Integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul (M2, științe ale naturii)

O conductă prin care apa curge întâi cu debit constant, apoi tot mai încet, pe măsură ce se închide robinetul. O taxă care are un preț până la un prag și altul după el. Un tub de sticlă în care se depun aluviuni întâi repede, apoi din ce în ce mai rar. În toate aceste situații, mărimea măsurată nu se descrie printr-o singură formulă, ci prin două formule lipite, fiecare valabilă pe bucata ei. Iar când vrem cantitatea acumulată, avem nevoie de integrala unei astfel de funcții. La clasa a XII-a, la profilul științe ale naturii (M2), cerințele de acest fel se rezolvă cu o singură proprietate — aditivitatea față de intervalul de integrare — iar în modelul oficial publicat pentru proba actuală cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea.

În aceeași familie intră și funcțiile cu modul, care par altceva, dar nu sunt: modulul unei expresii înseamnă exact „expresia acolo unde e pozitivă, opusul ei acolo unde e negativă", adică o funcție dată pe ramuri, doar că ramurile nu sunt scrise în enunț — trebuie găsite. Instrumentul care le găsește este tabelul de semn, cunoscut din clasa a XI-a. Lecția are, așadar, două jumătăți: o rețetă de trei pași pentru funcțiile date pe ramuri și un pas pregătitor pentru cele cu modul. Ambele se sprijină pe proprietățile integralei definite și pe formula Leibniz-Newton.

Ce vei învăța

• Vei ști să citești o funcție scrisă cu acolade și să verifici, într-un rând, dacă cele două expresii vecine dau același număr acolo unde se schimbă.
• Vei ști să aplici rețeta în trei pași, rupând integrala fix acolo unde expresia se schimbă.
• Vei ști să scapi de bare: afli întâi semnul expresiei dinăuntru, apoi rescrii funcția cu acolade.
• Vei ști să hotărăști câte bucăți are de fapt calculul, uitându-te la care zerouri cad înăuntrul intervalului.
• Vei ști să faci, la final, controlul semnelor, ca să prinzi singur o greșeală înainte de a preda lucrarea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o funcție definită pe ramuri?

O funcție definită pe ramuri pe $[a,b]$ este o funcție scrisă cu acolade: intervalul se împarte în bucăți care se ating cap la cap și îl acoperă în întregime, iar pe fiecare bucată funcția are propria ei expresie. Valorile $c_1<c_2<\dots$ la care se trece de la o expresie la alta poartă numele de puncte de racord, iar la profilul acesta cele două expresii vecine trebuie să dea, în fiecare punct de racord, același număr — altfel funcția are un salt și iese din materie.

Ultima condiție nu e un capriciu, ci hotarul profilului. La științe ale naturii, integrala definită se introduce pentru funcții continue — chiar așa scrie programa de examen, „definirea integralei Riemann a unei funcții continue prin formula Leibniz-Newton" —, iar criteriile care ar permite integrarea unei funcții cu salt nu fac parte din materie. De aceea, primul gest în fața unei funcții pe ramuri este verificarea racordării: calculezi valoarea fiecărei formule în punctul de racord și te uiți dacă cele două numere coincid. E același calcul pe care l-ai făcut la continuitatea unei funcții, acum folosit ca bilet de intrare.

Iată forma în care vei întâlni astfel de funcții:

$$f:[0,5]\to \mathbb{R},f(x)=\{\begin{array}{ll}4-x,& x\in [0,3]\\ 2x-5,& x\in (3,5]\end{array}$$

Punctul de racord este $3$. Prima formulă dă acolo $4-3=1$, a doua dă $2\cdot 3-5=1$: valorile coincid, deci $f$ este continuă pe $[0,5]$ și integrala ei are sens.

2. De ce nu merge o singură formulă pe tot intervalul?

Tentația e să cauți o primitivă a lui $f$ pe tot $[0,5]$ și să scrii $F(5)-F(0)$. Problema nu e că o astfel de primitivă n-ar exista — funcția fiind continuă, ea există —, ci că nu o cunoaștem ca expresie unică. Tabelul primitivelor, construit la tabelul primitivelor uzuale, lucrează cu formule: el știe să dea o primitivă pentru $4-x$ și una pentru $2x-5$, dar nu are un rând pentru „funcția care e $4-x$ până la $3$ și $2x-5$ după".

Ce facem, atunci? Ne întoarcem la aditivitatea față de interval, dedusă în lecția anterioară tocmai din formula Leibniz-Newton: pentru $a<c<b$,

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx.$$

Alegem drept $c$ chiar punctul de racord. Pe fiecare bucată rămâne o singură formulă, deci tabelul primitivelor se poate aplica, iar formula Leibniz-Newton merge fără nicio grijă. Observă deosebirea de nuanță față de lecția trecută: acolo tăietura era o alegere liberă, oricare punct dintre capete fiind bun; aici tăietura e impusă de funcție, iar punctul de racord e singurul care lasă pe fiecare bucată o expresie unică.

