Limita într-un punct, citită de pe grafic (M2, științe ale naturii)

Un senzor de laborator măsoară temperatura din patru în patru secunde, dar exact la secunda a patruzecea aparatul se resetează și nu înregistrează nimic. Rămâi fără o valoare — și totuși, privind șirul de măsurători dinaintea și de după acel moment, poți spune cu siguranță ce ar fi trebuit să arate. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), operația aceasta are un nume: limita unei funcții într-un punct. Cu ea se deschide analiza matematică și, la bacalaureatul M2, capitolul pe care se sprijină cerințele de analiză de la Subiectul al III-lea; în modelul oficial al probei, o cerință de cinci puncte sună chiar „Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\dots$".

La profilul științe ale naturii limita nu se definește cu șiruri, ci se citește: de pe un grafic, dintr-un tabel de valori sau, când expresia permite, printr-un calcul scurt. Lecția de astăzi te învață exact asta — și, mai ales, te învață să nu confunzi niciodată tendința valorilor cu valoarea din punct.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui în cuvintele tale ce descrie limita în punctul $x_0$ și cum se scrie ea, cu simbolul $\lim$.
• Vei ști să citești limita de pe un grafic, în puncte în care graficul e neîntrerupt, în puncte în care are o „gaură" și în puncte în care sare.
• Vei ști să estimezi o limită dintr-un tabel de valori, apropiindu-te de punct din amândouă părțile.
• Vei ști de ce limita nu depinde de valoarea $f(x_0)$ și de ce ea poate fi cerută chiar acolo unde funcția nu e definită.
• Vei ști să recunoști o limită infinită și să o deosebești de cazul în care limita nu există.
• Vei ști să redactezi o cerință de tipul „Arătați că $\lim \dots$", așa cum apare la Subiectul al III-lea.

Hai să descoperim împreună

1. Ce se întâmplă cu valorile lângă un punct?

Ia funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$, și punctul $x_0=3$. Dacă îi dai lui $x$ valori tot mai apropiate de $3$, valorile funcției se strâng în jurul lui $7$: pentru $x=2,99$ obții $6,98$, pentru $x=3,001$ obții $7,002$. Nimic surprinzător — dar observă că am răspuns la întrebarea „încotro se duc valorile?" fără să folosim nicio clipă valoarea $f(3)$.

Limita funcției $f$ în punctul $x_0$ este numărul $\ell$ de care valorile $f(x)$ se apropie oricât de mult atunci când îl luăm pe $x$ tot mai aproape de $x_0$, fără ca $x$ să fie vreodată egal cu $x_0$. Se notează $$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell .$$

Trei precizări de fixat din prima zi. Simbolul $x\to x_0$ se citește „$x$ tinde la $x_0$" și descrie o mișcare, nu o egalitate. Punctul $x_0$ este exclus din discuție: ne uităm la ce se întâmplă lângă el, nu în el. Iar numărul $\ell$, dacă există, este unic — nu poate exista un al doilea număr spre care să se strângă aceleași valori.

2. Cum se citește limita de pe un grafic?

Aici se vede de ce profilul științe ale naturii pune lectura grafică înaintea calculului: pe desen, limita se citește dintr-o privire. Pui degetul pe axa $Ox$ la stânga lui $x_0$ și îl aduci spre $x_0$, urmărind înălțimea curbei; apoi faci același lucru venind din dreapta. Dacă ambele drumuri duc la aceeași înălțime $\ell$, acela este numărul căutat.

Graficele pe care le vei întâlni se împart în trei feluri, iar deosebirea dintre ele este toată lecția:

Al doilea rând este cel mai instructiv: gaura arată că funcția nu e definită acolo sau că valoarea ei a fost pusă în altă parte, dar curba de o parte și de alta spune limpede la ce înălțime „ar trebui" să fie punctul. Exact această înălțime e limita.

