală la înălțimea $3$ , funcția este $f (x) = 2 x + 3$ . Pe $[0, 5]$ ea este pozitivă, iar aria căutată este $\int_{0}^{5} (2 x + 3) d x = \frac{3 + 13}{2} \cdot 5 = 40$ .

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „ $\int_{0}^{3} (4 x + 1) d x = 2 x^{2} + x + C$ ". Explică ce este greșit și dă rezultatul corect.

Rezolvare. Greșeala este de natură, nu de calcul: membrul stâng are limite de integrare, deci este un număr, în timp ce membrul drept este o familie de funcții. Un număr nu poate fi egal cu o familie de funcții și nu poartă niciodată $+ C$ . Expresia scrisă în dreapta este, ce-i drept, o primitivă a integrandului, fiindcă $(2 x^{2} + x)^{'} = 4 x + 1$ , dar ea răspunde la altă întrebare. Corect: pe $[0, 3]$ funcția $f (x) = 4 x + 1$ este pozitivă, iar suprafața de sub grafic este trapezul cu bazele $f (0) = 1$ și $f (3) = 13$ și înălțimea $3$ , deci $\int_{0}^{3} (4 x + 1) d x = \frac{1 + 13}{2} \cdot 3 = 21$ .

Exemplul 5 — Limite egale și traducerea unei arii

a) Calculează $\int_{4}^{4} (5 x + 6) d x$ . b) Scrie, fără s-o calculezi, integrala care dă aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f (x) = x^{3} + 2$ , axa $O x$ și dreptele $x = 1$ și $x = 3$ .

Rezolvare. a) Cele două limite coincid, deci suprafața se reduce la un segment vertical și $\int_{4}^{4} (5 x + 6) d x = 0$ . b) Funcția $f (x) = x^{3} + 2$ este continuă pe $R$ , iar din $x \geq 1$ rezultă $x^{3} \geq 1$ , deci $f (x) \geq 3$ : pe $[1, 3]$ ea este pozitivă. Aria cerută este $\int_{1}^{3} (x^{3} + 2) d x$ . Numărul acesta nu se poate afla încă: marginea de sus nu mai este un segment, iar formula care îl dă vine la lecția următoare de calcul.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 5$ .

a) Arată că $f$ ia numai valori pozitive pe intervalul $[0, 4]$ .

b) Calculează $\int_{0}^{2} f (x) d x$ .

c) Determină numărul real $m > 0$ pentru care $\int_{0}^{m} f (x) d x = 44$ .

Rezolvare. a) Pentru $x \geq 0$ avem $3 x \geq 0$ , deci $f (x) = 3 x + 5 \geq 5 > 0$ ; în particular $f$ este pozitivă pe tot $[0, 4]$ . Fiind funcție de gradul întâi, este și continuă.

b) Suprafața de sub grafic pe $[0, 2]$ este trapezul cu bazele $f (0) = 5$ și $f (2) = 11$ și cu înălțimea $2$ , deci $\int_{0}^{2} (3 x + 5) d x = \frac{5 + 11}{2} \cdot 2 = 16$ .

c) Pe $[0, m]$ trapezul are bazele $f (0) = 5$ și $f (m) = 3 m + 5$ și înălțimea $m$ , deci condiția din enunț devine $\frac{5 + 3 m + 5}{2} \cdot m = 44$ , adică $3 m^{2} + 10 m - 88 = 0$ . Discriminantul este $100 + 1056 = 1156 = 3 4^{2}$ , iar rădăcinile sunt $m = 4$ și $m = - \frac{22}{3}$ . Condiția $m > 0$ lasă $m = 4$ . Verificare: $\int_{0}^{4} (3 x + 5) d x = \frac{5 + 17}{2} \cdot 4 = 44$ .

Să exersăm

1. Calculează $\int_{0}^{4} 6 d x$ .

2. Calculează $\int_{1}^{4} (4 x + 3) d x$ .

3. Scrie integrala care dă aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , axa $O x$ și dreptele $x = 0$ și $x = 3$ . Nu o calcula.

4. Calculează $\int_{5}^{5} (2 x^{2} + 9) d x$ .

5. Calculează $\int_{2}^{6} (16 - 2 x) d x$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) Numărul $\int_{0}^{4} (9 x + 2) d x$ este de două ori mai mare decât $\int_{0}^{2} (9 x + 2) d x$ .