3. Rețeta în trei pași

Pentru orice funcție dată pe ramuri, calculul are trei pași și tot trei rânduri de scris.

1. Verifici racordarea. Calculezi valorile formulelor vecine în fiecare punct de racord. Dacă ele coincid, funcția e continuă și scrii asta într-o propoziție: „ramurile se racordează în $c$, deci $f$ este continuă pe $[a,b]$ și integrala ei există".
2. Rupi și rescrii. Scrii aditivitatea cu tăieturile puse în punctele de racord, apoi, pe fiecare bucată, treci în locul lui $f$ expresia care o descrie acolo și calculezi cu formula Leibniz-Newton.
3. Aduni rezultatele parțiale.

Model complet, pe funcția de la punctul 1. Calculăm ${\int }_0^{5}f(x)dx$.

Pasul 1: racordarea în $3$ a fost deja verificată — ambele formule dau $1$.

Pasul 2: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^3(4-x)dx+{\int }_3^5(2x-5)dx$, iar cu primitivele $4x-\frac{x^2}{2}$ și $x^2-5x$:

$${\int }_0^3(4-x)dx=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right){|}_0^3=12-\frac{9}{2}=\frac{15}{2},{\int }_3^5(2x-5)dx=\left(x^2-5x\right){|}_3^5=0-(-6)=6.$$

Pasul 3: ${\int }_0^{5}f(x)dx=\frac{15}{2}+6=\frac{27}{2}$.

4. Cum scoți modulul dintr-o integrală?

Prin definiție, $|t|=t$ dacă $t\ge 0$ și $|t|=-t$ dacă $t<0$. Aplicată unei expresii $E(x)$, definiția dă chiar o funcție pe ramuri:

$$|E(x)|=\{\begin{array}{ll}E(x),& \text{unde }E(x)\ge 0\\ -E(x),& \text{unde }E(x)<0\end{array}$$

Ca să folosim rețeta de la punctul 3 ne lipsește, așadar, un singur lucru: semnul expresiei dintre bare, porțiune cu porțiune. Instrumentul îl știi din clasa a XI-a — tabelul de semn, în formatul de la semnul unei funcții continue: variabila sus, dedesubt o singură linie cu expresia, cu $0$ acolo unde ea se anulează și cu $+$ sau $-$ pe fiecare porțiune dintre zerouri.

Se adaugă deci un pas pregătitor: faci tabelul acela, mărginit la capetele integralei, apoi rescrii funcția cu acolade, fără bare. Un lucru merită observat de la început: dacă $E$ e continuă, atunci $|E|$ e tot continuă — barele nu produc salturi, ci cel mult colțuri —, așa că racordarea de la pasul 1 e automată și se justifică într-o propoziție.

Model complet. Calculăm ${\int }_0^4|x^2-6x+8|dx$.

Pasul pregătitor: ecuația $x^2-6x+8=0$ are rădăcinile $2$ și $4$. Coeficientul dominant e pozitiv, deci expresia e pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele:

Așadar $|x^2-6x+8|=x^2-6x+8$ pe $[0,2]$ și $=-x^2+6x-8$ pe $[2,4]$.

Pașii 1–3: funcția e continuă, fiind modulul unei funcții polinomiale. Cu primitiva $\frac{x^3}{3}-3x^2+8x$ a expresiei de sub modul:

$${\int }_0^2(x^2-6x+8)dx=\left(\frac{x^3}{3}-3x^2+8x\right){|}_0^2=\frac{20}{3},{\int }_2^4(-x^2+6x-8)dx=\frac{4}{3}.$$

Adunând, ${\int }_0^4|x^2-6x+8|dx=\frac{20}{3}+\frac{4}{3}=8$.

5. Care zerouri taie intervalul de integrare?

Aici stă capcana lecției, și nu e una de calcul. Regula e scurtă: taie numai zerourile care se află în interiorul intervalului de integrare. Un zerou din afara intervalului nu produce nicio bucată, pentru că acolo nu integrăm nimic; un zerou care cade chiar într-un capăt nu produce nici el o bucată, pentru că de o parte a lui nu mai rămâne nimic din interval.

Pune-ți, așadar, întrebarea de fiecare dată: rădăcina asta e strict între $a$ și $b$? Iată un exercițiu de citire, fără calcul: expresia $x^2-3x$ se anulează în $0$ și în $3$. Pe intervalul $[1,5]$, valoarea $0$ rămâne în afară, iar $3$ este strict înăuntru — deci se taie o singură dată, în $3$, și calculul are două bucăți. Pe intervalul $[0,2]$, dimpotrivă, $3$ rămâne afară, iar $0$ este chiar capătul din stânga: nu se taie deloc, iar calculul are o singură bucată.

