Interpretarea geometrică a operațiilor și a modulului

O dronă pornește de la locul de decolare, zboară $5$ km spre est și $2$ km spre nord, apoi continuă $1$ km est și $4$ km nord. Unde a ajuns? Nimeni nu adună aici distanțe: se adună deplasările, componentă cu componentă, iar rezultatul este o singură deplasare echivalentă, de $6$ km est și $6$ km nord. Notând etapele cu $z_1=5+2i$ și $z_2=1+4i$, suma $z_1+z_2=6+6i$ descrie exact traseul „scurtătură". Adunarea numerelor complexe este compunerea deplasărilor.

A doua întrebare a operatorului este la fel de practică: cât de departe sunt cele două drone una de alta, dacă una e la $2+3i$ și cealaltă la $-1-i$? Răspunsul, pe care îl vom demonstra în lecția de față, este surprinzător de simplu: $|z_1-z_2|$. Din această singură formulă se nasc apoi toate mulțimile de puncte pe care le vei întâlni la examen — cercuri, discuri, mediatoare — scrise nu cu ecuații carteziene, ci cu module. Lecția aceasta este cea care face capitolul viu: după ea, orice condiție cu module poate fi „văzută".

Ce vei învăța

• Vei ști să interpretezi adunarea a două numere complexe prin regula paralelogramului și scăderea prin vectorul care unește două puncte.
• Vei ști să demonstrezi și să folosești faptul că $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile geometrice ale celor două numere.
• Vei ști să enunți și să justifici geometric inegalitatea triunghiului, $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$, și să recunoști cazul de egalitate.
• Vei ști că $|z-z_0|=r$ descrie un cerc de centru $M_0(z_0)$ și rază $r$, iar $|z-z_0|\le r$ un disc.
• Vei ști că $|z-a|=|z-b|$ descrie mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$, și vei ști să-i scrii ecuația.
• Vei ști să determini valorile extreme ale unui modul folosind interpretarea prin distanțe.

Hai să descoperim împreună

1. Adunarea: regula paralelogramului

Fie $z_1=a+bi$ și $z_2=c+di$, cu imaginile geometrice $A(a,b)$ și $B(c,d)$ — în sensul definit în lecția Planul complex. Imaginea geometrică și afixul. Suma lor este $z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i$, cu imaginea $C(a+c,b+d)$.

Teoremă. Dacă $z_1$ și $z_2$ sunt nenule și imaginile lor nu sunt coliniare cu originea, atunci $OACB$ este un paralelogram.

Demonstrație. Folosim criteriul cunoscut din gimnaziu: un patrulater este paralelogram dacă diagonalele au același mijloc. Diagonala $OC$ are mijlocul $\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$, iar diagonala $AB$ are mijlocul $\left(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2}\right)$ — același punct. $■$

Exemplu. Pentru $z_1=5+2i$ și $z_2=1+4i$ obținem $z_1+z_2=6+6i$, cu punctele $O(0,0)$, $A(5,2)$, $B(1,4)$, $C(6,6)$; ambele diagonale au mijlocul $(3,3)$ ✓. În limbaj de vectori: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ — chiar regula paralelogramului din fizică, pentru compunerea forțelor sau a vitezelor.

Există și o variantă „în lanț", numită regula triunghiului: pornești din $O$, mergi pe deplasarea $z_1$ până în $A$, apoi din $A$ pe o deplasare egală cu $z_2$ și ajungi în $C$ — exact traseul dronei din deschiderea lecției.

2. Scăderea și distanța — rezultatul central al lecției

Trecem la scădere. Fie $z_1=x_1+y_{1}i$ și $z_2=x_2+y_{2}i$, cu imaginile $A(x_1,y_1)$ și $B(x_2,y_2)$. Atunci

$$z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i,$$

iar modulul acestei diferențe este

$$|z_1-z_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}.$$

Recunoști expresia? Este formula distanței dintre $A$ și $B$, dedusă din teorema lui Pitagora — aceeași folosită la Modulul unui număr complex pentru distanța până la origine. Am demonstrat deci:

$$\boxed{|z_1-z_2|=AB}$$

Modulul diferenței a două numere complexe este distanța dintre imaginile lor geometrice.

