Integrarea prin părți aplicată de două ori (M2, științe ale naturii)

Cantitățile care cresc mai repede decât liniar apar peste tot în științe: aria unei pete care se lățește în toate direcțiile, căldura degajată de o reacție care se autoaccelerează, energia unui dispozitiv în care puterea urcă proporțional cu pătratul timpului. Când o astfel de mărime înmulțește o exponențială care se stinge, ori un sinus care oscilează, sub integrală ajunge un produs de forma $x^2{e}^{kx}$ sau $x^2\sin x$. Lecția aceasta de clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), arată că nu ai nevoie de nicio metodă nouă: îți ajunge formula învățată la integrarea prin părți, aplicată de două ori la rând. La bacalaureatul M2 astfel de integrale apar la Subiectul al III-lea, în problema de analiză matematică.

Tema face parte din același rând de conținut al programei de examen — „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin părți, integrarea prin schimbare de variabilă" — și se dă la amândouă generațiile: la Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din 2027–2029 și la proba MAT_P2 din 2030. Granița dintre cele două lecții e simplă și merită ținută minte: acolo, polinomul avea gradul întâi și o singură aplicare era de ajuns; aici are gradul al doilea și sunt necesare exact două. Formula nu se schimbă cu nimic, se folosește de două ori.

Ce vei învăța

• Vei ști să explici de ce un polinom de gradul al doilea cere două aplicări și nu una.
• Vei ști să conduci calculul pe două etaje, evaluând termenul din capete la fiecare pas.
• Vei ști să păstrezi aceeași repartiție a rolurilor la al doilea pas și să arăți ce se întâmplă dacă o schimbi.
• Vei ști să ții semnele sub control la produsele cu sinus și cosinus, unde apar minusuri suprapuse.
• Vei ști să scrii primitiva completă a integrandului și să verifici rezultatul derivând-o.
• Vei ști să numeri dinainte pașii unui calcul, după gradul polinomului, nu după numărul de termeni.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu ajunge o singură aplicare?

Formula de integrare prin părți, ${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$, mută derivarea de pe un factor pe celălalt. Când factorul care se derivează este un polinom, el coboară cu exact un grad la fiecare aplicare: din $x^2$ iese $2x$, din $2x$ iese $2$.

Regula pașilor este propoziția următoare: la un produs dintre un polinom și o funcție care nu se complică prin integrare — o exponențială, un sinus, un cosinus —, formula de integrare prin părți se repetă până când polinomul dispare, adică de un număr de ori egal cu gradul lui, cu aceeași repartiție a rolurilor la fiecare pas. La gradul întâi, o aplicare îl transformă în constantă și calculul se închide; la gradul al doilea, prima aplicare îl coboară doar până la gradul întâi, deci mai e nevoie de una. Ce rămâne după primul pas nu este un rezultat, ci o integrală de tipul lecției precedente — și tocmai asta o face rezolvabilă.

Merită observat că regula se citește pe grad, nu pe numărul de termeni. Polinomul $x^2+x+1$ are trei termeni, dar tot gradul al doilea, deci tot două aplicări; polinomul $x^2$ are un singur termen și tot două aplicări îi trebuie. Termenii se plimbă împreună prin calcul, gradul e cel care hotărăște.

Imaginea potrivită e o scară cu trei trepte. Pe treapta de sus stă integrala cerută, cu polinomul de gradul al doilea; fiecare aplicare a formulei te coboară o treaptă, lăsând în urmă un număr — termenul din capete — și ducând mai departe o integrală mai ușoară. Pe treapta de jos ajungi la o integrală din tabelul primitivelor, pe care o citești direct. Rezultatul final se strânge adunând ce ai lăsat pe fiecare treaptă, cu semnele lor. De aceea calculul are exact atâtea bucăți câte trepte are scara, iar dacă la final îți ies mai multe sau mai puține, undeva ai sărit un pas.

Și încă o observație, care scutește de muncă: coborârea funcționează la fel pentru orice exponent $k$ din $e^{kx}$ și pentru sinus sau cosinus, fiindcă niciuna dintre aceste funcții nu se complică prin integrare. Ce se schimbă de la un caz la altul sunt doar constantele care apar la numitor — nu mecanismul.

2. Cum arată calculul pe două etaje?

Calculăm ${\int }_0^1{x}^2{e}^{3x}dx$. Alegem $f(x)=x^2$, deci $f^{\prime }(x)=2x$, și $g^{\prime }(x)=e^{3x}$, deci $g(x)=\frac{e^{3x}}{3}$, folosind rândul stabilit la primitivele cu exponențială și logaritm.

Etajul întâi.

$${\int }_0^1{x}^2{e}^{3x}dx=\frac{x^2{e}^{3x}}{3}{|}_0^1-\frac{2}{3}{\int }_0^{1}x{e}^{3x}dx=\frac{e^3}{3}-\frac{2}{3}{\int }_0^{1}x{e}^{3x}dx$$

Etajul al doilea. Integrala rămasă are exact forma din lecția precedentă. Cu aceeași repartiție — se derivează puterea, se integrează exponențiala:

$${\int }_0^{1}x{e}^{3x}dx=\frac{x{e}^{3x}}{3}{|}_0^1-\frac{1}{3}{\int }_0^1{e}^{3x}dx=\frac{e^3}{3}-\frac{e^3-1}{9}=\frac{2e^3+1}{9}$$

Compunerea. Punem la loc: ${\int }_0^1{x}^2{e}^{3x}dx=\frac{e^3}{3}-\frac{2}{3}\cdot \frac{2e^3+1}{9}=\frac{5e^3-2}{27}\approx 3,6455$.

