Integrarea prin părți (M2, științe ale naturii)

Până acum ai calculat integrale definite ale unor funcții pe care le recunoșteai dintr-o privire în tabelul primitivelor, eventual după ce le desfăceai cu liniaritatea. Dar în laborator mărimile se înmulțesc între ele: un debit care crește liniar și se stinge exponențial, o forță care depinde de poziție înmulțită cu poziția însăși, o densitate care scade pe lungimea unei bare. Niciun rând din tabel nu conține un astfel de produs, iar liniaritatea nu ajută la nimic: ea desface sume, nu produse. Lecția aceasta de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), dă singura regulă care sparge un produs de sub integrală — integrarea prin părți. Este o cerință de bacalaureat M2, la Subiectul al III-lea, acolo unde stau problemele de analiză matematică.

Programa de examen pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) o cere explicit, la capitolul „Integrala definită", cu rândul de conținut „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă". Aceeași metodă apare și în programa nouă, anexa 28, la unitatea XII.4. Așadar tema se dă la amândouă generațiile — și la elevii care susțin examenul în 2027–2029, și la cei care vor da proba MAT_P2 din 2030. Aici înveți formula și o singură aplicare a ei; cazurile în care metoda trebuie folosită de două ori la rând sunt materia lecției următoare, Integrarea prin părți aplicată de două ori.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii regula care sparge un produs de sub integrală, cu toate condițiile ei.
• Vei ști să o deduci din regula de derivare a produsului și din formula Leibniz-Newton.
• Vei ști să calculezi termenul din capete $f(x)g(x){|}_a^b$ și să explici de ce el este un număr.
• Vei ști să alegi care factor se derivează și care se integrează, după trei întrebări puse în ordine.
• Vei ști să recunoști cele două familii de integrale care cer metoda la profilul științe ale naturii.
• Vei ști să verifici rezultatul derivând primitiva pe care calculul ți-a dat-o.

Hai să descoperim împreună

1. Ce spune formula de integrare prin părți?

Pornim de la o constatare neplăcută: integrala unui produs nu este produsul integralelor. Nu e o regulă de memorat, ci o consecință a felului în care se derivează un produs. Din regulile de derivare știi că $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, adică derivata unui produs nu este produsul derivatelor. Cum integrarea merge în sens invers derivării, e firesc ca nici ea să nu treacă prin produs.

Ce se poate face, în schimb, e să transformi integrala dată în alta, mai simplă. Exact asta face formula de mai jos.

$${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$$

Integrarea prin părți este egalitatea de mai sus, valabilă pentru orice două funcții $f$ și $g$ definite pe intervalul $[a,b]$, derivabile acolo și cu derivatele $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ continue pe $[a,b]$; ea înlocuiește integrala produsului $f{g}^{\prime }$ cu integrala produsului $f^{\prime }g$, plătind pentru schimb un singur termen, evaluat în capetele intervalului.

Citește-o ca pe un schimb, nu ca pe o rezolvare. Ea nu calculează nimic singură: îți dă voie să muți derivarea de pe un factor pe celălalt. Factorul $g^{\prime }$, care era integrat, devine $g$; factorul $f$, care era lăsat în pace, se derivează. Dacă schimbul te apropie de tabelul primitivelor, ai câștigat; dacă nu, ai pierdut un rând de calcul și atât.

Condiția „derivate continue" nu e un ornament. Ea garantează că amândouă produsele, $f{g}^{\prime }$ și $f^{\prime }g$, sunt continue, deci au primitive și integralele lor există. La funcțiile din programa clasei — polinoame, exponențiale, sinus și cosinus, și produsele lor — condiția e îndeplinită pe orice interval; o spui totuși, într-un rând, la începutul rezolvării.

Chiar și numele metodei spune ce se întâmplă: integrandul se rupe în două părți, una pe care o derivezi și una pe care o integrezi, iar rezultatul se strânge tot din două părți — un număr și o integrală nouă. Nu există o a treia variantă și nu există nicio formulă care să dea direct integrala unui produs; tot ce ai la dispoziție este acest schimb, pe care îl faci în direcția care te avantajează.

2. De unde vine formula?

Din derivata produsului, în trei pași scurți. Toată deducerea folosește numai lucruri deja stabilite în capitol.

Pasul 1. Egalitatea $(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$ spune că funcția $fg$ este o primitivă a funcției $f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ pe intervalul $[a,b]$.

Pasul 2. Aplicăm acelei funcții formula Leibniz-Newton: integrala ei pe $[a,b]$ este chiar diferența valorilor primitivei în capete, adică $f(x)g(x){|}_a^b$.

