Inversa unei matrice, cu matricea adjunctă (M2, științe ale naturii)

Un atelier de ceramică ține consumurile într-un tablou: fiecare produs mănâncă atâtea kilograme de lut și atâtea de glazură. Tabloul duce numărul de obiecte în cantitatea de materiale consumate, iar contabilul atelierului are nevoie de drumul invers — de la materialele consumate la numărul de obiecte. În lecția despre matricele inversabile și criteriul determinantului ai aflat când există acest drum: exact atunci când determinantul tabloului este nenul. Acum îl construim efectiv. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), inversa unei matrice se cere la ordinele $2$ și $3$, iar la bacalaureatul M2 apare la Subiectul al II-lea, la prima problemă.

Vestea bună este că nu trebuie inventat nimic nou. Materialul din care se face inversa îl ai de la lecția în care ai învățat să desfaci un determinant după o linie: sunt chiar complemenții algebrici de acolo. Rămâne doar să-i așezi în ordinea potrivită — care nu este cea la care te aștepți — și să împarți la determinant.

Ce vei învăța

• Vei ști ce este matricea adjunctă și de ce ea se obține transpunând, nu copiind, tabloul complemenților.
• Vei ști formula $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ și condiția în care are sens.
• Vei ști rețeta scurtă pentru ordinul 2, pe care o poți scrie din memorie în zece secunde.
• Vei ști să parcurgi algoritmul complet la ordinul 3, cu cei nouă complemenți așezați într-un tabel, fără să pierzi vreun semn.
• Vei ști să faci proba $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_n$ și să citești din rezultatul ei unde ai greșit.
• Vei ști să scrii o inversă cu fracții în forma în care se corectează ușor și să spui ce unitate de măsură au numerele din ea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este matricea adjunctă?

Piesele le ai. Reamintim, din lecția precedentă: minorul ${\Delta }_{ij}$ al unei matrice pătratice $A$ este determinantul rămas după ștergerea liniei $i$ și a coloanei $j$, iar complementul algebric este ${\delta }_{ij}=(-1{)}^{i+j}{\Delta }_{ij}$, adică același număr cu semnul poziției pus în față. La ordinul $3$, cei nouă complemenți sunt determinanți de ordinul $2$; la ordinul $2$, sunt chiar numere.

Matricea adjunctă a lui $A$, notată $A^{\ast }$, este transpusa tabloului complemenților algebrici: pe linia $i$ și coloana $j$ a lui $A^{\ast }$ stă numărul ${\delta }_{ji}$.

Cuvântul „inversă" nu este nou pentru tine. La funcția inversă și inversabilitate, în clasa a X-a, ai văzut că o funcție are inversă atunci când se poate merge înapoi, de la valoare la argument, fără nicio ambiguitate. La matrice ideea este aceeași, iar deosebirea stă doar în unealtă: acolo răsturnai o formulă, aici construiești un tablou.

Citește încă o dată indicii, pentru că în ei stă singura capcană a lecției: calculezi ${\delta }_{12}$, dar îl scrii pe linia a doua, coloana întâi. Transpunerea nu este un moft de notație; fără ea, la matricele care nu sunt simetrice, produsul cu $A$ nu iese ce trebuie. Ca să o vezi lucrând, ia $A=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 5& 3\end{array}\right)$: complemenții ei sunt ${\delta }_{11}=3$, ${\delta }_{12}=-5$, ${\delta }_{21}=-4$, ${\delta }_{22}=7$, deci tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -4& 7\end{array}\right)$, iar adjuncta, după transpunere, $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ -5& 7\end{array}\right)$. Numerele $-5$ și $-4$ și-au schimbat locurile.