Numărul de bucăți nu e, deci, niciodată doi din oficiu: el este numărul zerourilor interioare plus unu. La modelul de la punctul 4, expresia avea două rădăcini, dar una era chiar capătul din dreapta, așa că am tăiat o singură dată.

6. Cum îți verifici singur rezultatul?

Trei controale, toate de câteva secunde.

• Fiecare bucată a unei integrale cu modul trebuie să iasă pozitivă. Integrandul $|E|$ este pozitiv, iar limitele sunt scrise în ordine crescătoare, deci o bucată negativă înseamnă că undeva a rămas nedesfăcut semnul minus. La modelul din punctul 4, $\frac{20}{3}$ și $\frac{4}{3}$ sunt amândouă pozitive.
• Racordul se citește din amândouă formulele. Înainte de a aduna, mai uită-te o dată la punctul de racord și calculează acolo valoarea pe fiecare ramură. Dacă cele două numere nu coincid, tot ce urmează e degeaba, oricât de corect ai calcula.
• Suma bucăților se compară cu graficul. Pentru o funcție pozitivă, integrala este aria de sub grafic (integrala definită ca arie); când bucățile sunt segmente de dreaptă, aria se află și geometric, cu triunghiuri și trapeze. Când cele două căi dau același număr, calculul e aproape sigur corect.

Două lucruri nu se fac aici. Când o funcție taie axa și se cere aria dintre grafic și axă, răspunsul nu e integrala funcției, ci a modulului ei; legătura se lămurește la aria suprafeței de sub un grafic. Iar scurtăturile pe intervale simetrice, pentru funcții pare sau impare, nu intră în programa de la științe ale naturii.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două ramuri liniare, într-un model din științe

Într-un tub de sedimentare, aluviunile se depun cu rata $g$, măsurată în grame pe minut, după modelul $g(x)=3x+4$ pentru $x\in [0,2]$ și $g(x)=14-2x$ pentru $x\in (2,5]$, unde $x$ este timpul în minute. Ce masă de aluviuni s-a depus în cele cinci minute, știind că masa depusă este integrala ratei?

Rezolvare. Racordarea: în minutul $2$, prima formulă dă $10$, a doua dă $14-4=10$; valorile coincid, deci $g$ este continuă pe $[0,5]$ și modelul nu are salturi. Rata rămâne pozitivă până la capăt, fiindcă $14-2\cdot 5=4>0$ — se depune tot mai puțin, dar depunerea nu se oprește.

Tăierea și calculul:

$${\int }_0^2(3x+4)dx=\left(\frac{3x^2}{2}+4x\right){|}_0^2=14,{\int }_2^5(14-2x)dx=\left(14x-x^2\right){|}_2^5=45-24=21.$$

Adunarea: ${\int }_0^{5}g(x)dx=14+21=35$, adică $35$ de grame de aluviuni.

Exemplul 2 — O ramură pătratică și una liniară

Calculează ${\int }_{-1}^{2}h(x)dx$, unde $h:[-1,2]\to \mathbb{R}$, $h(x)=x^2+1$ pentru $x\in [-1,1]$ și $h(x)=3x-1$ pentru $x\in (1,2]$.

Rezolvare. Racordarea: în $1$, prima formulă dă $2$, a doua dă $3-1=2$. Funcția e continuă.

Calculul, bucată cu bucată:

$${\int }_{-1}^1(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_{-1}^1=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3},{\int }_1^2(3x-1)dx=\left(\frac{3x^2}{2}-x\right){|}_1^2=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}.$$

Adunarea: $\frac{8}{3}+\frac{7}{2}=\frac{16}{6}+\frac{21}{6}=\frac{37}{6}$. Atenție la prima bucată: capătul din stânga fiind negativ, scăderea $F(1)-F(-1)$ adună două numere, nu le scade.

Exemplul 3 — Modul de gradul întâi

Calculează ${\int }_2^8|2x-9|dx$.

Rezolvare. Pasul pregătitor: expresia $2x-9$ se anulează în $4,5$, valoare aflată strict între $2$ și $8$. Tabelul de semn, mărginit la capetele integralei:

Deci $|2x-9|=9-2x$ pe $[2;4,5]$ și $=2x-9$ pe $[4,5;8]$.

Calculul:

$${\int }_2^{4,5}(9-2x)dx=\left(9x-x^2\right){|}_2^{4,5}=\frac{81}{4}-14=\frac{25}{4},{\int }_{4,5}^8(2x-9)dx=\left(x^2-9x\right){|}_{4,5}^8=-8+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}.$$

Ambele bucăți au ieșit pozitive, cum trebuie. Rezultatul: $\frac{25}{4}+\frac{49}{4}=\frac{74}{4}=\frac{37}{2}$.

