Limite laterale: când există limita unei funcții (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

O pompă de perfuzie programată în două etape livrează, până la ora a șasea, o cantitate care crește, iar de la ora a șasea încolo una care scade. Întrebarea „ce debit are aparatul la ora șase?" primește două răspunsuri diferite, după cum te apropii de acel moment dinspre orele mai mici sau dinspre cele mai mari. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), cele două răspunsuri au nume proprii: limita la stânga și limita la dreapta. Ele sunt instrumentul cu care se rezolvă, la bacalaureatul M2, orice cerință în care funcția e dată pe ramuri, are un modul sau are un numitor care se anulează.

În lecția precedentă ai văzut că limita există numai dacă ambele apropieri duc la același număr. Acum nu ne mai mulțumim să constatăm dezacordul: îl măsurăm, calculând separat fiecare parte. Cu cele două numere în față, răspunsul la întrebarea „există limită?" se dă într-o singură comparație.

Ce vei învăța

Vei ști ce sunt limita la stânga și limita la dreapta și cum se scriu ele corect, cu condiția pusă sub semnul limitei.
Vei ști să calculezi cele două limite laterale la o funcție definită pe ramuri, alegând de fiecare dată ramura potrivită.
Vei ști să folosești criteriul de existență, care cere ca cele două numere obținute pe cele două părți să fie unul și același.
Vei ști să afli limitele laterale când numitorul se anulează, studiind semnul cu care acesta se apropie de zero.
Vei ști să lucrezi cu funcții care conțin un modul și să spui când modulul strică limita și când nu.
Vei ști să determini un parametru pentru care o funcție pe ramuri are limită într-un punct — cerința cea mai frecventă pe această temă.

Hai să descoperim împreună

1. De ce nu e destul un singur drum?

Reluăm pompa din deschidere. Cantitatea livrată, în miligrame, la ora $t$ , este dată de $D (t) = 4 t + 2$ pentru $t < 6$ și de $D (t) = 30 - t$ pentru $t \geq 6$ . Apropiindu-ne de ora a șasea dinspre valori mai mici, cantitățile urcă spre $26$ ; apropiindu-ne dinspre valori mai mari, ele coboară spre $24$ . Două drumuri, două numere.

Limita la stânga a funcției $f$ în punctul $x_{0}$ este numărul spre care se strâng valorile $f (x)$ atunci când $x$ se apropie de $x_{0}$ luând numai valori mai mici decât $x_{0}$ ; analog, limita la dreapta folosește numai valori mai mari decât $x_{0}$ .

Nimic nu se schimbă față de lecția precedentă în afară de un singur cuvânt: apropierea se face pe o singură parte. De aceea limitele laterale există și acolo unde limita propriu-zisă lipsește — fiecare parte are răspunsul ei, chiar dacă cele două nu se potrivesc.

2. Cum se scriu cele două limite laterale?

Condiția se pune sub semnul limitei, dedesubtul săgeții:

$x \to x_{0} x < x_{0} lim f (x) (limita la st \overset{a}{ˆ} nga), x \to x_{0} x > x_{0} lim f (x) (limita la dreapta) .$

Aceasta este forma care se scrie în rezolvări și în enunțuri. Unde locul nu ajunge — o celulă de tabel, o notiță scurtă — avem prescurtările $l_{s} (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ , prima pentru partea stângă, a doua pentru cea dreaptă. Pompa din deschidere ne dă, așadar, $l_{s} (6) = 26$ și $l_{d} (6) = 24$ .

Vei mai întâlni, prin culegeri traduse și prin programe de calculator, scrierea cu semn la exponent, $x \to x_{0}^{-}$ și $x \to x_{0}^{+}$ . Înseamnă exact același lucru, dar noi o ocolim: minusul de acolo seamănă prea bine cu semnul valorilor funcției și produce greșeli tocmai la exercițiile cu numitor negativ.

3. Când există limita unei funcții într-un punct?

Aici stă toată puterea lecției, într-un enunț scurt pe care îl vei folosi zeci de ori.

Într-un punct de care funcția se poate apropia din amândouă părțile, limita funcției există atunci și numai atunci când ambele limite laterale există și au aceeași valoare; ea este chiar valoarea aceea.

Enunțul se folosește ca unealtă, nu se demonstrează — programa profilului științe ale naturii cere aplicarea lui, nu justificarea teoretică. Reține cele două cuvinte pe care le sar elevii: „există" și „egale". Nu e destul ca amândouă să existe, cum se vede la pompa noastră, unde $26 \neq = 24$ și deci funcția $D$ nu are limită în $6$ .

