Limite cu exponențială și logaritm (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de medicină nucleară, o substanță marcată cu iod radioactiv se împuținează singură: la fiecare perioadă de înjumătățire rămâne exact jumătate din cantitatea de dinainte. Farmacistul care pregătește doza știe câte miligrame are azi și cât va avea peste o zi, dar întrebarea care hotărăște când se poate arunca flaconul în siguranță este alta: spre ce se îndreaptă cantitatea, dacă timpul curge mai departe? În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), întrebarea aceasta are un nume și un instrument — limita unei funcții la capătul domeniului —, iar la Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) ea se pune la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică.

Aceeași întrebare, pusă invers, apare pe o scară de pH sau de decibeli: ce se întâmplă cu măsura logaritmică atunci când mărimea măsurată se apropie de zero? Lecția de astăzi răspunde la amândouă. Vei învăța limitele celor două funcții pe care programa le numește explicit — exponențiala și logaritmul — la capetele domeniilor lor și în punctele dinăuntrul domeniului, iar toate rezultatele se vor decide dintr-o singură informație: poziția bazei față de $1$. În modelul oficial al probei M_șt-nat, prima problemă a Subiectului al III-lea pornește chiar de la o funcție care conține exponențiala, $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$, iar o ecuație logaritmică deschide Subiectul I.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui, fără niciun calcul, ce face $a^x$ la $+\infty$ și la $-\infty$, citind doar poziția bazei $a$ față de $1$.
• Vei ști să scrii limitele funcției logaritmice la capetele domeniului $(0,+\infty )$, cu condiția $x>0$ pusă acolo unde trebuie.
• Vei ști să calculezi limita acestor funcții într-un punct din domeniu, prin înlocuire, și să explici de ce ai voie.
• Vei ști să recunoști din enunț baza scrisă ca fracție și să nu confunzi comparația cu $1$ cu o comparație între numărător și numitor.
• Vei ști să traduci rezultatul într-un model din fizică, chimie sau biologie — dezintegrare, răcire, creștere a unei culturi — cu unitatea de măsură și cu intervalul pe care modelul e valabil.
• Vei ști să redactezi răspunsul în ordinea potrivită: domeniul, poziția bazei, limita scrisă complet.

Hai să descoperim împreună

1. Ce decide comportarea unei exponențiale la capete?

Pornim de la modelul din deschidere. Dacă notăm cu $t$ numărul de perioade de înjumătățire scurse și pornim de la $400$ de miligrame, cantitatea rămasă este dată de $N(t)=400\cdot (0,5{)}^t$, unde $t\ge 0$. Câteva valori, calculate direct:

Valorile scad, rămân mereu strict pozitive și se apropie oricât de mult de zero: după zece perioade avem sub $0,4$ mg, după douăzeci sub $0,0004$ mg. Nicio valoare nu este zero, dar orice prag pozitiv, oricât de mic, este depășit în jos la un moment dat. Exact aceasta este situația pe care limitele la plus infinit și la minus infinit o descriu printr-un singur simbol.

Limitele funcției exponențiale sunt hotărâte de un singur număr: baza. Pentru $f:\mathbb{R}\to (0,+\infty )$, $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, dacă $a>1$ funcția este strict crescătoare, iar valorile ei tind la $+\infty$ când $x\to +\infty$ și la $0$ când $x\to -\infty$; dacă $0<a<1$ funcția este strict descrescătoare și cele două rezultate se schimbă între ele.

Motivul este monotonia, pe care ai stabilit-o deja la funcția exponențială și graficul ei: o funcție strict crescătoare care nu e mărginită superior nu are încotro să se ducă spre dreapta decât în sus, iar una strict crescătoare și mărginită inferior de $0$ nu poate coborî, spre stânga, sub acest prag. Nu ai de memorat patru rezultate separate, ci un singur comportament, citit în două sensuri.

2. Cum se citește tabelul limitelor exponențialei?

Tot ce am spus mai sus încape într-un tabel de patru căsuțe, iar acesta este tabelul pe care îl folosești la fiecare exercițiu:

Citit pe orizontală, tabelul spune povestea unui grafic; citit pe verticală, el arată că cele două linii sunt oglinda una a celeilalte. Scris cu simbolul limitei, primul rând înseamnă, de pildă pentru $a=3$:

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{3}^x=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }{3}^x=+\infty .$$

Reține că rezultatul $0$ nu este o valoare atinsă. Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, așa cum arată și codomeniul ei $(0,+\infty )$; limita $0$ descrie o apropiere fără sfârșit, nu o întâlnire. Tot așa, $+\infty$ nu este un număr pe care funcția să-l ia, ci felul în care spunem că valorile depășesc orice prag ai alege.