Pasul 3. Desfacem integrala din stânga cu liniaritatea integralei definite, obținem suma a două integrale egală cu termenul din capete, iar una dintre ele trece în celălalt membru. Ce rămâne este exact formula.

Merită observat ce nu intervine în deducere: nicio proprietate nouă, niciun artificiu. De aceea la profilul științe ale naturii metoda apare direct la integrala definită, nu la primitive — la capitolul de primitive nu aveai încă formula Leibniz-Newton, fără de care pasul 2 nu se poate face.

3. De ce este termenul din capete un număr?

Pentru că $f(x)g(x){|}_a^b$ înseamnă, prin definiția notației, $f(b)g(b)-f(a)g(a)$: două produse de numere, scăzute. Aici stă deosebirea față de orice calcul de primitive pe care l-ai făcut până acum — acolo rezultatul era o funcție, aici este o valoare.

De aici, două consecințe practice. Prima: produsul dintre limite se preface în cifră pe loc, nu se plimbă mai departe prin calcul. A doua: constanta de integrare nu apare nicăieri; rezultatul final este un număr.

Și o capcană care costă mult: $f(a)g(a)$ nu este automat zero, nici măcar când $a=0$. Dacă $f(x)=4x+1$ și $g(x)=e^x$, atunci $f(0)g(0)=1\cdot 1=1$, nu $0$. Se întâmplă des ca produsul să se anuleze într-un capăt, fiindcă acolo apare factorul $x$; când polinomul are termen liber, nu se anulează deloc. Obiceiul sănătos e să scrii ambele produse, chiar dacă unul iese nul.

Notația $f(x)g(x){|}_a^b$ e aceeași pe care ai folosit-o la formula Leibniz-Newton, unde scriai $F(x){|}_a^b$; singura deosebire e că acum sub bară stă un produs de două funcții, nu o primitivă găsită în tabel. Unii profesori preferă să pună produsul în paranteză drepte, $[f(x)g(x){]}_a^b$, iar sensul rămâne neschimbat. Important este să nu lași niciodată bara fără limite: fără ele, în stânga egalității ai un număr, iar în dreapta o funcție, ceea ce e o egalitate fără sens.

4. Cum arată un calcul complet?

Ia integrala ${\int }_0^2(x+3)e^{x}dx$. Integrandul e un produs: un polinom de gradul întâi și o exponențială. Alegem $f(x)=x+3$, deci $f^{\prime }(x)=1$, și $g^{\prime }(x)=e^x$, deci $g(x)=e^x$, o primitivă luată din tabelul primitivelor. Formula dă:

$${\int }_0^2(x+3)e^{x}dx=(x+3)e^x{|}_0^2-{\int }_0^2{e}^{x}dx=(5e^2-3)-(e^2-1)=4e^2-2$$

Urmărește ce s-a întâmplat: polinomul de gradul întâi a devenit constanta $1$, iar integrala rămasă este chiar un rând din tabel. Numeric, $4e^2-2\approx 27,5562$, iar integrandul este pozitiv pe tot intervalul, deci un rezultat pozitiv era de așteptat.

Pentru $g$ se ia o primitivă, nu toate. Dacă ai adăuga o constantă, ea ar apărea și în termenul din capete, și în integrala rămasă, cu semne contrare, și s-ar simplifica singură — deci nu aduce nimic, doar doi termeni în plus.

5. Ce se întâmplă dacă derivezi celălalt factor?

Formula rămâne adevărată pentru orice împărțire a integrandului în doi factori; numai că nu orice împărțire ajută. Pe aceeași integrală ${\int }_0^2(x+3)e^{x}dx$, să încercăm invers: $f(x)=e^x$, deci $f^{\prime }(x)=e^x$, și $g^{\prime }(x)=x+3$, deci $g(x)=\frac{x^2}{2}+3x$. Obții

$${\int }_0^2(x+3)e^{x}dx=\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^x{|}_0^2-{\int }_0^2\left(\frac{x^2}{2}+3x\right)e^{x}dx$$

adică o integrală în care polinomul a urcat de la gradul întâi la gradul al doilea. Egalitatea e corectă, dar calculul s-a înrăutățit.