Cazul particular $z_2=0$ redă ceea ce știam deja: $|z_1|=OA$. Ideea e aceeași ca la funcția modul: pe o dreaptă, $|a-b|$ măsura distanța dintre două numere reale; în plan, rolul modulului e identic.

Exemple. Pentru $z_1=2+3i$ și $z_2=-1-i$: $z_1-z_2=3+4i$, deci $AB=|3+4i|=5$. Pentru $z_1=7+9i$ și $z_2=2-3i$: diferența este $5+12i$, deci $AB=13$.

Atenție la o capcană de construcție: ca distanța să iasă un număr întreg, diferența trebuie să aibă componente pitagoreice, nu fiecare număr în parte. Numerele $3+4i$ și $5+12i$ au module frumoase ($5$ și $13$), dar distanța dintre imaginile lor este $|-2-8i|=\sqrt{68}$, deloc frumoasă.

Geometric, diferența $z_1-z_2$ este vectorul $\overrightarrow{BA}$, adică „săgeata de la $B$ la $A$", mutată cu originea în $O$. Ordinea contează la vector, dar nu și la distanță: $|z_1-z_2|=|z_2-z_1|$, pentru că $|-w|=|w|$.

3. Inegalitatea triunghiului

Acum putem justifica numele pe care l-am anunțat în lecția Modulul unui număr complex.

Teoremă (inegalitatea triunghiului). Pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$,

$$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.$$

Justificare geometrică. Fie $A$ imaginea lui $z_1$ și $C$ imaginea lui $z_1+z_2$. Din regula triunghiului, $AC=|z_2|$, iar $OA=|z_1|$ și $OC=|z_1+z_2|$. În triunghiul $OAC$, o latură este mai mică decât suma celorlalte două:

$$OC\le OA+AC,\text{adica˘}|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|.■$$

Egalitatea are loc exact când triunghiul „se turtește", adică atunci când $O$, $A$, $C$ sunt coliniare, cu $A$ între $O$ și $C$ — adică atunci când $z_1$ și $z_2$ au aceeași direcție și același sens. Formal: când unul dintre numere este un multiplu real nenegativ al celuilalt.

Exemple. $z_1=1$ și $z_2=i$ dau $|z_1+z_2|=\sqrt{2}\approx 1,41<2$: inegalitate strictă. În schimb $z_1=3+4i$ și $z_2=6+8i=2z_1$ dau $|z_1+z_2|=|9+12i|=15=5+10$: egalitate.

Din inegalitatea triunghiului se obține și varianta „de jos", foarte utilă la probleme cu valori extreme:

$$||z_1|-|z_2||\le |z_1-z_2|.$$

4. Cercul: $|z-z_0|=r$

Iată prima mulțime importantă. Fie $z_0$ un număr complex fixat, cu imaginea $M_0$, și $r>0$.

Propoziție. Mulțimea $\{z\in \mathbb{C}\mid |z-z_0|=r\}$ are drept imagini geometrice punctele cercului de centru $M_0$ și rază $r$.

Demonstrație. Din secțiunea 2, $|z-z_0|$ este distanța de la imaginea $M$ a lui $z$ la $M_0$. Condiția $|z-z_0|=r$ spune deci exact că $M{M}_0=r$, adică $M$ se află pe cercul de centru $M_0$ și rază $r$ — definiția cercului. $■$

Exemplu. Condiția $|z-(1+2i)|=5$ descrie cercul de centru $M_0(1,2)$ și rază $5$. Trecând la coordonate cu $z=x+yi$:

$$|(x-1)+(y-2)i|=5⟺(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25,$$

adică ecuația carteziană a aceluiași cerc. Pe el se află, de exemplu, punctele de coordonate întregi $(4,6)$, $(6,2)$, $(-2,-2)$, $(5,5)$, $(1,7)$, $(-4,2)$ și $(1,-3)$ — verifică oricare: $(4-1{)}^2+(6-2{)}^2=9+16=25$ ✓.