Un tabel pe care merită să-l ai în minte:

$l_{s} (x_{0})$	$l_{d} (x_{0})$	Limita în $x_{0}$
$5$	$5$	există, egală cu $5$
$5$	$- 2$	nu există
$+ \infty$	$+ \infty$	există, egală cu $+ \infty$
$- \infty$	$+ \infty$	nu există

Rândul al treilea e cel mai des greșit: două limite laterale infinite și egale dau o limită care există, în dreapta reală încheiată despre care ai citit la intervale, mărginire și vecinătăți. „Limita este $+ \infty$ " și „limita nu există" sunt afirmații diferite.

4. Cum se calculează limitele laterale la o funcție pe ramuri?

Regula e una singură și se aplică mecanic: pentru fiecare parte folosești exclusiv ramura valabilă acolo. La stânga lui $x_{0}$ iei formula scrisă pentru $x < x_{0}$ , la dreapta pe cea scrisă pentru $x > x_{0}$ , iar în fiecare caz treci la limită ca la o funcție obișnuită.

Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 1$ pentru $x \leq 2$ și $f (x) = 4 x - 3$ pentru $x > 2$ . Pe stânga lucrăm cu prima ramură: valorile $x^{2} + 1$ se strâng spre $5$ , deci $l_{s} (2) = 5$ . Pe dreapta, cu a doua: valorile $4 x - 3$ se strâng tot spre $5$ , deci $l_{d} (2) = 5$ . Fiind egale, limita există și $x \to 2 lim f (x) = 5$ .

Observă ce nu am folosit: valoarea $f (2)$ . Ea se calculează cu ramura care poartă semnul de egalitate — aici $f (2) = 5$ —, dar niciunul dintre cele două calcule de mai sus nu s-a atins de ea. Faptul că, la această funcție, cele trei numere coincid nu e o coincidență lipsită de urmări: el va căpăta un nume la continuitatea unei funcții.

5. Ce se întâmplă la funcțiile cu modul?

Modulul este o funcție pe ramuri deghizată, iar primul pas e întotdeauna să-l desfaci, folosind regula fixată la modulul unui număr real și regulile lui de calcul: $∣ E ∣ = E$ acolo unde $E \geq 0$ și $∣ E ∣ = - E$ acolo unde $E < 0$ .

Ia $g (x) = \frac{3 x - 12}{∣ x - 4 ∣}$ , definită pentru $x \neq = 4$ . Pentru $x > 4$ avem $∣ x - 4 ∣ = x - 4$ , deci $g (x) = \frac{3 ( x - 4 )}{x - 4} = 3$ ; funcția e constantă pe această parte, deci $l_{d} (4) = 3$ . Pentru $x < 4$ avem $∣ x - 4 ∣ = 4 - x$ , deci $g (x) = \frac{3 ( x - 4 )}{- ( x - 4 )} = - 3$ și $l_{s} (4) = - 3$ . Cele două diferă, deci $g$ nu are limită în $4$ .

Atenție însă: modulul nu strică întotdeauna limita. Funcția $∣ x - 4 ∣$ însăși are ambele limite laterale în $4$ egale cu $0$ , deci limita ei acolo există. Ce contează e dacă desfacerea modulului produce două expresii cu comportări diferite lângă punct, nu prezența barelor.

6. Ce fac atunci când numitorul se anulează?

Când numitorul se apropie de zero, rezultatul e infinit, iar semnul îl decide partea pe care te afli. Procedura are trei pași: calculezi limita numărătorului; stabilești semnul cu care numitorul se apropie de zero pe fiecare parte; combini semnele.

Pentru $u (x) = \frac{x + 4}{x - 2}$ în punctul $2$ : numărătorul se apropie de $6$ , deci e pozitiv pe ambele părți. Numitorul $x - 2$ este negativ pentru $x < 2$ și pozitiv pentru $x > 2$ , în ambele cazuri apropiindu-se de zero. Așadar raportul este negativ și crește în valoare absolută peste orice prag la stânga, respectiv pozitiv și la fel de mare la dreapta: $x \to 2 x < 2 lim \frac{x + 4}{x - 2} = - \infty, x \to 2 x > 2 lim \frac{x + 4}{x - 2} = + \infty.$ Fiind diferite, funcția nu are limită în $2$ . Control numeric: $u (1, 999) = - 5999$ și $u (2, 001) = 6001$ .

Când numitorul este un pătrat, el rămâne pozitiv pe amândouă părțile, deci semnele nu se mai despart și limita există. Comportarea aceasta este chiar ceea ce se citește, mai târziu, ca asimptotă verticală; aici o folosim doar ca să numim corect cele două laterale.