De aici criteriul, pus sub forma a trei întrebări în ordine:

1. Este integrandul un produs de doi factori de naturi diferite? Dacă nu, metoda nu are ce împărți.
2. Care dintre factori devine mai simplu când îl derivezi? Acela este $f$. Un polinom de gradul întâi derivat devine constantă; o exponențială derivată rămâne exponențială, iar sinusul devine cosinus — nici urmă de simplificare.
3. Știu să scriu o primitivă a celuilalt factor? Dacă nu știu, alegerea era oricum imposibilă, iar metoda nu e cea potrivită.

Controlul se face după primul rând scris, nu la sfârșit: compară integrala rămasă cu cea de la care ai pornit. Dacă e mai simplă, mergi mai departe; dacă nu, reia cu rolurile schimbate.

6. Care sunt familiile de integrale care cer metoda?

La profilul științe ale naturii, produsele care apar sunt de două feluri. Primul: polinom de gradul întâi înmulțit cu o exponențială, de tipul $(px+q)e^{kx}$. Se derivează polinomul, se integrează exponențiala, iar pentru $g$ folosești rândul stabilit la primitivele cu exponențială și logaritm: $\int e^{kx}dx=\frac{e^{kx}}{k}+\mathcal{C}$, pentru orice $k\ne 0$. Al doilea: polinom de gradul întâi înmulțit cu sinus sau cosinus, de tipul $x\sin x$ și $x\cos x$. Se derivează tot polinomul, iar pentru $g$ ai rândurile din primitivele funcțiilor trigonometrice, cu grija semnului: o primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos x$.

Mai există o situație, care pare să nu fie produs: uneori unul dintre factori este chiar funcția constantă $1$. Cum ${\int }_a^{b}h(x)dx={\int }_a^{b}h(x)\cdot 1dx$, poți lua $g^{\prime }(x)=1$, deci $g(x)=x$, și muta derivarea pe $h$. Merită încercat atunci când $h^{\prime }$ este vizibil mai simplă decât $h$ însăși; exercițiile 5 și 16 te pun să scrii singur egalitatea care iese.

Ce le face pe aceste două familii să meargă este un fapt simplu: prin derivare, polinomul coboară cu un grad, iar exponențiala și funcțiile trigonometrice nu se strică prin integrare — $e^{kx}$ rămâne exponențială, sinusul devine cosinus și înapoi. Așadar schimbul te lasă, de fiecare dată, cu o integrală în care partea polinomială e mai mică, iar cealaltă parte e la fel de ușoară ca la început. Când polinomul are gradul întâi, un singur schimb îl reduce la o constantă, iar constanta iese în fața integralei. De aici și estimarea de timp: o integrală din lecția aceasta se rezolvă în trei-patru rânduri, iar dacă îți ia mai mult, aproape sigur ai ales invers factorii.

Două granițe, ca să știi ce nu intră aici. Integralele în care polinomul are gradul al doilea cer formula de două ori la rând și sunt tema lecției Integrarea prin părți aplicată de două ori. Iar produsele în care unul dintre factori repetă, abstracție făcând de un număr, derivata expresiei ascunse în celălalt — semnul e că exponentul sau argumentul nu e chiar $x$ — nu se rezolvă prin părți, ci prin cealaltă metodă a programei, schimbarea de variabilă.

7. Cum verifici rezultatul fără să reiei calculul?

Orice calcul prin părți îți lasă, pe drum, o primitivă completă a integrandului; verificarea înseamnă să o derivezi. La integrala din secțiunea 4, calculul a spus că integrandul $(x+3)e^x$ are primitiva $(x+3)e^x-e^x=(x+2)e^x$. Derivăm: $((x+2)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$. Corect. Iar $(x+2)e^x{|}_0^2=4e^2-2$, aceeași valoare.

Verificarea aceasta nu depinde de memorarea formulei și prinde pe loc un semn pierdut sau un capăt uitat. Mai adaugă-i un control de semn: dacă integrandul e pozitiv pe tot intervalul, rezultatul trebuie să iasă pozitiv — o consecință directă a monotoniei integralei.

Al doilea control, la fel de ieftin, e cel de ordin de mărime. Dacă integrandul ia pe $[a,b]$ valori între $m$ și $M$, atunci integrala stă între $m(b-a)$ și $M(b-a)$: e chiar aria unui dreptunghi mai mic și a unuia mai mare decât suprafața de sub grafic. La integrala din secțiunea 4, pe $[0,2]$ integrandul urcă de la $3$ la $5e^2\approx 36,9$, iar intervalul are lungimea $2$, deci rezultatul trebuie să fie între $6$ și $74$; valoarea $27,56$ intră confortabil. Un rezultat care iese din încadrare nu e „aproape bun": e greșit, și merită reluat înainte de a trece mai departe.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Polinom cu sinus

Calculează ${\int }_0^{\pi /3}x\sin xdx$.