Variante pe care trebuie să le recunoști imediat:

• $|z-z_0|\le r$ — discul închis (cercul plus interiorul);
• $|z-z_0|<r$ — interiorul cercului, fără frontieră;
• $|z-z_0|>r$ — exteriorul;
• $|z|=r$ — caz particular cu $z_0=0$: cerc centrat în origine.

Un detaliu de scriere care încurcă mulți elevi: condiția $|z+3-i|=4$ nu are centrul în $(3,-1)$. Rescrie-o mai întâi sub forma standard „$z$ minus ceva": $|z-(-3+i)|=4$, deci centrul este $(-3,1)$ și raza $4$.

5. Mediatoarea: $|z-a|=|z-b|$

A doua mulțime importantă vine din aceeași idee de distanță.

Propoziție. Fie $a,b\in \mathbb{C}$ distincte, cu imaginile $A$ și $B$. Mulțimea $\{z\in \mathbb{C}\mid |z-a|=|z-b|\}$ are drept imagini punctele mediatoarei segmentului $AB$.

Demonstrație. Condiția $|z-a|=|z-b|$ înseamnă $MA=MB$, adică punctul $M$ este egal depărtat de $A$ și de $B$. Mulțimea acestor puncte este, prin definiție (și prin teorema mediatoarei din gimnaziu), mediatoarea segmentului $AB$: perpendiculara dusă prin mijlocul lui $AB$. $■$

Exemplu. Determină mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z+1|=|z-(3+4i)|$.

Rescriem prima condiție ca $|z-(-1)|$, deci $A(-1,0)$ și $B(3,4)$: mulțimea este mediatoarea lui $AB$. Ca să-i găsim ecuația, notăm $z=x+yi$ și ridicăm la pătrat (permis, ambii membri fiind nenegativi):

$$(x+1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2+(y-4{)}^2.$$

Desfacem: $x^2+2x+1+y^2=x^2-6x+9+y^2-8y+16$. Termenii de gradul al doilea se reduc — întotdeauna se reduc, de aceea rezultatul e o dreaptă — și rămâne $2x+1=-6x-8y+25$, adică

$$8x+8y=24⟺x+y=3.$$

Două verificări obligatorii. Mijlocul lui $AB$ este $(1,2)$, iar $1+2=3$ ✓. Apoi luăm un al doilea punct al dreptei, de exemplu $(0,3)$: distanța până la $A(-1,0)$ este $|1+3i|=\sqrt{10}$, iar până la $B(3,4)$ este $|-3-i|=\sqrt{10}$ ✓.

Un caz special de reținut: $|z-2|=|z+2|$ dă mediatoarea segmentului cu capetele $(2,0)$ și $(-2,0)$, adică axa imaginară ($x=0$).

6. Metoda generală și extremele modulului

Ai văzut deja tiparul; îl scriem ca rețetă, pentru orice condiție cu module: recunoști distanțele ($|z-z_0|$ este distanța de la $M$ la $M_0$), traduci condiția într-o proprietate geometrică, numești figura, scrii ecuația notând $z=x+yi$ și ridicând la pătrat, apoi verifici.

Aceeași interpretare rezolvă și problemele de tip „între ce limite variază". Exemplu: dacă $|z|=3$, între ce valori variază $|z+4|$?

Condiția $|z|=3$ spune că $M$ e pe cercul de centru $O$ și rază $3$, iar $|z+4|=|z-(-4)|$ este distanța de la $M$ la punctul $P(-4,0)$. Cum $OP=4>3$, punctul $P$ e în exteriorul cercului, deci distanța de la el la un punct al cercului variază între $4-3=1$ și $4+3=7$:

$$1\le |z+4|\le 7.$$

Ambele extreme se ating: pentru $z=-3$ obținem $1$, pentru $z=3$ obținem $7$. ✓ Rezultatul se poate obține și algebric, din cele două inegalități ale triunghiului, dar desenul îl dă instantaneu.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Paralelogramul sumei

Fie $z_1=5+2i$ și $z_2=1+4i$. Calculați $z_1+z_2$ și arătați că $OACB$ este paralelogram, unde $A$, $B$, $C$ sunt imaginile lui $z_1$, $z_2$ și $z_1+z_2$.