Exemplul 4 — Modul de trinom, cu o rădăcină în afara intervalului

Calculează ${\int }_0^3|x^2-x-2|dx$.

Rezolvare. Pasul pregătitor: rădăcinile lui $x^2-x-2$ sunt $-1$ și $2$. Intervalul de integrare este $[0,3]$, deci $-1$ rămâne în afara lui și nu produce nicio tăietură; singura rădăcină interioară este $2$.

Calculul, cu primitiva $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-2x$ a expresiei de sub modul:

$${\int }_0^2(-x^2+x+2)dx=\frac{10}{3},{\int }_2^3(x^2-x-2)dx=-\frac{3}{2}+\frac{10}{3}=\frac{11}{6}.$$

Adunarea: $\frac{10}{3}+\frac{11}{6}=\frac{20}{6}+\frac{11}{6}=\frac{31}{6}$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev a calculat ${\int }_0^3|x^2-7x+10|dx$ astfel: „Rădăcinile sunt $2$ și $5$, deci tai în amândouă și scriu ${\int }_0^2+{\int }_2^5+{\int }_5^3$. Pe fiecare bucată las expresia așa cum e și adun." Găsește greșelile.

Rezolvare. Sunt două, amândouă în pasul pregătitor. (1) Rădăcina $5$ nu aparține intervalului $[0,3]$, deci nu produce nicio bucată; scrierea ${\int }_5^3$ nici măcar nu are sens aici, fiindcă limitele au ieșit în ordine descrescătoare — semnul cel mai vizibil că tăietura e greșită. Se rupe o singură dată, în $2$. (2) Pe bucata $[2,3]$ expresia dintre bare este negativă (pentru $x=\frac{5}{2}$ ea dă $-\frac{5}{4}$), deci acolo barele se desfac cu semn schimbat, adică $-x^2+7x-10$, nu $x^2-7x+10$. Dacă elevul ar fi controlat la final că fiecare bucată iese pozitivă, ar fi prins singur greșeala: bucata $[2,3]$ îi dădea un număr negativ. Rezultatul corect este ${\int }_0^2(x^2-7x+10)dx+{\int }_2^3(-x^2+7x-10)dx=\frac{26}{3}+\frac{7}{6}=\frac{59}{6}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-6x+5|$.

a) Alcătuiește tabelul de semn al expresiei $x^2-6x+5$ pe intervalul $[0,6]$.

b) Calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx$.

c) Calculează ${\int }_0^{6}f(x)dx$.

Rezolvare. a) Ecuația $x^2-6x+5=0$ are rădăcinile $1$ și $5$, amândouă strict între $0$ și $6$. Coeficientul dominant fiind pozitiv, expresia e pozitivă în afara rădăcinilor și negativă între ele:

b) Pe $[0,1]$ expresia e pozitivă, deci $f(x)=x^2-6x+5$. Cu primitiva $P(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+5x$ avem $P(0)=0$ și $P(1)=\frac{1}{3}-3+5=\frac{7}{3}$, deci ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{7}{3}$.

c) Funcția $f$ este continuă, fiind modulul unei funcții polinomiale. Cele două rădăcini fiind interioare, calculul are trei bucăți. Valorile primitivei: $P(5)=\frac{125}{3}-75+25=-\frac{25}{3}$ și $P(6)=72-108+30=-6$. Atunci

$${\int }_0^{1}f=\frac{7}{3},{\int }_1^{5}f=-(P(5)-P(1))=\frac{32}{3},{\int }_5^{6}f=P(6)-P(5)=\frac{7}{3},$$

iar suma lor este ${\int }_0^{6}f(x)dx=\frac{7}{3}+\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=\frac{46}{3}$. Toate cele trei bucăți sunt pozitive, ceea ce confirmă că semnele au fost citite corect.

(Model construit în formatul probei: o cerință de citire a semnului, urmată de două calcule care se sprijină pe ea. Tema — aditivitatea față de intervalul de integrare — se află în programa de examen din 2014 și rămâne în programa nouă.)

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare funcție pe ramuri, verifică întâi racordarea; la fiecare modul, scrie întâi tabelul de semn.

1. Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$, unde $f(x)=4$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=2x+2$ pentru $x\in (1,3]$.

2. Calculează ${\int }_1^{6}f(x)dx$, unde $f(x)=2$ pentru $x\in [1,3]$ și $f(x)=x-1$ pentru $x\in (3,6]$.

3. Arată că funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$ pentru $x\in [0,2]$ și $f(x)=x^2+1$ pentru $x\in (2,4]$, este continuă, apoi calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$.

4. Calculează ${\int }_0^4|3x-7|dx$.

5. Calculează ${\int }_{-2}^{2}f(x)dx$, unde $f(x)=x+2$ pentru $x\in [-2,0]$ și $f(x)=2x^2+2$ pentru $x\in (0,2]$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_2^6|x-4|dx$.