7. Când are sens o singură limită laterală?

Atunci când, pe una dintre părți, domeniul nu mai are niciun număr. Pentru $f : [3, + \infty) \to R$ , la stânga lui $3$ nu se află nicio valoare a funcției, așa că partea aceea a întrebării rămâne fără obiect. În asemenea puncte limita funcției este unica laterală care se poate calcula — nu se scrie că limita ar lipsi.

Situația apare des la funcțiile cu radical, al căror domeniu începe într-un capăt, și la funcțiile definite pe un interval închis, unde capetele se tratează așa.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește graficul

În figura de mai jos, graficul funcției $f : R \to R$ este format din două semidrepte și un punct izolat: la stânga lui $- 1$ curba coincide cu dreapta $y = - 2 x + 3$ și se oprește într-un cerculeț gol, la dreapta lui $- 1$ ea coincide cu dreapta $y = x - 2$ și pornește tot dintr-un cerculeț gol, iar în $- 1$ este marcată o bulină plină la înălțimea $1$ . Citiți $l_{s} (- 1)$ , $l_{d} (- 1)$ și $f (- 1)$ , apoi spuneți dacă funcția are limită în $- 1$ și cât măsoară saltul.

Rezolvare. Cele trei numere se citesc din trei locuri diferite ale figurii, și tocmai asta este lecția.

Venind din stânga, înălțimile coboară pe prima semidreaptă până la cerculețul gol: $l_{s} (- 1) = - 2 \cdot (- 1) + 3 = 5$ .

Venind din dreapta, ele pornesc de la celălalt cerculeț gol: $l_{d} (- 1) = - 1 - 2 = - 3$ .

Valoarea funcției se citește de la bulina plină: $f (- 1) = 1$ — un al treilea număr, care nu coincide cu niciuna dintre laterale.

Cum $5 \neq = - 3$ , funcția nu are limită în $- 1$ , iar saltul măsoară $∣ - 3 - 5 ∣ = 8$ unități. Observă că bulina n-a intrat în niciunul dintre cele două calcule: ea răspunde la întrebarea „cât face funcția acolo?", nu la „încotro se duc valorile?".

Exemplul 2 — Același grafic, două puncte diferite

Se consideră $f : R \to R$ , $f (x) = 7 x - 17$ pentru $x < 4$ și $f (x) = x^{2} - 5$ pentru $x \geq 4$ . a) Studiați existența limitei în punctul $4$ . b) Studiați existența limitei în punctul $1$ .

Rezolvare.

a) Punctul $4$ este chiar locul în care se schimbă formula, deci cele două părți se calculează cu ramuri diferite. Pe stânga: $l_{s} (4) = 7 \cdot 4 - 17 = 11$ . Pe dreapta: $l_{d} (4) = 4^{2} - 5 = 11$ . Fiind egale, limita există și $x \to 4 lim f (x) = 11$ .

b) Punctul $1$ nu este punct de racord: în jurul lui, și la stânga, și la dreapta, funcția e dată de aceeași ramură, $7 x - 17$ — fâșia $(0, 2)$ stă în întregime sub $4$ . Amândouă lateralele se calculează deci cu aceeași formulă și ies automat egale: $l_{s} (1) = l_{d} (1) = 7 - 17 = - 10$ , iar $x \to 1 lim f (x) = - 10$ .

Reține deosebirea: o funcție dată pe ramuri nu cere două calcule în orice punct, ci numai acolo unde formula se schimbă. În rest, e o funcție obișnuită.

Exemplul 3 — Modul la numărător

Calculați limitele laterale ale funcției $s (x) = \frac{∣ x - 1 ∣}{x - 1}$ în punctul $1$ și precizați dacă limita există.

Rezolvare. De data aceasta barele stau sus, iar numitorul este cel care își schimbă semnul; desfacerea se face însă la fel, separat pe fiecare parte.

Pentru $x > 1$ avem $∣ x - 1 ∣ = x - 1$ , deci $s (x) = \frac{x - 1}{x - 1} = 1$ și $l_{d} (1) = 1$ .

Pentru $x < 1$ avem $∣ x - 1 ∣ = - (x - 1)$ , deci $s (x) = - 1$ și $l_{s} (1) = - 1$ .

Cum $- 1 \neq = 1$ , funcția nu are limită în $1$ . Graficul ei este format din două semidrepte orizontale: funcția aceasta reține din $x - 1$ numai semnul, iar saltul de $2$ unități se face exact acolo unde semnul se schimbă.

Exemplul 4 — Numitor pătrat, numărător negativ

Calculați limitele laterale ale funcției $w (x) = \frac{x - 11}{( x + 5 ) ^{2}}$ în punctul $- 5$ și precizați dacă limita există.