Rezolvare. $z_1+z_2=6+6i$, deci $A(5,2)$, $B(1,4)$, $C(6,6)$. Mijlocul diagonalei $OC$ este $(3,3)$, iar mijlocul diagonalei $AB$ este $\left(\frac{5+1}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(3,3)$: diagonalele au același mijloc, deci $OACB$ este paralelogram. $■$

Control suplimentar: $OA=|z_1|=\sqrt{29}$ și $BC=|(z_1+z_2)-z_2|=\sqrt{29}$ — laturi opuse egale.

Exemplul 2 — Distanțe

Calculați distanța dintre imaginile geometrice ale numerelor: a) $2+3i$ și $-1-i$; b) $7+9i$ și $2-3i$; c) $3+4i$ și $-5+10i$.

Rezolvare. Folosim $AB=|z_1-z_2|$.

a) $(2+3i)-(-1-i)=3+4i$, deci $AB=5$.

b) $(7+9i)-(2-3i)=5+12i$, deci $AB=13$.

c) $(3+4i)-(-5+10i)=8-6i$, deci $AB=\sqrt{64+36}=10$.

Exemplul 3 — Un cerc și punctele lui întregi

Determinați centrul și raza mulțimii $\{z\in \mathbb{C}\mid |z-(1+2i)|=5\}$, scrieți ecuația ei carteziană și dați patru puncte cu coordonate întregi care îi aparțin.

Rezolvare. Este cercul de centru $M_0(1,2)$ și rază $5$, cu ecuația $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Patru puncte cu coordonate întregi: $(4,6)$, $(6,2)$, $(-2,-2)$ și $(1,7)$; verificare pentru primul: $9+16=25$ ✓, pentru al treilea: $(-3{)}^2+(-4{)}^2=25$ ✓.

Observație: punctele se obțin adunând la centru numerele de modul $5$ cu părți întregi, adică $\pm 5$, $\pm 5i$, $\pm 3\pm 4i$, $\pm 4\pm 3i$ — în total douăsprezece puncte întregi pe acest cerc.

Exemplul 4 — O mediatoare, cu ecuație

Determinați mulțimea punctelor $M(z)$ din plan pentru care $|z-(1+2i)|=|z-(5+4i)|$ și scrieți ecuația ei.

Rezolvare. Condiția spune că $M$ este egal depărtat de $A(1,2)$ și $B(5,4)$, deci mulțimea este mediatoarea segmentului $AB$. Cu $z=x+yi$ și ridicare la pătrat:

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2.$$

Termenii $x^2$ și $y^2$ se reduc și rămâne $-2x+1-4y+4=-10x+25-8y+16$, adică $8x+4y=36$, deci $2x+y=9$.

Verificări: mijlocul $(3,3)$ dă $2\cdot 3+3=9$ ✓; iar punctul $(4,1)$, care verifică ecuația, e la distanța $|3-i|=\sqrt{10}$ de $A(1,2)$ și la $|-1-3i|=\sqrt{10}$ de $B(5,4)$ ✓.

Exemplul 5 — Valori extreme cu ajutorul desenului

Se știe că $|z-1|=2$. Între ce limite variază $|z|$?

Rezolvare. Condiția spune că imaginea $M$ a lui $z$ se află pe cercul de centru $P(1,0)$ și rază $2$. Mărimea $|z|$ este distanța de la $M$ la origine.