Rezolvare. Derivăm polinomul și integrăm sinusul: $f(x)=x$, $f^{\prime }(x)=1$, $g^{\prime }(x)=\sin x$, $g(x)=-\cos x$. Atenție la semne — minusul din formulă se compune cu minusul din $g$:

$${\int }_0^{\pi /3}x\sin xdx=-x\cos x{|}_0^{\pi /3}+{\int }_0^{\pi /3}\cos xdx=-\frac{\pi }{6}+\sin x{|}_0^{\pi /3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}$$

Am folosit $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Numeric, $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi }{6}\approx 0,3424$; integrandul e pozitiv pe interval, deci semnul e cel așteptat.

Exemplul 2 — Capete care nu pornesc din zero

Calculează ${\int }_1^{3}x{e}^{-x}dx$.

Rezolvare. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=e^{-x}$, deci $g(x)=-e^{-x}$ (numitorul este $k=-1$).

$${\int }_1^{3}x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}{|}_1^3+{\int }_1^3{e}^{-x}dx=\left(\frac{1}{e}-\frac{3}{e^3}\right)+\left(\frac{1}{e}-\frac{1}{e^3}\right)=\frac{2}{e}-\frac{4}{e^3}$$

Aici niciunul dintre cele două produse din capete nu este nul, tocmai fiindcă intervalul nu începe din $0$. Numeric, $\frac{2}{e}-\frac{4}{e^3}\approx 0,5366$.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a scris: ${\int }_0^1(2x+3)e^{x}dx=(2x+3)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+3)e^{x}dx=5e-(\dots )$. Unde a greșit și cât face, de fapt, integrala?

Rezolvare. Două greșeli, amândouă în primul rând. Întâi, în integrala rămasă a lăsat factorul $f$ neschimbat: formula cere $f^{\prime }$, iar $f^{\prime }(x)=2$, nu $2x+3$. Apoi, la termenul din capete a calculat doar valoarea din $1$; cea din $0$ este $3e^0=3$ și se scade. Corect:

$${\int }_0^1(2x+3)e^{x}dx=(2x+3)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx=(5e-3)-2(e-1)=3e-1$$

Numeric, $3e-1\approx 7,1548$. Proba: $((2x+1)e^x{)}^{\prime }=(2x+3)e^x$, iar $(2x+1)e^x{|}_0^1=3e-1$.

Exemplul 4 — Model din hidrologie

După o ploaie scurtă, debitul suplimentar cu care un pârâu alimentează un bazin de acumulare se modelează prin $q(t)=12t{e}^{-2t}$, în metri cubi pe oră, unde $t$ este timpul în ore măsurat de la începutul ploii, pentru $t\in [0,2]$. Calculează volumul suplimentar adus în primele două ore.

Rezolvare. Volumul este integrala debitului: $\mathcal{V}={\int }_0^{2}12t{e}^{-2t}dt$. Scoatem constanta și aplicăm formula cu $f(t)=t$, $g^{\prime }(t)=e^{-2t}$, deci $g(t)=-\frac{e^{-2t}}{2}$:

$${\int }_0^{2}12t{e}^{-2t}dt=-6t{e}^{-2t}{|}_0^2+6{\int }_0^2{e}^{-2t}dt=-\frac{12}{e^4}+3\left(1-\frac{1}{e^4}\right)=3-\frac{15}{e^4}$$

Deci $\mathcal{V}=3-\frac{15}{e^4}\approx 2,7253$ metri cubi. Modelul are sens fizic pe tot intervalul: $q(0)=0$ (la începutul ploii nu curge încă nimic în plus), debitul crește până la $t=0,5$ ore, unde atinge $\frac{6}{e}\approx 2,21$ metri cubi pe oră, apoi scade — forma cunoscută a unui hidrograf. În afara intervalului $[0,2]$ modelul nu se folosește.

Exemplul 5 — Limite care nu sunt „rotunde"

Calculează ${\int }_0^{\pi /4}x\cos xdx$.

