Legea de compoziție internă și tabla operației (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator, două operații arată la fel din afară și se poartă complet diferit. Iei două probe de aceeași substanță și le amesteci: obții tot o probă de substanța aceea. Iei două valori de randament, fiecare între zero și unu, și le aduni: obții un număr care poate trece de unu, adică ceva ce nu mai e randament. Prima operație rămâne în lumea din care a pornit, a doua iese din ea. Deosebirea aceasta, care pare o observație de bun-simț, are un nume în algebra clasei a XII-a de la științe ale naturii (M2) — lege de compoziție internă — și este întâia cărămidă a capitolului de structuri algebrice din programa de bacalaureat M2.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: legea de compoziție internă și tabla operației sunt cerute de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Grupuri", și nu mai apar deloc în programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28), unde structurile algebrice au dispărut. Dacă dai examenul în sesiunile 2027, 2028 sau 2029, materia aceasta e a ta și se dă la Subiectul al II-lea. Din gimnaziu ai nevoie doar de teorema împărțirii cu rest, iar limbajul mulțimilor l-ai fixat la operații cu mulțimi și intervale.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți definiția legii de compoziție interne pe o mulțime nevidă și să lămurești de ce compusul nu are voie să părăsească mulțimea.
• Vei ști să respingi o operație care nu este lege internă, cu unul dintre cele două motive posibile și cu un contraexemplu scris corect.
• Vei ști să decizi rapid, la o lege dată printr-o formulă, dacă ea rămâne în mulțimea propusă.
• Vei ști să scrii și să completezi tabla unei legi definite pe o mulțime finită, cu ordinea corectă a liniilor și a coloanelor.
• Vei ști să citești din tablă dacă operația este sau nu lege internă și să găsești căsuța greșită dintr-o tablă scrisă de altcineva.
• Vei ști să lucrezi cu tabla adunării claselor de resturi modulo 3, prima mulțime finită pe care o întâlnești în acest capitol.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o lege de compoziție internă?

Ai o mulțime nevidă $M$ și o regulă prin care, din două elemente ale ei luate într-o ordine anume, obții un al treilea. Regula e bună dacă are două calități: dă un rezultat pentru orice pereche și dă un rezultat care e tot în $M$.

Legea de compoziție internă pe o mulțime nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$; ea ia o pereche ordonată $(x,y)$ formată din elemente ale lui $M$, îi răspunde cu un element unic notat $x\ast y$ și nu părăsește niciodată mulțimea $M$. Elementului $x\ast y$ i se spune compusul lui $x$ cu $y$, iar legii i se mai spune operație algebrică binară.

Trei amănunte hotărăsc tot ce urmează. Întâi, e vorba despre o funcție: fiecărei perechi îi corespunde exact un rezultat, iar rezultatul există pentru fiecare pereche. Apoi, perechea este ordonată, deci $x\ast y$ și $y\ast x$ pot fi elemente diferite. În sfârșit, codomeniul este chiar $M$ — cuvântul „internă" din nume exact asta spune. Cât despre notație: o lege oarecare se scrie $x\ast y$, a doua lege de pe aceeași mulțime se scrie $x\circ y$, iar adunarea și înmulțirea obișnuite își păstrează semnele.

2. Când o operație NU este lege internă?

Verdictul negativ se poate sprijini pe două temeiuri, și numai pe ele.

Primul motiv: operația nu e definită pentru toate perechile. Pe $\mathbb{R}$, regula $x\ast y=\frac{x+y}{x-y}$ nu este lege internă: pentru $x=y$ numitorul se anulează. Nu contează că merge pentru nenumărate alte perechi — definiția cere toate perechile.

Al doilea motiv: rezultatul iese din mulțime. Pe intervalul $[0,1]$, adunarea nu este lege internă: pentru $x=0,7$ și $y=0,6$ obții $1,3$, care nu mai e în interval. Aici operația e definită peste tot, dar rezultatul pleacă din mulțimea de plecare.

Observă asimetria drumurilor: ca să respingi o operație e de ajuns o singură pereche care strică, iar ca să o accepți ai nevoie de un raționament cu litere, valabil pentru orice pereche. Și reține un lucru de limbaj: propoziția „$\ast$ este lege de compoziție internă" nu are sens singură — se rostește întotdeauna împreună cu mulțimea.