Regula de igienă care face diferența între un calcul care iese și unul care se încurcă: la fiecare etaj, termenul din capete se transformă imediat în număr. Dacă îl lași scris cu bară și mergi mai departe, la compunere vei avea de urmărit patru bucăți deodată, iar semnele se amestecă.

Observă și ce s-a întâmplat cu factorul $2$ venit din $(x^2{)}^{\prime }=2x$: a fost scos în fața integralei, împreună cu $\frac{1}{3}$ din primitiva exponențialei, dând coeficientul $\frac{2}{3}$. Constantele se scot imediat, cu liniaritatea, ca integrala rămasă să arate exact ca una din lecția precedentă; altfel le porți prin calcul și, la compunere, una dintre ele se pierde. La final, coeficientul acela înmulțește tot rezultatul etajului al doilea, nu doar primul lui termen — de aici vine paranteza din linia de compunere.

Un ultim amănunt de redactare: scrie cele două etaje ca două calcule separate, fiecare cu rezultatul lui, și abia apoi compune-le. Un singur șir de egalități care traversează ambele etaje are, în medie, opt semne de urmărit; despărțite, sunt câte trei.

3. De ce se păstrează aceeași alegere la al doilea pas?

Pentru că altfel te întorci de unde ai plecat. Reia calculul de mai sus, dar la etajul al doilea derivează exponențiala și integrează puterea: $f(x)=e^{3x}$, $g^{\prime }(x)=x$, deci $g(x)=\frac{x^2}{2}$. Obții

$${\int }_0^{1}x{e}^{3x}dx=\frac{x^2{e}^{3x}}{2}{|}_0^1-\frac{3}{2}{\int }_0^1{x}^2{e}^{3x}dx$$

adică o egalitate în care reapare chiar integrala de la care ai pornit la etajul întâi, cu gradul urcat înapoi la $2$. Nu e o greșeală de calcul — egalitatea e adevărată —, e o greșeală de strategie: ai desfăcut exact ce câștigaseși.

Regula practică, valabilă la orice lanț de aplicări: rolurile se hotărăsc o dată, înainte de primul rând scris, și rămân neschimbate pe toată scara. Dacă la primul pas ai derivat polinomul, îl derivezi și la al doilea; dacă ai integrat exponențiala, o integrezi și la al doilea.

4. Cum ții semnele sub control la sinus și cosinus?

Aici apare singura dificultate reală a lecției. La familia exponențială toate semnele vin din formulă; la familia trigonometrică se adaugă semnele primitivelor, fiindcă o primitivă a lui $\sin x$ este $-\cos x$ — rândul din tabelul primitivelor pe care se greșește cel mai ușor.

Urmărește mecanismul pe cazul general ${\int }_a^b{x}^2\sin xdx$. La etajul întâi, $f(x)=x^2$ și $g(x)=-\cos x$, deci formula dă termenul din capete $-x^2\cos x{|}_a^b$, iar minusul din formulă înmulțit cu minusul din $g$ transformă integrala rămasă în $+2{\int }_a^{b}x\cos xdx$. La etajul al doilea, pentru $x\cos x$ avem $g(x)=\sin x$, fără niciun minus, deci acolo semnele nu se mai suprapun. Ne oprim aici, fără să punem cifre: reține doar că la sinus alternanța începe cu minus, iar la cosinus cu plus, și că fiecare etaj aduce exact un semn de urmărit. Revenim la tiparul acesta, cu limite concrete, în Exemplul 1 și în Exemplul 5.

Rețeta care ține semnele în frâu: scrie pe rânduri separate, întâi primitiva $g$ cu semnul ei, apoi formula, apoi valoarea numerică a termenului din capete. Nu combina niciodată două semne „din cap"; sunt două minusuri care se înmulțesc, nu se adună.

5. Cum scrii primitiva completă și cum verifici rezultatul?

Orice calcul pe două etaje îți lasă, adunând termenii, o primitivă completă a integrandului. La familia exponențială ea are întotdeauna forma $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^{kx}$ — un polinom de același grad, înmulțit cu aceeași exponențială. De aceea se poate și invers: ghicești forma, o derivezi și identifici coeficienții.

Că forma chiar se păstrează se vede derivând-o, cu regula produsului: derivata funcției $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^{kx}$ este $(k\alpha x^2+(2\alpha +k\beta )x+(\beta +k\gamma ))e^{kx}$ — tot un polinom de gradul al doilea înmulțit cu aceeași exponențială. Aceasta este și proba pe care merită s-o faci de fiecare dată: dacă derivata primitivei găsite nu redă integrandul, undeva pe cele două etaje s-a pierdut un semn sau un factor.

