Se consideră $$A=\begin{pmatrix}5 & 3\\13 & 8\end{pmatrix}$$. Care este $$A^{-1}$$?

$$\begin{pmatrix}8 & -3\\-13 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}8 & 3\\13 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}8 & -13\\-3 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}-8 & 3\\13 & -5\end{pmatrix}$$

Se consideră $$A=\begin{pmatrix}9 & 3\\13 & 5\end{pmatrix}$$. Care este matricea adjunctă $$A^{*}$$?

$$\begin{pmatrix}5 & -3\\-13 & 9\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}5 & -13\\-3 & 9\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}9 & -3\\-13 & 5\end{pmatrix}$$

$$\dfrac16\begin{pmatrix}5 & -3\\-13 & 9\end{pmatrix}$$

Se consideră $$A=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 8\end{pmatrix}$$. Care este $$A^{-1}$$?

$$\dfrac16\begin{pmatrix}8 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}$$

$$\dfrac16\begin{pmatrix}8 & -1\\-2 & 1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}8 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}$$

$$\dfrac16\begin{pmatrix}1 & -2\\-1 & 8\end{pmatrix}$$

Ce este matricea adjunctă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Inversa cu adjuncta

Adjuncta $A^{*}$ este transpusa matricei complemenților algebrici: complementul calculat pe poziția $(i, j)$ se scrie pe poziția $(j, i)$ . Cu ea se obține inversa, $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A^{*}$ , când $det A \neq = 0$ . Pentru $A = (4132)$ , cu $det A = 5$ , adjuncta este $(2 - 1 - 3 4)$ , deci $A^{- 1} = \frac{1}{5} (2 - 1 - 3 4)$ . Proba: $A \cdot A^{*} = 5 I_{2}$ . La ordinul $2$ adjuncta se scrie direct: cele două elemente ale diagonalei principale se schimbă între ele, iar celelalte două primesc semn opus.

Materialul din care se construiește inversul unui tablou îl dau complemenții algebrici, deja cunoscuți de la desfacerea după un rând. Rămâne doar așezarea lor, care nu urmează ordinea firească: adjuncta $A^{*}$ este transpusa tabloului complemenților, adică numărul calculat pe poziția $(i, j)$ se scrie pe poziția $(j, i)$ . Acolo stă singura capcană a temei; fără răsturnare, produsul cu $A$ nu iese ce trebuie la tablourile nesimetrice.

Legătura dintre cele două este $A \cdot A^{*} = A^{*} \cdot A = (det A) I_{n}$ , adevărată întotdeauna, chiar și când determinantul se anulează — atunci ea spune doar că produsul iese tabloul nul. Împărțirea la determinant este pasul care cere ipoteza, iar de acolo iese formula căutată.

La ordinul $2$ totul se scurtează într-o rețetă care se scrie din memorie: cele două numere de pe diagonala principală se mută unul în locul celuilalt, celelalte primesc semnul schimbat, iar tabloul întreg se împarte la determinant. La ordinul $3$ pașii sunt cinci și se fac în ordine, cu complemenții scriși într-un tabel.

Capcana. Proba nu se sare niciodată, fiindcă ea spune și unde s-a greșit: un rezultat egal cu opusul tabloului unitate arată semnul determinantului tratat greșit, iar un tablou fără nicio structură arată răsturnarea uitată.

De reținut

$A^{*}$ = transpusa matricei complemenților algebrici
$A \cdot A^{*} = A^{*} \cdot A = det A \cdot I_{n}$
$A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} A^{*}$ , doar când $det A \neq = 0$

Greșeala tipică

Se scriu complemenții algebrici pe pozițiile lor, fără transpunere, și se ia acea matrice drept adjunctă; proba $A \cdot A^{- 1} = I_{n}$ nu mai iese la matricele nesimetrice.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră $A = (51338)$ . Care este $A^{- 1}$ ?
- a) $(81335)$
- b) $(8 - 3 - 13 5)$
- c) $(- 8 13 3 - 5)$
- d) $(8 - 13 - 3 5)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(8 - 13 - 3 5)$