Rezolvare. $f(x)=x$, $g^{\prime }(x)=\cos x$, $g(x)=\sin x$:

$${\int }_0^{\pi /4}x\cos xdx=x\sin x{|}_0^{\pi /4}-{\int }_0^{\pi /4}\sin xdx=\frac{\pi \sqrt{2}}{8}+\cos x{|}_0^{\pi /4}=\frac{\pi \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1$$

Valorile folosite sunt $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Numeric, rezultatul este aproximativ $0,2625$: un număr mic, fiindcă intervalul e scurt și integrandul nu depășește $0,56$ pe el.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-2)e^x$.

a) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x-3)e^x$, este o primitivă a lui $f$.

b) Calculează ${\int }_0^{2}f(x)dx$, aplicând integrarea prin părți.

c) Arată că ${\int }_0^{2}f(x)dx<0$, fără a folosi valoarea de la punctul b).

Rezolvare. a) $F$ este derivabilă, fiind produs de funcții derivabile, și $F^{\prime }(x)=e^x+(x-3)e^x=(x-2)e^x=f(x)$ pentru orice $x$ real.

b) Cu $f(x)=x-2$ ca factor de derivat și $g^{\prime }(x)=e^x$ ca factor de integrat:

$${\int }_0^2(x-2)e^{x}dx=(x-2)e^x{|}_0^2-{\int }_0^2{e}^{x}dx=2-(e^2-1)=3-e^2$$

Rezultatul se potrivește cu punctul a): $F(2)-F(0)=-e^2+3$.

c) Pe intervalul $[0,2]$ avem $x-2\le 0$ și $e^x>0$, deci $f(x)\le 0$, cu inegalitate strictă pe $[0,2)$. Prin monotonia integralei definite, ${\int }_0^{2}f(x)dx\le {\int }_0^{2}0dx=0$, iar egalitatea ar cere ca $f$ să fie nulă peste tot, ceea ce nu se întâmplă. Așadar integrala este strict negativă — și într-adevăr $3-e^2\approx -4,3891$.

Să exersăm

1. Calculează ${\int }_0^{1}x{e}^{4x}dx$.

2. Calculează ${\int }_0^{\pi /6}x\sin xdx$.

3. Calculează ${\int }_0^{2}x{e}^{-3x}dx$.

4. Calculează ${\int }_1^{2}x{e}^{2x}dx$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Pentru orice funcție $f$ derivabilă pe $[1,3]$, cu derivata continuă, are loc egalitatea ${\int }_1^{3}f(x)dx=3f(3)-f(1)-{\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)dx$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^{2}x{e}^{x/2}dx$.

7. Calculează ${\int }_e^{e^2}\ln xdx$.

8. Calculează ${\int }_0^{\pi /3}x\cos xdx$.

9. Calculează ${\int }_0^2(x-3)e^{-x}dx$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^{\pi /4}x\sin xdx$.

11. Determină numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^1(x+m)e^{x}dx=2e-1$.

12. (Problemă aplicată.) O bară de $3$ metri are densitatea liniară $\rho (x)=(x+1)e^{-x}$, în kilograme pe metru, unde $x$ este distanța de la capătul gros, în metri. Calculează masa barei și verifică dacă bara chiar se subțiază spre celălalt capăt.

13. Calculează ${\int }_1^{2}x{e}^{-2x}dx$, apoi verifică rezultatul derivând primitiva pe care ai folosit-o.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_1^3(x-1)e^{x}dx$.

15. Calculează ${\int }_{\pi /3}^{\pi /2}x\cos xdx$.

16. Fie $g$ o funcție derivabilă pe $[1,4]$, cu derivata continuă, pentru care $g(1)=2$ și $g(4)=5$. Arată că ${\int }_1^{4}x{g}^{\prime }(x)dx=18-{\int }_1^{4}g(x)dx$.

17. Calculează ${\int }_0^1(1-x)e^{2x}dx$.

18. (Provocare.) Fie $f$ o funcție derivabilă pe $[0,1]$, cu derivata continuă, $f(0)=0$ și $f(1)=2$. Arată că ${\int }_0^{1}f(x)e^{x}dx+{\int }_0^1{f}^{\prime }(x)e^{x}dx=2e$.

Răspunsuri și explicații

1. $f=x$, $g^{\prime }=e^{4x}$, $g=\frac{e^{4x}}{4}$: $\frac{x{e}^{4x}}{4}{|}_0^1-\frac{1}{4}{\int }_0^1{e}^{4x}dx=\frac{e^4}{4}-\frac{e^4-1}{16}=\frac{3e^4+1}{16}\approx 10,2997$.

2. $-x\cos x{|}_0^{\pi /6}+{\int }_0^{\pi /6}\cos xdx=-\frac{\pi \sqrt{3}}{12}+\frac{1}{2}$, deci $\frac{1}{2}-\frac{\pi \sqrt{3}}{12}\approx 0,0466$.