De aici iese și o scurtătură pe care merită s-o știi: metoda identificării. Dacă vrei primitiva lui $(x^2+bx+c)e^x$, scrii direct $F(x)=(x^2+\beta x+\gamma )e^x$ și citești egalitatea de mai sus pentru $k=1$ și $\alpha =1$: derivata are coeficienții $1$, $\beta +2$ și $\beta +\gamma$. Egalându-i cu cei ai integrandului, afli dintr-o dată $\beta =b-2$ și $\gamma =c-b+2$, fără să derivezi nimic a doua oară. Într-un rând ai primitiva pe care calculul în două etaje ți-o dă în cinci. Scurtătura nu înlocuiește metoda — programa numește integrarea prin părți, iar identificarea presupune că știi dinainte forma —, dar e o probă excelentă și o salvare de timp când cerința sună „arată că $F$ este o primitivă".

La familia trigonometrică forma primitivei e la fel de previzibilă, cu o singură grijă în plus: cele două funcții își schimbă rolurile între ele, după integrand. Ai un polinom de gradul al doilea înmulțit cu una dintre ele, unul de gradul întâi înmulțit cu cealaltă și o constantă înmulțită tot cu prima — la $x^2\sin x$ pătratul stă pe $\cos x$, la $x^2\cos x$ stă pe $\sin x$. În amândouă cazurile ies trei termeni, câte unul pentru fiecare treaptă a coborârii. Nu memora rezultatele; uită-te pe care funcție a căzut pătratul și verifică prin derivare.

6. Câți pași cere un calcul și unde se oprește M2?

Pune-ți întrebările în ordinea aceasta, înainte de primul rând scris: este un produs dintre un polinom și o exponențială sau o funcție trigonometrică?; ce grad are polinomul?; deci de câte ori aplic formula?. Răspunsul la a treia întrebare îți spune dinainte cât durează calculul, iar asta e util la o lucrare cu timp limitat.

Întrebarea are și un rost practic, dincolo de calcul: îți spune dacă merită să începi. Un produs cu polinom de gradul al treilea cere trei etaje și vreo zece rânduri, iar la o lucrare de o oră asta e o decizie, nu un amănunt. Verifică întotdeauna, înainte de primul rând, dacă integrandul nu se simplifică cumva mai devreme — uneori polinomul se desface și o parte din el se integrează direct din tabel.

La profilul științe ale naturii ne oprim la gradul al doilea, adică la două aplicări. Mai departe, la mate-info (M1), aceleași produse se studiază pentru un exponent natural oarecare, iar în locul aplicărilor repetate se scrie o relație de recurență între integrale care depind de $n$; tot acolo intră și produsele dintre o exponențială și o funcție trigonometrică, la care calculul se întoarce la punctul de plecare și se rezolvă ca o ecuație. Niciuna dintre aceste două teme nu apare în programa de la științe ale naturii: lista ei de conținuturi se oprește la cele două metode de calcul, fără șiruri de integrale — a doua fiind schimbarea de variabilă, din lecția de peste două ore. Dacă vrei să vezi cum arată, le găsești la aplicarea repetată a integrării prin părți la mate-info (M1).

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Două aplicări, cu sinus

Calculează ${\int }_{\pi /2}^{\pi }{x}^2\sin xdx$.

Rezolvare. Etajul întâi, cu $f(x)=x^2$ și $g(x)=-\cos x$:

$${\int }_{\pi /2}^{\pi }{x}^2\sin xdx=-x^2\cos x{|}_{\pi /2}^{\pi }+2{\int }_{\pi /2}^{\pi }x\cos xdx={\pi }^2+2{\int }_{\pi /2}^{\pi }x\cos xdx$$

Termenul din capete: în $\pi$ avem $-{\pi }^2\cdot (-1)={\pi }^2$, iar în $\frac{\pi }{2}$ avem $-\frac{{\pi }^2}{4}\cdot 0=0$.

Etajul al doilea, cu $f(x)=x$ și $g(x)=\sin x$:

$${\int }_{\pi /2}^{\pi }x\cos xdx=x\sin x{|}_{\pi /2}^{\pi }-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\sin xdx=-\frac{\pi }{2}+\cos x{|}_{\pi /2}^{\pi }=-\frac{\pi }{2}-1$$

Compunerea. ${\int }_{\pi /2}^{\pi }{x}^2\sin xdx={\pi }^2+2\left(-\frac{\pi }{2}-1\right)={\pi }^2-\pi -2\approx 4,7280$. Pozitiv, cum trebuia: pe $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right]$ integrandul este pozitiv.

Exemplul 2 — Polinomul complet și primitiva ghicită

Calculează ${\int }_0^1(x^2+2x)e^{x}dx$.

Rezolvare. Etajul întâi, cu $f(x)=x^2+2x$ și $g(x)=e^x$:

$${\int }_0^1(x^2+2x)e^{x}dx=(x^2+2x)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+2)e^{x}dx=3e-{\int }_0^1(2x+2)e^{x}dx$$

Etajul al doilea, cu $f(x)=2x+2$ și $f^{\prime }(x)=2$:

$${\int }_0^1(2x+2)e^{x}dx=(2x+2)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx=(4e-2)-2(e-1)=2e$$

Compunerea. ${\int }_0^1(x^2+2x)e^{x}dx=3e-2e=e\approx 2,7183$.