2. Formula inversei

Legătura dintre $A$ și adjuncta ei este o egalitate pe care o vom folosi ca pe o regulă:

$$A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=(\det A)I_n.$$

Programa de științe ale naturii cere metodele de calcul, nu demonstrația; o verificăm însă pe matricea de mai sus, unde $\det A=21-20=1$:

$$A\cdot A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 5& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& -4\\ -5& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}21-20& -28+28\\ 15-15& -20+21\end{array}\right)=I_2=1\cdot I_2.$$

Dacă determinantul este nenul, împărțim egalitatea la el și obținem chiar matricea căutată:

$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast },\text{cu condiția }\det A\ne 0.$$

Reține deosebirea dintre cele două relații, fiindcă la examen se cere uneori prima și se răspunde cu a doua. Egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ este adevărată întotdeauna, chiar și pentru o matrice singulară, unde spune că produsul iese matricea nulă. Numai împărțirea cere ipoteza $\det A\ne 0$ — la fel ca în aritmetică, unde înmulțirea cu zero e permisă, iar împărțirea la zero nu.

3. Ordinul 2: rețeta pe care o ții minte

La ordinul $2$ formula generală se scurtează atât de mult încât merită memorată ca atare. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, ștergerea unei linii și a unei coloane lasă un singur număr, deci fiecare minor este chiar acel număr; după ce le pui semnele și transpui rămâne $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$. Prin urmare, dacă $ad-bc\ne 0$,

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

În cuvinte, ca să o poți repeta cu ochii închiși: numerele de pe diagonala principală își schimbă locurile între ele, celelalte două își schimbă semnul, iar totul se împarte la determinant. Atenție unde cade semnul: pe diagonala principală nu se schimbă nimic, ci doar pozițiile; semnul minus îl primesc numerele de pe cealaltă diagonală. Aceasta este exact inversa greșelii pe care o fac cei mai mulți elevi la prima încercare.

Rețeta scurtă nu este o excepție de la algoritm, ci cazul lui cel mai simplu. La ordinul $2$, ștergerea unei linii și a unei coloane lasă un singur număr, deci minorii se citesc direct din tablou, iar transpunerea mută doar două căsuțe. Tocmai de aceea merită exersată întâi aici: dacă la ordinul $2$ scrii formula fără să te gândești, la ordinul $3$ îți va rămâne de urmărit un singur lucru — semnele.

4. Cum arată algoritmul la ordinul 3?

În cinci pași, în ordinea aceasta și nu alta:

1. calculezi $\det A$; dacă este zero, te oprești și scrii că matricea nu are inversă;
2. calculezi cei nouă complemenți ${\delta }_{ij}$, fiecare cu semnul lui;
3. îi așezi în tabloul complemenților, ${\delta }_{ij}$ pe linia $i$ și coloana $j$;
4. transpui tabloul și obții $A^{\ast }$;
5. împarți la $\det A$ și faci proba.

Îl aplicăm pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 3\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$.

Pasul 1. Cu regula lui Sarrus, $\det A=(12+6+6)-(9+6+8)=24-23=1\ne 0$, deci inversa există.

Pasul 2. Cei nouă complemenți, fiecare fiind un determinant de ordinul $2$ înmulțit cu semnul poziției:

Pasul 3. Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}6& -1& -1\\ -2& 1& 0\\ -3& 0& 1\end{array}\right)$.

Pasul 4. Transpunem, adică scriem liniile ca coloane: $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -3\\ -1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$.

Pasul 5. Cum $\det A=1$, împărțirea nu schimbă nimic, deci $A^{-1}=A^{\ast }$. Proba, pe prima linie a produsului: $1\cdot 6+2\cdot (-1)+3\cdot (-1)=1$, apoi $1\cdot (-2)+2\cdot 1+3\cdot 0=0$ și $1\cdot (-3)+2\cdot 0+3\cdot 1=0$. Au ieșit $1$, $0$, $0$, adică exact prima linie a lui $I_3$.

5. De ce nu se sare proba?

Pentru că este singurul control care prinde, în câteva secunde, toate greșelile posibile ale algoritmului. Nouă complemenți înseamnă nouă ocazii de a pierde un semn, iar un determinant de ordinul $2$ calculat invers nu se vede cu ochiul liber în tabel.

Proba completă cere ambele produse, $A\cdot A^{-1}$ și $A^{-1}\cdot A$, și amândouă trebuie să dea $I_n$. Pe o lucrare, ordinea de redactare arată așa: valoarea determinantului scrisă separat; tabloul complemenților, cu semnele vizibile; transpunerea marcată ca pas de sine stătător; factorul $\frac{1}{\det A}$ lăsat în fața matricei; cel puțin o linie a produsului, calculată în întregime.

