Care dintre funcțiile de mai jos este o primitivă a funcției $$h(x)=(x+7)e^{-x}$$?

$$\dfrac{(x+7)^{2}}{2}\,e^{-x}$$

Cât este ∫₀^(π/2)xcos x dx?

Derivezi x și integrezi cos x, cu primitiva sin x: xsin x|₀^(π/2)-∫₀^(π/2)sin x dx= π/2-1≈0,57. Termenul din capete este π/2·1-0, iar integrala sinusului pe acest interval este 1. Și aici factorul derivat este polinomul, care devine constanta 1.

Cât este integrala din x ori e la x?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Integrarea prin părți

Se calculează prin părți, derivând $x$ și integrând $e^{x}$ . Pe $[0, 1]$ : $\int_{0}^{1} x e^{x} d x = x e^{x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x = e - (e - 1) = 1$ . Primitiva care rezultă este $(x - 1) e^{x}$ , iar derivata ei, $e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ , confirmă calculul. Rolurile nu se inversează: dacă ai integra $x$ , ar apărea $x^{2}$ , iar integrala rămasă ar fi mai grea decât cea inițială.

Un integrand alcătuit din doi factori de feluri deosebite — bunăoară o putere înmulțită cu $e^{k x}$ — nu cedează la liniaritate, fiindcă aceasta desparte adunările, nu înmulțirile. Instrumentul potrivit este integrarea prin părți: $\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x)_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$ , cerută pentru funcții derivabile pe $[a, b]$ , cu derivate continue acolo. Egalitatea nu duce singură calculul la capăt: strămută derivarea dintr-un factor în celălalt, cerând drept plată o valoare citită în capete.

Cine se derivează. Acela dintre factori care, derivat, se ușurează. O putere de gradul întâi ajunge constantă; exponențialele și funcțiile trigonometrice rămân neschimbate ca dificultate. Verdictul se dă imediat după prima linie scrisă: integrala nou apărută trebuie să fie mai ușoară decât cea inițială, altfel rolurile se inversează și se reia.

Locul obișnuit al greșelii. Bara cu două limite cere o scădere de două produse. Cel din stânga se pierde numai atunci când unul dintre factorii lui se anulează; faptul că abscisa este $0$ nu garantează nimic. Amândouă se așază pe hârtie.

Unghiul profilului. Aici tehnica se predă nemijlocit pe integrala definită, pentru că demonstrația se sprijină pe formula Leibniz-Newton; ce iese la capăt este o valoare, deci nu mai are ce căuta vreo constantă aditivă. Lui $g$ i se alege o singură primitivă, fără $C$ . Proba ieftină: derivezi funcția pe care rezolvarea a lăsat-o în urmă drept primitivă.

De reținut

$\int_{a}^{b} f g^{'} d x = f g_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g d x$
se derivează polinomul, se integrează exponențiala sau funcția trigonometrică
termenul din capete este $f (b) g (b) - f (a) g (a)$ , un număr

Greșeala tipică

Termenul din capete se calculează doar în capătul de sus, ca și cum jos ar fi zero; la $(x + 2) e^{x}_{0}^{1}$ rezultatul este $3 e - 2$ , nu $3 e$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cât este termenul din capete $(3 x + 8) e^{x}_{0}^{2}$ ?
- a) $14 e^{2}$
- b) $14 e^{2} - 8$
- c) $14 e^{2} + 8$
- d) $8 - 14 e^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $14 e^{2} - 8$

Bara cere $f (2) g (2) - f (0) g (0)$ , adică $(3 \cdot 2 + 8) e^{2} - (3 \cdot 0 + 8) e^{0} = 14 e^{2} - 8$ . Varianta a) oprește calculul la capătul de sus, c) adună în loc să scadă, iar d) inversează capetele.
Care dintre funcțiile de mai jos este o primitivă a funcției $h (x) = (x + 7) e^{- x}$ ?
- a) $- (x + 8) e^{- x}$
- b) $- (x + 6) e^{- x}$
- c) $(x + 8) e^{- x}$
- d) $\frac{( x + 7 ) ^{2}}{2} e^{- x}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- (x + 8) e^{- x}$