Proba confirmă pe loc: primitiva care iese din calcul este $x^2{e}^x$, iar $(x^2{e}^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=(x^2+2x)e^x$. Așadar rezultatul este $x^2{e}^x{|}_0^1=e$, aceeași valoare.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev a scris, pentru ${\int }_0^1{x}^2{e}^{-2x}dx$: „aplic formula cu $f(x)=x^2$, $g^{\prime }(x)=e^{-2x}$, deci $g(x)=\frac{e^{-2x}}{2}$" și a obținut $\frac{x^2{e}^{-2x}}{2}{|}_0^1-{\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx=\frac{1}{2e^2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{4e^2}$. Unde a greșit?

Rezolvare. Primitiva lui $e^{-2x}$ este $-\frac{e^{-2x}}{2}$, nu $\frac{e^{-2x}}{2}$: numitorul este $k=-2$, deci semnul se schimbă. Din cauza acestui semn, și termenul din capete, și integrala rămasă au ieșit cu semn invers. Corect, etajul întâi:

$${\int }_0^1{x}^2{e}^{-2x}dx=-\frac{x^2{e}^{-2x}}{2}{|}_0^1+{\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2e^2}+{\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx$$

Etajul al doilea: ${\int }_0^{1}x{e}^{-2x}dx=-\frac{x{e}^{-2x}}{2}{|}_0^1+\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2e^2}+\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{e^2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{4e^2}$.

Compunerea. ${\int }_0^1{x}^2{e}^{-2x}dx=-\frac{1}{2e^2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4e^2}=\frac{1}{4}-\frac{5}{4e^2}\approx 0,0808$. Rezultatul e pozitiv, cum trebuie, fiindcă integrandul e pozitiv pe $(0,1]$.

Exemplul 4 — Model din calorimetrie

Într-un calorimetru, puterea termică degajată de o reacție care se autoaccelerează se modelează prin $p(t)=t^2{e}^{-t}$, în wați, unde $t$ este timpul în secunde, pentru $t\in [0,3]$. Calculează căldura degajată în primele trei secunde.

Rezolvare. Căldura este integrala puterii: $Q={\int }_0^3{t}^2{e}^{-t}dt$. Etajul întâi, cu $g(t)=-e^{-t}$:

$${\int }_0^3{t}^2{e}^{-t}dt=-t^2{e}^{-t}{|}_0^3+2{\int }_0^{3}t{e}^{-t}dt=-\frac{9}{e^3}+2{\int }_0^{3}t{e}^{-t}dt$$

Etajul al doilea: ${\int }_0^{3}t{e}^{-t}dt=-t{e}^{-t}{|}_0^3+{\int }_0^3{e}^{-t}dt=-\frac{3}{e^3}+\left(1-\frac{1}{e^3}\right)=1-\frac{4}{e^3}$.

Compunerea. $Q=-\frac{9}{e^3}+2-\frac{8}{e^3}=2-\frac{17}{e^3}\approx 1,1536$ jouli.

Modelul se comportă corect pe tot intervalul: $p(0)=0$, fiindcă reacția nu a pornit; puterea crește până la $t=2$ secunde, unde atinge $\frac{4}{e^2}\approx 0,54$ wați, apoi scade pe măsură ce reactantul se consumă. Puterea rămâne pozitivă, deci căldura degajată crește tot timpul — ceea ce se și vede în rezultat. În afara intervalului $[0,3]$ modelul nu se folosește.

Exemplul 5 — Cosinus, cu ambele capete nenule

Calculează ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}{x}^2\cos xdx$.

Rezolvare. Etajul întâi, cu $g(x)=\sin x$:

$${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}{x}^2\cos xdx=x^2\sin x{|}_{\pi /6}^{\pi /2}-2{\int }_{\pi /6}^{\pi /2}x\sin xdx=\frac{17{\pi }^2}{72}-2{\int }_{\pi /6}^{\pi /2}x\sin xdx$$

fiindcă termenul din capete este $\frac{{\pi }^2}{4}\cdot 1-\frac{{\pi }^2}{36}\cdot \frac{1}{2}=\frac{17{\pi }^2}{72}$.

Etajul al doilea, cu $g(x)=-\cos x$: ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}x\sin xdx=-x\cos x{|}_{\pi /6}^{\pi /2}+{\int }_{\pi /6}^{\pi /2}\cos xdx=\frac{\pi \sqrt{3}}{12}+\frac{1}{2}$.

Compunerea. ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}{x}^2\cos xdx=\frac{17{\pi }^2}{72}-\frac{\pi \sqrt{3}}{6}-1\approx 0,4234$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x^2-2x)e^x$.

a) Arată că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x-2{)}^2{e}^x$, este o primitivă a lui $f$.

b) Calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx$, aplicând de două ori integrarea prin părți.

c) Arată că ${\int }_0^{1}f(x)dx<0$, fără a folosi valoarea de la punctul b).

Rezolvare. a) $F$ este derivabilă, fiind produs de funcții derivabile, iar $F^{\prime }(x)=2(x-2)e^x+(x-2{)}^2{e}^x=(x-2)(2+x-2)e^x=(x^2-2x)e^x=f(x)$ pentru orice $x$ real.

b) Etajul întâi: ${\int }_0^1(x^2-2x)e^{x}dx=(x^2-2x)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x-2)e^{x}dx=-e-{\int }_0^1(2x-2)e^{x}dx$.

Etajul al doilea: ${\int }_0^1(2x-2)e^{x}dx=(2x-2)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx=2-2(e-1)=4-2e$.