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) Două funcții continue și pozitive pe $[1, 5]$ ale căror grafice se taie într-un singur punct au aceeași integrală pe $[1, 5]$ .

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\int_{2}^{6} 9 d x$ și descrie în cuvinte suprafața a cărei arie a fost măsurată.

9. Calculează $\int_{0}^{3} (6 x + 1) d x$ .

10. Calculează aria suprafeței cuprinse între graficul funcției $f (x) = 3 x$ , axa $O x$ și dreapta $x = 6$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\int_{2}^{5} (8 x + 1) d x$ .

12. Determină numărul real $t > 0$ pentru care $\int_{0}^{t} (4 x + 2) d x = 40$ .

13. (Problemă aplicată.) Un panou fotovoltaic are baza de $3$ metri așezată orizontal, iar marginea lui de sus urcă liniar: la distanța $x$ de capătul din stânga, înălțimea este $h (x) = 2 x + 4$ metri. Scrie aria panoului ca integrală, calculeaz-o și spune ce condiție cerută de realitate nu se citește din formulă.

14. Calculează $\int_{2}^{7} 4 d x$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 6 x + 4$ . a) Arată că $f (x) > 0$ pentru orice $x \geq 0$ . b) Calculează $\int_{0}^{3} f (x) d x$ . c) Determină numerele reale $q > 0$ pentru care $\int_{0}^{q} f (x) d x \geq 132$ .

16. Determină numărul real $t > 2$ pentru care $\int_{2}^{t} 8 d x = 40$ .

17. Calculează $\int_{0}^{2} (7 x + 3) d x$ , apoi verifică rezultatul despărțind suprafața într-un dreptunghi și un triunghi.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere $m > 0$ , $n \geq 0$ și $t > 0$ , are loc $\int_{0}^{t} (m x + n) d x = \frac{m t ^{2}}{2} + n t$ .

Răspunsuri și explicații

1. Dreptunghi cu baza $4$ și înălțimea $6$ : $\int_{0}^{4} 6 d x = 6 \cdot 4 = 24$ .

2. Pe $[1, 4]$ funcția $4 x + 3$ este pozitivă. Trapez cu bazele $7$ și $19$ și înălțimea $3$ : $\int_{1}^{4} (4 x + 3) d x = \frac{7 + 19}{2} \cdot 3 = 39$ .

3. $\int_{0}^{3} (2 x^{2} - 4 x + 5) d x$ . Aici pozitivitatea nu se citește dintr-o privire: discriminantul trinomului este $16 - 40 = - 24$ , negativ, iar coeficientul dominant este pozitiv, deci funcția nu se anulează nicăieri și rămâne strict pozitivă pe $[0, 3]$ . Fiind și continuă, condițiile din definiție sunt îndeplinite; valoarea numărului nu se poate afla cu formulele de gimnaziu, fiindcă marginea de sus este un arc de parabolă.

4. $\int_{5}^{5} (2 x^{2} + 9) d x = 0$ : limitele coincid, deci suprafața se reduce la un segment.

5. Funcția scade, dar rămâne pozitivă pe $[2, 6]$ : din $x \leq 6$ rezultă $16 - 2 x \geq 4$ . Trapezul are bazele $f (2) = 12$ și $f (6) = 4$ și înălțimea $4$ , deci $\int_{2}^{6} (16 - 2 x) d x = \frac{12 + 4}{2} \cdot 4 = 32$ .

6. Fals. Trapezul de pe $[0, 4]$ are bazele $2$ și $38$ și înălțimea $4$ , deci $\int_{0}^{4} (9 x + 2) d x = \frac{2 + 38}{2} \cdot 4 = 80$ ; cel de pe $[0, 2]$ are bazele $2$ și $20$ și înălțimea $2$ , deci $\int_{0}^{2} (9 x + 2) d x = \frac{2 + 20}{2} \cdot 2 = 22$ . Dublul celui de-al doilea număr este $2 \cdot 22 = 44$ , iar primul este $80$ : pe a doua jumătate a intervalului graficul stă mai sus, deci fâșia adăugată aduce mai mult decât cea dintâi. Pentru o funcție constantă afirmația ar fi fost adevărată.

