Limite la plus infinit și la minus infinit (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de biochimie, viteza cu care o enzimă transformă un substrat crește odată cu concentrația substratului — dar numai până la un punct. Oricât ai mai adăuga, viteza nu mai urcă: toate moleculele de enzimă sunt deja ocupate, iar reacția se așază pe un platou. Întrebarea „încotro merge o mărime când variabila crește nemărginit?" are un nume în matematica de clasa a XI-a de la științe ale naturii (M2): limita la plus infinit. La bacalaureatul M2 ea apare la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică, iar în restul capitolului este unealta de la care pornesc asimptotele.

Lecția de astăzi nu îți cere să memorezi rețete de calcul — acelea vin, pe familii de funcții, în lecțiile următoare. Aici înveți altceva, mai greu de recuperat mai târziu: ce înseamnă capătul unui domeniu, cum se citește comportarea unei funcții la capete dintr-un grafic și dintr-un tabel de valori, de ce cele două capete se studiază separat și cum se scrie corect răspunsul, cu semn cu tot.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce înseamnă $x\to +\infty$ și $x\to -\infty$ și să recunoști funcțiile cărora are rost să le ceri limita la capete.
• Vei ști să citești comportarea unei funcții la capete dintr-un tabel de valori și de pe grafic, și să deosebești bănuiala citită din tabel de justificarea scrisă în rezolvare.
• Vei ști să numești cele trei deznodăminte posibile: limită finită, limită infinită sau lipsa limitei.
• Vei ști să calculezi limita la ambele capete pentru o funcție de gradul I și pentru o expresie de forma $\ell +\frac{a}{x+b}$, rescriind-o când e nevoie.
• Vei ști să interpretezi un platou dintr-un experiment ca limită finită la $+\infty$ și să-i pui unitatea de măsură potrivită.
• Vei ști să scrii răspunsul în forma completă, cu semnul lui infinit pus de fiecare dată.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă că $x$ tinde la plus infinit?

Într-un punct finit, întrebarea „ce se întâmplă lângă $x_0$?" avea sens fiindcă puteai să te apropii de $x_0$ din ambele părți. La capete, apropierea are alt înțeles: nu există un „ultim număr", așa că a te apropia de $+\infty$ înseamnă a depăși orice prag ți-aș fixa eu. Asta au pregătit intervalele, mărginirea și vecinătățile de pe dreapta încheiată: o vecinătate a lui $+\infty$ este o mulțime care conține un interval de forma $(a,+\infty ]$, adică toată coada dreptei de la un prag încolo.

Limita la plus infinit a funcției $f$ este numărul sau simbolul către care se îndreaptă valorile $f(x)$ pe măsură ce $x$ depășește orice prag i-ai fixa dinainte; se scrie $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ și se citește „limita lui $f$ de $x$ când $x$ tinde la plus infinit". Analog se definește limita la minus infinit, cu $x$ coborât sub orice prag. Ca întrebarea să aibă sens, domeniul funcției trebuie să fie nemărginit în direcția aceea: pentru o funcție definită pe $[2,9]$ nu are rost să ceri limita la $+\infty$, pentru că domeniul se termină la $9$ și nu există valori ale lui $x$ oricât de mari în care funcția să fie definită.

Observă ce s-a schimbat față de limita într-un punct: acolo variabila avea o țintă, un număr pe care îl ochea din stânga și din dreapta. Aici variabila nu are țintă; are o direcție. De aceea capetele nu se mai numesc „stânga" și „dreapta" ale unui punct, ci $-\infty$ și $+\infty$, iar cele două întrebări sunt complet independente una de alta.

2. Cum se citește limita la infinit dintr-un tabel de valori?

Cel mai scurt drum spre înțeles este o coloană de numere. Fie funcția $f:(-5,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{6}{x+5}$. Calculăm câteva valori, mergând cu $x$ tot mai departe:

Numitorul crește nemărginit, iar o fracție cu numărător fix și numitor din ce în ce mai mare se face oricât de mică. Valorile nu devin niciodată egale cu zero — sunt tot timpul pozitive —, dar se apropie de zero mai mult decât orice abatere ți-aș cere: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6}{x+5}=0$.