Proba are și un al doilea folos, pe care elevii îl descoperă târziu: ea nu cere nicio cunoștință nouă, deci se poate face și atunci când nu mai ești sigur pe niciun pas al algoritmului. Dacă produsul iese matricea unitate, rezultatul este corect, indiferent pe ce drum ai ajuns la el. Este singurul loc din capitol unde verificarea este la fel de sigură ca rezolvarea.

Iar rezultatul probei îți spune și unde ai greșit, nu doar că ai greșit. Dacă obții $-I_n$, ai uitat semnul determinantului la împărțire. Dacă pe diagonală apar numere egale între ele, dar diferite de $1$, ai sărit împărțirea sau ai împărțit la altceva. Iar dacă iese un tablou fără nicio structură, cu numere împrăștiate, atunci ai uitat transpunerea — este defectul cel mai ușor de recunoscut după forma rezultatului.

6. Când apar fracții și cum le scrii

Numai determinantul aduce fracții: complemenții sunt întotdeauna numere întregi, dacă matricea are elemente întregi. Prin urmare, inversa iese cu elemente întregi exact când $\det A$ este $1$ sau $-1$, iar în rest apar numitori. Fie

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\det B=(1+6+0)-(1+3+0)=3.$$

Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}-2& 3& -1\\ -1& 0& 1\\ 5& -3& 1\end{array}\right)$, deci, după transpunere și împărțire,

$$B^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 5\\ 3& 0& -3\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$

Merită observat și cât de „urâte" pot fi numerele din inversă fără ca ceva să fie greșit. Matricea $B$ are numai numere întregi, între $0$ și $3$, dar inversa ei are numitorul $3$, iar elementul ei $\frac{5}{3}$ este mai mare decât șapte dintre cele nouă numere ale lui $B$. Inversa nu micșorează nimic: ea desface o transformare, iar desfacerea unei transformări care „strânge" înseamnă una care „întinde". Cu cât determinantul este mai mic față de numerele din tablou, cu atât numerele din inversă ies mai mari.

Cum se scrie ca să se corecteze ușor: ține numitorul afară, înaintea tabloului, și nu-l duce în fiecare căsuță. Câștigi de două ori — scrii mai puțin, iar proba se face cu numere întregi, urmată de o singură împărțire la final. Un numitor uitat într-o singură căsuță este o greșeală pe care proba o prinde, dar pe care ochiul o trece cu vederea. Cu inversa se încheie partea de calcul matriceal a unității; de aici încolo determinantul își schimbă rolul și devine unealtă de geometrie, în lecția despre coliniaritate și ecuația dreptei scrisă cu determinant.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Ordinul 2, cu determinantul egal cu 1

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}4& 9\\ 3& 7\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=28-27=1\ne 0$, deci inversa există. Cu rețeta de la §3, schimbăm între ele numerele $4$ și $7$, schimbăm semnele lui $9$ și $3$ și împărțim la $1$:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -9\\ -3& 4\end{array}\right).$$

Proba. $A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}28-27& -36+36\\ 21-21& -27+28\end{array}\right)=I_2$, iar $A^{-1}\cdot A=\left(\begin{array}{cc}28-27& 63-63\\ -12+12& -27+28\end{array}\right)=I_2$. Ambele produse dau matricea unitate, deci rezultatul e corect.

Exemplul 2 — Ordinul 2, cu fracții

Determinați inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 4& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. $\det A=14-12=2\ne 0$, iar adjuncta este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 7\end{array}\right)$, deci

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -4& 7\end{array}\right).$$

Proba, cu factorul lăsat în față: $A\cdot A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}14-12& -21+21\\ 8-8& -12+14\end{array}\right)=2I_2$, iar împărțind la $2$ obținem $I_2$. Observă că proba s-a făcut numai cu numere întregi: exact câștigul pe care îl aduce scrierea cu factorul în față.

Exemplul 3 — Ordinul 3, pas cu pas

Determinați inversa matricei $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$.

Rezolvare. Pasul 1: cu regula lui Sarrus, $\det C=(2+0+2)-(0+0+0)=4\ne 0$.