3. Ce legătură are limita cu vecinătățile?

Formularea riguroasă a lecturii de mai sus folosește fâșiile pe care le-ai construit la intervale, mărginire și vecinătăți, și tocmai această formulare o cere programa.

Egalitatea $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$ înseamnă: oricât de îngustă ar fi o fâșie în jurul lui $\ell$, se poate găsi o fâșie în jurul lui $x_0$ astfel încât toate valorile $f(x)$, luate pentru $x$ din a doua fâșie și diferit de $x_0$, să cadă în prima.

Citită pe desen, propoziția spune ceva simplu: dacă îți impun o toleranță pe verticală, eu îți pot da o toleranță pe orizontală care o asigură. Cu cât ceri o fâșie mai strâmtă în jurul lui $\ell$, cu atât trebuie să te apropii mai mult de $x_0$ — dar se poate întotdeauna, oricât de mult ai strânge. Aceasta e deosebirea dintre „valorile sunt cam pe acolo" și „valorile tind la $\ell$".

Observă și de ce punctul $x_0$ este scos din joc: condiția se cere pentru $x\ne x_0$, deci ce valoare are funcția chiar în $x_0$ — sau dacă are vreuna — nu influențează nimic.

4. De ce nu contează valoarea funcției în punct?

Pentru că limita descrie vecinătatea, nu punctul. Și, în practică, tocmai asta o face folositoare: îți dă un răspuns acolo unde măsurătoarea lipsește.

Ia funcția $f(x)=\frac{x^2-16}{x-4}$, care nu este definită în $4$, fiindcă numitorul se anulează acolo. Pentru orice $x\ne 4$ însă, numărătorul se descompune și fracția se simplifică: $$\frac{x^2-16}{x-4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}=x+4.$$ Ai voie să simplifici exact fiindcă $x\ne 4$: factorul $x-4$ este nenul, deci poate fi tăiat. Expresia rămasă, $x+4$, se apropie de $8$ când $x$ se apropie de $4$, deci $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x-4}=8$. Graficul este dreapta $y=x+4$ din care s-a scos punctul $(4,8)$ — exact „gaura" din tabelul de mai sus.

Al doilea caz: funcția este definită în punct, dar cu o valoare pusă anume în altă parte. Dacă $g(x)=5x-2$ pentru $x\ne 1$ și $g(1)=40$, atunci valorile din jurul lui $1$ se strâng spre $3$, oricât de aproape de $1$ te-ai uita, iar valoarea $40$ nu are cum să fie „prinsă" de ele: $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=3$, deși $g(1)=40$. Compararea acestor două numere va deveni, peste câteva lecții, definiția continuității.

5. Când nu există limita?

Când cele două drumuri — venind din stânga și venind din dreapta — duc la înălțimi diferite. Graficul are atunci un salt, iar întrebarea „încotro se duc valorile?" nu are un singur răspuns.

Funcția $h(x)=\frac{x^2-4}{|x-2|}$, definită pentru $x\ne 2$, este exemplul cel mai scurt. Pentru $x>2$ avem $|x-2|=x-2$, deci $h(x)=x+2$, iar valorile se strâng spre $4$. Pentru $x<2$ avem $|x-2|=2-x$, deci $h(x)=-(x+2)$, iar valorile se strâng spre $-4$. Cele două răspunsuri, $4$ și $-4$, nu pot fi amândouă limita, deci funcția nu are limită în $2$.

Măsurarea acestui dezacord, cu un nume propriu pentru fiecare parte, este tema lecției următoare, limite laterale: când există limita unei funcții. Aici reținem doar concluzia: o singură apropiere nu decide nimic; trebuie ca amândouă să dea același număr.

6. Ce înseamnă o limită infinită într-un punct?

Uneori valorile nu se apropie de niciun număr, ci cresc peste orice prag. Ia $u(x)=\frac{3}{(x+2{)}^2}$ și punctul $-2$: numitorul este un pătrat, deci rămâne strict pozitiv și se micșorează oricât, iar fracția crește nemărginit. Pentru $x=-1,9$ valoarea e $300$, pentru $x=-2,01$ e $30000$, pentru $x=-2,001$ e $3000000$.