7. Fals. Un punct comun al graficelor spune doar că funcțiile au aceeași valoare acolo, nu că suprafețele de sub ele sunt la fel de mari. Contraexemplu: $f (x) = x$ și $g (x) = 2$ se taie în $x = 2$ , punct din intervalul $[1, 5]$ , dar $\int_{1}^{5} x d x = \frac{1 + 5}{2} \cdot 4 = 12$ , în timp ce $\int_{1}^{5} 2 d x = 2 \cdot 4 = 8$ .

8. $\int_{2}^{6} 9 d x = 9 \cdot 4 = 36$ . Numărul măsoară aria dreptunghiului mărginit de axa $O x$ , de dreapta orizontală de înălțime $9$ și de verticalele duse prin $x = 2$ și $x = 6$ .

9. Trapez cu bazele $1$ și $19$ și înălțimea $3$ : $\int_{0}^{3} (6 x + 1) d x = \frac{1 + 19}{2} \cdot 3 = 30$ .

10. Suprafața este triunghiul dreptunghic cu catetele $6$ (pe axa $O x$ ) și $18$ (înălțimea în capătul din dreapta), deci $\int_{0}^{6} 3 x d x = \frac{6 \cdot 18}{2} = 54$ . Trapezul a degenerat în triunghi, fiindcă baza mică este nulă.

11. Trapez cu bazele $17$ și $41$ și înălțimea $3$ : $\int_{2}^{5} (8 x + 1) d x = \frac{17 + 41}{2} \cdot 3 = 87$ .

12. Trapezul de pe $[0, t]$ are bazele $2$ și $4 t + 2$ și înălțimea $t$ , deci condiția devine $\frac{2 + 4 t + 2}{2} \cdot t = 40$ , adică $2 t^{2} + 2 t - 40 = 0$ , sau $t^{2} + t - 20 = 0$ . Rădăcinile sunt $4$ și $- 5$ , iar condiția $t > 0$ lasă $t = 4$ .

13. Aria este $\int_{0}^{3} (2 x + 4) d x = \frac{4 + 10}{2} \cdot 3 = 21$ , adică $21$ metri pătrați. Condiția nescrisă în formulă este $h (x) > 0$ pe tot intervalul, adică faptul că panoul are înălțime reală în fiecare punct; modelul liniar are sens doar pe cei $3$ metri ai bazei, nu în afara lor.

14. $\int_{2}^{7} 4 d x = 4 \cdot 5 = 20$ .

15. a) Pentru $x \geq 0$ avem $6 x + 4 \geq 4 > 0$ . b) Trapez cu bazele $4$ și $22$ și înălțimea $3$ : $\int_{0}^{3} (6 x + 4) d x = \frac{4 + 22}{2} \cdot 3 = 39$ . c) Trapezul de pe $[0, q]$ are bazele $4$ și $6 q + 4$ și înălțimea $q$ , deci $\int_{0}^{q} (6 x + 4) d x = \frac{4 + 6 q + 4}{2} \cdot q = 3 q^{2} + 4 q$ . Condiția devine $3 q^{2} + 4 q - 132 \geq 0$ , cu discriminantul $16 + 1584 = 1600$ și rădăcinile $6$ și $- \frac{22}{3}$ ; trinomul este nenegativ în afara rădăcinilor, iar din $q > 0$ rămâne $q \geq 6$ .

16. $\int_{2}^{t} 8 d x = 8 (t - 2)$ , deci $8 (t - 2) = 40$ dă $t - 2 = 5$ , adică $t = 7$ .

17. $\int_{0}^{2} (7 x + 3) d x = \frac{3 + 17}{2} \cdot 2 = 20$ . Verificare: suprafața se desparte în dreptunghiul de bază $2$ și înălțime $3$ , cu aria $3 \cdot 2 = 6$ , și în triunghiul de catete $2$ și $14$ , cu aria $\frac{2 \cdot 14}{2} = 14$ ; suma este $6 + 14 = 20$ .

18. Pe $[0, t]$ funcția $m x + n$ este pozitivă, fiindcă $m > 0$ , $n \geq 0$ și $x \geq 0$ . Suprafața de sub grafic este trapezul cu bazele $n$ și $m t + n$ și cu înălțimea $t$ , deci aria lui este $\frac{n + m t + n}{2} \cdot t = \frac{m t + 2 n}{2} \cdot t = \frac{m t ^{2}}{2} + n t$ . Egalitatea se verifică imediat pe cazurile particulare de mai sus.