3. Cum decizi repede la o lege dată printr-o formulă?

În subiecte, legea ajunge la tine sub forma unei expresii, nu a unui nume cunoscut. Criteriul de decizie e scurt și merită învățat ca atare: dacă expresia din dreapta este o sumă de produse de puteri ale lui $x$ și $y$ cu coeficienți reali — adică un polinom în două litere —, atunci legea este internă pe $\mathbb{R}$, fiindcă adunarea și înmulțirea numerelor reale nu ies din $\mathbb{R}$. Nu ai ce discuta și nu ai niciun caz special de tratat.

Pe $\mathbb{Q}$ sau pe $\mathbb{Z}$ criteriul cere însă ceva în plus: și coeficienții trebuie să fie în mulțimea pe care lucrezi. Un coeficient ca $\frac{1}{2}$ sau ca $\sqrt{2}$ scoate rezultatul afară chiar și atunci când $x$ și $y$ sunt numere întregi. Așadar un polinom cu coeficienți întregi rămâne lege internă pe $\mathbb{Z}$, unul cu coeficienți raționali pe $\mathbb{Q}$, iar unul cu coeficienți oarecare numai pe $\mathbb{R}$.

Discuția începe abia când în formulă apare o împărțire (cauți valorile care anulează numitorul) sau un radical de ordin par (cauți valorile care fac expresia de sub radical negativă) — ori când mulțimea pe care lucrezi nu e $\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}$ sau $\mathbb{Z}$, ci un interval sau o mulțime finită. Acolo, condiția „rezultatul rămâne înăuntru" devine adevărata întrebare.

Lecția de față decide dacă o regulă e lege internă și scrie legea pe o mulțime finită. Ce se întâmplă mai departe cu ea — dacă poți muta parantezele, dacă ordinea contează, dacă există un element care nu schimbă nimic — sunt patru întrebări separate, la care răspunde lecția despre proprietățile unei legi de compoziție.

4. Ce este tabla operației?

Pe o mulțime finită nu ai nevoie de formulă: poți scrie toate compunerile posibile, într-un singur tabel pătratic.

Tabla unei legi de compoziție definite pe mulțimea finită $M=\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$ este tabelul cu $n$ linii și $n$ coloane în care, la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$, se scrie compusul $x\ast y$. Semnul legii se pune în colțul din stânga sus, iar elementele mulțimii se trec în aceeași ordine pe antetul de sus și pe antetul din stânga.

Ordinea de citire nu e negociabilă: primul element al compunerii dă linia, al doilea dă coloana. La o mulțime cu $n$ elemente ai $n^2$ căsuțe, deci $9$ pentru trei elemente și $16$ pentru patru — de aceea tabla se folosește la mulțimi mici. Se completează linie cu linie, de la stânga la dreapta, iar la sfârșit vine verificarea care dă chiar verdictul lecției: toate valorile scrise aparțin lui $M$? Dacă da, regula este lege internă pe $M$; dacă nu, nu este.

5. Cum arată tabla adunării claselor de resturi modulo 3?

Împarte un număr întreg la $3$ și reține restul: obții $0$, $1$ sau $2$. Strânge într-o grămadă toate numerele care dau același rest și ai trei grămezi, numite clase de resturi. Clasa restului $a$ se notează $\hat{a}$, iar mulțimea celor trei clase,

$${\mathbb{Z}}_3=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}.$$

Adunarea claselor se definește prin $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$: aduni reprezentanții și te uiți în ce clasă a căzut suma. Definiția nu depinde de reprezentanții aleși, fiindcă doi întregi care dau același rest la $3$ diferă printr-un multiplu de $3$, iar suma a doi multipli de $3$ e tot multiplu de $3$.

Scriem tabla linie cu linie. Pe linia lui $\hat{1}$: $\hat{1}+\hat{0}=\hat{1}$, apoi $\hat{1}+\hat{1}=\hat{2}$, apoi $\hat{1}+\hat{2}=\hat{3}=\hat{0}$, fiindcă $3$ dă restul $0$.