În limbajul dreptei încheiate, valorile intră în orice vecinătate a lui $+\infty$, deci scriem $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{3}{(x+2{)}^2}=+\infty$. Atenție la felul în care se spune: limita există și este $+\infty$; nu se scrie „limita nu există". Cele două afirmații sunt diferite și nu se confundă.

7. Cum se calculează, deocamdată, o limită?

Cu două mișcări, atât. Prima: dacă funcția este dintre cele studiate — o funcție de gradul I, una de gradul al II-lea sau o fracție al cărei numitor nu se anulează în punct — și graficul ei trece neîntrerupt prin $x_0$, limita este chiar valoarea obținută prin înlocuire directă. A doua: dacă înlocuirea dă $\frac{0}{0}$, expresia trebuie prelucrată înainte, de obicei prin descompunerea numărătorului și simplificare, ca la funcția din secțiunea a patra.

Nedeterminarea $\frac{0}{0}$ nu este un rezultat, ci un semnal că mai ai de lucru. Tehnicile complete, pe fiecare tip de funcție din programă, sunt tema lecției despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale; aici le folosim doar pe cele două de mai sus, cât să putem citi un grafic și un tabel.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Trei limite citite de pe același grafic

O funcție $f$ are graficul descris astfel: pe intervalul $[0,2)$ coincide cu dreapta $y=x+1$; în punctul $2$ graficul are un punct gol la înălțimea $3$ și o bulină plină la înălțimea $6$, adică $f(2)=6$; pe intervalul $(2,5]$ coincide cu dreapta $y=9-2x$. Citiți $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)$.

Rezolvare.

În $1$ curba trece neîntrerupt: venind și din stânga, și din dreapta, înălțimile se strâng spre $1+1=2$. Deci $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=2$.

În $2$ trebuie verificate amândouă părțile. Din stânga, pe dreapta $y=x+1$, înălțimile merg spre $3$. Din dreapta, pe dreapta $y=9-2x$, ele merg spre $9-4=5$. Cum $3\ne 5$, limita nu există în $2$ — și observă că bulina plină de la înălțimea $6$ n-a intervenit deloc în raționament.

În $4$ curba trece neîntrerupt pe a doua ramură: $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)=9-8=1$.

Reține ordinea în care ai lucrat: mai întâi stânga, apoi dreapta, apoi compari — valoarea din punct se citește separat, și numai dacă e cerută.

Exemplul 2 — Limita estimată dintr-un tabel de măsurători

Un senzor urmărește concentrația unei soluții, în grame pe litru, la $t$ minute de la începutul diluării. Datele se potrivesc cu formula $c(t)=\frac{t^2+t-12}{t-3}$, iar la $t=3$ aparatul nu a înregistrat nimic. a) Completați tabelul cu valorile concentrației. b) Estimați către ce valoare se îndreaptă concentrația la apropierea de minutul $3$ și confirmați prin calcul.

Rezolvare.

a) Valorile sunt cele din tabel; pentru $t=2,9$, de pildă, numărătorul face $8,41+2,9-12=-0,69$, numitorul $-0,1$, iar raportul $6,9$.

b) Cele două coloane din stânga urcă spre $7$, iar cele două din dreapta coboară spre $7$: estimarea este $7$ g/L. Confirmarea prin calcul: numărătorul se descompune, $t^2+t-12=(t-3)(t+4)$, iar pentru $t\ne 3$ fracția se simplifică: $$\frac{t^2+t-12}{t-3}=\frac{(t-3)(t+4)}{t-3}=t+4⟶7.$$ Deci $\underset{t\to 3}{\lim }c(t)=7$ g/L. Măsurătoarea lipsă a fost recuperată din tendința celorlalte — asta face limita într-un laborator.

