Cât este limita logaritmului în zero?

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Exponențială și logaritm

Un singur amănunt decide toate rezultatele: unde stă baza față de $1$ — iar propoziția aceasta se trece în rezolvare, fiindcă ea susține răspunsul. Cu o bază supraunitară, $a^x$ se stinge în stânga și crește nemărginit în dreapta; cu una subunitară, cele două se inversează, iar explicația stă în egalitatea ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=\frac{1}{a^x}$. Zeroul obținut nu e o valoare atinsă: exponențiala ia numai valori strict pozitive.

Logaritmul trăiește pe $(0,+\infty )$, deci are un singur capăt finit, și acela deschis. În el, restricția $x>0$ se trece sub semnul limitei, iar rezultatul e $-\infty$ pentru bază supraunitară și $+\infty$ pentru una subunitară; spre stânga nu se pune nicio întrebare, capătul lipsind din domeniu. Înăuntrul domeniului, ambele familii se evaluează prin înlocuire.

Capcana. O bază scrisă ca fracție poate fi foarte bine supraunitară — $\frac{3}{2}$ valorează $1,5$ —, așa că se compară cu unitatea, nu numărătorul cu numitorul. A doua greșeală coboară semnul de la exponent la rezultat, deși o putere de bază pozitivă nu poate coborî sub zero. Și ${\log }_{a}0$ nu se scrie: nici argumentul nu e în domeniu, nici $-\infty$ nu e număr.

De reținut

• $a>1$: ${\log }_{a}x\to -\infty$ când $x\to 0$, $x>0$
• $0<a<1$: ${\log }_{a}x\to +\infty$ când $x\to 0$, $x>0$
• $a>1$: $a^x\to 0$ la $-\infty$ și $a^x\to +\infty$ la $+\infty$

Greșeala tipică

Se scrie ${\log }_{2}0=-\infty$ ca și cum ar fi o valoare; logaritmul din $0$ nu există, iar $-\infty$ este doar limita la dreapta în $0$.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculează $\underset{x\to -3}{\lim }{4}^x$.

   • a) $-64$
   • b) $-12$
   • c) $64$
   • d) $\frac{1}{64}$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: d) $\frac{1}{64}$

   Punctul $-3$ aparține domeniului $\mathbb{R}$, deci limita este chiar valoarea funcției: $4^{-3}=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}$. Varianta a) mută semnul de la exponent la valoare, b) înmulțește baza cu exponentul, iar c) uită semnul exponentului. O putere a unui număr pozitiv este întotdeauna pozitivă.

2. Determină numărul real $m$, $m>0$, pentru care ${\log }_{6}m=-3$.

   • a) $\frac{1}{216}$
   • b) $-216$
   • c) $216$
   • d) $-18$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $\frac{1}{216}$

   Prin definiția logaritmului, ${\log }_{6}m=-3$ înseamnă $m=6^{-3}=\frac{1}{216}$, valoare pozitivă, deci acceptabilă. Varianta b) nu respectă condiția $m>0$ și nici definiția, c) uită semnul exponentului, iar d) înmulțește baza cu exponentul.

3. Pentru care dintre funcțiile de mai jos limita în punctul $0$, calculată prin valori $x>0$, este $-\infty$?

   • a) $f(x)={\log }_{\frac{1}{3}}x$
   • b) $f(x)={\log }_{7}x$
   • c) $f(x)={\left(\frac{1}{7}\right)}^x$
   • d) $f(x)={\log }_{0,2}x$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $f(x)={\log }_{7}x$

   Baza $7$ este supraunitară, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{7}x=-\infty$. Bazele $\frac{1}{3}$ și $0,2$ sunt subunitare, deci acolo limitele sunt $+\infty$. Varianta c) nu este logaritm: exponențiala este definită și în $0$, iar limita ei acolo este ${\left(\frac{1}{7}\right)}^0=1$.

Întrebări conexe

Oamenii mai întreabă și: limita logaritmului când x tinde la 0 · logaritm în zero limita · log de x când x tinde la zero · limita lui log în 0 la dreapta