Toate cele nouă valori sunt în ${\mathbb{Z}}_3$, deci adunarea claselor este lege de compoziție internă pe ${\mathbb{Z}}_3$. Mulțimea aceasta, cu adunarea ei, va reveni în lecția despre grupuri și, sub forma generală ${\mathbb{Z}}_n$, în lecția despre grupul aditiv al claselor de resturi.

6. Ce se vede când operația iese din mulțime?

Ia mulțimea numerelor prime de o cifră, $M=\{2,3,5,7\}$, și încearcă să scrii tabla înmulțirii pe ea. Prima căsuță, $2\cdot 2$, dă $4$. A doua, $2\cdot 3$, dă $6$. Apoi apar $10$, $14$, $9$, $15$, $21$, $25$, $35$, $49$ — și niciunul dintre aceste zece numere nu e în $M$.

Tabla se umple cu elemente străine, iar concluzia se citește direct din ea: înmulțirea nu este lege internă pe $M$. Un singur element străin ar fi fost de ajuns; aici sunt zece. Reține procedeul — e cel mai rapid test pe o mulțime finită: completezi tabla și te uiți dacă a intrat ceva din afară.

7. Unde apar legile de compoziție în științe?

Într-un lanț de transformări ale energiei, fiecare verigă are un randament — fracțiunea din energia primită pe care o transmite mai departe. Dacă prima verigă are randamentul ${\eta }_1$ și a doua ${\eta }_2$, lanțul întreg are randamentul ${\eta }_1\ast {\eta }_2={\eta }_1{\eta }_2$, pentru că a doua verigă lucrează cu ce a rămas de la prima.

Este aceasta o lege internă pe mulțimea $[0,1]$ a randamentelor posibile? Da: produsul a două numere din $[0,1]$ este tot în $[0,1]$, deci randamentul unui lanț rămâne un randament. Pentru un motor cu ${\eta }_1=0,8$ urmat de un generator cu ${\eta }_2=0,75$, lanțul are randamentul $0,8\ast 0,75=0,6$, adică $60\%$ — mai puțin decât fiecare verigă în parte.

Prin contrast, adunarea randamentelor ar da $1,55$, adică mai multă energie la ieșire decât la intrare. Faptul că adunarea nu e lege internă pe $[0,1]$ nu e un capriciu de notație — este chiar principiul conservării energiei, scris în limbajul algebrei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Aceeași operație, două mulțimi

Stabilește dacă adunarea și înmulțirea sunt legi de compoziție interne pe mulțimea numerelor întregi impare, respectiv pe mulțimea numerelor întregi pare.

Rezolvare. Pe mulțimea numerelor impare, adunarea nu este lege internă: $3+5=8$, iar $8$ este par. Un singur contraexemplu ajunge. Înmulțirea, în schimb, este: două numere impare se scriu $2k+1$ și $2m+1$, iar produsul lor este $4km+2k+2m+1=2(2km+k+m)+1$, adică tot un număr impar.

Pe mulțimea numerelor pare, amândouă sunt legi interne: $2k+2m=2(k+m)$ și $2k\cdot 2m=2(2km)$. Verdictul depinde, așadar, de perechea formată din operație și mulțime, nu doar de operație.

Exemplul 2 — Citirea unei table date

Pe mulțimea $M=\{p,q,r,s\}$ se dă legea $\ast$ prin tabla de mai jos. Calculează $r\ast p$, $p\ast r$ și $(p\ast q)\ast r$, apoi rezolvă în $M$ ecuația $q\ast x=r$.

Rezolvare. Pentru $r\ast p$ mergem pe linia lui $r$ și pe coloana lui $p$: găsim $s$. Pentru $p\ast r$ mergem pe linia lui $p$ și pe coloana lui $r$: găsim $r$. Cele două rezultate diferă, ceea ce arată că ordinea în care sunt scrise elementele chiar contează.

Pentru $(p\ast q)\ast r$ calculăm dinăuntru în afară: $p\ast q=q$ (linia $p$, coloana $q$), apoi $q\ast r=s$ (linia $q$, coloana $r$). Așadar $(p\ast q)\ast r=s$.