Aici trebuie spus limpede un lucru esențial: tabelul de valori nu este o demonstrație. El îți dă bănuiala, îți arată încotro se duce funcția, dar rezolvarea se scrie din raționament. Raționamentul, în cazul de față, are o singură propoziție: numitorul $x+5$ crește nemărginit, deci fracția cu numărător constant tinde la $0$. Tabelul e ochiul, propoziția e mâna care scrie.

Reține forma aceasta, pentru că este cărămida lecției: pentru orice numere $a\ne 0$ și $b$, $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a}{x+b}=0\text{și}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{a}{x+b}=0.$$ Din ea se obțin, prin rescriere, aproape toate limitele finite la infinit pe care le vei întâlni la M2.

3. Care sunt cele trei deznodăminte posibile?

Când mergi cu $x$ spre un capăt, valorile funcției se pot purta în exact trei feluri, și fiecare are numele lui.

Limită finită. De la un prag încolo, toate valorile intră într-o fâșie oricât de îngustă din jurul unui număr $\ell$, ca în tabelul de mai sus. Pe grafic, curba se turtește și merge tot mai aproape de dreapta orizontală de înălțime $\ell$, fără să se depărteze din nou de ea. Numele acestei drepte și felul în care se caută sunt tema lecției despre asimptotele graficului unei funcții; aici ne oprim la număr.

Limită infinită. Valorile cresc peste orice prag, și atunci scriem $+\infty$, sau scad sub orice prag, și atunci scriem $-\infty$. Pentru funcția de gradul I $f(x)=4x+7$ avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }(4x+7)=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(4x+7)=-\infty$: coeficientul lui $x$ fiind pozitiv, valorile urcă la dreapta și coboară la stânga. Dacă însă coeficientul e negativ, ca la $g(x)=-2x+1$, cele două răspunsuri se schimbă între ele: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-2x+1)=-\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-2x+1)=+\infty$.

Nicio limită. Există și funcții ale căror valori nu se hotărăsc: continuă să urce și să coboare la nesfârșit, fără să se apropie de vreun număr și fără să scape spre infinit. Graficul unei astfel de funcții oscilează între două înălțimi, oricât de departe ai merge cu $x$. La profilul științe ale naturii nu calculăm astfel de limite — familiile de funcții din programă nu produc așa ceva —, dar merită să știi că situația există, ca să nu crezi că orice funcție are limită la capete.

O precizare de limbaj, deloc formală: „limita este $+\infty$" înseamnă că limita există și e infinită. „Nu există limită" e cu totul altceva și se spune numai când chiar nu există. Cele două formulări nu sunt sinonime și nu se pot schimba între ele.

4. De ce se studiază separat capătul din stânga și cel din dreapta?

Pentru că răspunsurile pot fi diferite, și de obicei chiar sunt. Ai văzut asta la funcția de gradul I: același $f(x)=4x+7$ dă $+\infty$ la un capăt și $-\infty$ la celălalt. O funcție nu are „o limită la infinit"; are două întrebări la capete, iar o rezolvare completă le pune pe amândouă, fiecare cu semnul ei.

Când vrei să treci de la un capăt la celălalt fără să reiei tot raționamentul, ai la îndemână o schimbare de variabilă simplă: notezi $x=-t$. Când $x$ scade nemărginit, $t$ crește nemărginit, așa că $$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{t\to +\infty }{\lim }f(-t).$$ Pentru $g(x)=-2x+1$ obținem $g(-t)=2t+1$, care crește nemărginit; de aici, direct, $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-2x+1)=+\infty$, fără niciun alt calcul. Substituția e utilă mai ales atunci când formula conține puteri sau radicali, unde semnul se schimbă după caz.

5. Cum arăți că limita este un număr, și nu doar că „pare" un număr?

Cu o rescriere. Ideea e să desparți expresia într-o parte constantă și o parte care se stinge. Ia funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5-\frac{3}{x-2}$: partea constantă este $5$, iar fracția $\frac{3}{x-2}$ tinde la $0$ la ambele capete, după cărămida din §2. Prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(5-\frac{3}{x-2}\right)=5$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(5-\frac{3}{x-2}\right)=5$.

Am folosit acolo, tăcut, un fapt care merită rostit: limita unei sume în care un termen e constant și celălalt are limită se obține adunând cele două limite. Regulile complete de acest fel — pentru sumă, produs și raport — și cazurile în care ele nu se pot aplica sunt strânse în lecția despre operațiile cu limite și cazurile exceptate. Aici folosim doar acest caz, cel mai simplu dintre toate.