Exemplul 3 — O fracție care se simplifică

Calculați $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x-2}$.

Rezolvare. Prin înlocuire directă, numărătorul dă $4-2-2=0$ și numitorul dă $0$: nedeterminarea $\frac{0}{0}$, deci expresia trebuie prelucrată. Numărătorul are rădăcina $2$, deci se descompune folosind și cealaltă rădăcină, $-1$: $$\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1,x\ne 2.$$ Expresia rămasă se apropie de $3$, deci $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-x-2}{x-2}=3$.

Control numeric. Pentru $x=2,001$ raportul face $3,001$, iar pentru $x=1,999$ face $2,999$ — valorile se strâng spre $3$ din ambele părți, cum era de așteptat.

Exemplul 4 — O limită infinită

Calculați $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{7}{(x-5{)}^2}$ și precizați dacă limita există.

Rezolvare. Pentru orice $x\ne 5$, numitorul $(x-5{)}^2$ este strict pozitiv și devine oricât de mic la apropierea de $5$, în timp ce numărătorul rămâne $7$. O fracție cu numărător constant pozitiv și numitor pozitiv care se micșorează crește peste orice prag, deci $$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{7}{(x-5{)}^2}=+\infty .$$ Control: pentru $x=5,01$ valoarea e $70000$, iar pentru $x=4,999$ e $7000000$.

Răspunsul corect la întrebarea din enunț este: limita există și este $+\infty$. Formularea „nu există limită" ar fi greșită aici, pentru că ambele apropieri dau același comportament. Deosebirea contează: pătratul de la numitor ține semnul pozitiv pe amândouă părțile.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-9}{x-3}$ și scrie: „Funcția nu este definită în $3$, pentru că numitorul se anulează; prin urmare limita nu există." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Greșeala este confuzia dintre domeniu și limită. Ca să ceri limita într-un punct, nu ai nevoie ca funcția să fie definită acolo; ai nevoie doar să existe valori ale funcției oricât de aproape de acel punct, ceea ce aici se întâmplă: expresia are sens pentru orice $x\ne 3$.

Ba mai mult, acesta este cazul în care limita chiar are ceva de spus. Descompunem numărătorul ca diferență de pătrate și simplificăm, legitim, pentru că $x\ne 3$: $$\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3⟶6.$$ Prin urmare limita există și este $6$. Reține regula: dacă înlocuirea directă dă $\frac{0}{0}$, aceasta e o invitație la prelucrare, nu un verdict de inexistență.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+6$. a) Calculați $f(2)$ și $f(3)$. b) Arătați că $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f(x)}{x-2}=-1$. c) Arătați că $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)}{x-3}=1$.

Rezolvare.

a) $f(2)=4-10+6=0$ și $f(3)=9-15+6=0$. Ambele valori fiind nule, numerele $2$ și $3$ sunt rădăcinile funcției, deci $f(x)=(x-2)(x-3)$.

b) Cum înlocuirea directă ar da $\frac{0}{0}$, folosim descompunerea de la a). Pentru $x\ne 2$, $$\frac{f(x)}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3⟶2-3=-1,$$ ceea ce trebuia arătat.

c) Analog, pentru $x\ne 3$ avem $\frac{f(x)}{x-3}=x-2⟶1$.

De la examen la lecție. Forma cerințelor este cea din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde una dintre cerințele de cinci puncte ale Subiectului al III-lea este chiar „Arătați că $\lim \dots$" cu rezultatul dat în enunț. Rezolvarea are trei pași: descompunerea, simplificarea justificată prin $x\ne x_0$ și trecerea la limită. Scrie-i pe toți trei, chiar dacă rezultatul se vede din prima.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare limită care dă $\frac{0}{0}$, scrie explicit că numitorul nu e nul pentru $x\ne x_0$ — acolo stă justificarea simplificării.

1. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }(3x-5)$.

