Integrale raționale: numitor de grad cel mult 4 (M2, științe ale naturii)

Ești la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), iar lecția de față duce până la număr o temă care se dă la bacalaureatul M2 în sesiunile 2027–2029, la Subiectul al III-lea. Pornim de la un context simplu: un robinet care se închide încet lasă să treacă, în fiecare clipă, tot mai puțină apă; dacă debitul scade după o lege de forma unui raport de două polinoame, cantitatea totală care a curs între două momente este o integrală definită dintr-o funcție rațională. Modelele de felul acesta apar la fizică și la chimie ori de câte ori o mărime scade lent, fără să ajungă vreodată la zero — și tocmai de aceea integralele raționale merită o rețetă de calcul care să nu ceară inspirație.

Tema face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: programa de examen din 2014 cere, la metodele de calcul ale integralelor definite, „calculul integralelor de forma ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, grad $Q\le 4$ prin metoda descompunerii în fracții simple", pe când programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai are funcțiile raționale în capitolul de integrale. Partea algebrică ai făcut-o deja la descompunerea în fracții simple; aici pornim de la descompunere gata scrisă și mergem până la număr. Vestea bună e că nu ai nicio formulă nouă de învățat: toate bucățile care pot apărea sunt rânduri de tabel pe care le știi.

Ce vei învăța

• Vei ști să compari întâi rădăcinile numitorului cu capetele intervalului și să spui ce anume se strică atunci când una dintre ele cade înăuntru.
• Vei ști că, după descompunere, orice bucată duce fie la un logaritm, fie la o arctangentă — și vei ști să spui dinainte la care.
• Vei ști să duci un calcul complet: control de interval, împărțire dacă e cazul, descompunere, primitivă, evaluare între limite.
• Vei ști de unde vine plafonul grad $Q\le 4$ din programa de examen și ce se întâmplă dincolo de el.
• Vei ști să controlezi rezultatul prin semn și prin derivare, înainte de a-l trece pe curat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o integrală dintr-o funcție rațională?

Integrala definită a unei funcții raționale pe un interval este numărul ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, scris atunci când $P$ și $Q$ sunt funcții polinomiale cu coeficienți reali și când $Q$ nu ia valoarea zero în niciun punct al lui $[a,b]$; el se află desfăcând fracția în fracții simple și aplicând fiecărei bucăți formula Leibniz–Newton.

Condiția din mijloc e partea care se uită cel mai des, și tot ea e cea care face restul legitim: acolo unde $Q$ nu se anulează, fracția este continuă, deci are primitive pe interval și formula Leibniz–Newton se poate folosi. Fără ea, scrierea ${\int }_a^b$ nu spune nimic, oricât de corect ar arăta calculul care urmează.

2. Câte feluri de bucăți pot apărea?

Descompunerea îți lasă în mână o sumă de fracții simple. La profilul tău ele sunt de exact trei feluri, iar primitiva fiecăreia e un rând de tabel deja construit:

Primul rând îl ai la primitivele cu exponențială și logaritm, al doilea la primitivele cu arctangentă, iar al treilea se recunoaște după semnalul $\frac{u^{\prime }}{u}$ descris la substituțiile tipice: derivata lui $x^2+c$ este $2x$, iar la numărător stă $Bx$, adică jumătate din ea. De aici concluzia pe care merită s-o ții minte ca titlu de capitol: o integrală rațională se termină în logaritmi, în arctangente sau într-un amestec al lor, la care se adaugă, când e cazul, o parte polinomială.

Numărul $\sqrt{c}$ nu trebuie să fie întreg. Dacă numitorul este $x^2+5$, atunci $\sqrt{c}=\sqrt{5}$ și radicalul apare de două ori în rezultat: o dată în față și o dată sub arctangentă. Nu e semn că ai greșit.

3. De ce modul la unul și nu la celălalt?

Pentru că modulul apare exact acolo unde expresia de sub logaritm își poate schimba semnul. Factorul $x-a$ este negativ la stânga lui $a$ și pozitiv la dreapta, deci scrierea corectă a primitivei este $\ln |x-a|$, valabilă pe fiecare dintre cele două intervale. Trinomul $x^2+c$, cu $c>0$, este însă strict pozitiv peste tot, așa că modulul ar fi o paranteză fără rost: se scrie $\ln \left(x^2+c\right)$.

Merită spus și ce s-ar strica fără modul. Dacă intervalul de lucru este la stânga lui $a$, atunci $x-a$ este negativ, iar logaritmul unui număr negativ nu are valoare: scrierea $\ln (x-a)$ n-ar avea sens în niciun punct al intervalului, deși funcția de integrat este perfect cuminte acolo. Modulul repară exact acest neajuns și nu schimbă nimic la derivare.

Un amănunt care scurtează calculele: dacă intervalul de integrare este la dreapta lui $a$, atunci $x-a>0$ pe tot intervalul și poți scoate modulul de la început, scriind direct $\ln (x-a)$. Scrierea cu modul rămâne corectă și acolo, dar la evaluare te încurcă degeaba.