Rescrierea funcționează și când funcția nu vine gata despărțită. De exemplu, $\frac{6x+9}{x+3}$ pare o fracție oarecare, dar $6(x+3)=6x+18$, iar $6x+9=6x+18-9$, deci $$\frac{6x+9}{x+3}=\frac{6(x+3)-9}{x+3}=6-\frac{9}{x+3}.$$ Acum limita se citește dintr-o privire: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x+9}{x+3}=6$. Rețeta generală pentru rapoarte de polinoame, care nu mai cere nicio rescriere, e tema lecției despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale.

6. La ce folosește limita la infinit într-un laborator?

Îți dă plafonul unui proces. Reia enzima din deschidere: dacă viteza reacției, măsurată în micromoli pe litru și pe minut, depinde de concentrația substratului $S$ (în milimoli pe litru) după legea $v(S)=\frac{12S}{S+4}$, atunci un tabel arată așa:

Viteza crește mereu, dar din ce în ce mai încet, și nu trece de $12$. Rescriind, $12(S+4)=12S+48$, deci $v(S)=\frac{12(S+4)-48}{S+4}=12-\frac{48}{S+4}$, de unde $\underset{S\to +\infty }{\lim }\frac{12S}{S+4}=12$. Numărul $12$ are un nume în biochimie: este viteza maximă a reacției, valoarea pe care enzima o atinge când toate moleculele ei sunt ocupate. Limita la infinit nu e, aici, o curiozitate matematică: e chiar mărimea pe care experimentul o caută.

Un asemenea rezultat se citește în două mișcări: întâi sensul — viteza crește și se apropie de un plafon —, apoi valoarea cu unitatea ei de măsură, $12$ micromoli pe litru și pe minut.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește capetele de pe grafic

Graficul unei funcții $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ coboară dinspre stânga, taie axa $Oy$ în punctul de ordonată $2$, urcă până la punctul de coordonate $(3,5)$, apoi coboară din nou și se turtește, pentru abscise mari, tot mai aproape de dreapta de înălțime $-1$, fără să o mai părăsească. Spre stânga, curba urcă fără oprire, depășind orice înălțime. Ce se poate spune despre limitele la capete?

Rezolvare. Cele două capete se citesc separat, fiecare în direcția lui. Spre dreapta, valorile se strâng în jurul înălțimii $-1$ și rămân acolo, deci limita la $+\infty$ este finită și egală cu $-1$. Spre stânga, curba depășește orice înălțime i-ai fixa, deci limita la $-\infty$ este $+\infty$. Scriem: $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=-1$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=+\infty$.

Ce nu se citește de pe acest grafic: nici formula funcției, nici valoarea exactă în vreun punct îndepărtat. Vârful din $(3,5)$ și intersecția cu axa nu au nicio legătură cu limitele la capete — comportarea la infinit nu depinde de ce face funcția pe o porțiune mărginită, oricât de spectaculoasă ar fi aceasta acolo.

Exemplul 2 — Cât reține un gram de cărbune activ

Într-un experiment de purificare a apei, masa de colorant reținută de un gram de cărbune activ, în miligrame, depinde de concentrația $c$ a soluției (în miligrame pe litru) după legea $q(c)=\frac{45c}{c+9}$, pentru $c\ge 0$. a) Calculați cantitatea reținută pentru $c=9$ și pentru $c=81$. b) Determinați cantitatea maximă pe care o poate reține un gram de cărbune.

Rezolvare. a) Prin înlocuire directă: $q(9)=\frac{405}{18}=22,5$ și $q(81)=\frac{3645}{90}=40,5$ miligrame pe gram. Concentrația s-a mărit de nouă ori, iar cantitatea reținută nici măcar nu s-a dublat — semnul limpede al unei suprafețe care se umple.

b) Rescriem funcția despărțind partea constantă: $45(c+9)=45c+405$, deci $$\frac{45c}{c+9}=\frac{45(c+9)-405}{c+9}=45-\frac{405}{c+9}.$$ Fracția $\frac{405}{c+9}$ tinde la $0$ când $c$ crește nemărginit, prin urmare $\underset{c\to +\infty }{\lim }\frac{45c}{c+9}=45$. Un gram de cărbune nu poate reține mai mult de $45$ de miligrame de colorant, oricât de concentrată ar fi soluția: locurile libere de pe suprafața lui se termină. Este același tipar matematic ca la enzimă, mutat în alt capitol de chimie — plafonul se citește din rescriere, nu din tabel.