Compunerea: ${\int }_0^1(x^2-2x)e^{x}dx=-e-(4-2e)=e-4$. Se potrivește cu punctul a): $F(1)-F(0)=e-4$.

c) Pe intervalul $[0,1]$ avem $x^2-2x=x(x-2)\le 0$, fiindcă $x\ge 0$ și $x-2<0$; cum $e^x>0$, rezultă $f(x)\le 0$, cu inegalitate strictă pe $(0,1]$. Prin monotonia integralei definite, integrala este cel mult $0$, iar egalitatea ar cere ca $f$ să fie nulă pe tot intervalul, ceea ce nu se întâmplă. Deci integrala este strict negativă — și într-adevăr $e-4\approx -1,2817$.

Să exersăm

1. Calculează ${\int }_1^3{x}^2{e}^{x}dx$.

2. Calculează ${\int }_{\pi /2}^{\pi }{x}^2\cos xdx$.

3. Calculează ${\int }_0^1(x^2+x+3)e^{x}dx$.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice primitivă a funcției $(x^2+2x)e^x$ este de forma $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^x$, cu $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ numere reale.

5. Calculează ${\int }_0^{\pi /6}{x}^2\sin xdx$.

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^2{x}^2{e}^{2x}dx$.

7. Calculează ${\int }_{\pi /6}^{\pi /2}{x}^2\sin xdx$.

8. Calculează ${\int }_0^2(x^2-5x)e^{x}dx$.

9. Calculează pe două etaje ${\int }_1^2{x}^2{e}^{-x}dx$, apoi verifică rezultatul derivând funcția $-(x^2+2x+2)e^{-x}$ și evaluând-o între capete.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează ${\int }_0^1(x^2+4x)e^{x}dx$.

11. Calculează ${\int }_0^1(x^2-4x)e^{x}dx$.

12. (Problemă aplicată.) Într-un bioreactor, rata de producere a unui metabolit este $r(t)=t^2{e}^{-t/2}$, în miligrame pe oră, unde $t$ este timpul în ore, pentru $t\in [0,2]$. Calculează cantitatea produsă în primele două ore și spune în ce moment rata este maximă.

13. Calculează ${\int }_{\pi /4}^{\pi /2}{x}^2\sin xdx$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Determină numărul real $m$ pentru care ${\int }_0^1(x^2+mx)e^{x}dx=e-5$.

15. Calculează ${\int }_0^2{x}^2{e}^{-2x}dx$.

16. Fie $f$ o funcție de două ori derivabilă pe $[0,2]$, cu $f^{\prime \prime }$ continuă, pentru care $f(0)=1$, $f(2)=3$, $f^{\prime }(0)=0$ și $f^{\prime }(2)=4$. Calculează ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime \prime }(x)dx$.

17. Calculează ${\int }_0^2(x^2+2x)e^{-x}dx$.

18. (Provocare.) Arată că, pentru orice numere reale $b$ și $c$, are loc ${\int }_0^1(x^2+bx+c)e^{x}dx=(c+1)e+b-c-2$. Verifică formula pe cele patru cazuri deja calculate în lecție: Exemplul 2, Exemplul 6 și exercițiile 3 și 10.

Răspunsuri și explicații

1. Etajul întâi: $x^2{e}^x{|}_1^3-2{\int }_1^{3}x{e}^{x}dx=9e^3-e-2{\int }_1^{3}x{e}^{x}dx$. Etajul al doilea: ${\int }_1^{3}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_1^3-{\int }_1^3{e}^{x}dx=(3e^3-e)-(e^3-e)=2e^3$. Compunerea: $9e^3-e-4e^3=5e^3-e\approx 97,7094$.

2. $x^2\sin x{|}_{\pi /2}^{\pi }-2{\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin xdx=-\frac{{\pi }^2}{4}-2{\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin xdx$, iar ${\int }_{\pi /2}^{\pi }x\sin xdx=-x\cos x{|}_{\pi /2}^{\pi }+{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos xdx=\pi +\sin x{|}_{\pi /2}^{\pi }=\pi -1$. Deci rezultatul este $-\frac{{\pi }^2}{4}-2(\pi -1)=2-\frac{{\pi }^2}{4}-2\pi \approx -6,7506$; negativ, fiindcă acolo cosinusul este negativ.

3. $(x^2+x+3)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+1)e^{x}dx=5e-3-((2x+1)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx)=5e-3-(3e-1-2e+2)=4e-4\approx 6,8731$. Primitiva este $(x^2-x+4)e^x$.

4. Fals. Identifică mai întâi toate funcțiile de forma din enunț care sunt primitive: derivata lui $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^x$ este $(\alpha x^2+(2\alpha +\beta )x+(\beta +\gamma ))e^x$, iar egalitatea cu $(x^2+2x)e^x$ cere $\alpha =1$, $2\alpha +\beta =2$ și $\beta +\gamma =0$, deci $\beta =\gamma =0$. Prin urmare singura funcție de acea formă care e primitivă este $x^2{e}^x$. Cum primitivele pe un interval diferă printr-o constantă aditivă, funcțiile $x^2{e}^x+c$ cu $c\ne 0$ sunt și ele primitive și nu au forma cerută. Enunțul descrie o primitivă, nu familia lor.