Ecuația $q\ast x=r$ cere să căutăm $r$ pe linia lui $q$. Linia lui $q$ este $q,p,s,r$, iar $r$ stă în coloana lui $s$, deci $x=s$.

Exemplul 3 — Completarea unei table dintr-o regulă

Semnul unei mărimi cu semn ia valorile $-1$, $0$ și $1$. Pe mulțimea $M=\{-1,0,1\}$ se definește $x\ast y$ ca fiind semnul sumei $x+y$. Scrie tabla și stabilește dacă $\ast$ este lege internă pe $M$.

Rezolvare. Pe linia lui $-1$: $-1+(-1)=-2$, cu semnul $-1$; $-1+0=-1$, cu semnul $-1$; $-1+1=0$, cu semnul $0$. Celelalte linii se completează la fel.

Toate cele nouă valori sunt în $M$, deci $\ast$ este lege de compoziție internă pe $M$. Era de așteptat: semnul unui număr real nu poate fi decât $-1$, $0$ sau $1$.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Pe $M=\{1,3,7,9\}$ se definește $x\ast y$ ca fiind ultima cifră a produsului $xy$. Un elev a scris, pe caiet, patru compuneri: $3\ast 7=3$, $7\ast 7=9$, $9\ast 9=9$ și $3\ast 9=7$. Două dintre ele sunt greșite. Găsește-le și corectează-le.

Rezolvare. Recalculăm fiecare: se face produsul, apoi se reține ultima cifră. Pentru prima, $3\cdot 7=21$, deci ultima cifră este $1$, nu $3$ — greșită. Pentru a doua, $7\cdot 7=49$, ultima cifră $9$ — corectă. Pentru a treia, $9\cdot 9=81$, ultima cifră $1$, nu $9$ — greșită. Pentru a patra, $3\cdot 9=27$, ultima cifră $7$ — corectă.

Greșite sunt prima și a treia; în ambele, elevul a repetat primul factor în loc să calculeze ultima cifră a produsului. Valorile corecte, $1$, $9$, $1$ și $7$, sunt toate în $M$ — și, calculând cele șaisprezece căsuțe, se vede că $\ast$ este lege internă pe $M$.

Exemplul 5 — Aceeași formulă, două mulțimi

Două soluții ale aceleiași substanțe, cu concentrațiile $x$ și $y$ exprimate în procente, se amestecă în volume egale; concentrația amestecului este $x\ast y=\frac{x+y}{2}$. Este $\ast$ lege internă pe $[0,100]$? Dar pe mulțimea numerelor întregi din $[0,100]$?

Rezolvare. Pe $[0,100]$ este. Expresia are sens pentru orice pereche, iar dacă $0\le x\le 100$ și $0\le y\le 100$, atunci $0\le x+y\le 200$, deci $0\le \frac{x+y}{2}\le 100$: media a două numere din interval rămâne în interval. Fizic, e limpede: amestecând două soluții nu poți obține una mai concentrată decât cea mai tare dintre ele.

Pe mulțimea numerelor întregi din $[0,100]$ nu este: pentru $x=20$ și $y=15$ obținem $\frac{35}{2}=17,5$, care nu e număr întreg. Operația a rămas în interval, dar a ieșit din mulțimea aleasă — al doilea motiv de respingere, în forma lui cea mai simplă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pe mulțimea ${\mathbb{Z}}_3=\{\hat{0},\hat{1},\hat{2}\}$ se consideră înmulțirea claselor de resturi, $\hat{a}\cdot \hat{b}=\widehat{ab}$.

a) Scrie tabla înmulțirii pe ${\mathbb{Z}}_3$.

b) Arată că înmulțirea este lege de compoziție internă pe ${\mathbb{Z}}_3$.

c) Rezolvă în ${\mathbb{Z}}_3$ ecuația $\hat{2}\cdot \hat{x}=\hat{1}$.