Pasul 2: complemenții, pe linii: ${\delta }_{11}=2$, ${\delta }_{12}=-4$, ${\delta }_{13}=2$; ${\delta }_{21}=1$, ${\delta }_{22}=2$, ${\delta }_{23}=-1$; ${\delta }_{31}=-1$, ${\delta }_{32}=2$, ${\delta }_{33}=1$.

Pașii 3 și 4: tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}2& -4& 2\\ 1& 2& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)$, iar transpusa lui este adjuncta:

$$C^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 2& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right),C^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -4& 2& 2\\ 2& -1& 1\end{array}\right).$$

Pasul 5, proba pe prima linie: $1\cdot 2+0\cdot (-4)+1\cdot 2=4$; $1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot (-1)=0$; $1\cdot (-1)+0\cdot 2+1\cdot 1=0$. Am obținut $4$, $0$, $0$, care, împărțite la $4$, dau prima linie a lui $I_3$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Pentru $D=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& 3& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$, un elev calculează corect $\det D=-1$ și adjuncta $D^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}5& -4& 2\\ -3& 2& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$, apoi scrie $D^{-1}=D^{\ast }$. La probă îi iese $-I_3$ și conchide: „e bine, doar semnul diferă." Găsiți greșeala.

Rezolvare. Determinantul și adjuncta sunt corecte, dar pasul al cincilea a fost sărit pe jumătate: împărțirea la $\det D=-1$ nu este o formalitate, ci schimbă toate semnele. Inversa corectă este

$$D^{-1}=\frac{1}{-1}{D}^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-5& 4& -2\\ 3& -2& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right).$$

Proba, pe prima linie: $1\cdot (-5)+2\cdot 3+0\cdot 1=1$; $1\cdot 4+2\cdot (-2)+0\cdot (-1)=0$; $1\cdot (-2)+2\cdot 1+0\cdot 1=0$. Acum iese $I_3$.

Și o vorbă despre concluzia elevului. Rezultatul $-I_3$ nu este „aproape bun": prin definiție, inversa trebuie să dea matricea unitate, nu opusa ei. Ori de câte ori proba scoate $-I_n$, cauza este aceeași, un determinant negativ tratat ca și cum ar fi pozitiv, iar reparația durează cât să schimbi nouă semne.

Exemplul 5 — Inversa unui tablou de consumuri, cu unități

Un atelier face două tipuri de obiecte de ceramică. Pentru o bucată din primul tip se consumă $2$ kg de lut și $1$ kg de glazură, iar pentru una din al doilea tip, $1$ kg de lut și $3$ kg de glazură. Scrieți matricea consumurilor, calculați-i inversa și spuneți ce unitate de măsură au numerele din ea.

Rezolvare. Punem lutul pe prima linie și glazura pe a doua, iar pe coloane cele două tipuri de obiecte:

$$M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right),\det M=6-1=5\ne 0,M^{-1}=\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right).$$

Proba: $M\cdot M^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}6-1& -2+2\\ 3-3& -1+6\end{array}\right)=5I_2$, deci $M\cdot M^{-1}=I_2$.

Unitățile. Numerele din $M$ sunt kilograme pe bucată, fiindcă fiecare spune cât material intră într-un singur obiect. Inversa merge în sens opus, de la kilograme la bucăți, deci numerele din $M^{-1}$ se măsoară în bucăți pe kilogram. Semnul negativ nu înseamnă o cantitate negativă: el arată o scădere în rețeta drumului înapoi, așa cum, la o balanță, un taler se ridică atunci când celălalt coboară. Cum se folosește efectiv inversa ca să afli producția din materialele consumate ține de ecuațiile matriceale, care sunt tema unei lecții din suplimentul pentru Bacalaureat M2.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=2$. b) Determinați $A^{-1}$. c) Calculați $\det \left(A^{-1}\right)$ și comparați-l cu $\det A$.