4. Ce se întâmplă dacă o rădăcină cade în interval?

Se strică chiar ipoteza formulei Leibniz–Newton, iar numărul care iese nu mai este integrala. Merită văzut exact unde se rupe raționamentul, fiindcă „se rupe undeva" nu se reține.

Formula cere o primitivă a funcției pe tot intervalul $[a,b]$. Or, primitiva unei bucăți $\frac{A}{x-a}$ este $A\ln |x-a|$, iar această expresie nu este definită în $a$: acolo funcția nu are valoare, deci nu poate fi primitivă pe un interval care îl conține pe $a$. Poți scrie o primitivă la stânga lui $a$ și o alta la dreapta, dar cele două trăiesc pe intervale diferite, iar diferența dintre o valoare a uneia și o valoare a celeilalte nu este o integrală.

De aceea prima privire pe care o arunci unui exercițiu nu e pe numărător, ci pe rădăcinile numitorului, comparate cu capetele intervalului. Le afli exact cum ai învățat la rădăcini reale și ecuații polinomiale, din clasa a IX-a. Dacă niciuna nu cade în interval, scrii o propoziție scurtă — „numitorul nu se anulează pe intervalul dat, deci funcția e continuă acolo" — și treci mai departe.

5. De unde vine plafonul „grad $Q\le 4$"?

Rândul de programă își scrie singur limita: numitorul are gradul cel mult $4$. Limita nu vine dinspre integrare, ci dinspre algebră. Rețeta începe cu desfacerea numitorului în factori, iar asta se poate face cu creionul numai până la gradul al patrulea: la gradul al doilea cu discriminantul, la gradele al treilea și al patrulea căutând o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber și coborând gradul cu schema lui Horner. De la gradul al cincilea în sus nu mai există procedeu general de aflare a rădăcinilor, deci nu mai există nici primul pas al rețetei.

Dincolo de plafon metoda nu devine falsă, ci doar inaplicabilă cu creionul: descompunerea în fracții simple ar exista în continuare, însă primul ei pas ar cere rădăcini pe care nu le poți afla. De aceea programa oprește exact acolo unde se termină uneltele de la clasă.

Plafonul se citește și în celălalt sens, care e mai util în practică: dacă numitorul unui exercițiu are gradul $2$, $3$ sau $4$, atunci desfacerea lui în factori este posibilă, deci merită să insiști până o găsești, în loc să cauți altă metodă. Un numitor care nu se lasă desfăcut e, la gradele acestea, semn că ai greșit un calcul, nu că exercițiul ar cere altceva.

6. Când numărătorul e prea greu

Regula o ai din lecția anterioară și o folosim aici ca atare: dacă $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$, se împarte întâi, iar fracția se scrie $\frac{P(x)}{Q(x)}=C(x)+\frac{R(x)}{Q(x)}$, cu restul de grad mai mic decât numitorul. La integrare, câtul $C$ este un polinom și se integrează din primele rânduri ale tabelului, iar restul peste numitor intră în descompunere. Partea polinomială aduce deci în rezultat termeni de forma $x$, $\frac{x^2}{2}$ și așa mai departe — semnul după care recunoști, privind un răspuns, că exercițiul a cerut o împărțire. Invers funcționează la fel de bine: dacă vezi într-un răspuns numai logaritmi și arctangente, poți fi sigur că numărătorul era mai ușor decât numitorul și că nicio împărțire nu a fost necesară.

7. Rețeta dusă până la capăt

Adunăm tot într-un singur exemplu, pe care îl vom folosi ca model de scriere, nu ca formulă de memorat. Calculăm ${\int }_0^2\frac{14}{(x-9)(x+5)}dx$.

Controlul intervalului. Rădăcinile numitorului sunt $9$ și $-5$; niciuna nu este în $[0,2]$, deci funcția e continuă acolo. Gradele. Numărătorul are gradul $0$, numitorul $2$, deci nu împărțim. Descompunerea. Din $A(x+5)+B(x-9)=14$ obținem $A+B=0$ și $5A-9B=14$; cu $B=-A$ rezultă $14A=14$, deci $A=1$ și $B=-1$. Primitiva și evaluarea. Pe $[0,2]$ avem $x-9<0$ și $x+5>0$, deci $${\int }_0^2\frac{14dx}{(x-9)(x+5)}=(\ln |x-9|-\ln (x+5)){|}_0^2=(\ln 7-\ln 7)-(\ln 9-\ln 5)=-\ln \frac{9}{5}.$$ Numeric, $-\ln \frac{9}{5}\approx -0,5878$.

La integrala definită nu se scrie $+\mathcal{C}$: constanta se simplifică la scădere.

8. Cum verifici înainte de a preda lucrarea

Două controale, amândouă scurte, și fiecare prinde altceva.