3. De ce baza subunitară schimbă rezultatele între ele?

Există o singură identitate de reținut, iar ea explică tot rândul al doilea al tabelului. Pentru orice $x$ real,

$${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=\frac{1}{a^x}.$$

Aceasta înseamnă că graficul unei exponențiale cu bază subunitară este graficul celei cu baza răsturnată, oglindit față de axa $Oy$. Când $x$ pleacă spre $+\infty$, numitorul $a^x$ crește nemărginit, deci fracția se apropie de $0$; când $x$ pleacă spre $-\infty$, numitorul se apropie de $0$ prin valori pozitive, iar fracția crește peste orice prag. Cu $a=4$, de exemplu:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{4}\right)}^x=+\infty .$$

Aici se ascunde capcana cea mai frecventă a lecției. Baza poate fi scrisă ca fracție fără să fie subunitară: la ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ baza este $1,5>1$, deci funcția crește, în timp ce la ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ baza este $0,666\dots <1$, deci funcția scade. Comparația se face întotdeauna cu numărul $1$, niciodată între numărătorul și numitorul fracției luate separat.

4. Cum se citesc limitele funcției logaritmice?

Funcția logaritmică $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{a}x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$, are un domeniu cu două capete de naturi diferite: unul finit și deschis, $0$, și unul infinit, $+\infty$. În fiecare dintre ele se pune câte o limită, iar rezultatele se decid tot după bază:

Pentru logaritmul natural, care are baza $e>1$, rezultatele sunt cele din primul rând:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty .$$

Merită privite cifrele, pentru că ele arată cât de încet se petrece totul la dreapta: $\ln 100\approx 4,6$, iar $\ln 1000000\approx 13,8$. Ai înmulțit argumentul cu zece mii și logaritmul a crescut cu mai puțin de zece unități. Limita este tot $+\infty$, dar drumul până acolo e mult mai lung decât la exponențială — de aceea scările logaritmice comprimă mărimi uriașe pe o riglă scurtă.

5. De ce logaritmul nu are limită la stânga lui zero?

Pentru că la stânga lui zero funcția pur și simplu nu există. Domeniul ei este $(0,+\infty )$, deci punctele $x<0$ nu se află în domeniu, iar o limită se poate cere numai acolo unde funcția are valori oricât de aproape de punct. Din acest motiv, în scrierea limitei în zero apare obligatoriu condiția $x>0$, exact ca în formula de mai sus, iar rezultatul obținut este limita funcției în punctul $0$: nu e o limită „pe jumătate", ci singura care are sens acolo.

Aceeași observație, spusă invers: pentru ${\log }_{a}x$ nu se pune problema unei limite la $-\infty$, pentru că acest capăt nu aparține domeniului. Și, la fel de important: ${\log }_{a}0$ nu se scrie niciodată ca valoare a funcției. Zero nu este în domeniu, iar $-\infty$ nu este număr real; singura scriere corectă este cea cu semnul limitei.

6. Ce faci într-un punct din interiorul domeniului?

Acolo lucrurile sunt simple, iar regula a fost fixată încă de la primele lecții ale unității: pentru funcțiile studiate, limita într-un punct din domeniu este chiar valoarea funcției în acel punct. Așadar se înlocuiește direct:

$$\underset{x\to 3}{\lim }{2}^x=2^3=8,\underset{x\to 81}{\lim }{\log }_{3}x={\log }_{3}81=4.$$

Această cale este deschisă pentru că amândouă funcțiile se trasează „dintr-o singură mișcare", fără sărituri și fără găuri, pe tot domeniul lor — proprietate pe care o vei numi și o vei demonstra mai târziu, în lecția despre continuitatea unei funcții într-un punct și pe interval. Până atunci reține consecința practică: dacă punctul este în domeniu, limita se obține prin înlocuire; dacă punctul este un capăt al domeniului sau $\pm \infty$, se folosește tabelul.