Rezolvare.

a) Cu regula lui Sarrus, $\det A=(1+1+0)-(0+0+0)=2$.

b) Complemenții sunt ${\delta }_{11}=1$, ${\delta }_{12}=1$, ${\delta }_{13}=-1$; ${\delta }_{21}=-1$, ${\delta }_{22}=1$, ${\delta }_{23}=1$; ${\delta }_{31}=1$, ${\delta }_{32}=-1$, ${\delta }_{33}=1$. După transpunere și împărțire la $2$,

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 1& 1& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right).$$

Proba pe prima linie: $1\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot (-1)=2$, iar celelalte două produse dau $0$; împărțind la $2$ se obține prima linie a lui $I_3$.

c) Calculăm întâi determinantul tabloului din paranteză, cu regula lui Sarrus: $(1-1+1)-(-1-1-1)=1+3=4$. Fiecare dintre cele trei linii ale lui $A^{-1}$ poartă factorul $\frac{1}{2}$, iar un factor scos dintr-o linie iese în fața determinantului, deci $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{4}{2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{2}$. Comparația este limpede: $\det \left(A^{-1}\right)$ este inversul lui $\det A=2$.

De la examen la lecție. Cerințele au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde prima problemă a Subiectului al II-lea începe cu un determinant și continuă cu o cerință de calcul și una de justificare. Rezultatul de la c) nu este o coincidență: el se verifică la fel pe orice matrice inversabilă.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie determinantul înaintea complemenților, iar la final fă proba măcar pe prima linie.

1. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

2. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 3\end{array}\right)$.

3. Arată că matricea $\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 1& 3\end{array}\right)$ nu are inversă.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\det A=5$, atunci $A^{-1}=\frac{1}{5}A$."

5. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 0& 4& 1\\ 1& 2& 2\end{array}\right)$ calculează ${\delta }_{12}$ și ${\delta }_{21}$ și spune ce locuri ocupă cele două numere în matricea adjunctă.

6. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 3& 5\\ 1& 2& 4\end{array}\right)$.

7. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$.

8. Determină inversa matricei $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La ordinul $2$, inversa se obține schimbând semnul numerelor de pe diagonala principală."

10. (Problemă aplicată.) O brutărie face două sortimente de pâine. Pentru un kilogram din primul sortiment intră $5$ unități de făină albă și $3$ de făină integrală, iar pentru un kilogram din al doilea, $2$ unități de făină albă și $4$ de făină integrală. Scrie matricea consumurilor, arată că este inversabilă și calculează-i inversa, precizând unitatea de măsură a numerelor obținute.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=-1$. b) Determinați $A^{-1}$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=1$. b) Determinați $A^{-1}$. c) Verificați rezultatul, calculând prima linie a produsului $A\cdot A^{-1}$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 1\\ m+1& 2\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Arătați că $\det (A(m))=m-1$. b) Determinați inversa matricei $A(3)$.

14. Verifică pe matricea de la exercițiul $10$ egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_2$.

15. Explică, în trei-patru fraze, de ce împărțirea la determinant este ultimul pas al algoritmului și ce s-ar întâmpla dacă ai face-o înaintea transpunerii.

16. Se știe că $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$. Determină matricea $A$.

17. Calculează $\det \left(A^{-1}\right)$ pentru matricea de la exercițiul $7$ și compară rezultatul cu $\det A$.

18. (Provocare.) Arată că inversa unei matrice simetrice de ordinul $2$ este tot o matrice simetrică și verifică afirmația pe $\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$.

Răspunsuri și explicații

1. $\det =5-4=1$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 5\end{array}\right)$. Proba: $5\cdot 1+2\cdot (-2)=1$ și $5\cdot (-2)+2\cdot 5=0$.

2. $\det =9-10=-1$, iar $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -2& 3\end{array}\right)$; împărțind la $-1$ obținem $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 2& -3\end{array}\right)$. Proba: $3\cdot (-3)+5\cdot 2=1$ și $3\cdot 5+5\cdot (-3)=0$.

3. $\det =6-6=0$, deci matricea este singulară și nu are inversă. Adjuncta există și ea, $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ -1& 2\end{array}\right)$, dar produsul $A\cdot A^{\ast }$ dă matricea nulă, nu $I_2$.

4. Fals. Formula este $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$, iar $A^{\ast }$ este adjuncta, nu matricea $A$. Contraexemplu: pentru $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, care are determinantul $5$, matricea $\frac{1}{5}A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)$ înmulțită cu $A$ dă $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& \frac{1}{5}\end{array}\right)$, nu $I_2$.