Exemplul 3 — Aceeași funcție, două capete

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+8$. Calculați limitele la cele două capete. Apoi faceți același lucru pentru $g:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2+\frac{7}{x+1}$.

Rezolvare. Pentru $f$, coeficientul lui $x$ este negativ, deci valorile coboară spre dreapta și urcă spre stânga: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-3x+8)=-\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-3x+8)=+\infty$. Verificarea prin substituție confirmă: $f(-t)=3t+8$, care crește nemărginit când $t$ crește.

Pentru $g$, partea constantă este $2$, iar fracția $\frac{7}{x+1}$ tinde la $0$ la ambele capete, așa că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{7}{x+1}\right)=2$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2+\frac{7}{x+1}\right)=2$. Aici cele două răspunsuri chiar coincid — dar asta trebuia arătat, nu presupus.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }(5x-2)$ și scrie: „Coeficientul lui $x$ este $5$, pozitiv, deci funcția este crescătoare, deci limita este $+\infty$." Găsiți greșeala și scrieți rezolvarea corectă.

Rezolvare. Greșeala stă în legătura pe care elevul o face între monotonie și limită. Este adevărat că funcția este crescătoare, dar asta spune doar că valorile cresc atunci când $x$ crește. La $-\infty$ variabila face exact pe dos: scade nemărginit. O funcție crescătoare merge, la capătul din stânga, în jos.

Calculul corect: pentru $x=-100$ avem $5x-2=-502$; pentru $x=-10000$ avem $-50002$. Valorile coboară sub orice prag, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }(5x-2)=-\infty$. Cu substituția $x=-t$ se vede la fel de repede: expresia devine $-5t-2$, care scade nemărginit când $t$ crește. Reține proba de bun-simț: la o funcție de gradul I cele două limite la capete au întotdeauna semne opuse, niciodată același semn.

Exemplul 5 — Diluția dintr-un bazin

Un bazin de $400$ de litri conține la început $20$ de litri de apă în care sunt dizolvate $40$ de grame de sare. Se adaugă apă curată cu debit constant, $2$ litri pe minut, iar amestecul se omogenizează. Concentrația de sare, în grame pe litru, după $t$ minute, este $c(t)=\frac{40}{20+2t}$, model valabil pentru $t\in [0,190]$, cât ține bazinul. a) Completați tabelul concentrațiilor la momentele $0$, $10$, $30$, $90$ și $190$ de minute. b) Ce spune limita $\underset{t\to +\infty }{\lim }c(t)$ și ce nu spune ea despre bazinul din enunț?

Rezolvare. a) Cantitatea de sare rămâne $40$ de grame, iar volumul crește:

Concentrația se înjumătățește de la $0$ la $10$ minute, apoi are nevoie de douăzeci de minute ca să se înjumătățească din nou: diluția merge tot mai încet, pentru că fiecare litru adăugat contează tot mai puțin față de volumul deja existent.

b) Numitorul $20+2t$ crește nemărginit, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{40}{20+2t}=0$. Matematic, concentrația se apropie oricât de mult de zero fără să ajungă vreodată acolo: sarea nu dispare, se împrăștie într-o cantitate de apă din ce în ce mai mare. Fizic, însă, limita nu descrie bazinul din enunț, care se umple după $190$ de minute și nu poate primi apă la nesfârșit. Este o afirmație despre funcție, nu despre vas — iar la o problemă aplicată deosebirea aceasta se scrie, nu se subînțelege.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8x-5}{x+2}$. a) Arătați că $f(x)=8-\frac{21}{x+2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$. b) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$. c) Arătați că $f(x)<8$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Rezolvare.

a) Pornim de la numărător și îl scriem în funcție de numitor: $8x-5=8(x+2)-21$. Împărțind, obținem $$\frac{8x-5}{x+2}=\frac{8(x+2)-21}{x+2}=8-\frac{21}{x+2},$$ egalitate valabilă pentru orice $x\ne -2$, deci în particular pe tot intervalul $(0,+\infty )$.