Derivăm varianta a): $(- (x + 8) e^{- x})^{'} = - e^{- x} + (x + 8) e^{- x} = (x + 7) e^{- x}$ . La b) derivata iese $(x + 5) e^{- x}$ , la c) iese $- (x + 7) e^{- x}$ , cu semn schimbat, iar d) înmulțește o primitivă a primului factor cu al doilea factor, o operație care nu există.
Cât este $\int_{0}^{π /2} (2 x + 3) cos x d x$ ?
- a) $π + 3$
- b) $π + 2$
- c) $π + 1$
- d) $π + 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $π + 1$

Cu $f (x) = 2 x + 3$ și $g (x) = sin x$ : $(2 x + 3) sin x_{0}^{π /2} - 2 \int_{0}^{π /2} sin x d x = (π + 3) - 2 \cdot 1 = π + 1$ , fiindcă $- cos x_{0}^{π /2} = 1$ . Varianta a) se oprește la termenul din capete, b) uită factorul $2$ ieșit din derivarea polinomului, iar d) adună integrala rămasă în loc să o scadă.

Întrebări conexe

Cât este $\int_{0}^{π} x sin x d x$ ?

Derivezi $x$ și integrezi $sin x$ , cu primitiva $- cos x$ : $- x cos x_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + 0 = π$ . Termenul din capete dă $π$ , fiindcă $cos π = - 1$ , iar integrala cosinusului pe $[0, π]$ este zero. Metoda merge pentru că derivata lui $x$ este $1$ , iar integrala rămasă conține doar funcția trigonometrică.

Cum aleg ce derivez la $(2 x + 1) e^{3 x}$ ?

Derivezi polinomul, care devine constanta $2$ , și integrezi $e^{3 x}$ , cu primitiva $\frac{e ^{3 x}}{3}$ . Pe $[0, 1]$ se obține $e^{3} - \frac{1}{3} - \frac{2}{9} (e^{3} - 1) = \frac{7 e ^{3} - 1}{9}$ . Exponențiala nu se simplifică prin derivare, de aceea ea este factorul integrat.

Unde apare o integrală de tipul $\int t e^{- t} d t$ în științe?

În farmacologie, concentrația unui medicament după o doză orală are adesea forma $c (t) = t e^{- t}$ , iar aria de sub curbă măsoară expunerea. Prin părți, $\int_{0}^{2} t e^{- t} d t = - (t + 1) e^{- t}_{0}^{2} = 1 - 3 e^{- 2} \approx 0, 59$ . Primitiva $- (t + 1) e^{- t}$ se verifică derivând.

Ce se întâmplă dacă inversez rolurile la $x e^{x}$ ?

Integrând $x$ și derivând $e^{x}$ , apare $\frac{x ^{2}}{2} e^{x}$ minus integrala lui $\frac{x ^{2}}{2} e^{x}$ , cu polinomul urcat în grad. Integrala nouă e mai grea, semn că rolurile trebuie schimbate înapoi.

Cât este $\int_{0}^{π /2} x cos x d x$ ?

Derivezi $x$ și integrezi $cos x$ , cu primitiva $sin x$ : $x sin x_{0}^{π /2} - \int_{0}^{π /2} sin x d x = \frac{π}{2} - 1 \approx 0, 57$ . Termenul din capete este $\frac{π}{2} \cdot 1 - 0$ , iar integrala sinusului pe acest interval este $1$ . Și aici factorul derivat este polinomul, care devine constanta $1$ .

Oamenii mai întreabă și: integrala lui x e la x · x ori e la x integrală prin părți · primitiva lui x e la x · integrala x exponențială

Cât este integrala din x ori e la x?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cât este ∫0π​xsinxdx?

Cum aleg ce derivez la (2x+1)e3x?

Unde apare o integrală de tipul ∫te−tdt în științe?

Ce se întâmplă dacă inversez rolurile la xex?

Cât este ∫0π/2​xcosxdx?

Continuă cu

Cât este $\int_{0}^{π} x sin x d x$ ?

Cum aleg ce derivez la $(2 x + 1) e^{3 x}$ ?

Unde apare o integrală de tipul $\int t e^{- t} d t$ în științe?

Ce se întâmplă dacă inversez rolurile la $x e^{x}$ ?

Cât este $\int_{0}^{π /2} x cos x d x$ ?