Pe mulțimea $$M=\{w,y,z\}$$ un elev a scris tabla de mai jos. | $$\ast$$ | $$w$$ | $$y$$ | $$z$$ | |---|---|---|---| | $$w$$ | $$w$$ | $$y$$ | $$z$$ | | $$y$$ | $$y$$ | $$z$$ | $$w$$ | | $$z$$ | $$z$$ | $$w$$ | $$v$$ | Ce se poate spune despre $$\ast$$?

Nu este lege internă pe $$M$$: în căsuța de pe linia lui $$z$$ și coloana lui $$z$$ apare un element din afara mulțimii.

Este lege internă pe $$M$$, iar $$w$$ se poartă ca element neutru.

Nu este lege internă pe $$M$$, fiindcă tabla nu este simetrică față de diagonala principală.

Este lege internă pe $$M$$, fiindcă pe fiecare linie apar trei elemente diferite.

Cum completez tabla unei operații?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Legea internă și tabla

Scrii elementele mulțimii în aceeași ordine pe primul rând și pe prima coloană, iar la întâlnirea rândului lui $x$ cu coloana lui $y$ treci rezultatul $x * y$ . Exemplu: pe $M = {0, 1, 2}$ , cu $x * y$ egal cu restul împărțirii lui $x + y$ la $3$ , liniile tablei sunt $0, 1, 2$ ; apoi $1, 2, 0$ ; apoi $2, 0, 1$ . Toate căsuțele conțin elemente din $M$ , deci legea este internă pe $M$ .

Ce se cere. O regulă $*$ este lege de compoziție internă pe mulțimea nevidă $M$ când dă un rezultat pentru fiecare pereche ordonată și când acel rezultat rămâne în $M$ . Verdictul se rostește întotdeauna împreună cu mulțimea: aceeași regulă poate trece pe o mulțime și să cadă pe alta.

Cele două motive de respingere. Regula nu e definită peste tot (un numitor care se anulează, o expresie negativă sub un radical cu indice par) sau rezultatul iese din mulțime. Pentru „nu” ajunge o singură pereche scrisă complet; pentru „da” lucrezi cu litere. Criteriul rapid: o expresie care e polinom în două litere, cu coeficienți din mulțime, e internă fără discuție.

Tabla. Pe o mulțime finită cu $n$ elemente scrii toate cele $n^{2}$ compuneri într-un tabel pătratic: semnul legii stă în colț, cele două antete poartă aceleași elemente înșirate la fel, iar căsuța din dreptul liniei lui $x$ și al coloanei lui $y$ ține compusul $x * y$ . Verdictul se vede apoi dintr-o privire: dacă undeva a intrat un element din afară, regula nu e internă acolo.

Capcana. Trei-patru compuneri reușite nu dovedesc nimic, iar căsuța $x * y$ nu e căsuța $y * x$ : linia o dă elementul scris întâi, coloana pe cel scris al doilea.

De reținut

tabla: aceleași elemente, în aceeași ordine, pe primul rând și pe prima coloană
căsuța de pe linia $x$ și coloana $y$ conține $x * y$
legea e internă dacă toate căsuțele conțin elemente din mulțime

Greșeala tipică

Se verifică legea pe câteva perechi și se trage concluzia că este internă; pentru „da” e nevoie de un argument cu litere, valabil pentru orice pereche.

Exerciții din această mini-lecție

Pe mulțimea numerelor întregi care se divid cu $7$ se consideră cele patru operații aritmetice. Care dintre ele nu este lege de compoziție internă pe această mulțime?
- a) adunarea
- b) scăderea
- c) înmulțirea
- d) împărțirea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) împărțirea

Pentru $7 k$ și $7 m$ avem $7 k + 7 m = 7 (k + m)$ , $7 k - 7 m = 7 (k - m)$ și $7 k \cdot 7 m = 7 (7 k m)$ , deci primele trei rămân în mulțime. Împărțirea cade de două ori: $7 : 14 = 0, 5$ nu e număr întreg, iar $0$ aparține mulțimii și nu poate fi împărțitor.
Pe mulțimea $M = {w, y, z}$ un elev a scris tabla de mai jos.