b) Folosind forma de la punctul a): partea constantă este $8$, iar $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{21}{x+2}=0$, prin urmare $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8x-5}{x+2}=8$.

c) Din nou forma de la a): pentru $x>0$ avem $x+2>2>0$, deci $\frac{21}{x+2}>0$, iar scăzând un număr strict pozitiv din $8$ obținem un rezultat mai mic decât $8$. Așadar $f(x)<8$ pentru orice $x$ din domeniu, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: o rescriere care se cere „arătată", o limită și o inegalitate care se sprijină pe rescrierea de la primul punct. Ordinea nu e întâmplătoare — punctul a) e cheia pentru amândouă cele care urmează, așa că, la examen, o rescriere corectă valorează mai mult decât pare la prima vedere.

Să exersăm

Ordinea de redactare: spui în ce capăt lucrezi, rescrii expresia dacă e nevoie, scrii limita cu semn și, la problemele aplicate, adaugi unitatea de măsură.

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }(9x+13)$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(9x+13)$.

2. Calculează cele două limite la capete pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-4x+11$.

3. Arată că $\frac{11x}{x+8}$ nu tinde la $0$ la $+\infty$ și spune ce s-a schimbat față de $\frac{11}{x+8}$.

4. Pentru $f:\mathbb{R}\setminus \{7\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3+\frac{1}{x-7}$, află limitele la ambele capete.

5. Arată că $\frac{4x+13}{x+3}=4+\frac{1}{x+3}$ și calculează apoi $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+13}{x+3}$.

6. Valorile unei funcții $f$, măsurate pentru $x$ din ce în ce mai mare, sunt $2,9$; $2,99$; $2,999$ și $2,9999$. Ce limită bănuiești la $+\infty$ și de ce nu e suficient acest tabel ca justificare?

7. Graficul unei funcții $h$ coboară, pentru abscise mari, tot mai aproape de dreapta de înălțime $4$, iar spre stânga coboară fără oprire sub orice prag. Scrie cele două limite la capete.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Limita la $+\infty$ a unei funcții se calculează înlocuind pe $x$ cu un număr foarte mare."

9. (Problemă aplicată.) Temperatura unei piese dintr-un aparat, în grade Celsius, la $t$ minute de la oprirea aparatului, este descrisă de modelul $T(t)=25+\frac{60}{t+2}$, potrivit pe măsurători pentru $t\ge 0$. Calculează $\underset{t\to +\infty }{\lim }T(t)$ și spune ce înseamnă numărul obținut.

10. Arată că $\frac{7x-3}{x}=7-\frac{3}{x}$ pentru $x\ne 0$ și calculează limita la $+\infty$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2+\frac{5}{x}$. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-7x+4$. Determină $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x+2}{x+1}$. Arată că $f(x)=3-\frac{1}{x+1}$ și calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

14. Folosind substituția $x=-t$, calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }(6x+5)$ și scrie fiecare pas al raționamentului.

15. Pentru $f:\mathbb{R}\setminus \{4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x-4}$, arată că limitele la cele două capete sunt egale, dar că valorile se apropie de limită din părți diferite.

16. Un elev scrie: „$\underset{x\to \infty }{\lim }(2x-9)=\infty$". Găsește cele două scăpări de scriere și corectează-le.

17. Determină numărul real $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{mx+2}{x+1}$, are limita $5$ la $+\infty$.

18. (Provocare.) Se consideră $f:\mathbb{R}\setminus \{-1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$. Arată că $f(x)=2-\frac{1}{x+1}$, că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$ și că nu există niciun $x$ din domeniu pentru care $f(x)=2$. Explică apoi de ce cele două afirmații nu se contrazic.

Răspunsuri și explicații

1. Coeficientul lui $x$ este pozitiv, deci valorile urcă spre dreapta și coboară spre stânga: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(9x+13)=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(9x+13)=-\infty$.

2. Coeficientul este negativ, așa că răspunsurile se inversează: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(-4x+11)=-\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-4x+11)=+\infty$.

3. Rescriem: $11x=11(x+8)-88$, deci $\frac{11x}{x+8}=11-\frac{88}{x+8}$, iar limita la $+\infty$ este $11$, nu $0$. S-a schimbat numărătorul: la $\frac{11}{x+8}$ el rămâne fix, iar fracția se stinge; aici numărătorul crește odată cu numitorul, la fel de repede, așa că raportul se așază pe un număr nenul. Cărămida din secțiunea a doua cere numărător constant — condiția aceea nu e un amănunt de scriere.

