Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=31+\dfrac{18}{x+2}$$. Ce se poate spune despre limita la $$-\infty$$ și despre valorile funcției pentru $$x<-2$$?

limita este $$31$$, iar pentru $$x<-2$$ valorile sunt mai mici decât $$31$$

limita este $$31$$, iar pentru $$x<-2$$ valorile sunt mai mari decât $$31$$

limita este $$18$$, iar valorile sunt mai mici decât $$18$$

limita este $$49$$, iar valorile se apropie de ea crescând

Ce înseamnă că x tinde la infinit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite la capete

Scrierea $x \to + \infty$ înseamnă că $x$ ia valori tot mai mari, care depășesc orice prag fixat; $x \to - \infty$ înseamnă că $x$ coboară sub orice prag. Nu este un număr la care ajunge $x$ , ci o direcție. Limita spune spre ce se îndreaptă atunci valorile funcției. De exemplu, $f (x) = \frac{6 x + 1}{2 x - 3}$ dă $f (1000) \approx 3, 005$ , iar limita la $+ \infty$ este $3$ , fiindcă termenii în $x$ domină.

Spre capete nu există o țintă, ci o direcție: argumentul urcă peste orice prag sau coboară sub oricare, iar întrebarea are obiect doar dacă domeniul continuă în partea aceea. Cele două capete nu se amestecă — se calculează pe rând, fiecare cu semnul lui. La o expresie de gradul I ele dau răspunsuri de semne contrare.

Toată tema stă pe un singur fapt: o fracție cu numărător constant și numitor care crește nemărginit se stinge. Ca să-l poți folosi, aduci expresia la forma „un număr fix, plus ceva care dispare": $\frac{6 x + 9}{x + 3}$ se rescrie $6 - \frac{9}{x + 3}$ , iar rezultatul se vede fără calcul. Aceeași rescriere arată și dacă valorile se apropie de sus sau de jos.

Capcana. O coloană de numere sugerează, dar nu demonstrează: patru valori pot fi la fel de bine începutul unei apropieri sau o coincidență, iar în lucrare se cere raționamentul. Alte două greșeli costă la fel: sensul de variație confundat cu limita — o funcție crescătoare coboară în stânga — și simbolul infinitului scris fără semn. Într-un model din laborator, numărul obținut e plafonul procesului și se dă cu unitatea lui.

De reținut

$x \to + \infty$ : $x$ depășește orice prag; $x \to - \infty$ : coboară sub orice prag
$x \to \pm \infty lim \frac{k}{x} = 0$ pentru orice număr $k$
capetele $+ \infty$ și $- \infty$ se studiază separat

Greșeala tipică

Se înlocuiește $x$ cu „ $\infty$ ” ca și cum ar fi un număr și se scrie $\frac{\infty}{\infty} = 1$ ; limita se află prelucrând expresia, de exemplu scoțând factor comun termenul dominant.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R ∖ {- 7} \to R$ , $f (x) = \frac{23 x + 5}{x + 7}$ . Cât este $x \to + \infty lim f (x)$ ?
- a) $\frac{5}{7}$
- b) $+ \infty$
- c) $23$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $23$

Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, deci limita este raportul coeficienților dominanți, $\frac{23}{1} = 23$ . Se vede și din rescriere: $23 x + 5 = 23 (x + 7) - 156$ , deci $f (x) = 23 - \frac{156}{x + 7}$ , iar fracția se stinge. Varianta a) împarte termenii liberi, b) citește gradul numărătorului singur, iar d) aplică cărămida $\frac{a}{x + b} \to 0$ unei fracții cu numărător care crește.
Care este rescrierea corectă a expresiei $\frac{19 x - 11}{x - 4}$ sub forma „constantă plus fracție"?
- a) $19 - \frac{65}{x - 4}$
- b) $19 + \frac{65}{x - 4}$
- c) $19 + \frac{87}{x - 4}$
- d) $19 - \frac{11}{x - 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $19 + \frac{65}{x - 4}$