3. $g(x)=-\frac{e^{-3x}}{3}$: $-\frac{x{e}^{-3x}}{3}{|}_0^2+\frac{1}{3}{\int }_0^2{e}^{-3x}dx=-\frac{2}{3e^6}+\frac{1}{9}\left(1-\frac{1}{e^6}\right)=\frac{1}{9}-\frac{7}{9e^6}\approx 0,1092$.

4. $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$: $\frac{x{e}^{2x}}{2}{|}_1^2-\frac{1}{2}{\int }_1^2{e}^{2x}dx=\left(e^4-\frac{e^2}{2}\right)-\frac{e^4-e^2}{4}=\frac{3e^4-e^2}{4}\approx 39,1013$.

5. Adevărat. Scrii $f(x)=f(x)\cdot 1$ și iei $g^{\prime }(x)=1$, deci $g(x)=x$. Formula dă ${\int }_1^{3}f(x)dx=xf(x){|}_1^3-{\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)dx$, iar termenul din capete este $3f(3)-1\cdot f(1)$.

6. $g^{\prime }(x)=e^{x/2}$ are primitiva $2e^{x/2}$, fiindcă $k=\frac{1}{2}$: $2x{e}^{x/2}{|}_0^2-2{\int }_0^2{e}^{x/2}dx=4e-4(e-1)=4$.

7. Scrii $\ln x=\ln x\cdot 1$ și iei $g^{\prime }(x)=1$, deci $g(x)=x$, iar factorul care se derivează este $f(x)=\ln x$, cu $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$: $x\ln x{|}_e^{e^2}-{\int }_e^{e^2}x\cdot \frac{1}{x}dx=(2e^2-e)-(e^2-e)=e^2\approx 7,3891$.

8. $x\sin x{|}_0^{\pi /3}-{\int }_0^{\pi /3}\sin xdx=\frac{\pi \sqrt{3}}{6}+\cos x{|}_0^{\pi /3}=\frac{\pi \sqrt{3}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,4069$.

9. $g(x)=-e^{-x}$: $-(x-3)e^{-x}{|}_0^2+{\int }_0^2{e}^{-x}dx=\left(\frac{1}{e^2}-3\right)+\left(1-\frac{1}{e^2}\right)=-2$. Rezultat negativ, cum era de așteptat: $x-3<0$ pe tot intervalul.

10. $-x\cos x{|}_0^{\pi /4}+{\int }_0^{\pi /4}\cos xdx=-\frac{\pi \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\pi \sqrt{2}}{8}\approx 0,1517$.

11. $(x+m)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=(1+m)e-m-(e-1)=m(e-1)+1$. Din $m(e-1)+1=2e-1$ obții $m(e-1)=2(e-1)$, deci $m=2$.

12. Masa este ${\int }_0^3(x+1)e^{-x}dx=-(x+1)e^{-x}{|}_0^3+{\int }_0^3{e}^{-x}dx=\left(1-\frac{4}{e^3}\right)+\left(1-\frac{1}{e^3}\right)=2-\frac{5}{e^3}\approx 1,7511$ kilograme. Bara chiar se subțiază: ${\rho }^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}\le 0$ pe $[0,3]$, deci densitatea scade de la $1$ kilogram pe metru la aproximativ $0,199$ kilograme pe metru.

13. $g(x)=-\frac{e^{-2x}}{2}$: $-\frac{x{e}^{-2x}}{2}{|}_1^2+\frac{1}{2}{\int }_1^2{e}^{-2x}dx=\left(\frac{1}{2e^2}-\frac{1}{e^4}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e^4}\right)=\frac{3}{4e^2}-\frac{5}{4e^4}\approx 0,0786$. Proba: primitiva folosită este $-\frac{(2x+1)e^{-2x}}{4}$, iar derivata ei este $x{e}^{-2x}$.

14. $(x-1)e^x{|}_1^3-{\int }_1^3{e}^{x}dx=2e^3-(e^3-e)=e^3+e\approx 22,8038$.

15. $x\sin x{|}_{\pi /3}^{\pi /2}-{\int }_{\pi /3}^{\pi /2}\sin xdx=\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi \sqrt{3}}{6}\right)+\cos x{|}_{\pi /3}^{\pi /2}=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi \sqrt{3}}{6}-\frac{1}{2}\approx 0,1639$.