$*$ $w$ $y$ $z$

$w$ $w$ $y$ $z$

$y$ $y$ $z$ $w$

$z$ $z$ $w$ $v$

Ce se poate spune despre $*$ ?
- a) Este lege internă pe $M$ , iar $w$ se poartă ca element neutru.
- b) Nu este lege internă pe $M$ : în căsuța de pe linia lui $z$ și coloana lui $z$ apare un element din afara mulțimii.
- c) Nu este lege internă pe $M$ , fiindcă tabla nu este simetrică față de diagonala principală.
- d) Este lege internă pe $M$ , fiindcă pe fiecare linie apar trei elemente diferite.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu este lege internă pe $M$ : în căsuța de pe linia lui $z$ și coloana lui $z$ apare un element din afara mulțimii.

Controlul se face pe apartenență: opt căsuțe conțin elemente din $M$ , dar a noua conține $v$ , care nu e în $M$ — deci regula nu e internă. Varianta a) sare tocmai peste acest control. Varianta c) invocă simetria, care nu are legătură cu internitatea, iar tabla e chiar simetrică. Varianta d) pornește de la o observație adevărată — pe fiecare linie apar trei valori diferite —, dar din ea nu decurge internitatea: pe linia lui $z$ cele trei valori sunt $z$ , $w$ și $v$ , iar $v$ e chiar elementul străin.
Care dintre regulile de mai jos nu este lege de compoziție internă pe $R$ ?
- a) $x * y = x^{2} y^{2} - 7$
- b) $x * y = 3 x + y$
- c) $x * y = \frac{x + y}{x ^{2} + 1}$
- d) $x * y = 4 x + y - 8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x * y = 4 x + y - 8$

La d) expresia de sub radical, $x + y - 8$ , devine negativă de pildă pentru $x = y = 0$ , deci regula nu e definită pentru toate perechile — primul motiv de respingere. Celelalte trei sunt definite peste tot și dau numere reale: a) e polinom în două litere; b) radicalul cu indicele $3$ are sens pentru orice număr real; c) numitorul $x^{2} + 1$ nu se anulează niciodată.

$*$	$w$	$y$	$z$
$w$	$w$	$y$	$z$
$y$	$y$	$z$	$w$
$z$	$z$	$w$	$v$

Întrebări conexe

Cum arăt că o lege dată prin formulă e internă pe un interval?

Rescrii formula ca să se vadă semnul. Pentru $x * y = x y - 2 x - 2 y + 6 = (x - 2) (y - 2) + 2$ pe $(2, + \infty)$ : dacă $x > 2$ și $y > 2$ , produsul $(x - 2) (y - 2)$ este pozitiv, deci $x * y > 2$ . Rezultatul rămâne în interval pentru orice pereche.

Este scăderea lege de compoziție pe mulțimea numerelor naturale?

Nu, pentru că rezultatul poate ieși din mulțime: $2 - 5 = - 3$ nu este număr natural. Pe mulțimea numerelor întregi însă scăderea este lege internă, fiindcă diferența a două numere întregi este tot un număr întreg.

Cum calculez $(2 * 3) * 4$ pentru o lege dată?

Calculezi întâi paranteza, apoi rezultatul ei compus cu $4$ . Pentru $x * y = x + y - 3$ : $2 * 3 = 2$ , apoi $2 * 4 = 3$ . Ordinea parantezelor contează până când se arată că legea este asociativă.

Este media aritmetică lege internă pe mulțimea numerelor întregi?

Nu. Pentru $x * y = \frac{x + y}{2}$ , perechea $1$ și $2$ dă $1, 5$ , care nu este număr întreg. Pe mulțimea numerelor raționale însă media a două numere raționale este tot rațională, deci acolo legea e internă.

Este $x * y = x^{2} + y^{2}$ lege internă pe $[0, + \infty)$ ?

Da: expresia de sub radical nu e negativă, deci operația e definită pentru orice pereche, iar rezultatul este un număr nenegativ. Pe mulțimea numerelor naturale însă nu: $1 * 1 = 2$ , care nu este natural.

Oamenii mai întreabă și: tabla operației · cum se face tabla unei legi de compoziție · tabla legii pe o mulțime finită · completarea tablei operației