7. Calculează ${\int }_0^{6}f(x)dx$, unde $f(x)=2x$ pentru $x\in [0,2]$, $f(x)=4$ pentru $x\in (2,4]$ și $f(x)=8-x$ pentru $x\in (4,6]$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice funcții continue $f$ și $g$ pe $[0,4]$ are loc egalitatea ${\int }_0^4|f(x)+g(x)|dx={\int }_0^4|f(x)|dx+{\int }_0^4|g(x)|dx$."

9. Calculează ${\int }_1^4|x^2-5x+4|dx$ și spune de câte ori ai tăiat intervalul.

10. Calculează ${\int }_0^{6}f(x)dx$, unde $f(x)=x^2$ pentru $x\in [0,2]$ și $f(x)=4$ pentru $x\in (2,6]$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=|x^2-4x|$. a) Alcătuiește tabelul de semn al expresiei $x^2-4x$ pe intervalul $[0,5]$. b) Calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_0^{5}f(x)dx$.

12. (Problemă aplicată.) Un reșou electric funcționează la puterea constantă de $900$ de wați în primele $4$ minute, apoi puterea lui scade după legea $P(t)=1700-200t$ (în wați, cu $t$ în minute), până la minutul $8$. a) Verifică dacă modelul este continuu în minutul $4$ și arată că puterea rămâne pozitivă până la final. b) Știind că energia consumată este integrala puterii, calculează energia consumată în cele $8$ minute, în wați-minut, și transform-o în kilojouli.

13. Calculează ${\int }_0^{3}f(x)dx$, unde $f(x)=2x+1$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=x^2+2$ pentru $x\in (1,3]$.

14. Calculează ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$, unde $f(x)=-2x-1$ pentru $x\in [-2,-1]$ și $f(x)=x^2$ pentru $x\in (-1,1]$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x$ pentru $x\in [0,1]$ și $f(x)=x+1$ pentru $x\in (1,4]$. a) Arată că $f$ este continuă în $1$. b) Calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx$. c) Calculează ${\int }_0^{4}f(x)dx$.

16. Calculează ${\int }_0^{5}f(x)dx$, unde $f(x)=x$ pentru $x\in [0,1]$, $f(x)=1$ pentru $x\in (1,3]$ și $f(x)=x-2$ pentru $x\in (3,5]$.

17. Un elev a scris ${\int }_2^4|x^2-10x+9|dx={\int }_2^4(x^2-10x+9)dx$, „fiindcă nicio rădăcină nu cade în interval". Spune dacă are dreptate, motivează și dă rezultatul corect.

18. (Provocare.) Calculează ${\int }_1^6(|x-2|+|x-5|)dx$.

Răspunsuri și explicații

1. Racordarea în $1$: prima formulă dă $4$, a doua dă $2+2=4$. Apoi ${\int }_0^{1}4dx=4$ și ${\int }_1^3(2x+2)dx=\left(x^2+2x\right){|}_1^3=15-3=12$, deci rezultatul este $16$.

2. Racordarea în $3$: $2$ și $3-1=2$. Apoi ${\int }_1^{3}2dx=4$ și ${\int }_3^6(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_3^6=12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}$, deci rezultatul este $4+\frac{21}{2}=\frac{29}{2}$.

3. În $2$: $3\cdot 2-1=5$ și $4+1=5$, deci $f$ e continuă. Apoi ${\int }_0^2(3x-1)dx=\left(\frac{3x^2}{2}-x\right){|}_0^2=4$ și ${\int }_2^4(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_2^4=\frac{62}{3}$, deci rezultatul este $4+\frac{62}{3}=\frac{74}{3}$.

4. Zeroul lui $3x-7$ este $\frac{7}{3}$, strict între $0$ și $4$, deci o singură tăiere. ${\int }_0^{7/3}(7-3x)dx=\frac{49}{6}$ și ${\int }_{7/3}^4(3x-7)dx=\frac{25}{6}$, deci rezultatul este $\frac{74}{6}=\frac{37}{3}$.

5. Racordarea în $0$: $2$ și $2$. Apoi ${\int }_{-2}^0(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_{-2}^0=2$ și ${\int }_0^2(2x^2+2)dx=\frac{28}{3}$, deci rezultatul este $2+\frac{28}{3}=\frac{34}{3}$.

6. Zeroul lui $x-4$ este $4$, strict între $2$ și $6$. ${\int }_2^4(4-x)dx=2$ și ${\int }_4^6(x-4)dx=2$, deci rezultatul este $4$. Cele două bucăți au ieșit egale pentru că $4$ este chiar mijlocul intervalului.

