Se consideră funcția $$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$g(x)=13x-34$$ pentru $$x\ne5$$ și $$g(5)=60$$. Cât este $$\lim\limits_{x\to5}g(x)$$?

limita nu există, fiindcă funcția are o valoare pusă separat în $$5$$

Cum estimez o limită dintr-un tabel de valori?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limita într-un punct

Alegi valori ale lui $x$ tot mai apropiate de punct, din ambele părți, și urmărești spre ce număr se strâng valorile funcției. Pentru $f (x) = \frac{x ^{2} + x - 6}{x - 2}$ în $x_{0} = 2$ : $f (1, 9) = 4, 9$ , $f (1, 99) = 4, 99$ , $f (2, 01) = 5, 01$ , $f (2, 1) = 5, 1$ , deci limita pare să fie $5$ . Confirmarea vine din calcul: pentru $x \neq = 2$ , $f (x) = x + 3$ , care tinde la $5$ . Tabelul sugerează rezultatul, iar calculul îl justifică.

A cere limita în $x_{0}$ înseamnă a întreba încotro se strâng valorile atunci când argumentul se plimbă oricât de aproape de $x_{0}$ , ocolindu-l. Punctul rămâne în afara discuției, iar de aici vine folosul practic al noțiunii: întrebarea are răspuns chiar și acolo unde formula nu are sens, iar când funcția are totuși o valoare acolo, ea nu cântărește nimic. Săgeata din $x \to x_{0}$ descrie o deplasare, nu o egalitate.

La profilul acesta răspunsul se obține prin lectură, din trei locuri. Pe desen, urmărești înălțimea curbei apropiindu-te pe rând din fiecare parte; un cerculeț gol marchează tocmai înălțimea căutată, iar bulina plină răspunde la altă întrebare. Într-un tabel de apropiere nu găsești coloana punctului, fiindcă ea nici nu se pune. Prin calcul: mai întâi înlocuirea, iar dacă iese $\frac{0}{0}$ , descompui și tai factorul comun, spunând de ce ai voie.

Capcana. A scrie că limita este $+ \infty$ nu e același lucru cu a scrie că limita lipsește: prima propoziție cere ca ambele apropieri să crească peste orice prag, a doua se rezervă cazului în care ele duc la numere diferite. Un numitor care se anulează nu închide problema, ci o deschide.

De reținut

limita în $x_{0}$ descrie valorile lui $f (x)$ pentru $x$ apropiat de $x_{0}$ , cu $x \neq = x_{0}$
în tabel te apropii de punct din ambele părți
tabelul sugerează, calculul demonstrează

Greșeala tipică

Se ia drept limită valoarea din tabel cea mai apropiată de punct, de exemplu $5, 01$ ; limita este numărul spre care se strâng valorile, adică $5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to - 4 lim (x^{2} + 15 x + 3)$ .
- a) $- 41$
- b) $- 57$
- c) $79$
- d) $- 44$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $- 41$

Expresia este polinomială, deci limita se obține prin înlocuire directă: $(- 4)^{2} + 15 \cdot (- 4) + 3 = 16 - 60 + 3 = - 41$ . Varianta b) pierde cu totul termenul $x^{2}$ ( $- 60 + 3$ ), c) înlocuiește cu $4$ în loc de $- 4$ ( $16 + 60 + 3$ ), iar d) uită termenul liber ( $16 - 60$ ).
Calculează $x \to 9 lim \frac{x ^{2} - 4 x - 45}{x - 9}$ .
- a) $- 5$
- b) $14$
- c) $0$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $14$

Înlocuirea directă dă $\frac{0}{0}$ , deci expresia se prelucrează. Numărătorul are rădăcinile $9$ și $- 5$ , deci $x^{2} - 4 x - 45 = (x - 9) (x + 5)$ , iar pentru orice $x \neq = 9$ fracția devine $x + 5$ . Limita este $9 + 5 = 14$ . Varianta a) dă cealaltă rădăcină, c) tratează $\frac{0}{0}$ drept rezultat, iar d) folosește $x - 5$ în loc de $x + 5$ .
Se consideră funcția $g : R \to R$ , $g (x) = 13 x - 34$ pentru $x \neq = 5$ și $g (5) = 60$ . Cât este $x \to 5 lim g (x)$ ?
- a) $60$
- b) $65$
- c) $31$
- d) limita nu există, fiindcă funcția are o valoare pusă separat în $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $31$

Valorile din jurul lui $5$ sunt date de prima formulă, deci se strâng spre $13 \cdot 5 - 34 = 31$ . Valoarea $g (5) = 60$ nu intră în calculul limitei: ea descrie punctul, iar limita descrie vecinătatea lui. Varianta a) citește valoarea în loc de limită, b) uită termenul liber $- 34$ , iar d) confundă existența limitei cu potrivirea dintre limită și valoare.

Întrebări conexe

Poate limita într-un punct să difere de valoarea funcției acolo?

Da. Dacă $f (x) = x + 1$ pentru $x \neq = 3$ , iar $f (3) = 10$ , valorile din jurul lui $3$ se apropie de $4$ , deci limita este $4$ , deși $f (3) = 10$ . Limita descrie ce se întâmplă lângă punct, nu în punct; când cele două coincid, funcția este continuă acolo.

Cum arată pe grafic o limită infinită într-un punct?

Graficul urcă sau coboară nemărginit lângă o dreaptă verticală. Pentru $f (x) = \frac{1}{( x - 2 ) ^{2}}$ , valorile cresc peste orice prag când $x$ se apropie de $2$ din ambele părți, deci limita în $2$ este $+ \infty$ , iar dreapta $x = 2$ este asimptotă verticală.

Cum aflu limita unei funcții polinomiale într-un punct?

Înlocuiești direct, fiindcă graficul unui polinom nu are întreruperi. De exemplu, $x \to 2 lim (3 x^{2} - x + 4) = 12 - 2 + 4 = 14$ . Tabelul de valori ar arăta același lucru, dar înlocuirea este suficientă și se acceptă în rezolvare.

De ce un tabel de valori nu demonstrează o limită?

Un tabel conține doar câteva valori, iar funcția se poate comporta altfel între ele sau și mai aproape de punct. Tabelul formulează o bănuială; demonstrația vine dintr-o prelucrare algebrică, de exemplu simplificarea unui factor comun, urmată de înlocuire.

Ce arată limita vitezei medii când intervalul de timp se micșorează?

Arată viteza la un moment dat. Pentru $s (t) = 5 t^{2}$ metri, viteza medie pe $[2, 2 + h]$ este $\frac{5 ( 2 + h ) ^{2} - 20}{h} = 20 + 5 h$ m/s. Când $h$ tinde la $0$ , ea tinde la $20$ m/s: aceasta este viteza la $t = 2$ s, idee care duce la derivată.

Oamenii mai întreabă și: limita dintr-un tabel de valori · cum aflu limita cu un tabel · estimarea unei limite numeric · tabel de valori și limita unei funcții