De reținut

Integrala definită a unei funcții continue și pozitive pe intervalul închis $[a, b]$ , cu $a < b$ , este aria suprafeței cuprinse între grafic, axa $O x$ și verticalele duse prin capete; se scrie $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x$ este un număr și nu poartă niciodată $+ C$ ; $\int f (x) d x$ este o familie de funcții și îl cere obligatoriu.
Litera de integrare este mută — $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ sunt același număr —, dar limitele $a$ și $b$ hotărăsc suprafața.
Pentru funcția constantă $f (x) = c$ avem $\int_{a}^{b} c d x = c (b - a)$ , iar pentru o funcție de gradul întâi pozitivă aria este cea a trapezului: $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2} \cdot (b - a)$ .
Când limitele coincid, integrala este nulă; iar dacă integrala unei funcții continue și pozitive este nulă pe un interval nedegenerat, funcția este identic nulă acolo.

Greșeli frecvente

Scrii $+ C$ la o integrală cu limite. Prezența lui $C$ într-o integrală definită arată că nu s-a văzut deosebirea dintre număr și familie de funcții. Semnul după care te orientezi este simplu: dacă integrala are cifre sus și jos, răspunsul este un număr.
Lași rezultatul fără unitate de măsură la o problemă cu context. Când axele poartă mărimi fizice, aria are și ea o unitate, obținută înmulțind unitățile celor două axe; un rezultat scris gol nu e complet.
Confunzi lungimea intervalului cu una dintre limite. La dreptunghi, înălțimea se înmulțește cu $b - a$ , nu cu $b$ . Greșeala apare mai ales când $a$ nu este zero, cum e la $\int_{2}^{6} 9 d x$ , unde baza este $4$ , nu $6$ .
Aplici formula trapezului unei funcții care nu este de gradul întâi. Formula $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2} \cdot (b - a)$ este aria trapezului, iar trapez se obține numai când marginea de sus este un segment. La un arc de parabolă ea dă altceva decât aria adevărată.
Crezi că litera de sub integrală schimbă problema. $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ măsoară aceeași suprafață; ce hotărăște rezultatul sunt limitele.

Aplică acasă

Atelierul de acasă. Decupează din carton o piesă cu baza dreaptă de $10$ centimetri și cu marginea de sus înclinată, de la $4$ la $9$ centimetri. Calculează-i aria cu formula trapezului, apoi cântărește piesa și cântărește separat un pătrat de $10$ pe $10$ centimetri din același carton. Compară raportul maselor cu raportul ariilor și notează cu ce eroare ai lucrat.
Dicționarul desen–scriere. Desenează trei suprafețe diferite mărginite de sus de segmente și de jos de axa $O x$ , apoi scrie pentru fiecare integrala care îi dă aria, cu limitele corecte. Dă foaia unui coleg, care are de refăcut desenele numai din scrieri; comparați la final desenele.
Unitățile de pe axe. Alege din manualul de fizică sau de chimie trei grafice cu mărimi diferite pe cele două axe. Pentru fiecare, scrie ce unitate de măsură are aria de sub grafic și spune, într-o propoziție, ce mărime fizică ar putea fi ea. Nu calcula nimic.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide ultimul capitol de analiză al clasei și verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul enunță definiția cu toate condițiile ei (interval închis, funcție continuă, valori pozitive), dacă deosebește integrala definită de cea nedefinită la prima privire și dacă traduce corect, în amândouă sensurile, între o suprafață descrisă în cuvinte sau desenată și scrierea $\int_{a}^{b} f (x) d x$ .

Dificultatea reală nu este calculul — el se reduce aici la aria dreptunghiului și a trapezului —, ci acceptarea unei definiții de alt tip. Până acum, fiecare noțiune de analiză a venit dintr-o operație; aceasta vine dintr-o figură. Un desen făcut de mână, cu limitele marcate pe axă, ajută mai mult decât zece exerciții suplimentare. Merită insistat și pe faptul că integrala este un număr: mulți elevi scriu mecanic $+ C$ luni de zile după ce au învățat de ce nu trebuie.