Semnul. Dacă integrandul păstrează același semn pe tot intervalul, rezultatul trebuie să aibă acel semn. În calculul de mai sus, numărătorul este pozitiv, $x-9$ negativ și $x+5$ pozitiv pe $[0,2]$, deci integrandul e negativ peste tot — iar rezultatul a ieșit negativ. Dacă îți iese pozitiv, ai greșit un semn undeva.

Derivarea. Proba unui rezultat de integrare este o derivare, exact ca la primitive: derivezi expresia dinaintea barelor de evaluare și trebuie să reobții funcția de sub integrală. Aici, $(\ln |x-9|-\ln (x+5){)}^{\prime }=\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x+5}$, iar aducerea la același numitor dă $\frac{(x+5)-(x-9)}{(x-9)(x+5)}=\frac{14}{(x-9)(x+5)}$. ✓

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un logaritm și o arctangentă, adunate

Calculează ${\int }_0^1\frac{x^2+x+3}{(x-2)\left(x^2+5\right)}dx$.

Rezolvare. Revenim la descompunerea obținută în Exemplul 4 din lecția despre descompunerea în fracții simple: $\frac{x^2+x+3}{(x-2)\left(x^2+5\right)}=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x^2+5}$. Numitorul se anulează numai în $2$, care nu este în $[0,1]$, iar $x^2+5$ nu se anulează nicăieri, deci funcția e continuă pe $[0,1]$. Cu $\sqrt{c}=\sqrt{5}$, $${\int }_0^1\frac{x^2+x+3}{(x-2)\left(x^2+5\right)}dx=\left(\ln |x-2|+\frac{1}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}\right){|}_0^1=-\ln 2+\frac{1}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{5}},$$ pentru că $\ln 1-\ln 2=-\ln 2$ și $\mathrm{arctg}0=0$. Numeric, rezultatul este aproximativ $-0,5051$.

Controlul de semn. Pe $[0,1]$ numărătorul e pozitiv, $x-2$ negativ și $x^2+5$ pozitiv, deci integrandul e negativ — iar rezultatul a ieșit negativ. ✓

Exemplul 2 — Interval așezat între cele două rădăcini

Calculează ${\int }_1^3\frac{8}{(x+3)(x-5)}dx$.

Rezolvare. Rădăcinile sunt $-3$ și $5$, amândouă în afara lui $[1,3]$. Din $A(x-5)+B(x+3)=8$ obținem $A+B=0$ și $-5A+3B=8$; cu $B=-A$ rezultă $-8A=8$, deci $A=-1$ și $B=1$. Pe $[1,3]$ avem $x+3>0$ și $x-5<0$, deci $${\int }_1^3\frac{8dx}{(x+3)(x-5)}=(-\ln (x+3)+\ln |x-5|){|}_1^3=(-\ln 6+\ln 2)-(-\ln 4+\ln 4)=-\ln 3\approx -1,0986.$$

Exemplul 3 — Numărător de gradul întâi, rezultat pozitiv

Calculează ${\int }_5^6\frac{4x+2}{x^2-2x-8}dx$.

Rezolvare. Numitorul are $\Delta =4+32=36$, cu rădăcinile $4$ și $-2$, deci $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$; niciuna nu este în $[5,6]$. Din $A(x+2)+B(x-4)=4x+2$ obținem $A+B=4$ și $2A-4B=2$, adică $A-2B=1$; scăzând, $3B=3$, deci $B=1$ și $A=3$. Pe $[5,6]$ ambele paranteze sunt pozitive: $${\int }_5^6\frac{4x+2}{x^2-2x-8}dx=(3\ln (x-4)+\ln (x+2)){|}_5^6=(3\ln 2+\ln 8)-(0+\ln 7)=6\ln 2-\ln 7=\ln \frac{64}{7}.$$ Numeric, $\ln \frac{64}{7}\approx 2,2130$; integrandul e pozitiv pe $[5,6]$, deci semnul se potrivește.

Exemplul 4 — Arctangentă scrisă cu radical

Calculează ${\int }_0^2\frac{x^2+2x-5}{(x-5)\left(x^2+5\right)}dx$.

Rezolvare. Singura rădăcină reală a numitorului este $5$, în afara lui $[0,2]$. Din $A\left(x^2+5\right)+(Bx+C)(x-5)=x^2+2x-5$ obținem $A+B=1$, $C-5B=2$ și $5A-5C=-5$. Ultima dă $A-C=-1$, deci $C=A+1$; cu $B=1-A$, a doua devine $A+1-5+5A=2$, adică $6A=6$, deci $A=1$, $B=0$ și $C=2$. Prin urmare $${\int }_0^2\frac{x^2+2x-5}{(x-5)\left(x^2+5\right)}dx=\left(\ln |x-5|+\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}\right){|}_0^2=\ln \frac{3}{5}+\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0,1419.$$ Observă că aici cele două bucăți trag în sensuri opuse: logaritmul dă un număr negativ, arctangenta unul pozitiv, iar rezultatul e mic. Controlul de semn nu se poate aplica, fiindcă integrandul își schimbă semnul pe $[0,2]$ — se anulează unde $x^2+2x-5=0$.