Scriem numărătorul prin numitor: $19 x - 11 = 19 (x - 4) + 76 - 11 = 19 (x - 4) + 65$ . Împărțind la $x - 4$ obținem $19 + \frac{65}{x - 4}$ , egalitate valabilă pentru orice $x \neq = 4$ . Proba: $19 (x - 4) + 65 = 19 x - 76 + 65 = 19 x - 11$ . Varianta a) greșește semnul, c) adună $76$ cu $11$ în loc să le scadă, iar d) lasă termenul liber neatins.
Se consideră funcția $f : R ∖ {- 2} \to R$ , $f (x) = 31 + \frac{18}{x + 2}$ . Ce se poate spune despre limita la $- \infty$ și despre valorile funcției pentru $x < - 2$ ?
- a) limita este $31$ , iar pentru $x < - 2$ valorile sunt mai mari decât $31$
- b) limita este $18$ , iar valorile sunt mai mici decât $18$
- c) limita este $31$ , iar pentru $x < - 2$ valorile sunt mai mici decât $31$
- d) limita este $49$ , iar valorile se apropie de ea crescând
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) limita este $31$ , iar pentru $x < - 2$ valorile sunt mai mici decât $31$

Partea constantă este $31$ , iar $\frac{18}{x + 2}$ tinde la $0$ la ambele capete, deci $x \to - \infty lim f (x) = 31$ . Pentru $x < - 2$ numitorul este negativ, iar numărătorul pozitiv, deci fracția este negativă și $f (x) < 31$ : graficul se apropie de dreapta de înălțime $31$ pe dedesubt. Varianta a) greșește partea, b) citește numărătorul fracției drept limită, iar d) adună constanta cu numărătorul.

Întrebări conexe

Cât este limita lui $\frac{5}{x}$ la plus infinit?

Este $0$ : numărătorul rămâne $5$ , iar numitorul crește nemărginit, deci fracția devine oricât de mică. De exemplu, la $x = 10000$ valoarea este $0, 0005$ . Faptul acesta stă la baza tuturor limitelor de funcții raționale la capete.

Cum scriu o fracție ca număr plus fracție ca să aflu limita la infinit?

Împarți numărătorul la numitor. De exemplu, $\frac{4 x + 7}{x + 1} = 4 + \frac{3}{x + 1}$ , fiindcă $4 x + 7 = 4 (x + 1) + 3$ . Fracția $\frac{3}{x + 1}$ tinde la $0$ la ambele capete, deci limita este $4$ . Semnul fracției arată și de ce parte a lui $4$ stau valorile.

Poate o funcție să nu aibă limită la plus infinit?

Da. Funcția $sin x$ ia la nesfârșit toate valorile dintre $- 1$ și $1$ , oricât de mare ar fi $x$ , deci nu se apropie de un singur număr. Limita la infinit există doar dacă valorile se stabilizează spre un număr sau cresc ori scad nemărginit.

Ce valoare de saturație dă limita la infinit a unui model?

Dă nivelul spre care se așază mărimea după mult timp. Dacă o substanță se acumulează după $c (t) = \frac{8 t}{t + 4}$ mg/L, cu $t$ în ore, atunci $t \to + \infty lim c (t) = 8$ : concentrația se apropie de $8$ mg/L, fără să-l depășească.

Atinge funcția valoarea limitei ei la infinit?

Nu neapărat. Funcția $3 + \frac{1}{x}$ are limita $3$ la $+ \infty$ , dar pentru $x > 0$ nu ia niciodată valoarea $3$ , fiindcă $\frac{1}{x} \neq = 0$ . Limita descrie tendința, nu o valoare atinsă; de aceea graficul se apropie de dreapta $y = 3$ fără să o întâlnească.

Oamenii mai întreabă și: ce înseamnă x tinde la plus infinit · x tinde la infinit explicație · ce înseamnă x tinde la minus infinit · limita când x crește nemărginit