Rezolvare. a) Pe linia lui $\hat{2}$: $\hat{2}\cdot \hat{0}=\hat{0}$; $\hat{2}\cdot \hat{1}=\hat{2}$; $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$, fiindcă $4$ dă restul $1$ la împărțirea cu $3$.

b) Toate cele nouă valori din tablă sunt clase din ${\mathbb{Z}}_3$, deci înmulțirea claselor este lege de compoziție internă pe ${\mathbb{Z}}_3$.

c) Căutăm $\hat{1}$ pe linia lui $\hat{2}$: linia este $\hat{0},\hat{2},\hat{1}$, iar $\hat{1}$ stă în coloana lui $\hat{2}$. Așadar $\hat{x}=\hat{2}$. Verificare: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}=\hat{1}$.

Să exersăm

La fiecare cerință scrie mai întâi mulțimea pe care se lucrează. Ca să respingi, caută o singură pereche care iese; ca să accepți, lucrează cu litere.

1. Sunt adunarea și înmulțirea legi de compoziție interne pe mulțimea multiplilor lui $5$?

2. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Este $x\ast y=x+y-9$ lege internă pe $\mathbb{Z}$? Dar pe $\mathbb{N}$?

3. Este împărțirea, $x\ast y=\frac{x}{y}$, lege internă pe mulțimea numerelor raționale strict pozitive?

4. Pe $M=\{4,9,16,25\}$ se ia înmulțirea. Calculează două căsuțe ale tablei și decide dacă este lege internă pe $M$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă o operație este lege de compoziție internă pe $M$, atunci ea este lege internă și pe orice submulțime nevidă a lui $M$."

6. Scrie tabla legii $x\ast y=\min (x,y)$ pe $M=\{5,6,7\}$ și decide dacă este lege internă.

7. Este $x\ast y=x^2+y^2-1$ lege internă pe $\mathbb{R}$? Justifică fără să calculezi nimic.

8. Scrie tabla legii $x\ast y=|x-y|$ pe $M=\{0,1,2,3\}$ și verifică internitatea.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există o lege de compoziție internă definită pe mulțimea vidă."

10. Scrie tabla legii „ultima cifră a sumei $x+y$" pe $M=\{0,5\}$ și decide dacă este lege internă.

11. Este $x\ast y=\sqrt{x+y}$ lege internă pe $[0,+\infty )$? Dar pe $\mathbb{R}$?

12. (Problemă aplicată.) Un mobil se mișcă pe o axă, iar o etapă de accelerare îi schimbă viteza cu $\Delta v$, măsurat în metri pe secundă. Două etape succesive dau împreună variația $\Delta v_1\ast \Delta v_2=\Delta v_1+\Delta v_2$. Arată că $\ast$ este lege internă pe mulțimea tuturor numerelor reale, dar nu și pe mulțimea variațiilor cuprinse între $-2$ și $2$ metri pe secundă, cât poate măsura aparatul.

13. Scrie tabla legii $x\ast y=x+y-2xy$ pe $M=\{0,1\}$ și decide dacă este lege internă.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Este $x\ast y=3x+3y$ lege internă pe mulțimea multiplilor lui $3$?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră $x\ast y=2xy-x-y+1$. a) Arată că $\ast$ este lege de compoziție internă pe $\mathbb{R}$. b) Calculează $2\ast 3$ și $0\ast 0$. c) Determină numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=1$.

16. Scrie tabla înmulțirii pe $M=\{-2,-1,1,2\}$ și decide dacă este lege internă.

17. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă în tabla scrisă pe $M$ apare un element din afara lui $M$, atunci operația nu este lege internă pe $M$, dar poate fi lege internă pe o mulțime mai mare."

18. (Provocare.) Fie $H$ mulțimea numerelor raționale care se pot scrie sub forma $\frac{m}{2^k}$, cu $m$ număr întreg și $k$ număr natural. Arată că adunarea este lege internă pe $H$, dar împărțirea nu este.

Răspunsuri și explicații

1. Amândouă sunt legi interne. Doi multipli de $5$ se scriu $5k$ și $5m$; suma lor este $5(k+m)$, iar produsul $5(5km)$ — ambele multipli de $5$.

2. Pe $\mathbb{Z}$ da: diferența și suma numerelor întregi sunt întregi. Pe $\mathbb{N}$ nu: $1\ast 2=1+2-9=-6$, care nu e număr natural.

3. Da. Câtul a două numere raționale strict pozitive este definit (numitorul nu poate fi zero) și este tot un număr rațional strict pozitiv.