5. $-x^2\cos x{|}_0^{\pi /6}+2{\int }_0^{\pi /6}x\cos xdx=-\frac{{\pi }^2\sqrt{3}}{72}+2\left(\frac{\pi }{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)$, adică $\frac{\pi }{6}+\sqrt{3}-2-\frac{{\pi }^2\sqrt{3}}{72}\approx 0,0182$.

6. Cu $g(x)=\frac{e^{2x}}{2}$ la amândouă etajele: $\frac{x^2{e}^{2x}}{2}{|}_0^2-{\int }_0^{2}x{e}^{2x}dx=2e^4-\frac{3e^4+1}{4}=\frac{5e^4-1}{4}\approx 67,9977$, unde ${\int }_0^{2}x{e}^{2x}dx=\frac{x{e}^{2x}}{2}{|}_0^2-\frac{1}{2}{\int }_0^2{e}^{2x}dx=e^4-\frac{e^4-1}{4}=\frac{3e^4+1}{4}$.

7. $-x^2\cos x{|}_{\pi /6}^{\pi /2}+2{\int }_{\pi /6}^{\pi /2}x\cos xdx=\frac{{\pi }^2\sqrt{3}}{72}+2\left(\frac{5\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{{\pi }^2\sqrt{3}}{72}+\frac{5\pi }{6}-\sqrt{3}\approx 1,1234$.

8. $(x^2-5x)e^x{|}_0^2-{\int }_0^2(2x-5)e^{x}dx=-6e^2-(7-3e^2)=-3e^2-7\approx -29,1672$, unde ${\int }_0^2(2x-5)e^{x}dx=(2x-5)e^x{|}_0^2-2{\int }_0^2{e}^{x}dx=(5-e^2)-2(e^2-1)=7-3e^2$. Primitiva este $(x^2-7x+7)e^x$.

9. Cu $g(x)=-e^{-x}$ la amândouă etajele: ${\int }_1^{2}x{e}^{-x}dx=-x{e}^{-x}{|}_1^2+{\int }_1^2{e}^{-x}dx=\frac{2}{e}-\frac{3}{e^2}$, iar ${\int }_1^2{x}^2{e}^{-x}dx=-x^2{e}^{-x}{|}_1^2+2\left(\frac{2}{e}-\frac{3}{e^2}\right)=\frac{5}{e}-\frac{10}{e^2}\approx 0,4860$. Proba: $(-(x^2+2x+2)e^{-x}{)}^{\prime }=-(2x+2)e^{-x}+(x^2+2x+2)e^{-x}=x^2{e}^{-x}$, iar $-(x^2+2x+2)e^{-x}{|}_1^2=\frac{5}{e}-\frac{10}{e^2}$, aceeași valoare.

10. $(x^2+4x)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+4)e^{x}dx=5e-((2x+4)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx)=5e-(6e-4-2e+2)=e+2\approx 4,7183$.

11. $(x^2-4x)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x-4)e^{x}dx=-3e-((2x-4)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx)=-3e-(-2e+4-2e+2)=e-6\approx -3,2817$.

12. Cantitatea este ${\int }_0^2{t}^2{e}^{-t/2}dt$. Cu $g(t)=-2e^{-t/2}$: $-2t^2{e}^{-t/2}{|}_0^2+4{\int }_0^{2}t{e}^{-t/2}dt=-\frac{8}{e}+4\left(4-\frac{8}{e}\right)=16-\frac{40}{e}\approx 1,2848$ miligrame, unde ${\int }_0^{2}t{e}^{-t/2}dt=-2t{e}^{-t/2}{|}_0^2+2{\int }_0^2{e}^{-t/2}dt=-\frac{4}{e}+\left(4-\frac{4}{e}\right)=4-\frac{8}{e}$. Rata este maximă acolo unde derivata ei se anulează: $r^{\prime }(t)=t{e}^{-t/2}\left(2-\frac{t}{2}\right)$ se anulează în $t=4$, în afara intervalului, deci pe $[0,2]$ rata crește tot timpul, iar maximul se atinge în capătul $t=2$, cu $r(2)=\frac{4}{e}\approx 1,47$ miligrame pe oră.

13. $-x^2\cos x{|}_{\pi /4}^{\pi /2}+2{\int }_{\pi /4}^{\pi /2}x\cos xdx=\frac{{\pi }^2\sqrt{2}}{32}+2\left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi \sqrt{2}}{8}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, adică $\frac{{\pi }^2\sqrt{2}}{32}+\pi -\frac{\pi \sqrt{2}}{4}-\sqrt{2}\approx 1,0528$.

14. $(x^2+mx)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+m)e^{x}dx=(1+m)e-((2+m)e-m-2(e-1))=e+m-2$. Din $e+m-2=e-5$ rezultă $m=-3$, deci integrandul este $(x^2-3x)e^x$.

15. $-\frac{x^2{e}^{-2x}}{2}{|}_0^2+{\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx=-\frac{2}{e^4}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4e^4}=\frac{1}{4}-\frac{13}{4e^4}\approx 0,1905$, unde ${\int }_0^{2}x{e}^{-2x}dx=-\frac{x{e}^{-2x}}{2}{|}_0^2+\frac{1}{2}{\int }_0^2{e}^{-2x}dx=\frac{1}{4}-\frac{5}{4e^4}$.