Exemplul 5 — Partea polinomială din răspuns

Calculează ${\int }_0^2\frac{x^2-2x-10}{x^2-5x-6}dx$.

Rezolvare. Numitorul are rădăcinile $6$ și $-1$, amândouă în afara lui $[0,2]$. Gradele sunt egale, deci împărțim: $\left(x^2-2x-10\right)-\left(x^2-5x-6\right)=3x-4$, așadar integrandul este $1+\frac{3x-4}{(x-6)(x+1)}$. Din $A(x+1)+B(x-6)=3x-4$ obținem $A+B=3$ și $A-6B=-4$; scăzând, $7B=7$, deci $B=1$ și $A=2$. Pe $[0,2]$ avem $x-6<0$ și $x+1>0$, deci $${\int }_0^2\frac{x^2-2x-10}{x^2-5x-6}dx=(x+2\ln |x-6|+\ln (x+1)){|}_0^2=\left(2+2\ln 4+\ln 3\right)-\left(0+2\ln 6\right).$$ Grupând, rezultatul este $2+2\ln \frac{2}{3}+\ln 3\approx 2,2877$. Termenul liber $2$ din răspuns vine din partea polinomială: el e urma împărțirii.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(6,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-14}{x^2-10x+24}$. a) Arată că $f$ este continuă pe intervalul $[7,8]$. b) Determină numerele reale $A$ și $B$ pentru care $f(x)=\frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-6}$, oricare ar fi $x>6$. c) Calculează ${\int }_7^{8}f(x)dx$.

Rezolvare. a) Numitorul are $\Delta =100-96=4$, cu rădăcinile $\frac{10\pm 2}{2}$, adică $6$ și $4$. Niciuna nu aparține intervalului $[7,8]$, deci $f$ este raport de două funcții polinomiale cu numitorul nenul pe $[7,8]$, prin urmare este continuă acolo.

b) Din $A(x-6)+B(x-4)=3x-14$ obținem $A+B=3$ și $-6A-4B=-14$, adică $3A+2B=7$. Înlocuind $B=3-A$ rezultă $3A+6-2A=7$, deci $A=1$ și $B=2$, adică $f(x)=\frac{1}{x-4}+\frac{2}{x-6}$.

c) Pe $[7,8]$ ambele paranteze sunt pozitive, deci $${\int }_7^{8}f(x)dx=(\ln (x-4)+2\ln (x-6)){|}_7^8=\left(\ln 4+2\ln 2\right)-\left(\ln 3+0\right)=\ln \frac{16}{3}\approx 1,6740.$$ Rezultatul este pozitiv, cum trebuie să fie: pe $[7,8]$ numărătorul $3x-14$ și numitorul sunt amândoi pozitivi.

Să exersăm

La fiecare exercițiu începe cu rădăcinile numitorului și cu intervalul, apoi compară gradele. Răspunsurile cu $\mathrm{arctg}$ se lasă în forma aceea; aproximările sunt date cu patru zecimale.

1. Calculează ${\int }_1^2\frac{15}{(x-4)(x+2)}dx$.

2. Calculează ${\int }_0^1\frac{3x+11}{x^2+6x+5}dx$.

3. Calculează ${\int }_2^3\frac{5}{(x-8)(x+2)}dx$.

4. Calculează ${\int }_0^1\frac{x^2+x+3}{x^2+4x+3}dx$.

5. Calculează ${\int }_0^1\frac{x^2+2x+7}{(x+1)\left(x^2+5\right)}dx$, folosind descompunerea obținută la exercițiul $5$ din lecția anterioară.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^1\frac{x^2+2x+13}{(x+3)\left(x^2+7\right)}dx$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă numitorul unei funcții raționale nu se anulează în niciun punct al intervalului $[a,b]$, atunci el păstrează același semn pe tot intervalul."

8. Calculează ${\int }_7^9\frac{x-16}{x^2-2x-24}dx$, folosind descompunerea obținută la exercițiul $14$ din lecția anterioară.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^1\frac{2x^2-3x+7}{(x-3)\left(x^2+7\right)}dx$.

10. Calculează ${\int }_5^6\frac{3x^2-2x-12}{x^3-x^2-12x}dx$, folosind descompunerea obținută la exercițiul $10$ din lecția anterioară.

11. (Problemă aplicată.) Dintr-un bazin se elimină un poluant cu viteza $r(t)=\frac{48}{(t+2)(t+8)}$, măsurată în miligrame pe oră, unde $t\ge 0$ este timpul în ore. Ce cantitate de poluant se elimină în primele $4$ ore?

12. Pentru care dintre intervalele $[0,3]$, $[2,7]$ și $[6,9]$ are sens scrierea ${\int }_a^b\frac{dx}{(x-5)(x+1)}$? Motivează, fără să calculezi nimic.

13. Calculează ${\int }_0^1\frac{x^3-2x^2-12x+1}{x^2-2x-15}dx$, folosind descompunerea obținută la exercițiul $12$ din lecția anterioară.