2. Calculează $\underset{x\to -1}{\lim }\left(x^2+2x+5\right)$.

3. Calculează $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x}$, precizând unde folosești faptul că $x\ne 0$.

4. Calculează $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-9x+20}{x-5}$.

5. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+2x-8}{x-2}$.

6. Fie $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2-1$ pentru $x\ne 3$ și $g(3)=0$. Calculează $\underset{x\to 3}{\lim }g(x)$ și compară rezultatul cu $g(3)$.

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\ell$, atunci $f(x_0)=\ell$."

8. Calculează $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{5}{(3x-21{)}^2}$ și scrie concluzia în forma corectă.

9. Un tabel dă valorile unei funcții: $f(1,9)=5,7$; $f(1,99)=5,97$; $f(2,01)=6,03$; $f(2,1)=6,3$. Estimează $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ și spune ce funcție simplă ar putea produce aceste valori.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$. Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=-2$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^3-27}{x-3}$.

12. (Problemă aplicată.) Într-o cultură de drojdie, masa de dioxid de carbon degajat, în grame, la $t$ ore de la însămânțare, este $m(t)=\frac{3t^2-12t}{t-4}$, formulă valabilă pentru $t\in [0,10]$, $t\ne 4$. Calculează $\underset{t\to 4}{\lim }m(t)$ și explică ce înseamnă rezultatul pentru cel care urmărește cultura.

13. Determină numărul real $a$ pentru care $\underset{x\to -1}{\lim }(3x+a)=5$.

14. Calculează $\underset{x\to 9}{\lim }\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$, amplificând fracția cu expresia conjugată a numitorului (reține că $\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=x-9$ pentru $x\ge 0$).

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x+3}$. Calculați $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$.

16. Arată că funcția $h(x)=\frac{x^2-36}{|x-6|}$, definită pentru $x\ne 6$, nu are limită în $6$.

17. Se știe despre o funcție $f$ doar că $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=5$. Ce poți spune despre $f(2)$? Dă două funcții diferite care respectă condiția.

18. (Provocare.) Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. Arată că, luând $\delta =0,016$, orice $x$ cu $|x-3|<\delta$ dă $|f(x)-9|<0,1$. Ce anume ai verificat, în limbajul fâșiilor din secțiunea a treia?

Răspunsuri și explicații

1. Funcția fiind de gradul I, graficul trece neîntrerupt prin punct, deci limita se obține prin înlocuire directă: $3\cdot 4-5=7$.

2. Tot prin înlocuire directă, la o funcție de gradul al doilea: $1-2+5=4$.

3. Înlocuirea dă $\frac{0}{0}$. Pentru $x\ne 0$ se poate da factor comun și simplifica: $\frac{x(x-2)}{x}=x-2$, tocmai pentru că numitorul nu e nul. Expresia rămasă se apropie de $-2$, deci limita este $-2$.

4. Rădăcinile numărătorului sunt $5$ și $4$, deci $\frac{(x-5)(x-4)}{x-5}=x-4$ pentru $x\ne 5$, iar limita este $1$. Control: la $x=5,001$ raportul face $1,001$.

5. Rădăcinile numărătorului sunt $2$ și $-4$, deci $\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}=x+4$ pentru $x\ne 2$, iar limita este $6$.

6. Valorile din jurul lui $3$ sunt date de prima ramură, deci se strâng spre $9-1=8$: limita este $8$, pe când $g(3)=0$. Nu e nicio contradicție aici: limita e o proprietate a fâșiei din jurul punctului, iar $g(3)$ e o simplă valoare tabelată, pusă de definiție acolo unde a vrut autorul ei.

7. Fals. Contraexemplul este chiar funcția din exercițiul precedent: limita în $3$ este $8$, iar valoarea funcției acolo este $0$. Mai mult, $f$ poate să nici nu fie definită în $x_0$, și totuși limita să existe.