Rezolvare. Urmăm cei trei pași din secțiunea a șasea.

Numărătorul se apropie de $- 5 - 11 = - 16$ , număr negativ, deci semnul lui este același pe amândouă părțile.

Numitorul este un pătrat: $(x + 5)^{2}$ rămâne strict pozitiv și pentru $x < - 5$ , și pentru $x > - 5$ , și se micșorează oricât la apropierea de $- 5$ .

Combinăm: raportul dintre o cantitate negativă și una pozitivă din ce în ce mai mică scade sub orice prag, pe amândouă părțile: $x \to - 5 x < - 5 lim \frac{x - 11}{( x + 5 ) ^{2}} = - \infty, x \to - 5 x > - 5 lim \frac{x - 11}{( x + 5 ) ^{2}} = - \infty.$ Cele două limite laterale există și sunt egale, deci, prin criteriu, limita există și $x \to - 5 lim w (x) = - \infty$ . Control numeric: $w (- 5, 01) = - 160100$ și $w (- 4, 99) = - 159900$ .

Compară cu secțiunea a șasea: acolo numitorul era de gradul I, semnele s-au despărțit și limita nu exista; aici pătratul le ține pe amândouă la fel, iar limita există — chiar dacă este infinită.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev studiază limita funcției $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 7$ pentru $x < 3$ și $f (x) = x^{2}$ pentru $x \geq 3$ , în punctul $3$ , și scrie: „Avem $f (3) = 9$ , deci $l_{s} (3) = 9$ și $l_{d} (3) = 9$ ; limita există și este $9$ ." Găsiți greșeala și refaceți rezolvarea.

Rezolvare. Greșeala este folosirea valorii $f (3)$ în locul ramurii din stânga. Semnul de egalitate din condiția $x \geq 3$ spune doar cum se calculează funcția în punctul $3$ ; el nu are nicio influență asupra apropierii dinspre valori mai mici, unde funcția e dată de cealaltă formulă.

Refacem corect. Pe stânga, cu ramura $2 x + 7$ : $l_{s} (3) = 6 + 7 = 13$ . Pe dreapta, cu ramura $x^{2}$ : $l_{d} (3) = 9$ . Cum $13 \neq = 9$ , funcția nu are limită în $3$ , iar concluzia elevului e greșită cu totul, nu doar pe jumătate.

Proba care prinde imediat acest tip de greșeală: scrie alături cele trei numere — $l_{s} (3)$ , $l_{d} (3)$ și $f (3)$ . Dacă primele două ies automat egale cu al treilea, înseamnă că nu ai folosit ramurile, ci valoarea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + a$ pentru $x < 2$ și $f (x) = x^{2} - 1$ pentru $x \geq 2$ , unde $a$ este un număr real. a) Arătați că $x \to 2 x > 2 lim f (x) = 3$ . b) Determinați numărul real $a$ pentru care funcția $f$ are limită în punctul $2$ . c) Pentru valoarea găsită la b), arătați că $f (x) \geq 3$ , pentru orice $x \geq 2$ .

Rezolvare.

a) La dreapta lui $2$ funcția este dată de a doua ramură, deci limita se obține prin înlocuire: $2^{2} - 1 = 3$ , ceea ce trebuia arătat.

b) La stânga lui $2$ funcția e dată de prima ramură, deci $l_{s} (2) = 6 + a$ . Prin criteriul de existență, $f$ are limită în $2$ dacă și numai dacă cele două laterale coincid: $6 + a = 3 ⟺ a = - 3.$

c) Pentru $x \geq 2$ avem $f (x) = x^{2} - 1$ , iar din $x \geq 2$ rezultă $x^{2} \geq 4$ , deci $x^{2} - 1 \geq 3$ , adică $f (x) \geq 3$ pentru orice $x \geq 2$ , ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Structura cu trei cerințe de câte cinci puncte este cea a problemelor de analiză de la Subiectul al III-lea, în modelul oficial al probei M_șt-nat. Cele două limite laterale se scriu amândouă, chiar dacă una se vede dintr-o privire; la punctul b) se scrie și ecuația în parametru, nu doar valoarea găsită.

Să exersăm

Lucrează pe caiet. La fiecare studiu de existență, scrie cele două calcule laterale separat și abia apoi concluzia — fiecare dintre ele e un pas al rezolvării.

1. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 1$ pentru $x < 2$ și $f (x) = x + 5$ pentru $x \geq 2$ . Calculează cele două limite laterale în $2$ și decide dacă limita există.

2. Fie $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3$ pentru $x \leq 1$ și $f (x) = 2 x$ pentru $x > 1$ . Studiază existența limitei în $1$ .