5. ${\Delta }_{12}=0\cdot 2-1\cdot 1=-1$, iar poziția $(1,2)$ are semnul $-$, deci ${\delta }_{12}=1$. Apoi ${\Delta }_{21}=1\cdot 2-3\cdot 2=-4$ și, cu semnul $-$, ${\delta }_{21}=4$. În adjunctă ele își schimbă locurile: ${\delta }_{12}=1$ ajunge pe linia $2$, coloana $1$, iar ${\delta }_{21}=4$ pe linia $1$, coloana $2$.

6. $\det =1$. Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 1\\ 0& 2& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -1\\ -3& 2& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$. Proba pe prima linie: $1\cdot 2+1\cdot (-3)+2\cdot 1=1$.

7. $\det =4$. Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$, simetric, deci coincide cu adjuncta, iar $A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$.

8. $\det =13$. Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 6\\ 4& 1& -2\\ -2& 6& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=\frac{1}{13}\left(\begin{array}{ccc}1& 4& -2\\ -3& 1& 6\\ 6& -2& 1\end{array}\right)$. Proba pe prima linie: $1\cdot 1+0\cdot (-3)+2\cdot 6=13$.

9. Fals. Se schimbă semnul numerelor de pe cealaltă diagonală, iar cele de pe diagonala principală doar își schimbă locurile între ele. Pe $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, regula greșită ar da $\left(\begin{array}{cc}-5& 2\\ 2& -1\end{array}\right)$, al cărei produs cu matricea nu este $I_2$; rezultatul corect este cel de la exercițiul $1$.

10. Cu făina albă pe prima linie, matricea este $\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$, cu $\det =20-6=14\ne 0$, deci inversabilă, iar $A^{-1}=\frac{1}{14}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 5\end{array}\right)$. Numerele din matricea inițială sunt unități de făină pe kilogram de pâine, deci cele din inversă se măsoară în kilograme de pâine pe unitate de făină.

11. a) $\det A=8-9=-1$. b) $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 4\end{array}\right)$, iar împărțirea la $-1$ schimbă toate semnele: $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 3& -4\end{array}\right)$.

12. a) Cu regula lui Sarrus, $\det A=(2+2+0)-(2+1+0)=1$. b) Tabloul complemenților este $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -2& 0& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 1& 0& -1\\ -1& 1& 1\end{array}\right)$. c) Prima linie a produsului: $1\cdot 1+2\cdot 1+2\cdot (-1)=1$; $1\cdot (-2)+2\cdot 0+2\cdot 1=0$; $1\cdot 0+2\cdot (-1)+2\cdot 1=0$.

13. a) $\det (A(m))=2m-(m+1)=m-1$. b) Pentru $m=3$, $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $2$, deci $A(3{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -4& 3\end{array}\right)$.

14. $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -3& 5\end{array}\right)$ și $A\cdot A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}20-6& -10+10\\ 12-12& -6+20\end{array}\right)=14I_2$, adică $(\det A)I_2$, cât trebuia, fiindcă $\det A=14$.

15. Împărțirea la determinant este ultimul pas pentru că ea privește toate căsuțele deodată, pe când transpunerea schimbă doar locurile numerelor. Cele două operații se pot face, matematic, în orice ordine, dar practic împărțirea de la început umple tabelul de fracții, iar cei nouă complemenți devin greu de scris și de verificat. Cu factorul lăsat în față, proba se face cu numere întregi și abia la final apare numitorul.

16. Matricea căutată este inversa lui $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -5& 3\end{array}\right)$, al cărei determinant este $6-5=1$, deci $A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 5& 2\end{array}\right)$. Verificare: $3\cdot 2+1\cdot (-5)=1$ și $3\cdot (-1)+1\cdot 3=0$.

17. Determinantul tabloului din paranteză este $\left|\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right|=16$, iar fiecare dintre cele trei linii poartă factorul $\frac{1}{4}$, deci $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}$. Cum $\det A=4$, cele două numere sunt inverse unul altuia.

18. Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& d\end{array}\right)$ avem $A^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -b& a\end{array}\right)$, tablou în care numerele de pe pozițiile $(1,2)$ și $(2,1)$ sunt egale, deci simetric; împărțirea la determinant nu strică simetria. Pe exemplu: $\det =15-4=11$ și $A^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}5& -2\\ -2& 3\end{array}\right)$, într-adevăr simetrică.

De reținut

• Adjuncta $A^{\ast }$ este transpusa tabloului complemenților algebrici: numărul ${\delta }_{ij}$, calculat pe linia $i$ și coloana $j$, se scrie pe linia $j$ și coloana $i$.
• Formula inversei este $A^{-1}=\frac{1}{\det A}{A}^{\ast }$ și are sens exact când $\det A\ne 0$; egalitatea $A\cdot A^{\ast }=(\det A)I_n$ rămâne însă adevărată pentru orice matrice pătratică.
• La ordinul 2: numerele de pe diagonala principală își schimbă locurile, celelalte două își schimbă semnul, totul se împarte la determinant.
• Algoritmul are cinci pași, în ordine: determinantul, complemenții, tabloul lor, transpunerea, împărțirea cu probă — iar determinantul se calculează primul tocmai ca să nu muncești degeaba.
• Proba spune și unde ai greșit: $-I_n$ înseamnă semnul determinantului uitat, o diagonală cu numere egale dar diferite de $1$ înseamnă împărțire sărită, iar un tablou fără structură înseamnă transpunere uitată.

Greșeli frecvente

• Crezi că inversa se obține răsturnând fiecare număr. Inversa nu se calculează căsuță cu căsuță: matricea $\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 4& 2\end{array}\right)$ nu are inversa $\left(\begin{array}{cc}1/7& 1/3\\ 1/4& 1/2\end{array}\right)$, ci pe cea de la Exemplul 2. Singura definiție care contează este cea prin produsul egal cu $I_n$.
• Calculezi complemenții numai pe o linie. Este confuzia cu desfacerea determinantului, unde o singură linie ajunge. Pentru inversă ai nevoie de toți cei nouă complemenți, inclusiv de cei de pe liniile cu zerouri.
• Schimbi semnul pe diagonala principală. La ordinul $2$, numerele $a$ și $d$ își schimbă doar locurile; minusul îl primesc $b$ și $c$. Verifică pe o matrice cu determinantul $1$, unde inversa trebuie să iasă cu numere întregi.
• Transpui matricea $A$ în loc de tabloul complemenților. Ordinea este: întâi complemenții, apoi transpunerea lor. Dacă transpui la început, calculezi complemenții altei matrice și rezultatul nu are nicio legătură cu cel corect.
• Rotunjești fracțiile. O inversă cu numitorul $3$ sau $13$ se scrie cu fracții exacte, cu factorul în fața matricei; scris cu zecimale trunchiate, produsul nu mai dă $I_n$, iar proba devine inutilă.

Aplică acasă

1. Caietul cu probă. Ia trei exerciții de inversă rezolvate la școală și reface-le, adăugând de fiecare dată proba pe prima linie a produsului. Notează câte greșeli ai găsit astfel și la ce pas se aflau: determinant, semne, transpunere sau împărțire. După trei exerciții vei ști singur unde greșești sistematic.

2. Cele două alimente. Ia de pe ambalaje conținutul de proteine și de glucide, la $100$ de grame, pentru două alimente pe care le mănânci des. Scrie tabloul de ordinul $2$, calculează determinantul și, dacă este nenul, inversa. Spune ce unitate de măsură au numerele din inversă și ce înseamnă un număr negativ dintre ele.

3. De la inversă înapoi la matrice. Alege o matrice $B$ de ordinul $2$ cu elemente întregi și cu determinantul $1$, apoi găsește matricea $A$ pentru care $B$ este inversa lui $A$. Verifică prin ambele produse și observă ce se întâmplă dacă repeți procedeul: pornind de la $A$ ajungi înapoi la $B$.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde conținutul se încheie cu propoziția „Inversa unei matrice". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare explicit: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „matrice inversabile din ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $n=2,3$", iar la proba scrisă locul ei este prima problemă a Subiectului al II-lea, cea de matrice și determinanți. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

O precizare de traseu, utilă la ore: inversa prin transformări elementare, adică metoda lui Gauss, nu se predă la acest profil; programa de științe cere un singur algoritm, cel cu matricea adjunctă, aplicat la ordinele $2$ și $3$. Tot la mate-info rămân matricele cu parametru de ordinul $4$ și inversele lor.