4. Partea constantă este $3$, iar $\frac{1}{x-7}$ tinde la $0$ la ambele capete, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x-7}\right)=3$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(3+\frac{1}{x-7}\right)=3$.

5. Scriem numărătorul prin numitor: $4x+13=4(x+3)+1$, deci $\frac{4x+13}{x+3}=\frac{4(x+3)+1}{x+3}=4+\frac{1}{x+3}$. De aici $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+13}{x+3}=4$.

6. Bănuiala este $3$: valorile se apropie de $3$, câștigând câte o zecimală exactă la fiecare pas. Tabelul rămâne însă o bănuială, pentru că arată doar patru valori dintr-o infinitate; justificarea cere formula funcției și un raționament, de exemplu o rescriere de forma $3-\frac{a}{x+b}$.

7. $\underset{x\to +\infty }{\lim }h(x)=4$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }h(x)=-\infty$. Faptul că funcția coboară în amândouă direcțiile nu înseamnă nimic despre limite: la dreapta coborârea se oprește la înălțimea $4$, la stânga nu se oprește deloc.

8. Fals. Înlocuirea lui $x$ cu un număr mare dă o singură valoare a funcției, nu limita; ea poate cel mult să sugereze răspunsul. Limita este o afirmație despre toate valorile de la un prag încolo și se justifică prin raționament — la funcțiile din programa de științe ale naturii, printr-o rescriere care separă partea constantă de partea care se stinge.

9. $\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(25+\frac{60}{t+2}\right)=25$. Piesa se răcește spre $25$ de grade Celsius, adică spre temperatura mediului din jur; ea nu ajunge niciodată exact acolo în model, dar diferența devine mai mică decât orice precizie a termometrului.

10. Pentru $x\ne 0$, $\frac{7x-3}{x}=\frac{7x}{x}-\frac{3}{x}=7-\frac{3}{x}$, iar fracția tinde la $0$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{7x-3}{x}=7$.

11. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{5}{x}\right)=2$: constanta rămâne, fracția se stinge.

12. Coeficientul lui $x$ este $-7$, negativ, deci la capătul din stânga valorile urcă: $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-7x+4)=+\infty$.

13. Scriem $3x+2=3(x+1)-1$, deci $\frac{3x+2}{x+1}=\frac{3(x+1)-1}{x+1}=3-\frac{1}{x+1}$. Cum $\frac{1}{x+1}$ tinde la $0$, rezultă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x+2}{x+1}=3$.

14. Notăm $x=-t$; când $x$ scade nemărginit, $t$ crește nemărginit. Expresia devine $6(-t)+5=-6t+5$, care scade sub orice prag când $t$ crește. Prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }(6x+5)=-\infty$.

15. Ambele limite sunt $0$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-4}=0$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x-4}=0$. Apropierea diferă însă ca semn: pentru $x>4$ numitorul e pozitiv, deci valorile sunt pozitive și coboară spre $0$; pentru $x$ negativ numitorul e negativ, deci valorile sunt negative și urcă spre $0$.

16. Prima scăpare: la funcții capetele sunt două și se numesc $-\infty$ și $+\infty$, deci sub limită trebuie scris $x\to +\infty$, cu semn. A doua: rezultatul se scrie tot cu semn, $+\infty$. Corect: $\underset{x\to +\infty }{\lim }(2x-9)=+\infty$.

17. Rescriem: $mx+2=m(x+1)+2-m$, deci $\frac{mx+2}{x+1}=m+\frac{2-m}{x+1}$. Fracția tinde la $0$ oricare ar fi $m$, deci limita la $+\infty$ este $m$. Condiția din enunț dă $m=5$. Verificare: pentru $m=5$ funcția este $5-\frac{3}{x+1}$, cu limita $5$.

18. Din $2x+1=2(x+1)-1$ rezultă $\frac{2x+1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$, iar cum fracția tinde la $0$, avem $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=2$. Egalitatea $f(x)=2$ ar cere $\frac{1}{x+1}=0$, imposibil, fiindcă o fracție cu numărătorul $1$ nu se anulează niciodată. Cele două afirmații nu se ceartă, pentru că limita descrie apropierea de o valoare, nu atingerea ei: valorile lui $f$ intră în orice fâșie oricât de îngustă din jurul lui $2$, rămânând tot timpul sub $2$.