16. Se ia drept factor de derivat $x$ și drept factor de integrat chiar $f^{\prime \prime }$, care are primitiva $f^{\prime }$: ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime \prime }(x)dx=x{f}^{\prime }(x){|}_0^2-{\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx$. Primul termen este $2\cdot 4-0\cdot 0=8$, iar a doua integrală se calculează cu formula Leibniz-Newton, fiindcă $f$ este o primitivă a lui $f^{\prime }$: $f(2)-f(0)=2$. Rezultatul este $8-2=6$.

17. $-(x^2+2x)e^{-x}{|}_0^2+{\int }_0^2(2x+2)e^{-x}dx=-\frac{8}{e^2}+\left(4-\frac{8}{e^2}\right)=4-\frac{16}{e^2}\approx 1,8346$, unde ${\int }_0^2(2x+2)e^{-x}dx=-(2x+2)e^{-x}{|}_0^2+2{\int }_0^2{e}^{-x}dx=4-\frac{8}{e^2}$. Primitiva completă este $-(x+2{)}^2{e}^{-x}$.

18. Etajul întâi dă $(x^2+bx+c)e^x{|}_0^1-{\int }_0^1(2x+b)e^{x}dx=(1+b+c)e-c-{\int }_0^1(2x+b)e^{x}dx$, iar etajul al doilea dă $(2x+b)e^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx=(2+b)e-b-2(e-1)=be-b+2$. Scăzând, rămâne $(c+1)e+b-c-2$. Verificare pe cazurile deja calculate: pentru $b=2$, $c=0$ iese $e$ (Exemplul 2); pentru $b=-2$, $c=0$ iese $e-4$ (Exemplul 6); pentru $b=1$, $c=3$ iese $4e-4$ (exercițiul 3); pentru $b=4$, $c=0$ iese $e+2$ (exercițiul 10).

De reținut

• Numărul de aplicări ale formulei este egal cu gradul polinomului: gradul al doilea cere exact două, oricâți termeni ar avea polinomul.
• Ce rămâne după primul etaj este o integrală de tipul lecției precedente, cu polinomul coborât cu un grad — de aceea calculul se închide.
• Repartiția rolurilor se stabilește o singură dată și se păstrează: dacă la al doilea etaj o schimbi, reapare integrala inițială și nu ai aflat nimic.
• Termenul din capete se transformă în număr la fiecare etaj, nu la sfârșit; altfel, la compunere, semnele devin imposibil de urmărit.
• Primitiva care iese din calcul are formă previzibilă — $(\alpha x^2+\beta x+\gamma )e^{kx}$ la familia exponențială, trei termeni la cea trigonometrică — și se verifică derivând-o.

Greșeli frecvente

• Se numără pașii după termenii polinomului. Un polinom cu trei termeni și gradul al doilea cere tot două aplicări; unul cu un singur termen, $x^2$, cere tot două. Numără gradul, nu termenii, altfel fie te oprești prea devreme, fie mai faci un pas inutil.
• Al doilea etaj se aplică integralei inițiale, nu celei rămase. După primul pas, formula se aplică numai integralei noi, cea cu polinomul de gradul întâi. Cine reia calculul de la început obține o identitate adevărată și nefolositoare.
• Se uită factorul numeric ieșit din derivare. Din $(x^2{)}^{\prime }=2x$ iese un $2$ care înmulțește toată integrala rămasă, nu doar un termen al ei; la compunere el trebuie să apară în fața întregii valori calculate la etajul al doilea.
• Calculul se oprește după primul etaj. Un răspuns în care mai apare o integrală nerezolvată nu este un răspuns: integrala definită cerută este un număr, iar drumul până la el are două trepte, nu una.
• La al doilea etaj se ia din nou $f(x)=x^2$. Se copiază mecanic primul rând, fără să se observe că integrandul s-a schimbat: acum polinomul este cel obținut prin derivare, iar el este cel care se derivează mai departe.

Aplică acasă

1. Scara pe o pagină. Ia trei integrale de tipul ${\int }_a^b{x}^2{e}^{kx}dx$ cu $k$ ales de tine și scrie fiecare rezolvare pe trei rânduri, unul pentru fiecare treaptă: termenul din capete de la primul etaj, termenul din capete de la al doilea, integrala din tabel. Compară apoi cele trei fișe: vei vedea că structura e identică și că se schimbă doar numerele.

2. Ghicește primitiva, apoi verifică. Pentru cinci integrande de forma $(x^2+bx+c)e^x$, scrie direct forma primitivei, $(x^2+\beta x+\gamma )e^x$, derivează-o și determină $\beta$ și $\gamma$ prin identificare. Compară timpul cu cel al calculului în două etaje și notează care metodă ți se potrivește mai bine la lucrare.

3. Un proces cu vârf, din manualul tău. Caută în manualul de chimie sau de biologie un proces a cărui viteză pornește de la zero, crește și apoi scade — o reacție care se autoaccelerează, o creștere care se saturează. Scrie viteza sub forma $t^2{e}^{-kt}$, alege un $k$ potrivit, calculează cantitatea totală pe un interval și verifică dacă unitatea de măsură a rezultatului este cea așteptată.