8. Dă factor comun sub pătrat: $(3x-21{)}^2=9(x-7{)}^2$. Numitorul e deci strict pozitiv pentru $x\ne 7$ și se micșorează oricât, iar numărătorul rămâne $5>0$: valorile cresc peste orice prag pe amândouă părțile. Concluzia corectă este că limita există și $\underset{x\to 7}{\lim }\frac{5}{(3x-21{)}^2}=+\infty$.

9. Valorile urcă spre $6$ din stânga și coboară spre $6$ din dreapta, deci estimarea este $6$. O funcție care produce exact aceste numere este $f(x)=3x$: într-adevăr, $3\cdot 1,9=5,7$ și $3\cdot 2,1=6,3$.

10. Cum $f(1)=1-4+3=0$ și $f(3)=0$, avem $f(x)=(x-1)(x-3)$. Pentru $x\ne 1$, $\frac{f(x)}{x-1}=x-3$, iar limita cerută este $1-3=-2$.

11. Se folosește descompunerea diferenței de cuburi, $x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$. Pentru $x\ne 3$ fracția devine $x^2+3x+9$, iar limita este $9+9+9=27$.

12. Pentru $t\ne 4$ se dă factor comun $3t$ la numărător: $\frac{3t(t-4)}{t-4}=3t$, deci $\underset{t\to 4}{\lim }m(t)=12$ grame. Modelul nu dă niciun număr exact la ora a patra, pentru că formula nu are sens acolo; valorile dinainte și de după arată însă, fără dubiu, că în acel moment cultura degajase $12$ grame de dioxid de carbon.

13. Funcția fiind de gradul I, limita se obține prin înlocuire: $-3+a$. Din $-3+a=5$ rezultă $a=8$. Control: $\underset{x\to -1}{\lim }(3x+8)=5$.

14. Amplificăm cu $\sqrt{x}+3$ și folosim că $\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)=x-9$ pentru $x\ge 0$: $$\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}=\frac{(x-9)\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}=\sqrt{x}+3⟶6.$$ Limita este $6$. Simplificarea e legitimă fiindcă $x\ne 9$.

15. Numitorul în punctul $1$ face $4\ne 0$, deci nu apare nicio nedeterminare, iar limita se obține prin înlocuire directă: $\frac{2+1}{1+3}=\frac{3}{4}$.

16. Pentru $x>6$ avem $|x-6|=x-6$, deci $h(x)=x+6$ și valorile se strâng spre $12$. Pentru $x<6$ avem $|x-6|=6-x$, deci $h(x)=-(x+6)$ și valorile se strâng spre $-12$. Cele două apropieri dau numere diferite, deci limita nu există în $6$.

17. Despre $f(2)$ nu se poate spune nimic: poate fi orice număr sau poate să nu existe deloc. Două funcții care respectă condiția: prima, $f(x)=2x+1$, pentru care $f(2)=5$; a doua, $g(x)=2x+1$ pentru $x\ne 2$ și $g(2)=100$, pentru care limita în $2$ rămâne tot $5$.

18. Din $|x-3|<0,016$ rezultă $2,984<x<3,016$, deci $|x+3|<6,016$. Atunci $$|f(x)-9|=|x-3|\cdot |x+3|<0,016\cdot 6,016=0,096256<0,1.$$ Ai verificat exact mecanismul fâșiilor: pentru fâșia de rază $0,1$ din jurul valorii $9$ ai găsit o fâșie de rază $0,016$ din jurul punctului $3$ care o asigură. Asta înseamnă $\underset{x\to 3}{\lim }{x}^2=9$.

