Calculează $$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x^{2}+3x+21}{(x+4)\left(x^{2}+9\right)}\,dx$$.

$$\ln\dfrac54+\operatorname{arctg}\dfrac13$$

$$\ln\dfrac45+\operatorname{arctg}\dfrac13$$

$$\ln\dfrac54+3\operatorname{arctg}\dfrac13$$

$$\ln\dfrac54+\dfrac13\operatorname{arctg}\dfrac13$$

Cât este ∫₂³ 1/(x²-1) dx?

Descompui: 1/(x²-1)= 1/2(1/(x-1)- 1/(x+1)). O primitivă este 1/2ln (x-1)/(x+1), valabilă pe [2,3], unde numitorul nu se anulează. Rezultatul este 1/2(ln 1/2-ln 1/3)= 1/2ln 3/2. Modulul lipsește aici, fiindcă pe acest interval x-1 și x+1 sunt pozitive.

Cum integrez o fracție cu numitorul x² + c?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrale raționale

Desparți numărătorul $B x + C$ în două bucăți: $\frac{B x}{x ^{2} + c}$ , care dă $\frac{B}{2} ln (x^{2} + c)$ , și $\frac{C}{x ^{2} + c}$ , care dă $\frac{C}{c} arctg \frac{x}{c}$ . Exemplu: $\int_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1)_{0}^{1} + 3 arctg x_{0}^{1} = ln 2 + \frac{3 π}{4} \approx 3, 05$ . Logaritmul se scrie fără modul, fiindcă $x^{2} + c$ este pozitiv. Prima bucată are numărătorul proporțional cu derivata numitorului, de unde logaritmul, iar a doua folosește rândul arctangentei din tabel.

Lecția duce până la număr calculul integralei definite dintr-un raport de două funcții polinomiale. Se începe cu rădăcinile numitorului, confruntate cu capetele intervalului: dacă vreuna cade înăuntru, funcția nu are valoare acolo, ipoteza formulei Leibniz–Newton cade, iar numărul care ar ieși nu mai este integrala. Concluzia se scrie într-o propoziție, înaintea oricărui calcul.

Urmează compararea gradelor — când numărătorul nu e mai ușor decât numitorul se împarte întâi — și descompunerea restului. După ea rămân numai trei feluri de bucăți, fiecare cu un rând de tabel gata construit: $\frac{A}{x - a}$ duce la un logaritm cu modul, $\frac{C}{x ^{2} + c}$ la o arctangentă împărțită la $c$ , iar $\frac{B x}{x ^{2} + c}$ tot la un logaritm, fiindcă numărătorul e jumătate din derivata numitorului. Barele se pun numai acolo unde expresia dinăuntru își poate schimba semnul; trinomul fiind strict pozitiv, el se scrie fără ele.

Numărul de sub arctangentă și cel din fața ei sunt același $c$ , iar la integrala definită constanta nu se mai scrie. Rezultatul se controlează în două feluri: prin semn, când funcția păstrează un singur semn pe interval, și prin derivare, care reface funcția de sub integrală și prinde inclusiv coeficienții greșiți.

De reținut

$\int \frac{d x}{x - a} = ln ∣ x - a ∣$ ; $\int \frac{x d x}{x ^{2} + c} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + c)$
$\int \frac{d x}{x ^{2} + c} = \frac{1}{c} arctg \frac{x}{c}$
rădăcinile numitorului nu au voie să cadă în intervalul de integrare

Greșeala tipică

La $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x$ se scrie $2 arctg x$ ; numărătorul este derivata numitorului, deci rezultatul este $ln (x^{2} + 1)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pe care dintre intervalele de mai jos are sens scrierea $\int_{a}^{b} \frac{d x}{( x - 3 ) ( x + 7 )}$ ?
- a) $[0, 5]$
- b) $[- 8, - 2]$
- c) $[4, 9]$
- d) $[- 10, 1]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $[4, 9]$

Numitorul se anulează în $3$ și în $- 7$ . Intervalul $[4, 9]$ nu conține niciunul dintre ele, deci funcția e continuă acolo și scrierea are sens. Intervalul $[0, 5]$ conține $3$ , iar $[- 8, - 2]$ și $[- 10, 1]$ conțin $- 7$ ; în fiecare dintre aceste trei cazuri funcția nu are valoare într-un punct al intervalului.
Calculează $\int_{4}^{5} \frac{40}{( x - 3 ) ( x + 5 )} d x$ .
- a) $5 ln \frac{9}{5}$
- b) $5 ln \frac{5}{9}$
- c) $ln \frac{9}{5}$
- d) $5 ln \frac{1}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5 ln \frac{9}{5}$