16. Iei $f(x)=x$ și, în rolul lui $g^{\prime }$, chiar derivata $g^{\prime }$: ${\int }_1^{4}x{g}^{\prime }(x)dx=xg(x){|}_1^4-{\int }_1^{4}g(x)dx$. Termenul din capete este $4g(4)-1\cdot g(1)=20-2=18$, de unde egalitatea cerută.

17. $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$, iar $f^{\prime }(x)=-1$: $\frac{(1-x)e^{2x}}{2}{|}_0^1+\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx=-\frac{1}{2}+\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2-3}{4}\approx 1,0973$.

18. Suma celor două integrale este integrala sumei, adică ${\int }_0^1(f(x)e^x+f^{\prime }(x)e^x)dx$. Expresia de sub integrală este chiar derivata produsului $f(x)e^x$, deci integrala se calculează direct cu formula Leibniz-Newton: $f(x)e^x{|}_0^1=f(1)e-f(0)=2e$. Acesta este, de fapt, chiar mecanismul din care s-a născut formula de integrare prin părți, citit în sens invers.

De reținut

• Formula este ${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$, pentru $f$ și $g$ derivabile pe $[a,b]$, cu derivatele continue acolo.
• Termenul $f(x)g(x){|}_a^b$ înseamnă $f(b)g(b)-f(a)g(a)$, adică un număr, preschimbat în cifră pe loc; valoarea din capătul de jos nu este automat zero.
• Se derivează factorul care devine mai simplu prin derivare, se integrează celălalt; controlul se face după primul rând, comparând integrala rămasă cu cea inițială.
• La profilul științe ale naturii metoda se aplică produselor $(px+q)e^{kx}$, $x\sin x$ și $x\cos x$, iar pentru $g$ se ia o primitivă, fără constantă.
• Calculul îți lasă pe drum o primitivă completă a integrandului: derivează-o și ai proba rezultatului, fără să reiei nimic.

Greșeli frecvente

• Se calculează termenul din capete numai în capătul de sus. La un termen din capete de forma $(px+q)e^x{|}_0^1$, valoarea din $0$ este $q$, nu $0$; se scade și ea. Scrie întotdeauna amândouă produsele, chiar dacă unul iese nul.
• Rezultatul rămâne o expresie în $x$. O integrală definită este un număr; dacă în răspunsul final mai apare variabila, înseamnă că un termen din capete a rămas neevaluat sau o integrală a rămas nerezolvată.
• Metoda se aplică unei sume, nu unui produs. La ${\int }_a^b(x+e^x)dx$ nu ai ce împărți în doi factori: acolo lucrează liniaritatea, învățată la liniaritatea integralei nedefinite, iar cele două integrale se citesc direct din tabel.
• Se pierde constanta din fața integralei. Când integrandul este $12t{e}^{-2t}$, factorul $12$ însoțește toți termenii care ies din formulă, nu doar termenul din capete; cel mai sigur e să-l scoți în față înainte de a începe.
• În integrala rămasă se scrie $f$ în loc de $f^{\prime }$. Formula cere produsul $f^{\prime }g$: factorul care se derivează chiar se derivează, altfel calculul se învârte pe loc și integrala nu devine niciodată mai simplă.

Aplică acasă

1. Cele două împărțiri, una lângă alta. Ia cinci integrale de produse și scrie pentru fiecare, pe două coloane, cele două împărțiri posibile în $f$ și $g^{\prime }$: în stânga ce iese derivând primul factor, în dreapta ce iese derivând pe al doilea. Taie apoi coloana în care polinomul a urcat în grad și notează, într-un cuvânt, după ce ai recunoscut-o. Vei vedea că alegerea se face din privire, nu din calcul.

2. Capătul de jos, scris de fiecare dată. Ia opt integrale de produse, dintre care jumătate să pornească din $0$, și scrie pentru fiecare numai termenul din capete, cu amândouă produsele așternute pe hârtie, chiar când unul iese nul. Numără apoi de câte ori valoarea din capătul de jos nu a fost zero: cifra aceea îți arată cât te-ar costa obiceiul de a o sări.

3. Un model din manualul tău. Caută în manualul de fizică sau de biologie o mărime care se acumulează în timp și al cărei ritm este un produs dintre timp și o exponențială descrescătoare — o descărcare, o absorbție, o eliminare. Scrie ritmul ca formulă, calculează cantitatea acumulată pe un interval ales de tine și verifică dacă rezultatul are unitatea de măsură potrivită.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce prima dintre cele două metode de calcul cerute de programă pentru integrala definită. Ce verifică, măsurabil: (1) enunțul complet al formulei, cu ipotezele ei; (2) deducerea, pornită de la regula produsului și încheiată cu Leibniz-Newton; (3) evaluarea corectă a termenului din capete, în amândouă capetele; (4) alegerea motivată a factorilor; (5) proba prin derivare.