De reținut

• Limita în $x_0$ descrie vecinătatea punctului, nu punctul: ea este numărul spre care se strâng valorile $f(x)$ pentru $x$ oricât de aproape de $x_0$, dar diferit de $x_0$. Valoarea $f(x_0)$ nu intră în calcul și poate nici să nu existe.
• Se citește din trei surse: de pe grafic (curbă neîntreruptă, gaură sau salt), dintr-un tabel de valori (apropiere din amândouă părțile) sau prin calcul — înlocuire directă, iar la $\frac{0}{0}$ descompunere și simplificare.
• Ambele apropieri trebuie să dea același număr. Dacă venind din stânga obții altă înălțime decât venind din dreapta, limita nu există; o singură apropiere nu decide niciodată.
• Limita infinită există. Când valorile cresc peste orice prag pe ambele părți, se scrie $\lim f(x)=+\infty$; formularea „limita nu există" spune cu totul altceva și se rezervă cazului în care cele două apropieri nu cad la fel.
• La redactare se scriu toți pașii: semnalarea nedeterminării $\frac{0}{0}$, descompunerea, simplificarea justificată prin $x\ne x_0$ și trecerea la limită cu rezultat numeric.

Greșeli frecvente

• Citești limita de pe grafic de la înălțimea bulinei pline, nu de la cea a cerculețului gol. Bulina spune cât face $f(x_0)$, iar cerculețul arată la ce înălțime se strâng valorile vecine — adică exact limita. Când cele două stau la înălțimi diferite, numărul citit de la bulină este răspunsul la altă întrebare decât cea pusă.
• Simplifici fără să spui de ce ai voie. Tăierea factorului $x-x_0$ este permisă doar pentru $x\ne x_0$, iar asta trebuie scris: e un pas al rezolvării, nu o formalitate.
• Iei „gaura" din grafic drept semn că limita lipsește. Un cerculeț gol în $x_0$ nu spune nimic împotriva existenței limitei — dimpotrivă, el arată chiar înălțimea ei. Limita lipsește doar când curba sare de la o înălțime la alta, ceea ce se vede altfel pe desen.
• Tragi concluzia dintr-o singură parte a graficului. Ai calculat ce se întâmplă la stânga lui $x_0$ și ai scris răspunsul; dacă la dreapta funcția are altă ramură, rezultatul e greșit. Verifică întotdeauna amândouă părțile.
• Cauți valoarea $f(x_0)$ în tabel și o dai drept limită. Tabelul de apropiere nu conține nicio coloană pentru $x=x_0$, tocmai pentru că punctul e scos din discuție; limita se citește din tendința coloanelor vecine.

Aplică acasă

1. Limita cu rigla. Alege din manualul de fizică sau de biologie un grafic și fixează pe axa orizontală un punct. Măsoară cu rigla înălțimea curbei la $1$ cm, la $0,5$ cm și la $0,2$ cm în stânga punctului, apoi la aceleași distanțe în dreapta. Notează cele șase înălțimi și spune spre ce valoare se strâng.

2. Ora fără măsurătoare. Caută pe internet un set de date publice înregistrate din oră în oră (temperaturi, calitatea aerului, cursul valutar) și găsește o oră fără valoare. Scrie ce valoare ai completa tu acolo și justifică alegerea cu vecinele ei. Ai făcut, empiric, o trecere la limită — exact ce face un laborator cu o citire pierdută.

3. Cele trei feluri de grafic, desenate de tine. Pe aceeași foaie, desenează trei grafice mici cu același punct $x_0$ marcat: unul prin care curba trece neîntrerupt, unul cu un cerculeț gol și o bulină pusă în altă parte, unul care sare. Scrie sub fiecare dacă limita există și cât face, apoi dă-i foaia unui coleg s-o citească.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul XI.2, cu formularea „interpretarea grafică a limitei unei funcții într-un punct și prin intermediul vecinătăților". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere aceeași formulare, iar limitele apar la Subiectul al III-lea: în modelul oficial al probei, a doua cerință a primei probleme de analiză este chiar „Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\dots$", cotată cu cinci puncte. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

O precizare de traseu, pentru cine compară manualele: la profilul științe ale naturii limita nu se definește cu ajutorul șirurilor. Programa cere interpretarea grafică și formularea cu vecinătăți, iar capitolul de limite de șiruri nu există la acest profil. Un elev de M2 care întâlnește „criteriul cu șiruri" citește, fără să știe, materie de matematică-informatică.