3. Calculează limitele laterale ale funcției $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ în punctul $- 1$ și explică de ce semnele ies invers decât te-ai aștepta.

4. Calculează $x \to 6 lim \frac{9}{( x - 6 ) ^{2}}$ , justificând de ce limita există.

5. Calculează limitele laterale în $0$ ale funcției $f (x) = \frac{x ^{2} - 4 x}{∣ x ∣}$ , definită pentru $x \neq = 0$ .

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Valoarea $f (x_{0})$ intră în calculul limitei la stânga în punctul $x_{0}$ ."

7. Fie $f : (- \infty, 4] \to R$ , $f (x) = 5 - x$ . Explică de ce în punctul $4$ are sens numai limita la stânga și calculeaz-o.

8. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f (x) = a x - 5$ pentru $x < 3$ și $f (x) = x^{2} - 2$ pentru $x \geq 3$ are limită în punctul $3$ .

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + 5$ pentru $x \leq 0$ și $f (x) = 4 x + 5$ pentru $x > 0$ . Arătați că $f$ are limită în punctul $0$ și calculați această limită.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 1}$ . Calculați $x \to 1 x > 1 lim f (x)$ .

11. Un tabel de măsurători dă $f (2, 9) = 1, 8$ ; $f (2, 99) = 1, 98$ ; $f (3, 01) = 5, 02$ ; $f (3, 1) = 5, 2$ . Ce poți spune despre cele două limite laterale în $3$ și despre limita funcției acolo?

12. (Problemă aplicată.) Viteza unei reacții, în milimoli pe minut, depinde de temperatură după modelul $v (T) = 0, 5 T - 5$ pentru $T < 40$ și $v (T) = 30 - 0, 25 T$ pentru $T \geq 40$ , valabil pentru $T \in [20, 80]$ (temperatura în grade Celsius). Calculează limitele laterale în $T = 40$ și explică ce observă chimistul la trecerea peste acest prag.

13. Fie $f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 2}$ pentru $x \neq = 2$ și $f (2) = - 7$ . Calculează $l_{s} (2)$ și $l_{d} (2)$ , apoi compară-le cu $f (2)$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + m$ pentru $x < 1$ și $f (x) = 3 x^{2}$ pentru $x \geq 1$ , unde $m$ este un număr real. Determinați $m$ pentru care $f$ are limită în punctul $1$ .

15. Completează un tabel cu valorile funcției $f (x) = \frac{4}{x - 2}$ în punctele $1, 9$ ; $1, 99$ ; $2, 01$ ; $2, 1$ și citește din el cele două limite laterale în $2$ .

16. Se consideră funcțiile $g (x) = \frac{∣ x - 8 ∣}{x ^{2} - 64}$ și $h (x) = \frac{∣ x ^{2} - 64 ∣}{∣ x - 8 ∣}$ , definite pentru $x \in / {- 8, 8}$ . Calculează limitele laterale în $8$ pentru fiecare dintre ele și spune la care dintre cele două strică modulul limita.

17. Despre o funcție se știe că $l_{s} (4) = 7$ , $l_{d} (4) = 7$ și $f (4) = 1$ . Are funcția limită în $4$ ? Dacă da, cât este ea?

18. (Provocare.) Determină numerele reale $p$ și $q$ pentru care funcția dată de $f (x) = p x + q$ pentru $x < 1$ , $f (1) = 5$ și $f (x) = q x^{2} - 3$ pentru $x > 1$ are limită în punctul $1$ , egală cu $4$ .

Răspunsuri și explicații

1. Pe stânga, cu prima ramură: $l_{s} (2) = 8 - 1 = 7$ . Pe dreapta, cu a doua: $l_{d} (2) = 2 + 5 = 7$ . Fiind egale, limita există și este $7$ .

2. $l_{s} (1) = 1 - 3 = - 2$ (prima ramură), $l_{d} (1) = 2$ (a doua). Cele două diferă, deci limita nu există. Control: $f (0, 999) = - 2, 001999$ și $f (1, 001) = 2, 002$ .

3. Numărătorul se apropie de $- 1$ , deci este negativ pe ambele părți. Pentru $x < - 1$ , numitorul $x + 1$ e negativ și se apropie de zero, iar raportul a două cantități negative e pozitiv: $l_{s} (- 1) = + \infty$ . Pentru $x > - 1$ , numitorul e pozitiv, deci raportul e negativ: $l_{d} (- 1) = - \infty$ . Semnele ies „invers" tocmai fiindcă numărătorul e negativ; când e pozitiv, ordinea e cealaltă.