Este cel mai lung algoritm al capitolului, iar dificultatea lui nu stă în idei, ci în ținerea evidenței: la ordinul $3$ se scriu un determinant, nouă numere cu semnele lor, o transpunere și un numitor. Elevii care îl rezolvă „din cap", fără tabel, pierd de obicei un semn pe la al șaselea complement. De aceea pașii sunt numerotați, iar proba este ultimul dintre ei, nu o opțiune. De verificat în caiet: determinantul scris înaintea complemenților; tabelul complet, cu semnele vizibile; transpunerea marcată ca pas distinct; numitorul ținut afară; cel puțin o linie a produsului. Întrebări de control: „Unde ajunge ${\delta }_{23}$ în adjunctă?"; „Ce obții din $A\cdot A^{\ast }$ dacă determinantul este zero?"; „Ce înseamnă că proba a ieșit $-I_3$?"; „Ce unitate de măsură au numerele din inversa unui tablou de consumuri?". Semne bune: elevul deschide rezolvarea cu determinantul și își face proba fără să i se ceară.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă calculul inversei la M2 față de M1? La profilul științe ale naturii se învață un singur algoritm, cel cu matricea adjunctă, aplicat la ordinele $2$ și $3$, cu proba obligatorie. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: calculul inversei cu matricea adjunctă merge mai departe, cu matrice de ordinul $4$, cu parametru și cu metoda lui Gauss, care la M2 nu intră în programă.

La ce subiect apare inversa unei matrice la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, la prima problemă, cea de matrice și determinanți. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere matricele inversabile de ordinele $2$ și $3$, iar cerințele unei probleme se înlănțuie: valoarea determinantului, apoi inversa propriu-zisă, apoi o verificare sau o justificare scurtă.

Cât durează calculul unei inverse de ordinul 3? Cu antrenament, în jur de cinci minute: un determinant de ordinul $3$, nouă determinanți de ordinul $2$, transpunerea și proba pe o linie. Cea mai mare parte a timpului se duce pe complemenți, de aceea merită scriși într-un tabel, nu împrăștiați pe foaie. La ordinul $2$ tot calculul ține sub un minut.

De ce apar fracții la inversă și cum le scriu? Fracțiile vin numai de la împărțirea la determinant: complemenții sunt întregi dacă matricea are elemente întregi. Scrie factorul $\frac{1}{\det A}$ în fața matricei și lasă înăuntru numere întregi. Așa proba se face fără numitori, iar o eroare de semn se vede imediat.

Se cere inversa unei matrice de ordinul 4 la M2? Nu. Programa de examen pentru 2027–2029 cere explicit matricele inversabile de ordinele $2$ și $3$. Programa nouă nu fixează un ordin pentru inversă, dar la clasă algoritmul se aplică tot la ordinele $2$ și $3$; ordinul $4$ rămâne numai la calculul determinantului. Acolo ar fi de calculat șaisprezece complemenți, fiecare fiind un determinant de ordinul $3$.

De ce numerele din inversă ies mai mari decât cele din tabloul inițial? Pentru că inversa desface o transformare: cu cât determinantul este mai mic față de numerele din tablou, cu atât numerele din inversă ies mai mari. La matricea $B$ din secțiunea a șasea, care are numai numere întregi între $0$ și $3$, elementul $\frac{5}{3}$ al inversei depășește șapte dintre cele nouă numere ale ei. Nu este o greșeală de calcul, ci felul în care se comportă drumul înapoi; singurul control rămâne proba cu $I_n$.

La ce folosește practic inversa unei matrice? Este rețeta drumului înapoi: dacă un tablou duce niște cantități în niște rezultate — consumuri de materiale, absorbanțe, costuri —, inversa lui duce rezultatele înapoi în cantități. De aceea numerele din inversă au unitatea de măsură răsturnată față de cele din tabloul inițial, ca la Exemplul 5.