Se consideră funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=11x-19$$ pentru $$x<4$$ și $$f(x)=x^2+3x-3$$ pentru $$x\ge4$$. Ce se poate spune despre limita funcției în punctul $$4$$?

limita nu există, fiindcă cele două formule sunt diferite

Se consideră funcția $$s(x)=\dfrac{\lvert x+9\rvert}{2x+18}$$, definită pentru $$x\ne-9$$. Care pereche de limite laterale în $$-9$$ este corectă?

$$l_s(-9)=-\dfrac12$$ și $$l_d(-9)=\dfrac12$$

$$l_s(-9)=\dfrac12$$ și $$l_d(-9)=-\dfrac12$$

amândouă egale cu $$\dfrac12$$

$$l_s(-9)=-\infty$$ și $$l_d(-9)=+\infty$$

Se consideră funcția $$f:[-3,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\sqrt{x+3}+8$$. Ce se poate spune despre limita funcției în punctul $$-3$$?

limita nu există, fiindcă lipsește limita la stânga

Când are limită o funcție definită pe ramuri?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite laterale

În punctul unde se schimbă formula, calculezi limita la stânga cu ramura din stânga și limita la dreapta cu ramura din dreapta. Funcția are limită acolo doar dacă cele două există și sunt egale. De exemplu, pentru $f (x) = 2 x + 1$ când $x < 3$ și $f (x) = x^{2} - 2$ când $x \geq 3$ : $l_{s} (3) = 7$ și $l_{d} (3) = 9 - 2 = 7$ , deci limita în $3$ există și este $7$ . Dacă ar fi ieșit numere diferite, limita nu ar exista.

Când apropierea se face pe o singură parte, răspunsul capătă nume propriu: $l_{s} (x_{0})$ dacă folosim numai numere mai mici, $l_{d} (x_{0})$ dacă folosim numai numere mai mari, iar restricția se trece dedesubtul săgeții. Verdictul asupra limitei se dă comparând cele două: ele trebuie să existe amândouă și să dea același număr. Pe al doilea cuvânt se rupe jumătate dintre rezolvări.

Pentru o lege scrisă pe bucăți, fiecare parte cere formula care lucrează acolo. Locul unde stă semnul de egalitate din condiție nu schimbă niciuna dintre laterale — el hotărăște doar cu ce expresie se obține valoarea din punct. Barele de modul se desfac înainte de orice, cu semnul expresiei stabilit pe fiecare parte în parte; două ramuri nu înseamnă automat două răspunsuri.

Capcana. La un numitor care se apropie de zero, verdictul îl dau două semne, nu unul: al numitorului pe partea aleasă și al numărătorului. Un numitor de gradul I rupe răspunsurile în două, unul ridicat la pătrat le ține laolaltă. Într-un capăt de domeniu se poate calcula o singură laterală, iar ea este limita, nu o jumătate din ea.

De reținut

limita în $x_{0}$ există $⟺$ $l_{s} (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ există și sunt egale
la stânga se folosește ramura pentru $x < x_{0}$ , la dreapta cea pentru $x > x_{0}$
saltul este $l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$

Greșeala tipică

Se calculează ambele limite laterale cu aceeași ramură, de obicei cu cea care conține semnul egal; fiecare parte a punctului cere formula care lucrează acolo.

Exerciții din această mini-lecție

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 11 x - 19$ pentru $x < 4$ și $f (x) = x^{2} + 3 x - 3$ pentru $x \geq 4$ . Ce se poate spune despre limita funcției în punctul $4$ ?
- a) limita nu există, fiindcă cele două formule sunt diferite
- b) limita există și este $28$
- c) limita există și este $25$
- d) limita există și este $16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) limita există și este $25$