Determinantul este $5 \cdot 8 - 3 \cdot 13 = 40 - 39 = 1$ , deci inversul există și, împărțirea fiind la $1$ , el coincide cu adjuncta. Numerele de pe diagonala principală își schimbă locurile, iar celelalte două își schimbă semnul: iese tabloul din varianta d). Proba: prima căsuță a produsului dă $5 \cdot 8 + 3 \cdot (- 13) = 1$ . Varianta a) uită semnele, b) lasă adjuncta nerăsturnată, iar c) pune minusul pe diagonala principală, adică exact pe dos.
Se consideră $A = (91335)$ . Care este matricea adjunctă $A^{*}$ ?
- a) $(5 - 3 - 13 9)$
- b) $(5 - 13 - 3 9)$
- c) $(9 - 13 - 3 5)$
- d) $\frac{1}{6} (5 - 13 - 3 9)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(5 - 13 - 3 9)$

La ordinul $2$ , ștergerea unui rând și a unei coloane lasă un singur număr, deci complemenții sunt $δ_{11} = 5$ , $δ_{12} = - 13$ , $δ_{21} = - 3$ și $δ_{22} = 9$ . Tabloul lor se răstoarnă, iar numerele $- 13$ și $- 3$ își schimbă locurile: rezultă varianta b). Varianta a) este tabloul complemenților nerăsturnat; c) schimbă doar semnele, fără să miște nimic; d) este chiar inversul, adică adjuncta împărțită la determinantul $6$ , care nu se cerea aici.
Se consideră $A = (1128)$ . Care este $A^{- 1}$ ?
- a) $\frac{1}{6} (8 - 2 - 1 1)$
- b) $(8 - 1 - 2 1)$
- c) $\frac{1}{6} (8 - 1 - 2 1)$
- d) $\frac{1}{6} (1 - 1 - 2 8)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{1}{6} (8 - 1 - 2 1)$

Determinantul este $1 \cdot 8 - 2 \cdot 1 = 6$ , nenul, deci inversul există. Adjuncta se obține schimbând între ele numerele de pe diagonala principală și semnele celorlalte două, apoi totul se împarte la $6$ ; factorul se lasă în față, ca proba să se facă pe numere întregi. Varianta a) nu răstoarnă adjuncta, b) uită împărțirea, iar d) păstrează diagonala principală neschimbată, deși tocmai acolo numerele trebuie să-și schimbe locurile.

Întrebări conexe

De ce se transpune matricea complemenților algebrici?

Numai așa produsul $A \cdot A^{*}$ dă $det A \cdot I_{n}$ : fiecare linie a lui $A$ trebuie să întâlnească propriii complemenți, așezați pe o coloană. Fără transpunere, la o matrice nesimetrică produsul nu mai are zerouri în afara diagonalei, iar inversa iese greșită.

Cât face produsul unei matrice cu adjuncta ei?

Face $det A \cdot I_{n}$ , în ambele ordini. Pentru $A = (4132)$ și $A^{*} = (2 - 1 - 3 4)$ se obține $(8 - 3 2 - 2 - 12 + 12 - 3 + 8) = 5 I_{2}$ . Împărțind la $5$ apare $I_{2}$ , de unde formula inversei. Aceeași relație explică de ce inversa nu există când determinantul este zero.

Ce adjunctă are o matrice diagonală de ordinul 3?

Tot diagonală: pentru $diag (2, 3, 5)$ complemenții de pe diagonală sunt $3 \cdot 5 = 15$ , $2 \cdot 5 = 10$ și $2 \cdot 3 = 6$ , iar ceilalți sunt $0$ . Deci $A^{*} = diag (15, 10, 6)$ , $det A = 30$ , iar inversa are pe diagonală $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{5}$ .

Există adjuncta unei matrice cu determinantul zero?

Da, adjuncta se poate calcula mereu, dar inversa nu mai există. Pentru $A = (2142)$ , cu determinantul $0$ , avem $A^{*} = (2 - 1 - 4 2)$ , iar $A \cdot A^{*} = O_{2}$ . Împărțirea la $det A$ nu se poate face.

Cum fac proba după ce am calculat inversa unei matrice?

Înmulțești matricea cu inversa găsită și trebuie să obții $I_{n}$ . Pentru exemplul cu $det A = 5$ : $(4132) \cdot \frac{1}{5} (2 - 1 - 3 4) = \frac{1}{5} (5005) = I_{2}$ . Un element nenul în afara diagonalei arată un complement greșit sau netranspus.

Oamenii mai întreabă și: matricea adjunctă a unei matrice · cum se calculează adjuncta · adjuncta A stelat · ce este A stelat la matrice