4. $4\cdot 9=36$, iar $36$ nu este în $M$; la fel, $16\cdot 25=400$. Nu este lege internă pe $M$ — o singură ieșire e de ajuns pentru respingere.

5. Fals. Înmulțirea este lege internă pe $\mathbb{Z}$, dar nu pe submulțimea $\{2,3\}$, fiindcă $2\cdot 3=6$ nu e în ea. Micșorând mulțimea, rezultatele rămân aceleași, dar locul în care trebuie să încapă se strâmtează.

6. Liniile sunt, în ordine: $5,5,5$; apoi $5,6,6$; apoi $5,6,7$. Toate valorile sunt în $M$, deci este lege internă: cel mai mic dintre două elemente ale lui $M$ este tot un element al lui $M$.

7. Da. Expresia $x^2+y^2-1$ este un polinom în $x$ și $y$ cu coeficienți reali, deci are sens pentru orice pereche de numere reale și dă tot un număr real — cele două condiții din definiție, fără niciun calcul.

8. Liniile sunt $0,1,2,3$; $1,0,1,2$; $2,1,0,1$; $3,2,1,0$. Toate valorile sunt în $M$: diferența în modul a două numere din $\{0,1,2,3\}$ nu depășește $3$ și nu e negativă.

9. Fals. Definiția cere mulțimea nevidă: pe mulțimea vidă nu există nicio pereche, deci nu ai ce compune.

10. Liniile sunt $0,5$ și $5,0$, fiindcă ultima cifră a lui $5+5=10$ este $0$. Ambele valori sunt în $M$, deci este lege internă.

11. Pe $[0,+\infty )$ da: suma a două numere nenegative e nenegativă, radicalul are sens, iar rezultatul e tot nenegativ. Pe $\mathbb{R}$ nu: pentru $x=-3$ și $y=1$ ar trebui calculat $\sqrt{-2}$ — primul motiv de respingere.

12. Pe $\mathbb{R}$ este lege internă: o variație de viteză poate fi orice număr real, pozitiv la accelerare și negativ la frânare, iar suma a două numere reale e un număr real. Pe intervalul $[-2,2]$ nu este: $1,5\ast 1,5=3$ metri pe secundă iese din interval. Mulțimea nu e mărginită aici de fenomen, ci de aparat.

13. Liniile sunt $0,1$ și $1,0$: $0\ast 0=0$, $0\ast 1=1$, $1\ast 0=1$, $1\ast 1=1+1-2=0$. Ambele valori sunt în $M$, deci este lege internă.

14. Da. Pentru $x=3k$ și $y=3m$ obținem $3\cdot 3k+3\cdot 3m=3(3k+3m)$, adică tot un multiplu de $3$.

15. a) Expresia $2xy-x-y+1$ este un polinom în $x$ și $y$ cu coeficienți reali, deci are sens pentru orice pereche și dă un număr real. b) $2\ast 3=2\cdot 2\cdot 3-2-3+1=12-4=8$ și $0\ast 0=0-0-0+1=1$. c) Condiția $x\ast x=1$ devine $2x^2-2x+1=1$, adică $2x^2-2x=0$, deci $2x(x-1)=0$ și $x\in \{0,1\}$. Verificare: $1\ast 1=2-1-1+1=1$.

16. Prima linie este $4,2,-2,-4$, iar $4$ nu este în $M$. Nu este lege internă pe $M$: produsul a două elemente poate ieși din mulțime chiar de la prima căsuță.

17. Adevărat. Prima parte e criteriul din subsecțiunea 6; a doua se vede la înmulțirea pe $\{2,3,5,7\}$, care nu e lege internă acolo, dar este pe $\mathbb{N}$.

18. Fie $x=\frac{m}{2^k}$ și $y=\frac{n}{2^j}$. Aducem la același numitor: $x+y=\frac{m\cdot 2^j+n\cdot 2^k}{2^{k+j}}$, cu numărătorul întreg și numitorul putere a lui $2$, deci suma e în $H$. Împărțirea nu e lege internă: nu e definită pentru $y=0$, iar $0$ este în $H$; în plus, $1:3$ ar cere ca $\frac{1}{3}$ să aibă numitor putere a lui $2$.