Distanța de la $O$ la centrul $P$ este $1<2$, deci originea se află în interiorul cercului. Distanța de la un punct interior la punctele cercului variază între $2-1=1$ și $2+1=3$, deci

$$1\le |z|\le 3.$$

Verificare: pentru $z=3$ avem $|z-1|=2$ ✓ și $|z|=3$; pentru $z=-1$ avem $|z-1|=2$ ✓ și $|z|=1$. Ambele extreme se ating.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M1

În planul complex se consideră punctele $A$ și $B$ de afixe $z_A=2+3i$ și $z_B=-1-i$.

a) Calculați lungimea segmentului $AB$.

b) Determinați mulțimea punctelor $M(z)$ pentru care $|z-z_A|=5$.

c) Determinați mulțimea punctelor $M(z)$ pentru care $|z-z_A|=|z-z_B|$ și scrieți ecuația ei.

Rezolvare. a) $z_A-z_B=(2+3i)-(-1-i)=3+4i$, deci $AB=|3+4i|=\sqrt{9+16}=5$.

b) Este cercul de centru $A(2,3)$ și rază $5$, adică $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=25$.

c) Condiția $MA=MB$ descrie mediatoarea segmentului $AB$. Cu $z=x+yi$:

$$(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=(x+1{)}^2+(y+1{)}^2.$$

Desfacem: $-4x+4-6y+9=2x+1+2y+1$, deci $-6x-8y+11=0$, adică

$$6x+8y=11.$$

Verificări: mijlocul $\left(\frac{1}{2},1\right)$ dă $3+8=11$ ✓; iar punctul $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ se află la distanțe egale de $A$ și $B$, ambele cu pătratul $\frac{50}{4}$ ✓.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu desen la exercițiile care cer o mulțime de puncte. La mediatoare, verifică întotdeauna ecuația găsită cu mijlocul segmentului și cu încă un punct, calculând distanțele.

1. Pentru $z_1=5+2i$ și $z_2=1+4i$, calculează $z_1+z_2$, reprezintă punctele $O$, $A(z_1)$, $B(z_2)$, $C(z_1+z_2)$ și arată că $OACB$ este paralelogram.

2. Calculează distanța dintre imaginile numerelor $2+3i$ și $-1-i$.

3. Calculează distanța dintre imaginile numerelor $7+9i$ și $2-3i$.

4. Calculează distanța dintre imaginile numerelor $1+i$ și $4+5i$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$, numărul $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile lor geometrice."

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Pentru orice $z_1,z_2\in \mathbb{C}$ are loc $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$."

7. Determină centrul și raza mulțimii descrise de $|z-(1+2i)|=5$ și dă patru puncte cu coordonate întregi ale ei.

8. Scrie ecuația carteziană a mulțimii $|z+3-i|=4$ și precizează centrul și raza.

9. Descrie geometric mulțimea $|z-2i|\le 3$.

10. Determină mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z+1|=|z-(3+4i)|$ și scrie ecuația ei.

11. Determină mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z-(1+2i)|=|z-(5+4i)|$ și scrie ecuația ei.

12. Determină mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z-2|=|z+2|$ și recunoaște figura obținută.

13. (Problemă aplicată.) Două antene sunt amplasate în punctele de afixe $3+4i$ și $-5+10i$ (coordonatele în kilometri). a) Calculează distanța dintre antene. b) Determină mulțimea punctelor din care cele două antene se „văd" la distanțe egale și scrie ecuația acestei mulțimi.

14. Se știe că $|z|=3$. Între ce limite variază $|z+4|$? Precizează pentru ce valori ale lui $z$ se ating extremele.

15. Se știe că $|z-1|=2$. Între ce limite variază $|z|$?

16. Arată că, pentru $z_1=3+4i$ și $z_2=6+8i$, inegalitatea triunghiului devine egalitate, și explică de ce.

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M1.) Se consideră punctele $A$ și $B$ de afixe $2+3i$ și $-1-i$. a) Calculați $AB$. b) Determinați mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z-(2+3i)|=5$. c) Determinați mulțimea punctelor $M(z)$ cu $|z-(2+3i)|=|z-(-1-i)|$ și scrieți ecuația ei.

18. (Provocare.) Determină mulțimea punctelor $M(z)$ din plan pentru care $|z-1|=2|z+1|$. Recunoaște figura și precizează centrul și raza.