Merită puse acasă și întrebările: „De ce cere definiția ca funcția să fie pozitivă?", „Ce se schimbă dacă înlocuiești $d x$ cu $d t$ ?", „Cât este integrala când cele două limite sunt egale?", „Cum arată suprafața pentru care aria se calculează cu formula trapezului?". Semne că a înțeles: nu mai scrie constantă la integralele cu limite; verifică pozitivitatea înainte de a vorbi despre arie; și, pus în fața unui rezultat negativ la o funcție pozitivă, spune singur că undeva e o greșeală.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; acolo tema apare la unitatea XII.4. Integrala definită, cu conținutul „originea noțiunii de integrală definită ca arie a subgraficului unei funcții continue și pozitive definite pe un interval compact". Spre deosebire de geometria în spațiu, integrala definită este o temă care se dă la ambele generații: ea se află și în programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), după care se susțin sesiunile 2027, 2028 și 2029, la capitolul „Integrala definită", și în programa probei MAT_P2 din 2030, la domeniul Analiză matematică. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce este integrala definită a unei funcții?

Pentru o funcție $f$ continuă și pozitivă pe un interval închis $[a, b]$ , cu $a < b$ , integrala definită $\int_{a}^{b} f (x) d x$ măsoară aria suprafeței pe care o închid împreună graficul funcției, axa $O x$ și cele două verticale ridicate din capetele intervalului. Este, prin definiție, un număr, nu o funcție, iar valoarea lui depinde atât de funcție, cât și de cele două limite.

Care este deosebirea dintre integrala definită și integrala nedefinită?

Integrala nedefinită $\int f (x) d x$ este mulțimea tuturor primitivelor funcției pe un interval și se scrie obligatoriu cu $+ C$ . Integrala definită $\int_{a}^{b} f (x) d x$ are limite de integrare, este un singur număr și nu primește niciodată constantă. Semnul vizibil care le desparte sunt tocmai cele două cifre scrise sub și deasupra semnului de integrare.

De ce se cere ca funcția să fie pozitivă în definiție?

Pentru că definiția vorbește despre aria suprafeței cuprinse între grafic și axă, iar expresia aceasta are sens simplu doar când graficul stă deasupra axei. Dacă funcția coboară sub axă, numărul dat de integrală există în continuare, dar nu mai este aria; situația se tratează la lecția despre aria delimitată de grafic și axa $O x$ .

Ce înseamnă $d x$ la o integrală definită?

Arată după care literă se integrează, adică pe care axă se măsoară lățimea fâșiilor. El nu este un factor cu care se înmulțește și nu poate lipsi din scriere. Litera aleasă nu schimbă rezultatul: $\int_{a}^{b} f (x) d x$ și $\int_{a}^{b} f (t) d t$ sunt același număr, motiv pentru care se spune că variabila de integrare este mută.

Cum calculezi integrala unei funcții constante?

Graficul unei funcții constante pozitive este un segment orizontal, iar suprafața de sub el este un dreptunghi cu baza egală cu lungimea intervalului și cu înălțimea egală cu valoarea constantă. Prin urmare $\int_{a}^{b} c d x = c (b - a)$ . Atenție la bază: ea este $b - a$ , nu $b$ — o confuzie ușor de făcut când intervalul nu începe din zero.

Se învață integrala definită la fel și la mate-info (M1)?

Noțiunea este aceeași, drumul spre ea nu. La matematică-informatică, integrala definită se construiește printr-un aparat mai greu, cu tăieri repetate ale intervalului și cu treceri la limită, iar aria apare ca urmare a construcției. La științe ale naturii, programa cere calea scurtă: aria este punctul de plecare, iar calculul vine din formula Leibniz-Newton. Pentru comparație: Problema ariei și subgraficul unei funcții, la mate-info (M1).

La ce subiect apare integrala definită la Bacalaureatul M2?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, integralele apar la Subiectul al III-lea, în a doua problemă, cu trei cerințe legate între ele. Pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă subiecte publicate, ci doar programa de examen, care așază tema la domeniul „Analiză matematică". Lecția de față pregătește partea de recunoaștere și de scriere corectă, iar calculul propriu-zis vine la lecția următoare de metodă.