Un singur avertisment. Înlocuirea directă merge la funcțiile de mai sus, nu la orice expresie care le conține. Sumele, produsele și rapoartele în care intră o exponențială sau un logaritm se supun regulilor generale, iar unele dintre ele duc la situații care nu se pot decide prin înlocuire; ele sunt tema lecției următoare, operațiile cu limite și cazurile exceptate.

7. Unde întâlnești aceste limite în fizică, chimie și biologie?

Trei modele acoperă aproape tot ce vei întâlni la profilul științe ale naturii, iar toate trei sunt exponențiale sau logaritmice.

Dezintegrarea radioactivă are forma $N(t)=N_0\cdot (0,5{)}^t$, cu $t$ măsurat în perioade de înjumătățire și $N$ în miligrame; baza subunitară dă limita $0$ la $+\infty$, iar interpretarea fizică este „cantitatea scade sub orice prag pe care îl poți măsura", nu „substanța dispare la un moment dat".

Răcirea unui corp urmează un model de aceeași formă, dar mutat pe verticală: o ceașcă de ceai de $90$ °C într-o cameră de $20$ °C se răcește după legea $T(t)=20+70\cdot (0,9{)}^t$, cu $t$ în minute. Termenul $70\cdot (0,9{)}^t$ are limita $0$, deci temperatura se apropie de $20$ °C, temperatura camerei. Numeric: $T(10)\approx 44,41$ °C, $T(30)\approx 22,97$ °C, $T(60)\approx 20,13$ °C. Modelul este valabil cât timp camera își păstrează temperatura, iar ceașca nu scade niciodată sub ea.

Creșterea unei culturi de bacterii are bază supraunitară: $B(t)=B_0\cdot 2^t$, cu $t$ în ore, dacă populația se dublează în fiecare oră. Limita la $+\infty$ este $+\infty$, însă aici fraza care contează este cea de prudență: niciun mediu real nu hrănește o populație la nesfârșit, deci modelul descrie doar faza de început, iar limita matematică spune ce ar face modelul, nu ce face vasul din laborator.

8. Cum arată răspunsul care ia punctajul întreg

Ordinea de redactare este scurtă și se repetă identic la orice limită din această lecție:

1. domeniul și capătul: scrii domeniul funcției și spui în ce punct sau spre ce capăt se calculează limita (la logaritm, capătul $0$ vine cu condiția $x>0$);
2. poziția bazei: scrii explicit „baza este $a=\cdots >1$" sau „$0<a=\cdots <1$" — este pasul care justifică rezultatul, nu o formalitate;
3. limita scrisă complet, cu semnul $\lim$, cu variabila și cu ținta ei, urmată de rezultat.

O rezolvare care sare pasul al doilea arată ca un răspuns ghicit; una care scrie numai numărul final, fără semnul limitei, rămâne incompletă chiar dacă numărul e corect.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește tabelul unui experiment

Un filtru de aer reține, la fiecare trecere, trei sferturi din pulberile rămase. Pornind de la $256$ mg, măsurătorile dau:

a) Scrieți modelul care descrie tabelul și verificați-l în $t=2$ și $t=4$. b) Precizați spre ce se îndreaptă cantitatea rămasă și scrieți rezultatul ca limită.

Rezolvare. a) Fiecare valoare este un sfert din precedenta, deci $P(t)=256\cdot (0,25{)}^t$, $t\ge 0$, cu $P$ în miligrame. Verificarea: $P(2)=256\cdot 0,0625=16$ mg și $P(4)=256\cdot 0,00390625=1$ mg — se potrivesc cu tabelul.

b) Baza modelului este $0,25$, deci $0<0,25<1$: exponențiala este descrescătoare, iar la $+\infty$ tinde la $0$. Prin urmare

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }256\cdot (0,25{)}^t=0.$$

Citirea fizică: cantitatea rămasă scade sub orice prag de măsurare, dar rămâne strict pozitivă la orice moment finit. Aerul nu devine „curat" matematic; el coboară, la un moment dat, sub pragul impus de normă.

Exemplul 2 — Piesa scoasă din cuptor

Temperatura unei piese metalice, în grade Celsius, la $t$ minute după scoaterea din cuptor, este $T(t)=25+95\cdot (0,85{)}^t$, $t\ge 0$. a) Calculați temperatura inițială. b) Arătați că temperatura se apropie de temperatura halei și precizați valoarea acesteia.