Răspunsuri și explicații

1. $z_1+z_2=6+6i$, deci $A(5,2)$, $B(1,4)$, $C(6,6)$. Mijlocul lui $OC$ este $(3,3)$, mijlocul lui $AB$ este $\left(\frac{5+1}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(3,3)$: diagonalele au același mijloc, deci $OACB$ e paralelogram.

2. $(2+3i)-(-1-i)=3+4i$, deci distanța este $|3+4i|=5$.

3. $(7+9i)-(2-3i)=5+12i$, deci distanța este $13$.

4. $(1+i)-(4+5i)=-3-4i$, deci distanța este $|-3-4i|=5$. (Ordinea scăderii nu contează: $|z_1-z_2|=|z_2-z_1|$.)

5. Adevărat. $z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$, iar modulul lui este $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ — formula distanței dintre $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$.

6. Fals. Are loc doar $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$. Contraexemplu: $z_1=1$, $z_2=i$ dau $|1+i|=\sqrt{2}<2$. Egalitatea apare doar când numerele „au aceeași direcție și același sens".

7. Cercul de centru $(1,2)$ și rază $5$, cu ecuația $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=25$. Patru puncte întregi: $(4,6)$, $(6,2)$, $(-2,-2)$, $(1,7)$.

8. Rescriem: $|z-(-3+i)|=4$, deci centrul este $(-3,1)$ și raza $4$; ecuația este $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=16$. Verificare: punctul $(1,1)$ e pe cerc, pentru că $16+0=16$.

9. $|z-2i|\le 3$ înseamnă că distanța de la $M$ la punctul $(0,2)$ este cel mult $3$: discul închis de centru $(0,2)$ și rază $3$ (cercul împreună cu interiorul lui).

10. Mediatoarea segmentului determinat de $A(-1,0)$ și $B(3,4)$. Din $(x+1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2+(y-4{)}^2$ obținem $8x+8y=24$, deci $x+y=3$. Verificare: mijlocul $(1,2)$ verifică ecuația, iar punctul $(0,3)$ se află la distanța $\sqrt{10}$ de fiecare capăt.

11. Mediatoarea segmentului $AB$ cu $A(1,2)$, $B(5,4)$. Din $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2$ rezultă $8x+4y=36$, adică $2x+y=9$. Verificare: mijlocul $(3,3)$ ✓; punctul $(4,1)$ e la distanța $\sqrt{10}$ de ambele capete ✓.

12. Mediatoarea segmentului cu capetele $(2,0)$ și $(-2,0)$: din $(x-2{)}^2+y^2=(x+2{)}^2+y^2$ rezultă $x=0$, deci figura este axa imaginară.

13. a) $(3+4i)-(-5+10i)=8-6i$, deci distanța este $\sqrt{64+36}=10$ km. b) Mediatoarea segmentului cu $A(3,4)$ și $B(-5,10)$: din $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=(x+5{)}^2+(y-10{)}^2$ obținem $-16x+12y-100=0$, adică $4x-3y+25=0$. Verificare: mijlocul $(-1,7)$ dă $-4-21+25=0$ ✓; punctul $(2,11)$ e la distanța $\sqrt{50}$ de ambele antene ✓.

14. $M$ e pe cercul de centru $O$ și rază $3$, iar $|z+4|$ este distanța de la $M$ la $P(-4,0)$. Cum $OP=4>3$, punctul $P$ e în exterior, deci $1\le |z+4|\le 7$. Minimul se atinge pentru $z=-3$, maximul pentru $z=3$.

15. $M$ e pe cercul de centru $(1,0)$ și rază $2$, iar $|z|$ este distanța de la $M$ la origine. Cum $O$ e în interiorul cercului (distanța $1<2$), avem $1\le |z|\le 3$, cu extremele atinse pentru $z=-1$ și $z=3$.

16. $z_1+z_2=9+12i$, cu $|z_1+z_2|=15$; iar $|z_1|+|z_2|=5+10=15$. Egalitatea apare pentru că $z_2=2z_1$: imaginile și originea sunt coliniare, iar „triunghiul" din inegalitate se turtește într-un segment.