De reținut

• O lege de compoziție internă pe mulțimea nevidă $M$ este o funcție $\ast :M\times M\to M$: perechea ordonată intră, compusul iese, iar ieșirea rămâne înăuntru.
• Verdictul se dă întotdeauna împreună cu mulțimea; aceeași regulă poate fi lege internă pe o mulțime și să nu fie pe alta.
• Există exact două motive de respingere: operația nu e definită pentru toate perechile sau rezultatul iese din mulțime.
• Pentru respingere e de ajuns o singură pereche; pentru acceptare e nevoie de un raționament cu litere, valabil pentru orice pereche.
• Tabla unei legi pe o mulțime finită are semnul legii în colț, elementele în aceeași ordine pe cele două antete, iar în căsuța de pe linia lui $x$ și coloana lui $y$ stă $x\ast y$; dacă în tablă apare un element străin, regula nu e lege internă pe acea mulțime.

Greșeli frecvente

• Verdictul dat fără mulțime. „Împărțirea nu e lege de compoziție internă" nu e o afirmație completă: nu e pe $\mathbb{R}$, dar este pe mulțimea numerelor raționale strict pozitive. Scrie mulțimea înainte de verdict, de fiecare dată.
• Acceptarea pe baza câtorva perechi. Trei sau patru compuneri care ies bine nu dovedesc nimic; ele pot doar să respingă. Acceptarea cere litere: „fie $x$ și $y$ oarecare din $M$…".
• Confundarea căsuței $x\ast y$ cu căsuța $y\ast x$. Primul element dă linia, al doilea coloana. La tablele în care cele două coincid greșeala trece neobservată, dar la celelalte schimbă rezultatul — de aceea ordinea se citește cu degetul pe tablă, nu din memorie.
• Antetele scrise în ordini diferite. Dacă pe prima linie elementele apar în altă ordine decât pe prima coloană, tabla devine nefolosibilă: nu mai știi care căsuță ce compune, iar orice citire ulterioară e falsă.
• Tabla citită fără verificarea apartenenței. Înainte de orice altceva, uită-te dacă toate valorile scrise sunt în mulțimea de plecare. Dacă nu sunt, tabla nu descrie o lege internă, iar tot ce citești din ea e fără obiect.

Aplică acasă

1. Inventarul operațiilor din caiet. Ia mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, mulțimea numerelor raționale strict pozitive și intervalul $[0,1]$. Pentru fiecare dintre operațiile $+$, $-$, $\cdot$ și $:$ completează un tabel cu „da" sau „nu"; la fiecare „nu", scrie alături perechea vinovată și temeiul respingerii. Ies șaisprezece verdicte, fiecare pe câte un rând, cu justificarea lui.

2. Tabla unei mulțimi de patru elemente. Alege patru cifre și regula „ultima cifră a sumei". Scrie tabla și, dacă apar valori din afara mulțimii, adaugă-le și reia; notează câți pași ți-au trebuit până când tabla s-a închis.

3. Legi din manualul de fizică sau de chimie. Caută trei formule în care din două mărimi de același fel se obține o a treia de același fel: rezistențe, capacități, concentrații, randamente, viteze. Pentru fiecare, scrie mulțimea firească a valorilor posibile și decide dacă regula este lege de compoziție internă pe ea; unde nu este, spune ce valoare a ieșit din mulțime și dacă lucrul acesta are un sens fizic.

Pentru părinți și profesori

Lecția deschide capitolul de structuri algebrice, iar miza ei nu e o tehnică nouă, ci o schimbare de privire. Elevul adună și înmulțește din clasa I; acum e pus, întâia oară, să cerceteze operația ca pe un obiect matematic — o funcție al cărei domeniu e format din perechi. Efortul cerut e de abstractizare, nu de socotit.

De verificat în caiet: mulțimea apare lângă fiecare verdict; un „nu" se sprijină pe o pereche concretă, iar un „da" pe un calcul cu litere; tablele au semnul legii în colț și antetele în aceeași ordine; după fiecare tablă e scrisă propoziția care confirmă apartenența valorilor. Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce înseamnă că $\ast$ e lege internă pe $M$?"; „Îți ajunge o singură pereche ca să dai verdictul «nu»?"; „Unde cauți $x\ast y$ în tablă?"; „Ce faci dacă în tablă apare un element care nu e în mulțime?". Semne că a înțeles: nu mai spune „este lege de compoziție" fără să numească mulțimea și, pus în fața unei reguli noi, întreabă singur unde ajunge rezultatul.