4. Numitorul $(x - 6)^{2}$ este strict pozitiv pentru $x \neq = 6$ și se apropie de zero pe amândouă părțile, iar numărătorul rămâne $9 > 0$ . Deci ambele limite laterale sunt $+ \infty$ , sunt egale, și prin criteriu limita există: $x \to 6 lim \frac{9}{( x - 6 ) ^{2}} = + \infty$ .

5. Pentru $x > 0$ , $∣ x ∣ = x$ și $f (x) = \frac{x ( x - 4 )}{x} = x - 4$ , deci $l_{d} (0) = - 4$ . Pentru $x < 0$ , $∣ x ∣ = - x$ și $f (x) = - (x - 4) = 4 - x$ , deci $l_{s} (0) = 4$ . Cele două diferă, deci limita nu există în $0$ .

6. Fals. Limitele laterale se calculează folosind numai valori ale lui $x$ strict mai mici (respectiv strict mai mari) decât $x_{0}$ ; punctul însuși este exclus. Exemplul 5 din lecție arată exact ce se întâmplă când cineva încalcă regula: obține două limite egale, fără să fi calculat vreuna.

7. Domeniul $(- \infty, 4]$ nu conține niciun număr mai mare decât $4$ , deci nu există valori ale funcției la dreapta punctului și limita la dreapta nu se poate pune. Rămâne $l_{s} (4) = 5 - 4 = 1$ , iar aceasta este chiar limita funcției în $4$ .

8. $l_{s} (3) = 3 a - 5$ și $l_{d} (3) = 9 - 2 = 7$ . Din $3 a - 5 = 7$ rezultă $a = 4$ . Control: pentru $a = 4$ , $f (2, 999) = 6, 996$ și $f (3, 001) = 7, 006001$ .

9. $l_{s} (0) = 0 + 5 = 5$ (prima ramură) și $l_{d} (0) = 0 + 5 = 5$ (a doua). Fiind egale, limita există și $x \to 0 lim f (x) = 5$ .

10. Numărătorul se apropie de $5$ , pozitiv. Pentru $x > 1$ , numitorul $x - 1$ este pozitiv și se apropie de zero, deci raportul crește peste orice prag: $x \to 1 x > 1 lim \frac{2 x + 3}{x - 1} = + \infty$ .

11. Valorile din stânga urcă spre $2$ , iar cele din dreapta coboară spre $5$ : deci $l_{s} (3) = 2$ și $l_{d} (3) = 5$ . Fiind diferite, funcția nu are limită în $3$ , iar saltul măsoară $3$ unități.

12. $l_{s} (40) = 0, 5 \cdot 40 - 5 = 15$ mmol/min, iar $l_{d} (40) = 30 - 0, 25 \cdot 40 = 20$ mmol/min. Cele două diferă, deci $v$ nu are limită în $40$ : chimistul observă un salt de $5$ mmol/min la trecerea peste $40$ °C, semn că la această temperatură intervine un mecanism nou (de pildă activarea unui catalizator). Ambele valori rămân pozitive, cum trebuie să fie o viteză de reacție.

13. Pentru $x \neq = 2$ se dă factor comun: $\frac{x ( x - 2 )}{x - 2} = x$ . Deci $l_{s} (2) = 2$ și $l_{d} (2) = 2$ : limita există și este $2$ , deși $f (2) = - 7$ . Valoarea din punct nu intră în calculul limitelor laterale.

14. $l_{s} (1) = 2 + m$ și $l_{d} (1) = 3$ . Din $2 + m = 3$ rezultă $m = 1$ . La examen, litera parametrului este cea din enunț, oricare ar fi ea.

15. Tabelul:

$x$	$1, 9$	$1, 99$	$2, 01$	$2, 1$
$f (x)$	$- 40$	$- 400$	$400$	$40$

Coloanele din stânga coboară fără oprire, iar cele din dreapta urcă fără oprire: $l_{s} (2) = - \infty$ și $l_{d} (2) = + \infty$ , deci limita nu există în $2$ .

16. Pentru $g$ se descompune numitorul: $x^{2} - 64 = (x - 8) (x + 8)$ . Când $x > 8$ , $∣ x - 8 ∣ = x - 8$ , deci $g (x) = \frac{1}{x + 8}$ și $l_{d} (8) = \frac{1}{16}$ ; când $x < 8$ , $∣ x - 8 ∣ = - (x - 8)$ , deci $g (x) = - \frac{1}{x + 8}$ și $l_{s} (8) = - \frac{1}{16}$ . Cele două diferă, deci $g$ nu are limită în $8$ . Pentru $h$ , ambele module se desfac pe fiecare parte cu același semn, iar raportul se simplifică la $x + 8$ atât la stânga, cât și la dreapta: $l_{s} (8) = l_{d} (8) = 16$ , deci $h$ are limită în $8$ , egală cu $16$ . Barele sunt aceleași la amândouă; ce diferă este dacă desfacerea lasă sau nu semne opuse pe cele două părți.