Dificultatea reală nu este formula, ci decizia care o precedă. Elevul care scrie mecanic primul rând, fără să se întrebe care factor se simplifică, ajunge la un calcul corect și inutil. De aceea merită cerut, cu voce tare, înainte de orice rând scris: „ce derivezi și de ce?". Al doilea loc în care apar greșeli este capătul de jos al intervalului: obiceiul de a scrie ambele produse, chiar când unul e nul, se formează în două-trei exerciții și ține toată viața.

Întrebări bune de control: „Ce înseamnă bara cu două limite și de ce rezultatul e un număr?", „Compară integrala rămasă cu cea inițială — e mai simplă?", „Cum ai verifica rezultatul fără să refaci calculul?". Semn că a înțeles: după prima aplicare se oprește singur și se uită dacă a câștigat ceva.

Pentru elevii de la științe ale naturii merită subliniată și partea aplicativă, fiindcă ea justifică metoda mai bine decât orice exercițiu abstract: produsele dintre o mărime care crește liniar și una care se stinge exponențial descriu, în fizică și în biologie, aproape toate procesele cu un vârf și o coadă lungă — un debit după o ploaie, o concentrație după o administrare, o putere disipată la pornire. Integrala unui astfel de produs este chiar cantitatea acumulată, iar fără integrarea prin părți ea nu se poate calcula exact.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare tot în capitolul „Integrala definită" al programei de examen (OMEN 4430/2014), la cerințele de analiză. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)?

La mate-info metoda se învață întâi pe primitive și abia apoi se trece pe un interval cu capete; la științe ale naturii programa o așază direct la integrala definită, așa că deducerea folosește formula Leibniz-Newton, care la primitive nu era încă disponibilă. Comparația se poate face citind versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții.

La ce subiect apare integrarea prin părți la Bacalaureatul M2?

Cerințele de analiză matematică stau la Subiectul al III-lea, singurul care conține materie de acest fel. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe de cinci puncte, a doua fiind despre integrale; în acel model integrarea prin părți nu apare, iar cerințele de integrale se rezolvă altfel.

Se schimbă limitele de integrare când aplici integrarea prin părți?

Nu. Variabila rămâne aceeași, intervalul rămâne același, iar $a$ și $b$ se scriu neschimbate la fiecare pas. Limitele se schimbă la cealaltă metodă a programei, schimbarea de variabilă, unde odată cu variabila se schimbă și capetele. Confuzia dintre cele două este una dintre cele mai scumpe, fiindcă strică rezultatul fără să lase vreun semn vizibil.

Ce fac dacă termenul din capete iese zero?

Îl scrii oricum și apoi îl treci ca $0$. Se întâmplă când produsul $fg$ se anulează în amândouă capetele — de pildă la $x\sin x$ pe $[0,\pi ]$. Faptul că termenul dispare nu înseamnă că nu trebuia calculat: e singura ocazie în care verifici că nu ai încurcat capetele între ele.

De ce se cere ca derivatele $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ să fie continue?

Ca să fie sigur că amândouă integralele din formulă au sens. Dacă $f^{\prime }$ și $g^{\prime }$ sunt continue, atunci produsele $f{g}^{\prime }$ și $f^{\prime }g$ sunt continue, deci admit primitive și sunt integrabile, iar formula Leibniz-Newton se poate aplica în pasul al doilea al deducerii. La funcțiile din programă condiția e îndeplinită oriunde.

Se poate aplica metoda unui produs de trei factori?

Da, dar numai grupându-i doi câte doi: alegi un factor drept $f$ și consideri produsul celorlalți doi ca fiind $g^{\prime }$, cu condiția să știi o primitivă a lui. Formula nu are o variantă cu trei funcții. În programa clasei a XII-a de la științe ale naturii astfel de produse nu apar, așa că regruparea rămâne un exercițiu de gândire, nu o cerință.

Ce legătură are metoda cu funcțiile pe ramuri sau cu modulul?

Una indirectă, dar utilă: dacă integrandul are modul sau e definit pe ramuri, întâi tai intervalul în bucăți, ca la integrala funcțiilor pe ramuri și cu modul, și abia pe fiecare bucată aplici integrarea prin părți. Ordinea contează: cât timp sub integrală mai stă un modul, nu ai un produs de două funcții derivabile, deci formula nu se poate aplica.