14. Un elev scrie că ${\int }_2^3\frac{4x+2}{x^2-2x-8}dx$ are ca primitivă $3\ln |x-4|+\ln |x+2|$. Verifică prin derivare dacă primitiva este corectă și spune dacă integrala are totuși sens pe $[2,3]$.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $h:(-\infty ,6)\to \mathbb{R}$, $h(x)=\frac{2x^2+x+8}{(x-6)\left(x^2+7\right)}$. a) Arată că $h$ este continuă pe $[0,1]$. b) Determină coeficienții descompunerii lui $h$. c) Calculează ${\int }_0^{1}h(x)dx$.

16. Calculează ${\int }_{-1}^0\frac{5x+18}{x^2+7x+12}dx$.

17. Explică, în două-trei fraze, de ce răspunsul unei integrale raționale nu poate conține niciodată o arctangentă dacă numitorul are toate rădăcinile reale.

18. (Provocare.) (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_{-1}^1\frac{16x^2+20}{(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)}dx$, folosind descompunerea obținută la exercițiul $18$ din lecția anterioară.

Răspunsuri și explicații

1. Rădăcinile $4$ și $-2$ sunt în afara lui $[1,2]$. Din $A(x+2)+B(x-4)=15$ rezultă $A+B=0$ și $2A-4B=15$; cu $B=-A$ obținem $6A=15$, deci $A=\frac{5}{2}$ și $B=-\frac{5}{2}$ — coeficienții nu sunt obligatoriu întregi. Atunci $\frac{5}{2}(\ln |x-4|-\ln (x+2)){|}_1^2=\frac{5}{2}[(\ln 2-\ln 4)-(\ln 3-\ln 3)]=-\frac{5}{2}\ln 2\approx -1,7329$.

2. $x^2+6x+5=(x+1)(x+5)$, cu rădăcinile $-1$ și $-5$, în afara lui $[0,1]$. Din $A(x+5)+B(x+1)=3x+11$ rezultă $A+B=3$ și $5A+B=11$; scăzând, $4A=8$, deci $A=2$ și $B=1$. Atunci $(2\ln (x+1)+\ln (x+5)){|}_0^1=(2\ln 2+\ln 6)-\ln 5=2\ln 2+\ln \frac{6}{5}\approx 1,5686$.

3. Din $A(x+2)+B(x-8)=5$ rezultă $A+B=0$ și $2A-8B=5$, deci $A=\frac{1}{2}$ și $B=-\frac{1}{2}$: din nou coeficienți fracționari, ca la exercițiul $1$. Atunci $\frac{1}{2}(\ln |x-8|-\ln (x+2)){|}_2^3=\frac{1}{2}[(\ln 5-\ln 5)-(\ln 6-\ln 4)]=-\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\approx -0,2027$.

4. Gradele sunt egale, deci împărțim: $\left(x^2+x+3\right)-\left(x^2+4x+3\right)=-3x$, deci integrandul este $1-\frac{3x}{(x+1)(x+3)}$. Din $A(x+3)+B(x+1)=3x$ rezultă $A+B=3$ și $3A+B=0$, deci $A=-\frac{3}{2}$ și $B=\frac{9}{2}$, adică $\frac{3x}{(x+1)(x+3)}=-\frac{3/2}{x+1}+\frac{9/2}{x+3}$. Cum bucata aceasta se scade, integrandul devine $1+\frac{3/2}{x+1}-\frac{9/2}{x+3}$, cu primitiva $x+\frac{3}{2}\ln (x+1)-\frac{9}{2}\ln (x+3)$; evaluarea între $0$ și $1$ dă $1+\frac{3}{2}\ln 2-\frac{9}{2}\ln \frac{4}{3}\approx 0,7452$.

5. Descompunerea este $\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^2+5}$. Rădăcina $-1$ nu e în $[0,1]$. Atunci $\left(\ln (x+1)+\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}\right){|}_0^1=\ln 2+\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 1,0693$.

6. Din $A\left(x^2+7\right)+(Bx+C)(x+3)=x^2+2x+13$ rezultă $A+B=1$, $3B+C=2$ și $7A+3C=13$. Cu $B=1-A$ și $C=2-3+3A=3A-1$, a treia devine $7A+9A-3=13$, deci $A=1$, $B=0$, $C=2$. Atunci $\left(\ln (x+3)+\frac{2}{\sqrt{7}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{7}}\right){|}_0^1=\ln \frac{4}{3}+\frac{2}{\sqrt{7}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{7}}\approx 0,5608$.

7. Adevărat. Numitorul este o funcție polinomială, deci continuă pe $[a,b]$. O funcție continuă care ar lua și o valoare negativă, și una pozitivă ar trebui să treacă printr-o valoare nulă între cele două puncte — este proprietatea lui Darboux, din suplimentul clasei a XI-a —, ceea ce prin ipoteză nu se întâmplă. Prin urmare toate valorile lui au același semn — și de aici vine faptul că, la un numărător care nici el nu schimbă semnul, controlul de semn de la §8 se poate aplica.