17. Da. Cele două limite laterale există și sunt egale, deci criteriul se aplică și limita funcției în $4$ este $7$ . Valoarea $f (4) = 1$ nu schimbă nimic; ea va conta abia la studiul continuității.

18. La dreapta lucrăm cu a treia ramură: $l_{d} (1) = q - 3$ , iar condiția ca limita să fie $4$ dă $q - 3 = 4$ , deci $q = 7$ . La stânga, $l_{s} (1) = p + q$ , iar din $p + q = 4$ obținem $p = 4 - 7 = - 3$ . Verificare: cu $p = - 3$ și $q = 7$ , ramura din stânga este $- 3 x + 7$ , care se apropie de $4$ , iar cea din dreapta $7 x^{2} - 3$ , care se apropie tot de $4$ . Valoarea $f (1) = 5$ rămâne fără efect asupra limitei.

De reținut

Limitele laterale se obțin apropiindu-te de punct pe o singură parte — pe stânga folosești doar numere mai mici decât $x_{0}$ , pe dreapta doar numere mai mari. Condiția se scrie dedesubtul săgeții; prescurtările sunt $l_{s} (x_{0})$ și $l_{d} (x_{0})$ .
Criteriul de existență cere două lucruri deodată: ambele laterale să se poată calcula și să iasă același număr; atunci acel număr e limita. „Se pot calcula" singur nu ajunge — exact acolo cade jumătate dintre rezolvările greșite.
La o funcție pe ramuri, fiecare parte se calculează cu ramura valabilă acolo. Semnul de egalitate din condiție ( $x \leq x_{0}$ sau $x \geq x_{0}$ ) spune doar cum se calculează $f (x_{0})$ , care nu intervine în limite.
Când numitorul se anulează, semnul lui pe fiecare parte decide rezultatul: la un numitor de gradul I semnele se despart și limita nu există, la un numitor pătrat ele coincid și limita este infinită.
Modulul se desface înainte de orice calcul, cu regula semnului expresiei de sub bare; el produce două ramuri, dar nu strică automat limita — uneori cele două ramuri dau același număr.

Greșeli frecvente

Desfaci modulul cu același semn pe amândouă părțile. La $∣ x - 4 ∣$ scrii $x - 4$ și la stânga lui $4$ , și la dreapta. Semnul expresiei de sub bare se stabilește separat pe fiecare parte, altfel una dintre cele două laterale iese cu semnul întors.
Te uiți numai la numitor când decizi semnul unei limite infinite. La $\frac{x}{x + 1}$ în $- 1$ numărătorul este negativ, deci limita la stânga iese $+ \infty$ , nu $- \infty$ . Regula semnelor cere amândouă semnele, nu unul singur.
Crezi că, acolo unde limita nu există, nu există nici limitele laterale. Când graficul sare, amândouă lateralele există foarte bine — tocmai diferența lor măsoară saltul. „Funcția nu are limită" nu înseamnă „nu se poate calcula nimic".
Aplici criteriul într-un punct care nu e punct de racord. Pentru o funcție cu formulele schimbate în $2$ , în punctul $5$ ambele laterale se calculează cu aceeași ramură și ies automat egale; acolo nu e nimic de comparat, iar o „discuție pe cazuri" e timp pierdut la examen.
Rezolvi ecuația în parametru fără să scrii ambele limite laterale. Cele două calcule se scriu separat; sărind peste ele și scriind direct „ $6 + a = 3$ " lași rezolvarea fără pași, chiar dacă valoarea găsită e corectă.

Aplică acasă

Saltul măsurat cu rigla. Desenează pe hârtie milimetrică graficul funcției din exercițiul 2, cele două ramuri cu culori diferite. Măsoară pe verticală distanța dintre capetele lor în punctul de racord: ai obținut, grafic, diferența $l_{d} (1) - l_{s} (1)$ .
Cele patru rânduri, cu exemplele tale. Ia tabelul din secțiunea a treia și scrie, pentru fiecare rând, câte o funcție proprie care îl ilustrează: una fără salt, una cu salt, una cu ambele laterale $+ \infty$ și una cu laterale infinite de semne opuse. Dă lista unui coleg și cere-i să potrivească fiecare funcție cu rândul ei.
Ramura ascunsă sub modul. Scrie trei expresii cu modul, de forma $\frac{ceva}{∣ x - a ∣}$ , alegând tu numerele. Desfă modulul pe fiecare parte, calculează cele două laterale în $a$ și notează la care dintre ele limita se strică și la care nu. Vei vedea că răspunsul depinde de numărător, nu de bare.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la capitolul XI.2, unde „limitele laterale" sunt cerute explicit, alături de interpretarea grafică a limitei. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) le cere cu aceeași formulare. În subiecte ele pot interveni ca pas de lucru: ori de câte ori apare o funcție cu două formule, o ecuație în parametru sau un numitor care se anulează — nu ca cerință de sine stătătoare: în modelul oficial din 2026, cerințele de analiză de la Subiectul al III-lea se sprijină pe derivate și pe integrale. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Criteriul de existență se folosește la acest profil ca unealtă, nu ca teoremă demonstrată — programa cere aplicarea lui. Verificați însă ca elevul să-l enunțe complet: eroarea tipică este „limita există dacă cele două laterale există", fără cuvântul „egale", iar ea trece neobservată până la primul exercițiu cu salt.