De reținut

• Limita la infinit răspunde la întrebarea „încotro merg valorile funcției când variabila crește sau scade nemărginit", și are sens numai dacă domeniul este nemărginit în direcția aceea.
• Capetele sunt două și se studiază separat: o rezolvare completă scrie atât limita la $+\infty$, cât și limita la $-\infty$, fiecare cu semnul ei; la o funcție de gradul I ele au întotdeauna semne opuse.
• Cărămida întregii lecții este $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a}{x+b}=0$; orice limită finită la infinit din programa de științe ale naturii se obține rescriind expresia sub forma „constantă plus o fracție care se stinge".
• Tabelul de valori și graficul dau bănuiala, raționamentul scris dă răspunsul: justificarea e ce se cere, nu coloana de numere.
• „Limita este $+\infty$" înseamnă că limita există și e infinită; „nu există limită" e cu totul altă afirmație și se scrie doar când e adevărată.

Greșeli frecvente

• Scrii $\infty$ fără semn. La capetele unei funcții reale sunt două simboluri, $-\infty$ și $+\infty$, atât sub limită, cât și în rezultat. Un răspuns „$\infty$" pierde tocmai informația pentru care ai făcut calculul.
• Confunzi monotonia cu limita. „Funcția e crescătoare" spune ce se întâmplă când $x$ crește; la $-\infty$ variabila scade, deci o funcție crescătoare coboară acolo. Semnul limitei se citește din direcția capătului, nu din sensul de variație.
• Iei tabelul de valori drept demonstrație. Patru valori nu justifică nimic: ele pot fi și începutul unei apropieri, și un accident. În rezolvare scrii rescrierea și propoziția „fracția tinde la zero", nu coloana de numere.
• Te oprești la „fracția e foarte mică". Rezolvarea nu e încheiată până nu scrii limita fracției, egală cu $0$, și nu o aduni la partea constantă. Cei doi pași se scriu exact în ordinea aceasta.
• Spui că funcția „atinge" limita. Valorile se apropie oricât de mult de $\ell$, dar de obicei nu ajung acolo niciodată; a scrie „funcția devine egală cu $\ell$" schimbă sensul afirmației și e greșit.

Aplică acasă

1. Livrarea împărțită la bucăți. Un magazin cere $20$ de lei taxă de livrare, indiferent câte bucăți comanzi, iar o bucată costă $12$ lei. Calculează prețul mediu plătit pe bucată pentru $1$, $2$, $5$, $20$ și $100$ de bucăți, adică valorile expresiei $12+\frac{20}{n}$. Notează de care număr se apropie prețul mediu și explică de ce nu coboară niciodată sub el: e cărămida din §2, întâlnită la casa de marcat.

2. Capetele, văzute cu instrumentul digital. Într-o aplicație de grafice, desenează $f(x)=4-\frac{6}{x+2}$ și micșorează imaginea până când vezi abscise de ordinul sutelor. Notează numărul de care se apropie curba la fiecare capăt și compară-l cu ce obții prin rescriere. Repetă cu $g(x)=-x+3$ și observă deosebirea dintre o funcție care se așază și una care pleacă.