8. Descompunerea este $-\frac{1}{x-6}+\frac{2}{x+4}$, iar rădăcinile $6$ și $-4$ sunt în afara lui $[7,9]$. Atunci $(-\ln (x-6)+2\ln (x+4)){|}_7^9=(-\ln 3+2\ln 13)-(0+2\ln 11)=-\ln 3+2\ln \frac{13}{11}\approx -0,7645$.

9. Descompunerea este $\frac{1}{x-3}+\frac{x}{x^2+7}$. A doua bucată are numărătorul jumătate din derivata numitorului, deci primitiva ei este $\frac{1}{2}\ln \left(x^2+7\right)$. Atunci $\left(\ln |x-3|+\frac{1}{2}\ln \left(x^2+7\right)\right){|}_0^1=\left(\ln 2+\frac{1}{2}\ln 8\right)-\left(\ln 3+\frac{1}{2}\ln 7\right)=\ln \frac{2}{3}+\frac{1}{2}\ln \frac{8}{7}\approx -0,3387$.

10. Descompunerea este $\frac{1}{x}+\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x+3}$, iar rădăcinile $0$, $4$ și $-3$ sunt în afara lui $[5,6]$. Atunci $(\ln x+\ln (x-4)+\ln (x+3)){|}_5^6=(\ln 6+\ln 2+\ln 9)-(\ln 5+\ln 1+\ln 8)=\ln \frac{108}{40}=\ln \frac{27}{10}\approx 0,9933$.

11. Din $A(t+8)+B(t+2)=48$ rezultă $A+B=0$ și $8A+2B=48$, deci $A=8$ și $B=-8$, adică $r(t)=\frac{8}{t+2}-\frac{8}{t+8}$. Cantitatea eliminată este ${\int }_0^{4}r(t)dt=8(\ln (t+2)-\ln (t+8)){|}_0^4=8\left[(\ln 6-\ln 12)-(\ln 2-\ln 8)\right]=8\ln 2\approx 5,5452$ miligrame. Rezultatul e pozitiv, cum trebuie să fie o cantitate eliminată.

12. Rădăcinile numitorului sunt $5$ și $-1$. Pe $[0,3]$ niciuna nu cade înăuntru, deci scrierea are sens. Pe $[2,7]$ cade $5$, deci nu are sens. Pe $[6,9]$ nu cade niciuna, deci are sens. Observă că $-1$ nu deranjează nicăieri aici, fiindcă toate cele trei intervale sunt la dreapta lui.

13. Descompunerea este $x+\frac{2}{x-5}+\frac{1}{x+3}$, iar rădăcinile $5$ și $-3$ sunt în afara lui $[0,1]$. Atunci $\left(\frac{x^2}{2}+2\ln |x-5|+\ln (x+3)\right){|}_0^1=\left(\frac{1}{2}+2\ln 4+\ln 4\right)-\left(0+2\ln 5+\ln 3\right)=\frac{1}{2}+2\ln \frac{4}{5}+\ln \frac{4}{3}\approx 0,3414$.

14. Primitiva este corectă: $(3\ln |x-4|+\ln |x+2|{)}^{\prime }=\frac{3}{x-4}+\frac{1}{x+2}=\frac{3(x+2)+(x-4)}{(x-4)(x+2)}=\frac{4x+2}{x^2-2x-8}$, adică exact integrandul. Integrala are sens și pe $[2,3]$, pentru că rădăcinile $4$ și $-2$ rămân în afara acestui interval; valoarea ei este $(3\ln |x-4|+\ln (x+2)){|}_2^3=(0+\ln 5)-(3\ln 2+\ln 4)=\ln 5-5\ln 2\approx -1,8563$.

15. a) Rădăcina reală a numitorului este $6$, iar $x^2+7$ nu se anulează niciodată; cum $6\notin [0,1]$, funcția este continuă pe $[0,1]$. b) Din $A\left(x^2+7\right)+(Bx+C)(x-6)=2x^2+x+8$ rezultă $A+B=2$, $C-6B=1$ și $7A-6C=8$. Cu $B=2-A$ și $C=1+12-6A=13-6A$, a treia devine $7A-78+36A=8$, deci $A=2$, $B=0$ și $C=1$; descompunerea este $\frac{2}{x-6}+\frac{1}{x^2+7}$. c) $\left(2\ln |x-6|+\frac{1}{\sqrt{7}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{7}}\right){|}_0^1=2\ln \frac{5}{6}+\frac{1}{\sqrt{7}}\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{7}}\approx -0,2281$.

16. $x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$, cu rădăcinile $-3$ și $-4$, în afara lui $[-1,0]$. Din $A(x+4)+B(x+3)=5x+18$ rezultă $A+B=5$ și $4A+3B=18$, deci $A=3$ și $B=2$. Atunci $(3\ln (x+3)+2\ln (x+4)){|}_{-1}^0=(3\ln 3+2\ln 4)-(3\ln 2+2\ln 3)=\ln 3+\ln 2=\ln 6\approx 1,7918$.