Pentru părinți și profesori

Lecția nu aduce o formulă nouă, ci un algoritm: aceeași formulă, aplicată de două ori, cu contabilitate strictă a semnelor. Ce verifică, măsurabil: (1) numărarea corectă a pașilor, după gradul polinomului; (2) conducerea calculului pe două etaje, cu evaluarea termenului din capete la fiecare; (3) păstrarea repartiției rolurilor; (4) semnele la familia trigonometrică; (5) scrierea primitivei complete și proba prin derivare.

Dificultatea nu este matematică, ci de organizare. Elevul care scrie totul într-un singur șir lung pierde un semn în patru rânduri din cinci; cel care desparte calculul pe etaje, cu rezultate numerice intermediare, îl duce la capăt. De aceea merită impus, ca regulă de caiet, un rând gol între etaje și scrierea valorii numerice a fiecărui termen din capete înainte de a trece mai departe.

Întrebări bune de control: „Câți pași are calculul și de unde știi înainte să începi?", „Ce ai derivat la al doilea pas și de ce nu altceva?", „Cât face termenul din capete la fiecare etaj?", „Cum arată primitiva completă?". Semn că a înțeles: anunță numărul de pași înainte de a scrie primul rând și, la final, derivează primitiva fără să i se ceară.

O observație pentru planificarea orei: exercițiile din familia exponențială și cele din familia trigonometrică cer același număr de pași, dar timpi foarte diferiți. La exponențială, semnele vin toate din același loc și calculul curge; la sinus și cosinus, fiecare etaj aduce încă un semn de urmărit, iar valorile trigonometrice din capete trebuie citite corect. Dacă ora e scurtă, merită acoperită întâi familia exponențială, cu două exerciții duse la capăt, și lăsată cea trigonometrică pentru acasă, cu indicația explicită de a scrie primitiva $g$ pe un rând separat, înainte de formulă.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, unitatea XII.4. Integrala definită, la conținutul „Metode de calcul al integralelor definite: integrarea prin schimbare de variabilă, integrarea prin părți". Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde același rând de conținut apare în programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Integrala definită". Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce se face în plus la mate-info față de M2 la aplicarea repetată?

La mate-info (M1) aceleași produse se studiază pentru un exponent natural oarecare, cu relații de recurență între integrale, și se adaugă produsele dintre o exponențială și o funcție trigonometrică, unde calculul se întoarce și se rezolvă ca o ecuație. Programa de la științe ale naturii nu conține niciuna dintre aceste două teme: vezi versiunea pentru mate-info (M1).

La ce subiect apare la Bacalaureatul M2 o integrală cu două aplicări?

La Subiectul al III-lea, singurul care conține cerințe de analiză matematică. În modelul oficial publicat pentru proba actuală de la științe ale naturii, Subiectul al III-lea are două probleme cu câte trei cerințe de cinci puncte, a doua fiind despre integrale; în acel model nu apare o integrală rezolvată prin părți, iar cerințele se rezolvă altfel.

Pot sări peste calculul în două etaje dacă ghicesc primitiva?

Da, dacă scrii clar de ce funcția ghicită este o primitivă — adică o derivezi și obții exact integrandul. Forma se ghicește ușor la familia exponențială, unde primitiva este tot un polinom de gradul al doilea înmulțit cu aceeași exponențială. Cerința „arată că $F$ este o primitivă" chiar asta cere, iar apoi formula Leibniz-Newton încheie calculul.

Rezultatul are întotdeauna trei termeni?

Primitiva are cel mult trei: fiecare treaptă a scării lasă în urmă un termen, iar ultima mai adaugă unul, dar uneori unul dintre coeficienți iese zero, iar primitiva se strânge la doi termeni sau chiar la unul singur. Valoarea integralei, în schimb, poate arăta oricum după reduceri — uneori iese chiar un singur număr simplu, fiindcă termenii se anulează între ei în capete. Nu te alarma dacă rezultatul e mai scurt decât calculul.

Cum verific un rezultat în care apar $\pi$ sau $e$?

Îl aproximezi și îl compari cu o încadrare grosieră a integralei. Dacă integrandul ia pe interval valori între $m$ și $M$, rezultatul trebuie să fie între $m(b-a)$ și $M(b-a)$. Este un control de zece secunde care prinde aproape orice semn pierdut, iar la o valoare cu ${\pi }^2$ în ea prinde și greșelile de ordin de mărime.

Cum îmi dau seama, la al doilea etaj, că am păstrat repartiția bună?

Te uiți la gradul polinomului din integrala pe care tocmai ai obținut-o. Dacă a coborât cu un grad față de etajul dinainte, repartiția e cea bună și mai ai un singur pas de făcut; dacă a urcat, ai integrat polinomul în loc să-l derivezi. Controlul se face pe grad, dintr-o privire, fără să reiei calculul — e chiar controlul învățat la o singură aplicare, când comparai integrala rămasă cu cea inițială.

Ce fac dacă polinomul are gradul al treilea?

Aplici formula de trei ori, cu aceeași repartiție a rolurilor la fiecare pas; mecanismul e identic, doar mai lung. La profilul științe ale naturii nu se cer astfel de calcule — programa se oprește la cazurile din lecția aceasta —, dar dacă întâlnești unul într-o culegere, regula „numărul de pași este gradul polinomului" îți spune dinainte că sunt trei.