Programa și examenul. Suplimentul de examen al lecției este rândul „Lege de compoziție internă, tabla operației", din capitolul „Grupuri" al programei de bacalaureat M2 în vigoare pentru sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014, clasa a XII-a). Rândul acesta nu mai apare în programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28): structurile algebrice au fost scoase în întregime din clasa a XII-a, care se aplică începând cu anul școlar 2029–2030. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema se cere. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 se scrie că toate subiectele sunt obligatorii, că se acordă zece puncte din oficiu și că timpul de lucru este de trei ore, iar cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte; Subiectul al II-lea are acolo două probleme, prima despre matrice și a doua despre un polinom. Structurile algebrice nu apar în acel model, care este însă unul singur și nu spune ce se dă la fiecare sesiune; programa, în schimb, le cere. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie, iar tema nu figurează nici în programa probei MAT_P2 din 2030.

Întrebări frecvente

Ce este o lege de compoziție internă la clasa a 12-a?

Este o funcție $\ast :M\times M\to M$ definită pe o mulțime nevidă: intră o pereche ordonată, iese un singur element, iar ieșirea nu părăsește mulțimea. Rezultatul $x\ast y$ poartă numele de compusul lui $x$ cu $y$. Adunarea numerelor reale e un exemplu; scăderea pe mulțimea numerelor naturale nu e.

Ce am de dovedit ca să pot spune că o operație e lege internă?

Ai două controale de trecut, în ordinea aceasta: expresia să aibă sens pentru fiecare pereche, iar valoarea ei să nu iasă din mulțime. Raționamentul se poartă pe litere, nu pe numere alese de tine. Dacă unul dintre controale cade, scrii perechea care îl dărâmă și verdictul e „nu".

Ce este tabla operației și la ce folosește?

Este tabelul pătratic în care sunt trecute toate compunerile posibile ale elementelor unei mulțimi finite: în colț se pune semnul legii, pe cele două antete elementele în aceeași ordine, iar în căsuța de la intersecția liniei lui $x$ cu coloana lui $y$ se scrie $x\ast y$. Pe mulțimi mici, tabla înlocuiește complet formula.

Cum verific din tablă dacă operația este lege internă?

Te uiți dacă toate valorile scrise în cele $n^2$ căsuțe aparțin mulțimii de plecare. Dacă da, regula este lege internă; dacă apare măcar un element străin, nu este. Este cel mai rapid test pe o mulțime finită și se face înainte de orice altă citire a tablei.

Ce sunt clasele de resturi modulo 3?

Sunt cele trei grămezi în care se împart numerele întregi după restul lăsat la împărțirea cu $3$: clasa $\hat{0}$, clasa $\hat{1}$ și clasa $\hat{2}$. Mulțimea lor se notează ${\mathbb{Z}}_3$, iar adunarea se face prin $\hat{a}+\hat{b}=\widehat{a+b}$, adică aduni reprezentanții și te uiți în ce clasă cade suma.

Se dă legea de compoziție și la mate-info (M1)? Ce diferă?

Da, și acolo deschide clasa a XII-a. Diferența e de întindere: la matematică-informatică tema ocupă cincisprezece lecții, cu legi pe mulțimi de matrice, de funcții și de submulțimi; la științe ale naturii se lucrează numai pe mulțimi de numere, pe mulțimi finite mici și pe legi date prin formule. Pentru comparație: legea de compoziție la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 o așază la capitolul „Grupuri", în partea de algebră, iar partea de algebră a probei se rezolvă la Subiectul al II-lea. În modelul oficial pentru sesiunea 2026 acest subiect are două probleme, fără vreuna pe structuri algebrice; o asemenea cerință ar porni de la o lege dată prin formulă sau de la o tablă pe o mulțime cu trei ori patru elemente, iar primul subpunct ar cere verificarea sau completarea tablei.