Lecția verifică patru lucruri: (1) citirea limitei de pe grafic, cu ambele apropieri; (2) deosebirea dintre tendința valorilor și valoarea tabelată în punct; (3) recunoașterea nedeterminării $\frac{0}{0}$ și prelucrarea ei; (4) formularea corectă a concluziei, mai ales la limitele infinite. Întrebări de control: „Arată-mi pe desen de unde ai citit numărul"; „Ce se schimbă dacă mut bulina din punct mai sus cu trei unități?"; „Când ai voie să scrii $+\infty$ și când trebuie să scrii că limita lipsește?". Semn că elevul a înțeles: înainte de a răspunde, verifică ambele părți ale punctului. Continuarea firească este lecția despre limite laterale: când există limita unei funcții.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă simbolul $x\to x_0$? Se citește „$x$ tinde la $x_0$" și descrie o mișcare, nu o egalitate: îi dăm lui $x$ valori tot mai apropiate de $x_0$, fără ca el să ajungă vreodată acolo. De aceea, sub semnul limitei, punctul e doar o țintă către care ne îndreptăm, iar ce se petrece chiar în el rămâne în afara discuției.

Cum se citește limita de pe graficul unei funcții? Urmărești înălțimea curbei venind spre $x_0$ mai întâi din stânga, apoi din dreapta. Dacă ambele drumuri duc la aceeași înălțime, aceea e limita; dacă duc la înălțimi diferite, limita nu există. Pe grafic, deci, nu cauți un punct, ci o înălțime către care urcă sau coboară curba de ambele părți.

Ce se întâmplă dacă graficul are o „gaură" exact în punctul cerut? Nimic rău: gaura e chiar cazul în care limita e cea mai folositoare. Cerculețul gol arată la ce înălțime „ar trebui" să fie punctul, iar acea înălțime este limita. Gaura apare când expresia nu are sens în punct — de obicei la o fracție care se simplifică — sau când valoarea funcției a fost pusă anume altundeva.

Se dă la fel limita la M1 și la M2? Noțiunea e aceeași, definiția nu. La profilul matematică-informatică limita se introduce cu ajutorul șirurilor, se discută punctele de acumulare și se folosesc limitele fundamentale — toate absente din programa de științe ale naturii, care cere interpretarea grafică și vecinătățile. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: limita într-un punct, cu lectură grafică și definiția cu șiruri tratează aceste teme suplimentare.

La ce subiect apar limitele la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, alcătuit din două probleme de analiză matematică a câte trei cerințe de cinci puncte. În modelul oficial al probei, una dintre cerințe are chiar forma „Arătați că $\lim \dots$", cu rezultatul scris în enunț; limitele mai intervin, indirect, la asimptote și la studiul variației unei funcții.

Ce fac dacă înlocuirea directă dă $\frac{0}{0}$? Prelucrezi expresia, nu te oprești. La funcțiile din programă asta înseamnă, aproape mereu, să descompui numărătorul în factori, să recunoști factorul comun cu numitorul și să notezi explicit că simplificarea e permisă pentru $x\ne x_0$. Abia în expresia rămasă înlocuiești punctul.

De ce nu e destul să mă uit doar la valorile din stânga punctului? Fiindcă cealaltă parte poate spune altceva. La o funcție cu prag sau cu modul, apropierea prin valori mai mici duce la un număr, iar cea prin valori mai mari la altul; dacă te oprești după prima, scrii un răspuns care nu există. Regula practică: un singur drum nu decide niciodată, două drumuri care coincid decid.

Trebuie să știu definiția cu șiruri pentru bacalaureatul M2? Nu. Programa de examen a profilului științe ale naturii cere interpretarea grafică a limitei și formularea cu vecinătăți, nu criteriul cu șiruri. Dacă îl întâlnești într-o culegere, ai nimerit peste materie de matematică-informatică: o poți citi din curiozitate, dar nu ți se cere la examen.