17. Pentru că arctangenta intră în răspuns numai prin bucăți de forma $\frac{C}{x^2+c}$, iar astfel de bucăți apar doar dacă numitorul are un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale. Dacă toate rădăcinile numitorului sunt reale, el se desface întreg în factori de gradul întâi, deci toate bucățile sunt de forma $\frac{A}{x-a}$ și dau numai logaritmi, plus, eventual, o parte polinomială.

18. Descompunerea este $-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x-5}-\frac{2}{x+5}$, iar rădăcinile $\pm 2$ și $\pm 5$ sunt toate în afara lui $[-1,1]$. Primitiva este $-\ln |x-2|+\ln (x+2)+2\ln |x-5|-2\ln (x+5)$. În $x=1$ ea valorează $-\ln 1+\ln 3+2\ln 4-2\ln 6=\ln 3+2\ln \frac{2}{3}$, iar în $x=-1$ valorează $-\ln 3+\ln 1+2\ln 6-2\ln 4=-\ln 3+2\ln \frac{3}{2}$. Diferența este $2\ln 3+4\ln \frac{2}{3}=4\ln 2-2\ln 3=\ln \frac{16}{9}\approx 0,5754$. Numitorul are gradul $4$, adică exact plafonul programei de examen.

De reținut

• Prima privire e pe rădăcinile numitorului, comparate cu intervalul de integrare: dacă una cade în $[a,b]$, capetele incluse, scrierea ${\int }_a^b$ nu are sens și niciun calcul nu o salvează.
• Orice bucată dă un logaritm sau o arctangentă: $\frac{A}{x-a}$ dă $A\ln |x-a|$, $\frac{C}{x^2+c}$ dă $\frac{C}{\sqrt{c}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{c}}$, iar $\frac{Bx}{x^2+c}$ dă $\frac{B}{2}\ln \left(x^2+c\right)$.
• Modulul se pune numai la factorii care își pot schimba semnul. Trinomul $x^2+c$ e strict pozitiv, deci se scrie $\ln \left(x^2+c\right)$, fără bare.
• Când $\mathrm{grad}P\ge \mathrm{grad}Q$ se împarte întâi, iar câtul aduce în rezultat o parte polinomială, recunoscută după termenii de forma $x$ sau $\frac{x^2}{2}$.
• La integrala definită nu se scrie $+\mathcal{C}$, iar rezultatul se controlează prin semn și prin derivare.

Greșeli frecvente

• Se integrează peste o rădăcină a numitorului. Calculul merge mai departe și scoate un număr, dar numărul nu este integrala. Corect: rădăcinile se compară cu capetele intervalului înainte de orice, iar concluzia se scrie într-o propoziție.
• Se uită $\sqrt{c}$ din fața arctangentei. Primitiva lui $\frac{1}{x^2+5}$ este $\frac{1}{\sqrt{5}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}$, nu $\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}$. Corect: numărul de la numitorul fracției din fața arctangentei este același cu cel de sub arctangentă — amândouă sunt $\sqrt{c}$.
• Se scrie modul la trinomul fără rădăcini reale. Barele sugerează că expresia și-ar putea schimba semnul, ceea ce e fals pentru $x^2+c$ cu $c>0$. Corect: modul numai la $x-a$.
• Se trece constanta $\mathcal{C}$ într-o integrală definită. Ea aparține integralei nedefinite și se simplifică la scădere. Corect: se scrie doar primitiva, între barele de evaluare.
• Se greșește semnul la scăderea din capătul de jos. Când primitiva are mai mulți termeni, minusul trebuie să se împartă la toți. Corect: se scriu cele două valori în paranteze rotunde și abia apoi se scade.

Aplică acasă

1. Trei integrale dintr-o singură descompunere. Pornind de la descompunerea găsită în Exemplul 6, calculează integrala aceleiași funcții pe $[8,9]$, pe $[9,11]$ și pe $[8,11]$ — alte capete decât acolo, deci alte trei numere. Verifică apoi, prin adunare, că primele două dau exact cât a treia: e aditivitatea integralei, văzută pe un caz concret.

2. Cronometrul controalelor. Alege trei rezultate de integrale raționale, oricare, și fă-le proba prin derivare. Cronometrează: vei constata că verificarea ia sub un minut, adică mult mai puțin decât rezolvarea, și că ea prinde exact greșelile de semn și de coeficient.

3. Modelul din laborator. Măsoară, cu un cronometru și un vas gradat, cât lichid curge dintr-o sticlă cu gaură mică, la fiecare $15$ secunde, timp de două minute. Trece valorile într-un tabel și spune, privind numerele, dacă debitul scade mai degrabă ca $\frac{k}{t+m}$ sau ca o dreaptă. Nu ai nevoie de niciun calcul de integrale — doar de citirea tabelului.