Lecția verifică patru lucruri: potrivirea formulei cu partea pe care se lucrează; enunțul complet al criteriului, cu amândouă cerințele lui; citirea semnului la un numitor care se anulează; și redactarea în doi pași, cu fiecare laterală scrisă pe rândul ei. Întrebări de control: „Ce s-ar schimba dacă mut semnul de egalitate la cealaltă ramură?"; „De ce un numitor la pătrat se poartă altfel decât unul de gradul I?"; „Dă-mi o funcție la care se poate calcula o singură laterală". Semn că elevul a înțeles: pune cele două numere unul sub altul înainte de orice concluzie. Continuarea firească este lecția despre limitele la plus infinit și la minus infinit.

Întrebări frecvente

De ce se pune condiția sub semnul limitei și nu la exponent? Pentru că un minus mic, urcat lângă $x_{0}$ , se confundă ușor cu semnul unei valori negative, iar la exercițiile cu numitor care schimbă semnul greșeala e aproape sigură. Scrisă dedesubt, pe un rând al ei, condiția $x < x_{0}$ se citește fără echivoc și e forma de preferat.

Contează unde stă semnul de egalitate, la $x \leq x_{0}$ sau la $x \geq x_{0}$ ? Pentru limite, deloc. Semnul acela spune numai cu ce formulă se calculează $f (x_{0})$ , iar valoarea din punct nu intră în niciuna dintre cele două laterale. Contează abia la continuitate, unde $f (x_{0})$ se compară cu limita. Alege formula după partea pe care lucrezi, nu după paranteza condiției.

Cum decid semnul unei limite laterale infinite? Te uiți la două lucruri: semnul limitei numărătorului și semnul cu care numitorul se apropie de zero pe partea aleasă. Le combini după regula semnelor. Dacă numitorul e un pătrat, el rămâne pozitiv pe amândouă părțile, deci semnele nu se despart.

Ce diferență e între limitele laterale la M1 și la M2? Calculul este identic; contextul, nu. La profilul matematică-informatică limitele laterale se construiesc pe definiția cu șiruri și se folosesc apoi la clasificarea punctelor de discontinuitate și la derivatele laterale, teme absente din programa de științe ale naturii. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: limitele laterale, cu definiția prin șiruri tratează aceste teme suplimentare.

La ce subiect apar limitele laterale la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, unde intră în rezolvare ori de câte ori funcția e definită pe ramuri sau are un numitor care se anulează. Ele apar ca pas într-o cerință mai mare — determinarea unui parametru, studiul continuității sau aflarea unei asimptote verticale — iar forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune.

La ce-mi folosește să calculez amândouă lateralele, dacă limita oricum nu există? Pentru că diferența dintre ele este chiar informația utilă: ea măsoară saltul funcției în acel punct. Într-un model din științe, saltul spune cât de brusc se schimbă mărimea la trecerea peste un prag — o dozare care sare cu $2$ mg sau o viteză de reacție care urcă dintr-odată cu $5$ unități.

Modulul strică întotdeauna limita? Nu. Modulul produce două ramuri, dar ele pot avea aceeași comportare lângă punct: funcția $∣ x - 4 ∣$ are ambele laterale în $4$ egale cu $0$ , deci limita există acolo. Limita se strică numai atunci când cele două expresii obținute după desfacerea barelor duc la numere diferite; barele singure nu decid nimic, decide semnul expresiei de sub ele.

De ce trebuie să scriu ambele calcule, dacă răspunsul se vede? Pentru că rezolvarea se scrie pe pași, nu doar pe concluzie. La o cerință cu parametru, pașii sunt fiecare limită laterală și ecuația scrisă, iar o rezolvare care sare direct la valoarea căutată nu arată niciunul dintre ei, chiar dacă numărul final e corect.