Rădăcinile $3$ și $- 5$ sunt în afara lui $[4, 5]$ . Din $A (x + 5) + B (x - 3) = 40$ obținem $A + B = 0$ și $5 A - 3 B = 40$ , deci $A = 5$ și $B = - 5$ . Pe interval ambele paranteze sunt pozitive, iar $5 (ln (x - 3) - ln (x + 5))_{4}^{5} = 5 [(ln 2 - ln 10) - (ln 1 - ln 9)] = 5 ln \frac{9}{5}$ . Varianta b) inversează raportul, c) pierde coeficientul, d) oprește calculul la primul capăt.
Calculează $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} + 3 x + 21}{( x + 4 ) ( x ^{2} + 9 )} d x$ .
- a) $ln \frac{4}{5} + arctg \frac{1}{3}$
- b) $ln \frac{5}{4} + 3 arctg \frac{1}{3}$
- c) $ln \frac{5}{4} + \frac{1}{3} arctg \frac{1}{3}$
- d) $ln \frac{5}{4} + arctg \frac{1}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $ln \frac{5}{4} + arctg \frac{1}{3}$

Identificarea dă $\frac{1}{x + 4} + \frac{3}{x ^{2} + 9}$ . Primitiva este $ln (x + 4) + \frac{3}{3} arctg \frac{x}{3}$ , adică $ln (x + 4) + arctg \frac{x}{3}$ , iar evaluarea între $0$ și $1$ dă $ln 5 - ln 4 + arctg \frac{1}{3}$ . Varianta a) inversează raportul logaritmilor; b) uită împărțirea la $c = 3$ ; c) împarte de două ori.

Întrebări conexe

Cât este $\int_{2}^{3} \frac{1}{x ^{2} - 1} d x$ ?

Descompui: $\frac{1}{x ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1})$ . O primitivă este $\frac{1}{2} ln \frac{x - 1}{x + 1}$ , valabilă pe $[2, 3]$ , unde numitorul nu se anulează. Rezultatul este $\frac{1}{2} (ln \frac{1}{2} - ln \frac{1}{3}) = \frac{1}{2} ln \frac{3}{2}$ . Modulul lipsește aici, fiindcă pe acest interval $x - 1$ și $x + 1$ sunt pozitive.

Cât este $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x$ ?

Gradele sunt egale, deci împarți: $\frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{x ^{2} + 1}$ . Integrala este $1 - arctg 1 = 1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$ . Rezultatul pozitiv se potrivește cu funcția, care nu ia valori negative. Împărțirea se face prima, fiindcă numărătorul nu are gradul mai mic decât numitorul.

De ce nu se pune modul la $ln (x^{2} + 4)$ ?

Pentru că $x^{2} + 4$ este cel puțin $4$ pentru orice $x$ real, deci mereu pozitiv, iar modulul nu schimbă nimic. Modulul se scrie doar la factorii care își pot schimba semnul, ca $x - 3$ .

Cât este $\int_{0}^{1} \frac{5 x + 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ ?

Descompunerea dă $- \frac{4}{x + 1} + \frac{9}{x + 2}$ , iar numitorii nu se anulează pe $[0, 1]$ . Integrala este $- 4 ln 2 + 9 ln \frac{3}{2} \approx 0, 88$ , obținută din diferența valorilor logaritmilor în capete. Coeficienții se află rapid punând $x = - 1$ și $x = - 2$ în egalitatea numărătorilor.

Unde apare o integrală rațională în chimie?

La o reacție de ordinul al doilea între doi reactanți cu concentrații inițiale $a$ și $b$ diferite, timpul se obține integrând $\frac{1}{( a - x ) ( b - x )}$ . Fracția se descompune în două fracții simple, iar rezultatul este o expresie cu logaritmi.

Oamenii mai întreabă și: integrala unei fracții cu x pătrat plus c · logaritm și arctangentă la integrale raționale · integrala din 2x plus 3 supra x pătrat plus 1 · fracție cu numitor fără rădăcini reale integrală

Cum integrez o fracție cu numitorul x² + c?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este ∫23​x2−11​dx?

Cât este ∫01​x2+1x2​dx?

De ce nu se pune modul la ln(x2+4)?

Cât este ∫01​(x+1)(x+2)5x+1​dx?

Unde apare o integrală rațională în chimie?

Continuă cu

Cât este $\int_{2}^{3} \frac{1}{x ^{2} - 1} d x$ ?

Cât este $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x$ ?

De ce nu se pune modul la $ln (x^{2} + 4)$ ?

Cât este $\int_{0}^{1} \frac{5 x + 1}{( x + 1 ) ( x + 2 )} d x$ ?