Pentru părinți și profesori

Lecția încheie un algoritm început în lecția anterioară: acolo se desface fracția, aici se integrează bucățile. Partea nouă este scurtă — trei rânduri de tabel, toate cunoscute —, iar dificultatea reală stă în două locuri: controlul intervalului, pe care elevii îl sar fiindcă pare o formalitate, și evaluarea între limite, unde apar greșelile de semn. Un elev care scrie îngrijit cele două valori ale primitivei, în paranteze, înainte de a le scădea, pierde mult mai puțin decât unul care le adună „din cap".

De verificat în caiet, în ordine: (1) dacă a comparat rădăcinile numitorului cu intervalul și a scris concluzia; (2) dacă a comparat gradele înainte de descompunere; (3) dacă numărul de la numitorul fracției din fața arctangentei este același cu cel de sub arctangentă; (4) dacă a pus modul numai unde trebuie; (5) dacă a făcut controlul de semn. Întrebări de control, în limbajul lecției: „Ce te uiți mai întâi?"; „Ce fel de răspuns poate ieși dintr-o integrală rațională?"; „De ce nu se scrie constanta aici?"; „Cum verifici fără să reiei calculul?". Semn că a înțeles: privind numitorul, spune dinainte dacă în răspuns va apărea sau nu o arctangentă.

Programa și examenul. Tema face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Ea este în programa de examen din 2014 (OMEN 4430/2014), la clasa a XII-a, prin rândul „Calculul integralelor de forma ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$, grad $Q\le 4$ prin metoda descompunerii în fracții simple", trecut la metodele de calcul al integralelor definite, și lipsește din programa nouă de la științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde capitolul integralei definite se oprește la proprietăți, integrarea prin părți și schimbarea de variabilă. Elevii care susțin examenul în 2027, 2028 sau 2029 sunt pe programa veche și au tema în listă; pentru cei care vor da proba MAT_P2 din 2030, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, cerințele de analiză matematică stau la Subiectul al III-lea, care are două probleme cu câte trei cerințe de câte $5$ puncte, a doua fiind despre integrale; timpul de lucru este de trei ore, iar zece puncte se acordă din oficiu. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cum se calculează o integrală dintr-o funcție rațională? În patru pași: te uiți dacă vreo rădăcină a numitorului cade între capetele intervalului, compari gradele și împarți dacă numărătorul e prea greu, desfaci restul în fracții simple, apoi scrii primitiva fiecărei bucăți și o evaluezi între limite. Niciunul dintre cei patru pași nu cere inspirație; toți se fac după rețetă.

Când iese logaritm și când iese arctangentă? Logaritmul vine de la factorii de gradul întâi ai numitorului și de la bucățile în care numărătorul e proporțional cu derivata numitorului. Arctangenta vine numai de la un factor de gradul al doilea fără rădăcini reale, cu numărător constant. Semnul după care le deosebești stă, așadar, în forma bucății, nu în mărimea numerelor.

De ce trebuie ca numitorul să nu se anuleze pe interval? Pentru că formula Leibniz–Newton cere o primitivă a funcției pe tot intervalul închis, iar în rădăcina numitorului nici funcția, nici primitiva ei nu sunt definite. Poți avea primitive separate la stânga și la dreapta rădăcinii, dar diferența dintre valori luate din cele două bucăți nu înseamnă nimic.

Ce fac dacă numitorul are gradul $4$? Exact ce faci la gradul al treilea: cauți o rădăcină întreagă printre divizorii termenului liber, cobori gradul cu schema lui Horner, repeți, și obții patru factori de gradul întâi sau doi factori de gradul întâi și un trinom. Gradul $4$ este chiar plafonul scris în rândul programei de examen.

Rezultatul poate rămâne scris cu $\mathrm{arctg}$? Da, și de cele mai multe ori chiar așa se lasă. Arctangenta se înlocuiește cu o valoare exactă numai când argumentul ei este unul dintre numerele cunoscute, de pildă $0$ sau $1$. În rest, scrierea cu $\mathrm{arctg}$ este forma finală a răspunsului, la fel de bună ca un număr zecimal.

Cum verific un rezultat fără să reiau tot calculul? Cu două controale. Întâi semnul: dacă integrandul păstrează același semn pe interval, rezultatul trebuie să aibă acel semn. Apoi derivarea: derivezi expresia dinaintea barelor de evaluare și trebuie să obții funcția de sub integrală. Al doilea control prinde inclusiv coeficienții greșiți ai descompunerii.

Cu ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)? La integralele definite din funcții raționale, la mate-info (M1), aceleași patru etape sunt însoțite de două tehnici pe care programa ta nu le cere: scrierea unui trinom cu termen în $x$ ca sumă de pătrate și substituțiile care transformă alte funcții în funcții raționale. Aici numitorul de gradul al doilea fără rădăcini reale are întotdeauna forma $x^2+c$, iar substituțiile rămân la lecția lor.

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, singurul care conține materie de analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală, a doua problemă a acestui subiect este despre integrale și are trei cerințe legate; o integrală rațională se potrivește acolo fie ca cerință de sine stătătoare, fie ca pas final, după o cerință care dă descompunerea.