17. a) $z_A-z_B=3+4i$, deci $AB=5$. b) Cercul de centru $A(2,3)$ și rază $5$: $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=25$. c) Mediatoarea lui $AB$: din $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=(x+1{)}^2+(y+1{)}^2$ rezultă $6x+8y=11$. Verificare: mijlocul $\left(\frac{1}{2},1\right)$ dă $3+8=11$ ✓, iar $\left(\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)$ e la distanțe egale de $A$ și $B$ ✓.

18. Notăm $z=x+yi$ și ridicăm la pătrat: $(x-1{)}^2+y^2=4[(x+1{)}^2+y^2]$, adică $x^2-2x+1+y^2=4x^2+8x+4+4y^2$, deci $3x^2+3y^2+10x+3=0$. Formăm pătratul: ${\left(x+\frac{5}{3}\right)}^2+y^2=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$ — un cerc de centru $\left(-\frac{5}{3},0\right)$ și rază $\frac{4}{3}$. Verificare: pentru $z=-3$, $|z-1|=4$ și $2|z+1|=4$ ✓; pentru $z=-\frac{1}{3}$, ambele dau $\frac{4}{3}$ ✓. (Condiția „raportul distanțelor la două puncte fixe e constant" dă mereu un cerc — cercul lui Apollonius — în afară de raportul $1$, care dă mediatoarea.)

De reținut

• Adunarea = regula paralelogramului: dacă $A$, $B$ sunt imaginile lui $z_1$, $z_2$, atunci imaginea sumei este al patrulea vârf $C$ al paralelogramului $OACB$; diagonalele $OC$ și $AB$ au același mijloc.
• $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile lui $z_1$ și $z_2$; cazul particular $z_2=0$ dă $|z|=OM$.
• Inegalitatea triunghiului: $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$, cu egalitate doar când imaginile și originea sunt coliniare, „în același sens".
• $|z-z_0|=r$ este cercul de centru $M_0(z_0)$ și rază $r$; $|z-z_0|\le r$ este discul închis. Adu întotdeauna condiția la forma „$z$ minus ceva" înainte de a citi centrul.
• $|z-a|=|z-b|$ este mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$; ecuația se obține ridicând la pătrat, iar termenii de gradul al doilea se reduc mereu.

Greșeli frecvente

• Citești greșit centrul cercului. În $|z+3-i|=4$ centrul este $(-3,1)$, nu $(3,-1)$: rescrie condiția ca $|z-(-3+i)|$ înainte de a citi.
• Confunzi distanța dintre puncte cu suma modulelor. $AB=|z_1-z_2|$, nu $|z_1|+|z_2|$ și nici $|z_1|-|z_2|$.
• Alegi numere „frumoase" și te aștepți la o distanță frumoasă. Pentru ca $AB$ să fie întreg, diferența trebuie să aibă componente pitagoreice; $3+4i$ și $5+12i$ au module întregi, dar distanța dintre imaginile lor este $\sqrt{68}$.
• La mediatoare, nu verifici nimic. Două controale rapide te scapă de erori: mijlocul segmentului trebuie să verifice ecuația, iar un al doilea punct al dreptei trebuie să fie la distanțe egale de cele două capete.
• Confunzi cercul cu discul. $|z-z_0|=r$ este doar linia cercului; $|z-z_0|\le r$ include și interiorul, iar $|z-z_0|<r$ doar interiorul.

Aplică acasă

1. Traseul dronei. Desenează pe hârtie milimetrică punctul de decolare în origine și marchează două deplasări succesive la alegere, scrise ca numere complexe. Verifică cu rigla că vârful traseului coincide cu imaginea sumei și că „scurtătura" e mai scurtă decât suma celor două etape — inegalitatea triunghiului, măsurată.

2. Cercul cu punctele lui întregi. Desenează cercul $|z-(2+i)|=5$ și găsește pe el toate punctele cu coordonate întregi. Indiciu: adaugă la centru cele douăsprezece numere de modul $5$ cu părți întregi.