7. Racordurile: în $2$, $4$ și $4$; în $4$, $4$ și $8-4=4$. Apoi ${\int }_0^{2}2xdx=4$, ${\int }_2^{4}4dx=8$ și ${\int }_4^6(8-x)dx=\left(8x-\frac{x^2}{2}\right){|}_4^6=30-24=6$, deci rezultatul este $18$.

8. Fals. Modulul nu se poartă cu suma așa cum se poartă integrala. Contraexemplu: $f(x)=1$ și $g(x)=-1$ pe $[0,4]$. Atunci $f(x)+g(x)=0$, deci membrul stâng este $0$, în timp ce membrul drept este ${\int }_0^{4}1dx+{\int }_0^{4}1dx=4+4=8$. Egalitatea are loc numai când cele două funcții nu au semne contrare pe interval.

9. Rădăcinile lui $x^2-5x+4$ sunt $1$ și $4$, adică exact capetele intervalului: niciuna nu este interioară, deci intervalul nu se taie deloc. Între rădăcini expresia e negativă, deci $|x^2-5x+4|=-x^2+5x-4$ pe tot $[1,4]$, iar ${\int }_1^4(-x^2+5x-4)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right){|}_1^4=\frac{8}{3}-\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{9}{2}$.

10. Racordarea în $2$: $4$ și $4$. Apoi ${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}$ și ${\int }_2^{6}4dx=16$, deci rezultatul este $\frac{8}{3}+16=\frac{56}{3}$.

11. a) Rădăcinile lui $x^2-4x$ sunt $0$ și $4$; pe intervalul $[0,5]$, prima este chiar capătul din stânga, iar a doua este interioară.

b) Pe $[0,4]$ expresia e negativă, deci $f(x)=4x-x^2$ și ${\int }_0^4(4x-x^2)dx=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^4=\frac{32}{3}$. c) Se adaugă bucata $[4,5]$, unde $f(x)=x^2-4x$: ${\int }_4^5(x^2-4x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2\right){|}_4^5=\frac{7}{3}$, deci ${\int }_0^{5}f(x)dx=\frac{32}{3}+\frac{7}{3}=13$.

12. a) În minutul $4$: prima formulă dă $900$ de wați, a doua dă $1700-800=900$ de wați, deci modelul e continuu. La capătul din dreapta, $P(8)=1700-1600=100$ de wați, iar pe $(4,8]$ puterea scade de la $900$ la $100$, rămânând pozitivă — modelul are sens fizic pe tot intervalul $[0,8]$ de minute. b) ${\int }_0^{4}900dt=3600$ și ${\int }_4^8(1700-200t)dt=\left(1700t-100t^2\right){|}_4^8=7200-5200=2000$, deci energia este de $5600$ de wați-minut. Cum un minut are $60$ de secunde, aceasta înseamnă $5600\cdot 60=336000$ de jouli, adică $336$ de kilojouli.

13. Racordarea în $1$: $3$ și $3$. Apoi ${\int }_0^1(2x+1)dx=2$ și ${\int }_1^3(x^2+2)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x\right){|}_1^3=15-\frac{7}{3}=\frac{38}{3}$, deci rezultatul este $2+\frac{38}{3}=\frac{44}{3}$.

14. Racordarea în $-1$: $2-1=1$ și $(-1{)}^2=1$. Apoi ${\int }_{-2}^{-1}(-2x-1)dx=\left(-x^2-x\right){|}_{-2}^{-1}=0+2=2$ și ${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$, deci rezultatul este $2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$.

15. a) În $1$: $2\cdot 1=2$ și $1+1=2$, deci $f$ e continuă. b) ${\int }_0^{1}2xdx=x^2{|}_0^1=1$. c) ${\int }_1^4(x+1)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_1^4=12-\frac{3}{2}=\frac{21}{2}$, deci ${\int }_0^{4}f(x)dx=1+\frac{21}{2}=\frac{23}{2}$.

16. Racordurile: în $1$, $1$ și $1$; în $3$, $1$ și $3-2=1$. Apoi ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$, ${\int }_1^{3}1dx=2$ și ${\int }_3^5(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_3^5=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4$, deci rezultatul este $\frac{1}{2}+2+4=\frac{13}{2}$.

17. Numărul bucăților l-a nimerit, semnul nu. Rădăcinile lui $x^2-10x+9$ sunt $1$ și $9$, amândouă în afara lui $[2,4]$, deci într-adevăr nu se taie nimic. Între rădăcini însă trinomul e negativ, așa că pe tot $[2,4]$ barele se desfac cu semn schimbat: $|x^2-10x+9|=-x^2+10x-9$. Cu primitiva $P(x)=\frac{x^3}{3}-5x^2+9x$ a expresiei de sub modul, $P(4)=-\frac{68}{3}$ și $P(2)=\frac{2}{3}$, deci rezultatul corect este $-(P(4)-P(2))=\frac{70}{3}$, iar scrierea elevului dă $-\frac{70}{3}$. Semnul minus e dovada greșelii: o integrală cu modul, cu limitele în ordine crescătoare, nu poate fi negativă.

