Cum integrez | x²-4| pe [0,3]?

Expresia se anulează în 2, punct interior. Pe [0,2] ea este negativă, deci integrezi 4-x² și obții 16/3; pe [2,3] este pozitivă și dă 7/3. Rezultatul este 23/3.

Cum integrez o funcție definită pe ramuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrale pe ramuri și cu modul

Verifici că ramurile se racordează continuu, tai intervalul în punctul de racord și integrezi fiecare ramură doar pe bucata ei, apoi aduni. Exemplu: $f (x) = x + 1$ pe $[0, 2]$ și $f (x) = 3$ pe $(2, 4]$ . În $2$ ambele formule dau $3$ , deci funcția e continuă. Atunci $\int_{0}^{2} (x + 1) d x = 2 + 2 = 4$ și $\int_{2}^{4} 3 d x = 6$ , iar $\int_{0}^{4} f (x) d x = 10$ . Nu e nevoie de o singură primitivă pentru toată funcția.

O funcție scrisă pe ramuri are câte o expresie pe fiecare bucată a intervalului, iar valorile în care se schimbă expresia se numesc puncte de racord. Fiindcă aici integrala este definită numai pentru funcții continue, rezolvarea începe cu o verificare: formulele vecine trebuie să dea același număr în racord, iar constatarea se trece în scris.

Tabelul primitivelor recunoaște formule, nu acolade, așa că o primitivă unică pentru toată funcția nu se poate scrie. Ieșirea o dă aditivitatea față de intervalul de integrare: tăietura se așază exact în racord, iar pe fiecare bucată rămâne o expresie unică, gata de formula Leibniz-Newton. Trei pași, deci — controlul racordării, ruperea cu rescrierea ramurilor, adunarea rezultatelor.

Modulele fac parte din aceeași familie, cu deosebirea că ramurile lor trebuie descoperite. Pregătirea înseamnă un tabel de semn pentru expresia dintre bare, mărginit la capetele integralei: pe porțiunile cu semnul plus barele cad de la sine, iar pe cele cu semnul minus expresia se ia cu semn schimbat. Capcana stă în numărul bucăților, egal cu numărul zerourilor strict interioare, mărit cu unu; o rădăcină din afară ori așezată într-un capăt nu taie nimic.

La final, o verificare scurtă: cu bare și cu limitele în ordine crescătoare, nicio bucată nu are voie să iasă negativă.

De reținut

se verifică racordul, se taie intervalul, se integrează fiecare ramură pe bucata ei
la modul: tabel de semn pentru expresia dintre bare
un zero din afara intervalului nu produce nicio tăietură

Greșeala tipică

Se integrează fiecare ramură pe tot intervalul, nu doar pe bucata ei; o formulă se folosește numai între punctele în care este valabilă.

Exerciții din această mini-lecție

Funcția $f : [0, 6] \to R$ , $f (x) = {3 x + 2, a x + 4, x \in [0, 2] x \in (2, 6]$ , este continuă. Atunci $a$ este egal cu:
- a) $2$
- b) $4$
- c) $6$
- d) $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2$

Punctul de racord este $2$ . Prima formulă dă acolo $3 \cdot 2 + 2 = 8$ , iar a doua se apropie de $2 a + 4$ . Din $2 a + 4 = 8$ rezultă $a = 2$ . Pentru $a = 4$ a doua ramură dă $12$ , pentru $a = 6$ dă $16$ , iar pentru $a = - 2$ dă $0$ — niciuna nu se racordează cu $8$ . Fără racordare, integrala funcției nu intră în materia acestui profil.
Câte bucăți are calculul integralei $\int_{0}^{10} ∣ x^{2} - 13 x + 40 ∣ d x$ ?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $1$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Ecuația $x^{2} - 13 x + 40 = 0$ are discriminantul $169 - 160 = 9$ și rădăcinile $\frac{13 \pm 3}{2}$ , adică $5$ și $8$ . Amândouă sunt strict interioare intervalului $[0, 10]$ , deci numărul bucăților este numărul zerourilor interioare plus unu, adică $3$ . Coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia este pozitivă pe $[0, 5]$ , negativă pe $[5, 8]$ și din nou pozitivă pe $[8, 10]$ .
Se consideră funcția $f : [0, 5] \to R$ , $f (x) = {5, 2 x + 1, x \in [0, 2] x \in (2, 5]$ . Atunci $\int_{0}^{5} f (x) d x$ este egal cu:
- a) $24$
- b) $30$
- c) $34$
- d) $40$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $34$

Racordarea în $2$ : prima formulă dă $5$ , iar a doua dă $2 \cdot 2 + 1 = 5$ , deci $f$ este continuă și integrala ei are sens. Tăiem în punctul de racord: $\int_{0}^{2} 5 d x = 5 \cdot 2 = 10$ , iar $\int_{2}^{5} (2 x + 1) d x = (x^{2} + x)_{2}^{5} = 30 - 6 = 24$ . Suma este $10 + 24 = 34$ . Varianta a) uită prima bucată, iar b) și d) nu corespund niciunei sume a celor două.

Întrebări conexe

Cât este integrala lui $∣ x ∣$ de la $- 1$ la $2$ ?

Tai intervalul în $0$ , unde modulul își schimbă formula: pe $[- 1, 0]$ , $∣ x ∣ = - x$ , iar pe $[0, 2]$ , $∣ x ∣ = x$ . Integralele sunt $\frac{1}{2}$ și $2$ , deci rezultatul este $\frac{5}{2}$ , aria a două triunghiuri.

Cum integrez $∣ x^{2} - 4 ∣$ pe $[0, 3]$ ?

Expresia se anulează în $2$ , punct interior. Pe $[0, 2]$ ea este negativă, deci integrezi $4 - x^{2}$ și obții $\frac{16}{3}$ ; pe $[2, 3]$ este pozitivă și dă $\frac{7}{3}$ . Rezultatul este $\frac{23}{3}$ .

Cum calculez distanța când viteza își schimbă semnul?

Distanța este integrala modulului vitezei, iar deplasarea este integrala vitezei. Pentru $v (t) = t - 2$ m/s pe $[0, 4]$ , deplasarea este $0$ , fiindcă mobilul revine în punctul de plecare, dar distanța parcursă este $2 + 2 = 4$ m.

Cum integrez o funcție cu trei ramuri?

Tai intervalul în ambele puncte de racord. Pentru $f = 2$ pe $[0, 1]$ , $f = 2 x$ pe $(1, 3]$ și $f = 6$ pe $(3, 5]$ , racordurile se potrivesc, iar bucățile dau $2$ , $9 - 1 = 8$ și $12$ . Integrala pe $[0, 5]$ este $22$ .

Cât este integrala lui $∣ sin x ∣$ de la $0$ la $2 π$ ?

Pe $[0, π]$ sinusul este pozitiv, iar pe $[π, 2 π]$ negativ, deci a doua bucată se ia cu semn schimbat. Fiecare arc dă $2$ , iar rezultatul este $4$ , deși $\int_{0}^{2 π} sin x d x$ este $0$ .

Oamenii mai întreabă și: integrala unei funcții pe ramuri · cum integrez o funcție cu acoladă · integrala funcției definite pe intervale · integrala pe ramuri exemplu