3. Mediatoarea din curte. Alege două repere fixe și, cu un metru, găsește trei puncte egal depărtate de ele. Verifică apoi că par coliniare și că dreapta lor taie la mijloc segmentul dintre repere — mediatoarea, măsurată în lumea reală.

Pentru părinți și profesori

Aceasta este lecția care leagă tot capitolul de numere complexe de geometrie. Rezultatul central — $|z_1-z_2|$ este distanța dintre imaginile geometrice — se demonstrează în două rânduri, dar deschide toată familia de probleme cu mulțimi de puncte: cercuri, discuri, coroane, mediatoare. Elevul trebuie să iasă din lecție cu reflexul de a traduce: orice modul care apare într-un enunț este o distanță, iar orice condiție cu module descrie o figură.

Ce verifică lecția: regula paralelogramului cu criteriul mijlocului diagonalelor, calculul distanțelor cu $|z_1-z_2|$, recunoașterea centrului și a razei dintr-o condiție $|z-z_0|=r$, obținerea ecuației mediatoarei prin ridicare la pătrat și cele două verificări (mijlocul și perpendicularitatea). Întrebări bune de control: „Ce figură descrie $|z-2i|=3$?"; „De ce dispar termenii de gradul al doilea la mediatoare?"; „Cum afli distanța dintre imaginile a două numere?". Semne că a înțeles: desenează înainte de a calcula.

La Bacalaureat M1, subiectele de acest tip apar în două forme: distanțe și naturi de triunghiuri în planul complex (subiectul I) sau determinarea unei mulțimi de puncte dintr-o condiție cu module (subiectul II). Baremul punctează separat identificarea figurii și scrierea ecuației, deci ambele trebuie redactate explicit.

Întrebări frecvente

Cum se interpretează geometric adunarea a două numere complexe? Ca o compunere de deplasări: imaginile lui $z_1$, $z_2$ și $z_1+z_2$ formează, împreună cu originea, un paralelogram $OACB$. Este exact regula paralelogramului din fizică, folosită pentru compunerea forțelor sau a vitezelor.

De ce este $|z_1-z_2|$ distanța dintre două puncte? Pentru că $z_1-z_2=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$, iar modulul acestui număr este $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ — exact formula distanței dintre punctele de coordonate $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$, obținută din teorema lui Pitagora.

Ce mulțime descrie condiția $|z-z_0|=r$? Cercul de centru $M_0$, imaginea lui $z_0$, și rază $r$: sunt punctele situate la distanța $r$ de $M_0$. Dacă în loc de egal apare $\le$, obții discul închis; dacă apare $<$, doar interiorul cercului.

Ce mulțime descrie condiția $|z-a|=|z-b|$? Mediatoarea segmentului determinat de imaginile lui $a$ și $b$, adică perpendiculara dusă prin mijlocul acestui segment — mulțimea punctelor egal depărtate de cele două capete. Ecuația ei se obține ridicând la pătrat, iar termenii de gradul al doilea se reduc întotdeauna.

Cum scriu ecuația unei mulțimi de puncte definite cu module? Notezi $z=x+yi$, înlocuiești în condiție, ridici la pătrat ambii membri (permis, fiind nenegativi) și simplifici. La cerc rămâne o ecuație de forma $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2$; la mediatoare, o ecuație de gradul întâi.

De ce $|z_1+z_2|$ nu este egal cu $|z_1|+|z_2|$? Pentru că, geometric, o latură a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte două. Egalitatea apare doar în cazul degenerat, când unul dintre numere este multiplul real nenegativ al celuilalt.

Cum aflu valoarea maximă a unui modul, dacă $z$ este pe un cerc? Traduci totul în distanțe: dacă centrul cercului e la distanța $d$ de punctul fix, iar raza e $r$, atunci distanța variază între $|d-r|$ și $d+r$, iar extremele se ating pe dreapta care unește punctul fix cu centrul.