18. Din liniaritate, integrala sumei este suma integralelor, deci cele două bare se tratează separat. Pentru prima, zeroul $2$ e interior: ${\int }_1^2(2-x)dx=\frac{1}{2}$ și ${\int }_2^6(x-2)dx=8$, în total $\frac{17}{2}$. Pentru a doua, zeroul $5$ e interior: ${\int }_1^5(5-x)dx=8$ și ${\int }_5^6(x-5)dx=\frac{1}{2}$, în total tot $\frac{17}{2}$. Rezultatul este $\frac{17}{2}+\frac{17}{2}=17$. Cele două valori au ieșit egale pentru că $2$ și $5$ sunt așezate simetric față de mijlocul intervalului $[1,6]$. (Se putea și altfel: cu ambele zerouri puse în același tabel, funcția are trei bucăți, iar suma lor dă același număr.)

De reținut

• O funcție pe ramuri se integrează în trei pași: verifici racordarea, tai intervalul în punctele de racord și înlocuiești formula fiecărei ramuri, apoi aduni.
• Tăietura nu e liberă, ci impusă: merită rupt doar acolo unde se schimbă expresia, fiindcă numai așa fiecărei bucăți îi corespunde un singur rând din tabelul primitivelor.
• Barele cad după ce afli semnul expresiei dintre ele: unde ea e pozitivă, dispar fără urmă; unde e negativă, se scrie opusul expresiei.
• Numărul bucăților este numărul zerourilor interioare plus unu. Un zerou din afara intervalului sau aflat chiar într-un capăt nu produce nicio tăietură.
• Controlul final: la o integrală cu bare, niciun rezultat parțial nu are voie să fie negativ; dacă unul iese așa, un semn din tabel n-a fost citit.

Greșeli frecvente

• Integrezi fără să verifici racordarea. La profilul științe ale naturii, integrala se definește pentru funcții continue, deci o funcție ale cărei ramuri nu se lipesc iese din materie. Când valorile nu coincid, cel mai probabil ai citit greșit o formulă sau un capăt de interval; verifică enunțul înainte de a calcula ceva.
• Folosești o singură primitivă pe tot intervalul. Elevul alege formula care i se pare mai comodă și o duce de la $a$ la $b$. Primitiva unei ramuri este bună numai pe bucata ei; pe cealaltă bucată derivata ei nu mai dă funcția, deci formula Leibniz-Newton nu se aplică.
• Faci tabelul de semn al funcției cu modul, nu al expresiei de sub modul. Funcția $|E(x)|$ este pozitivă peste tot, așa că tabelul ei nu spune nimic: are numai plusuri. Tabelul care folosește este al lui $E(x)$, cel care își schimbă semnul.
• Aduni formulele ramurilor în loc să aduni integralele. Din $f$ dată prin $u$ pe prima bucată și $v$ pe a doua nu se obține $u+v$; aditivitatea adună integralele, calculate fiecare pe bucata ei, nu expresiile.
• Crezi că un modul dă mereu exact două bucăți. Numărul lor iese numărând zerourile strict interioare: poate fi una, două sau trei. Numărătoarea se face înainte de a scrie aditivitatea, nu după.

Aplică acasă

1. Harta tăieturilor. Scrie pe o coloană șase expresii cu modul — trei de gradul întâi și trei trinoame — și pe altă coloană șase intervale, alese astfel încât să apară toate situațiile: niciun zerou înăuntru, un zerou înăuntru, două zerouri înăuntru, un zerou chiar într-un capăt. Pentru fiecare pereche, scrie numai câte bucăți are calculul, fără să integrezi nimic. E antrenamentul care economisește cel mai mult timp la lucrare.

2. Măsurătoarea în două regimuri. Cronometrează o mărime care se schimbă în două etape: apa de la robinet, întâi cu jet mare câteva secunde, apoi cu jet mic. Notează cele două debite, scrie funcția pe ramuri, verifică racordarea și află prin integrală volumul total; compară-l cu volumul măsurat într-un vas gradat.

3. Bilețelele de racord. Scrie patru funcții pe ramuri — două cu ramuri care se lipesc, două cu ramuri care nu se lipesc — fără să notezi care e care. A doua zi, decide pentru fiecare, într-un singur rând de calcul, dacă ai voie să o integrezi la acest profil, și spune ce anume te-a făcut să decizi.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică patru lucruri măsurabile: dacă elevul controlează racordarea înainte de orice calcul; dacă rupe integrala fix acolo unde se schimbă expresia; dacă face corect tabelul de semn al expresiei dintre bare, mărginit la capetele integralei; și dacă face, la final, controlul semnelor. Calculul propriu-zis este cel din lecțiile anterioare — tabelul primitivelor și formula Leibniz-Newton —, așa că aici nu se învață formule noi, ci o ordine de lucru.