3. Două capete, două răspunsuri. Alcătuiește un tabel pentru $f(x)=-2x+5$ cu valorile în $x=10$, $100$, $1000$ și apoi în $x=-10$, $-100$, $-1000$. Spune cu voce tare cele două limite și explică unui coleg de ce semnele sunt diferite, folosind coeficientul lui $x$.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", unde programa cere cuvânt cu cuvânt „limită a unei funcții într-un punct și limită la infinit". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen (OMEN 4430/2014) nu folosește expresia „limită la infinit", dar cere „dreapta încheiată, simbolurile $+\infty$ și $-\infty$", calculul limitelor pentru familiile de funcții studiate și „asimptotele graficului funcțiilor studiate", care se obțin tocmai din limitele la capete — așa că tema apare la Subiectul al III-lea. În modelul oficial al probei M_șt-nat, singura limită cerută stă la Subiectul al III-lea, problema 1, subpunctul b), și este într-un punct finit; forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția e una de așezare a noțiunii, nu de antrenament pe rețete: regulile de calcul pe familii de funcții vin în lecțiile imediat următoare. Elevii care sar peste etapa aceasta ajung să scrie răspunsuri fără semn, să confunde monotonia cu limita și să creadă că un tabel de valori ține loc de justificare — exact greșelile care se văd primele.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul spune în care capăt lucrează, înainte de orice calcul; (2) că rescrie expresia sub forma „constantă plus fracție care se stinge" și scrie limita fracției; (3) că pune semnul lui infinit de fiecare dată; (4) că interpretează un platou dintr-un experiment ca limită finită, cu unitate de măsură. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce înseamnă că $x$ tinde la minus infinit?"; „De ce nu e destul un tabel de valori?"; „O funcție crescătoare ce face la capătul din stânga?"; „Poate o funcție să se apropie de un număr fără să-l atingă niciodată?". Semne că elevul a înțeles: scrie cele două limite separat, rostește „fracția tinde la zero" înainte de a aduna constanta și pune unitatea de măsură la rezultatul aplicativ. Continuarea firească este lecția despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale, iar pasul dinaintea acesteia a fost compararea limitelor laterale într-un punct.

Întrebări frecvente

Cum se scrie corect o limită la plus infinit? Se scrie $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\ell$, cu semnul „plus" trecut atât sub limită, cât și în rezultat, dacă rezultatul e infinit. Semnul nu e un moft de notație: la o funcție reală capetele sunt două, iar răspunsurile la ele pot fi diferite. O scriere de tipul „$x\to \infty$" lasă cititorul să ghicească despre care capăt e vorba.

Cum arăt că limita la infinit este un număr, dacă tabelul nu ține loc de demonstrație? Prin rescriere: aduci expresia la forma „o constantă plus o fracție cu numitor care crește nemărginit". Constanta rămâne, fracția tinde la zero, iar limita este constanta. De exemplu $\frac{6x+9}{x+3}=6-\frac{9}{x+3}$, deci limita la plus infinit este $6$. Tabelul de valori rămâne util ca verificare, nu ca justificare.

Ce fac dacă funcția e dată printr-un tabel de măsurători, nu printr-o formulă? Citești tendința și o spui cinstit ca tendință: valorile par să se așeze spre un platou, iar acela este bănuiala ta pentru limită. Fără o formulă nu ai ce demonstra, așa că răspunsul se formulează „măsurătorile arată o apropiere de…", nu „limita este…". În fizică și în chimie exact așa se lucrează: se presupune un model, apoi se verifică pe date.

De ce nu se poate scrie $\infty$ fără semn? Pentru că pe dreapta încheiată există două simboluri diferite, $-\infty$ și $+\infty$, iar ele nu sunt interschimbabile. Funcția $f(x)=4x+7$ are limita $+\infty$ la un capăt și $-\infty$ la celălalt; a scrie „$\infty$" în ambele cazuri ar face cele două afirmații să pară identice, deși ele spun lucruri opuse despre grafic.

Limitele la infinit se învață la fel la M1 și la M2? Nu tocmai. La profilul matematică-informatică definiția limitei se dă cu șiruri, iar capitolul e precedat de un capitol întreg despre limite de șiruri, care la științe ale naturii nu există. La M2 accentul cade pe interpretarea grafică, pe tabelul de valori și pe calculul pentru familiile de funcții din programă. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: limitele la infinit, tratate cu șiruri arată diferența în amănunt.

La ce subiect apare limita la infinit la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, cel de analiză matematică, cu două probleme a câte trei subpuncte de câte cinci puncte. Limitele apar fie ca cerință de sine stătătoare, fie ca pas într-o cerință despre comportarea funcției la capetele domeniului. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei M_șt-nat, care nu inventează nimic în plus față de programa de examen.

La ce îmi folosește limita la infinit într-o problemă de biologie sau de chimie? Îți dă plafonul procesului: viteza maximă a unei reacții enzimatice, concentrația spre care tinde o soluție diluată la nesfârșit, temperatura mediului spre care se răcește o piesă. Numărul obținut are întotdeauna unitate de măsură și se interpretează în limbajul problemei, nu doar ca rezultat de calcul. Tot el spune și cât de departe e experimentul de acel plafon.