Cum integrez x pătrat ori sinus de x?

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Părți, de două ori

Un trinom înmulțit cu $e^{kx}$, cu sinus ori cu cosinus nu cere vreun instrument nou: aceeași egalitate se folosește de două ori la rând. Explicația stă în felul cum lucrează derivarea, care scade gradul cu o unitate la fiecare trecere, în vreme ce partenerul ei nu se îngreunează când e integrat. Câte treceri? Exact gradul. Numărul de termeni adunați nu contează: și $x^2+x+1$, și $x^2$ cer două.

Redactarea. Pe etaje separate, nu într-o singură înșiruire de egalități. Valoarea din capete se transformă în cifră chiar la etajul unde apare, iar coeficienții scoși de derivare se mută în fața integralei; lăsați înăuntru, unul se rătăcește la adunarea finală. Împărțirea rolurilor se decide o dată pentru tot lanțul: schimbată la al doilea pas, ea readuce integrala inițială.

Semnele. Familia exponențială le primește doar din egalitatea însăși. La trigonometrice se adaugă semnul primitivei, pentru că $\sin x$ are primitiva $-\cos x$; cele două minusuri se înmulțesc.

Verificarea. Din calcul rămâne o primitivă întreagă, care la familia exponențială arată ca $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^{kx}$ — același grad, aceeași exponențială. De aici și scurtătura prin identificare, care ajută când cerința pune în față o funcție $F$ și întreabă dacă e primitivă. Profilul nostru se oprește la trinoame.

De reținut

• numărul de aplicări = gradul polinomului
• se derivează mereu polinomul, iar rolurile nu se schimbă între etaje
• familia exponențială dă primitive de forma $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^x$

Greșeala tipică

La al doilea etaj se derivează exponențiala sau funcția trigonometrică în locul polinomului; atunci reapare integrala de la început și calculul nu înaintează.

Exerciții din această mini-lecție

1. De câte ori se aplică formula de integrare prin părți la ${\int }_1^2(x^3+5x)e^{x}dx$?

   • a) o dată
   • b) de două ori
   • c) de trei ori
   • d) de patru ori
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) de trei ori

   Numărul de aplicări este gradul polinomului, iar $x^3+5x$ are gradul al treilea: fiecare trecere coboară gradul cu unu, de la $3$ la $2$, apoi la $1$ și, în sfârșit, la $0$. Varianta d) numără și pasul final, în care integrala rămasă se citește din tabel — acela nu mai e o aplicare a formulei; a) și b) opresc coborârea prea devreme.

2. Cât este ${\int }_0^2{x}^2{e}^{x}dx$?

   • a) $2e^2-2$
   • b) $3e^2-1$
   • c) $2e^2+2$
   • d) $\frac{8e^2}{3}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $2e^2-2$

   Etajul întâi: $x^2{e}^x{|}_0^2-2{\int }_0^{2}x{e}^{x}dx=4e^2-2{\int }_0^{2}x{e}^{x}dx$. Etajul al doilea: ${\int }_0^{2}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^2-{\int }_0^2{e}^{x}dx=2e^2-(e^2-1)=e^2+1$. Compunerea dă $4e^2-2(e^2+1)=2e^2-2$. Varianta b) uită factorul $2$ ieșit din derivarea pătratului, c) sare peste termenul din capete la etajul al doilea, iar d) ia primitiva lui $x^2$ și o înmulțește cu $e^x$.

3. Cât este ${\int }_0^{\pi /2}{x}^2\sin xdx$?

   • a) $\pi -2$
   • b) $2-\pi$
   • c) $\pi +2$
   • d) $\frac{{\pi }^2}{4}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\pi -2$

   Etajul întâi, cu $g(x)=-\cos x$: $-x^2\cos x{|}_0^{\pi /2}+2{\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx$, iar termenul din capete este nul, fiindcă $\cos \frac{\pi }{2}=0$. Etajul al doilea dă $x\sin x{|}_0^{\pi /2}-{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=\frac{\pi }{2}-1$, deci rezultatul este $2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\pi -2\approx 1,14$. Varianta b) inversează semnele, c) le compune greșit, iar d) confundă $-x^2\cos x$ cu $x^2\sin x$ la evaluarea capetelor.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: integrala lui x pătrat sinus x · x la pătrat ori sin x prin părți · integrarea prin părți de două ori cu sinus · primitiva lui x pătrat sinus de x