Dificultatea reală nu e integrarea, ci decizia: câte bucăți are calculul. Elevii care greșesc taie mecanic în toate rădăcinile, fără să se uite dacă acestea aparțin intervalului. Un ajutor simplu e desenul: chiar și o schiță grosolană arată din prima câte colțuri are funcția.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Câte bucăți are calculul și cine hotărăște asta?", „De unde știi că ai voie să rupi integrala tocmai acolo?", „Ce scrii în tabel — funcția cu bare sau expresia dintre ele?", „Ce ai verifica la final ca să-ți dai singur seama că ai greșit un semn?". Semne că a înțeles: nu pornește niciun calcul înainte de a ști semnul expresiei dintre bare; controlează racordarea fără să i se ceară; și numără zerourile interioare înainte de a scrie aditivitatea.

Programa și examenul. Tema este aplicația directă a unui rând care apare în ambele programe. La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen (cea din 2014, aprobată prin OMEN 4430/2014) cere „aditivitatea în raport cu intervalul de integrare" ca proprietate a integralei definite; în modelul oficial publicat pentru proba actuală, cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea. Pentru generația care va da proba MAT_P2 din 2030, aceeași proprietate este cerută de programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28), în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită. Deosebirea față de matematică-informatică ține de plafonul profilului: acolo se studiază și funcții pe ramuri cu salt, a căror integrabilitate se justifică prin criterii care nu intră la științe ale naturii; aici toate funcțiile pe ramuri sunt continue. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce trebuie verificat înainte de a integra o funcție dată pe ramuri?

Racordarea. Calculezi valoarea fiecărei formule în punctul în care se schimbă și te uiți dacă cele două numere coincid. La profilul științe ale naturii, integrala definită se introduce pentru funcții continue, așa că racordarea este condiția care dă dreptul la calcul. Propoziția se scrie în rezolvare, nu se subînțelege, și ocupă un singur rând.

Câte bucăți are, de fapt, o integrală cu modul?

Atâtea câte zerouri interioare are expresia de sub modul, plus unu. Un zerou aflat în afara capetelor sau chiar într-un capăt nu produce nicio bucată, așa că numărarea se face înainte de a scrie aditivitatea, întrebându-te, pentru fiecare rădăcină, dacă e strict între $a$ și $b$.

Ce se pune în tabelul de semn: funcția cu modul sau expresia de sub el?

Expresia de sub modul. Funcția cu modul este pozitivă peste tot, deci tabelul ei ar avea numai plusuri și n-ar spune nimic despre unde se taie. Tabelul care ajută este al expresiei din interior, pentru că el arată pe ce bucăți modulul dispare fără schimbări și pe ce bucăți se înlocuiește cu opusul expresiei.

Se schimbă rezultatul dacă tai intervalul în alt punct?

Nu se schimbă, dar calculul devine mai lung sau chiar imposibil. Aditivitatea funcționează pentru orice punct dintre capete, deci și o tăietură „greșit aleasă" dă, în principiu, același număr. Numai că, dacă punctul nu e cel de schimbare a formulei, pe una dintre bucăți rămân două formule, iar acolo nu poți aplica direct nimic.

Poate ieși negativă integrala unei funcții pe ramuri?

Da, dacă funcția însăși ia valori negative pe o parte a intervalului — nimic nu o oprește. Ceea ce nu poate ieși negativ este integrala unei funcții cu modul, scrisă cu limitele în ordine crescătoare, pentru că integrandul e pozitiv. De aceea controlul „fiecare bucată să fie pozitivă" se aplică la module, nu la orice funcție dată pe ramuri.

Se dă la mate-info (M1) la fel?

Tema există și acolo, dar cu o întindere mai mare: la matematică-informatică se integrează și funcții care au salt în punctul de racord, iar integrabilitatea lor se justifică prin criterii de care programa de la științe ale naturii nu dispune. Pentru comparație, lecția despre integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul la mate-info (M1).

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o integrală cu modul?

În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică apar numai la Subiectul al III-lea; proba are trei subiecte a câte treizeci de puncte, plus zece puncte din oficiu. Programa cere aditivitatea față de intervalul de integrare, iar exemplul al șaselea din lecție este construit în formatul probei.

Ce legătură are integrala cu modul cu aria?

Când graficul unei funcții taie axa, aria suprafeței dintre grafic și axă nu este integrala funcției — bucata de sub axă ar veni cu minus și ar șterge o parte din cea de deasupra —, ci integrala modulului funcției. Calculul se face exact ca în lecția aceasta, iar legătura în sine se lămurește la lecția despre aria suprafeței de sub un grafic.