Pe stânga lucrăm cu prima ramură: $l_{s} (4) = 44 - 19 = 25$ . Pe dreapta, cu a doua: $l_{d} (4) = 16 + 12 - 3 = 25$ . Fiind egale, limita există și este $25$ . Varianta a) uită cuvântul „egale" din criteriu, b) ia $11 \cdot 4 - 16$ , iar d) calculează doar $4^{2}$ .
Se consideră funcția $s (x) = \frac{∣ x + 9 ∣}{2 x + 18}$ , definită pentru $x \neq = - 9$ . Care pereche de limite laterale în $- 9$ este corectă?
- a) $l_{s} (- 9) = \frac{1}{2}$ și $l_{d} (- 9) = - \frac{1}{2}$
- b) $l_{s} (- 9) = - \frac{1}{2}$ și $l_{d} (- 9) = \frac{1}{2}$
- c) amândouă egale cu $\frac{1}{2}$
- d) $l_{s} (- 9) = - \infty$ și $l_{d} (- 9) = + \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $l_{s} (- 9) = - \frac{1}{2}$ și $l_{d} (- 9) = \frac{1}{2}$

Numitorul se scrie $2 (x + 9)$ . Pentru $x > - 9$ avem $∣ x + 9 ∣ = x + 9$ , deci $s (x) = \frac{x + 9}{2 ( x + 9 )} = \frac{1}{2}$ și $l_{d} (- 9) = \frac{1}{2}$ . Pentru $x < - 9$ avem $∣ x + 9 ∣ = - (x + 9)$ , deci $s (x) = - \frac{1}{2}$ și $l_{s} (- 9) = - \frac{1}{2}$ . Varianta a) încurcă părțile, c) desface modulul cu același semn pe amândouă, iar d) presupune că numitorul nul înseamnă limite infinite — aici el se simplifică.
Se consideră funcția $f : [- 3, + \infty) \to R$ , $f (x) = x + 3 + 8$ . Ce se poate spune despre limita funcției în punctul $- 3$ ?
- a) limita nu există, fiindcă lipsește limita la stânga
- b) limita există și este $8$
- c) limita există și este $0$
- d) limita este $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) limita există și este $8$

La stânga lui $- 3$ domeniul nu are niciun punct, deci limita la stânga nu se poate pune, iar limita funcției în $- 3$ este unica laterală care se poate calcula: $x \to - 3 x > - 3 lim (x + 3 + 8) = 0 + 8 = 8$ . Varianta a) confundă lipsa de obiect cu inexistența, c) reține doar radicalul, iar d) presupune o creștere nemărginită care nu are loc.

Întrebări conexe

Cum aflu parametrul pentru care o funcție pe ramuri are limită?

Calculezi limitele laterale în funcție de parametru și le egalezi. Pentru $f (x) = x + a$ când $x < 1$ și $f (x) = 3 x^{2} + 1$ când $x \geq 1$ : $l_{s} (1) = 1 + a$ , $l_{d} (1) = 4$ , deci $1 + a = 4$ și $a = 3$ . Proba: ambele laterale dau $4$ .

Ce este saltul unei funcții într-un punct?

Saltul este diferența $l_{d} (x_{0}) - l_{s} (x_{0})$ , când ambele limite laterale sunt finite și diferite. Pentru $f (x) = 2 x + 1$ când $x < 2$ și $f (x) = x^{2} + 4$ când $x \geq 2$ : $l_{s} (2) = 5$ , $l_{d} (2) = 8$ , deci saltul este $3$ , iar limita în $2$ nu există.

Poate o funcție pe ramuri să aibă limită și să nu fie continuă?

Da, dacă valoarea din punct e alta decât limita. Pentru $f (x) = x + 1$ când $x \neq = 2$ și $f (2) = 0$ , ambele limite laterale sunt $3$ , deci limita există, dar $f (2) = 0 \neq = 3$ . Continuitatea cere în plus ca limita să fie egală cu valoarea funcției.

Ce arată o limită laterală într-un experiment de laborator?

Arată valoarea spre care tinde o mărime chiar înainte sau chiar după un eveniment. Dacă într-un vas se adaugă brusc o soluție la minutul $5$ , concentrația are o limită la stânga, dinaintea adăugării, și una la dreapta, de după; diferența lor măsoară saltul produs.

Cum verific pe un tabel dacă limitele laterale sunt egale?

Pui separat valorile din stânga punctului și pe cele din dreapta și vezi spre ce număr se strânge fiecare șir. Dacă de o parte valorile se apropie de $6$ , iar de cealaltă de $2$ , limitele laterale diferă și limita nu există; tabelul se confirmă apoi prin calcul.

Oamenii mai întreabă și: limita unei funcții pe ramuri · limita în punctul de racord · funcție definită pe ramuri are limită · limita la stânga și la dreapta pe ramuri