Rezolvare. a) La $t=0$ avem $T(0)=25+95\cdot 1=120$, deci piesa a ieșit din cuptor la $120$ °C.

b) Baza este $0,85$, iar $0<0,85<1$, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }(0,85{)}^t=0$. Termenul $95\cdot (0,85{)}^t$ se apropie, prin valori pozitive, de $0$, așa că temperatura se apropie de $25$:

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }\left(25+95\cdot (0,85{)}^t\right)=25.$$

Temperatura halei este, așadar, $25$ °C. Modelul respectă și bunul-simț fizic: diferența $T(t)-25$ rămâne mereu strict pozitivă, adică piesa se apropie de temperatura halei de deasupra, fără să coboare sub ea.

Exemplul 3 — Patru limite decise numai după bază

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }{4}^x$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{4}^x$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{4}\right)}^x$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{4}\right)}^x$.

Rezolvare. Prima funcție are baza $4>1$, deci urmează primul rând al tabelului:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{4}^x=+\infty ,\underset{x\to -\infty }{\lim }{4}^x=0.$$

A doua are baza $\frac{3}{4}=0,75$, iar $0<0,75<1$, deci urmează rândul al doilea:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{4}\right)}^x=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{4}\right)}^x=+\infty .$$

Observă că amândouă bazele sunt numere pozitive diferite de $1$, dar se află de o parte și de alta a lui $1$ — de aceea rezultatele sunt încrucișate. Dacă baza ar fi fost $\frac{4}{3}$, adică tot o fracție, dar supraunitară, răspunsurile ar fi fost cele de la prima funcție.

Exemplul 4 — Logaritmul la capetele domeniului

Se consideră funcțiile $f,g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{3}x$ și $g(x)={\log }_{\frac{1}{3}}x$. Scrieți limitele fiecăreia la capetele domeniului.

Rezolvare. Domeniul comun este $(0,+\infty )$, cu capetele $0$ (finit, deschis, deci cu condiția $x>0$) și $+\infty$.

Pentru $f$ baza este $3>1$:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{3}x=-\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{3}x=+\infty .$$

Pentru $g$ baza este $\frac{1}{3}$, subunitară, deci rezultatele se schimbă între ele:

$$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{3}}x=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{3}}x=-\infty .$$

Un control rapid, pe valori: ${\log }_3\frac{1}{81}=-4$, iar ${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{81}=4$. Cele două funcții sunt opuse una alteia, ceea ce se vede și în tabel, unde rândurile lor sunt inversate.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev calculează limita funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^x$, la $-\infty$ și scrie: „Exponentul $x$ merge la $-\infty$, deci și valoarea funcției merge la $-\infty$; prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=-\infty$." Găsiți greșeala și scrieți rezolvarea corectă.

Rezolvare. Greșeala este confuzia dintre semnul exponentului și semnul valorii. Funcția exponențială ia numai valori strict pozitive, oricare ar fi exponentul: pentru $x$ negativ avem

$$2^x=\frac{1}{2^{-x}},$$

iar aici $-x$ este pozitiv și crește peste orice prag când $x\to -\infty$. Numitorul crește nemărginit, deci fracția scade spre $0$, rămânând pozitivă. Rezolvarea corectă este: baza este $2>1$, deci

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=0.$$

Proba, în trei valori: $2^{-10}\approx 0,00098$, $2^{-20}\approx 0,00000095$, $2^{-30}\approx 0,00000000093$ — toate pozitive, toate tot mai mici. Un rezultat negativ era exclus din start, pentru că nicio putere a unui număr pozitiv nu poate fi negativă.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{2}x$. a) Arătați că $f(8)-f(2)=2$. b) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$. c) Determinați numărul real $m$, $m>0$, pentru care $f(m)=-3$.

Rezolvare.

a) Amândouă punctele sunt în domeniu, deci valorile se calculează direct: $f(8)={\log }_{2}8=3$, pentru că $2^3=8$, și $f(2)={\log }_{2}2=1$. Atunci $f(8)-f(2)=3-1=2$.

b) Domeniul este $(0,+\infty )$, iar $+\infty$ este capăt al lui. Baza este $2>1$, deci funcția este strict crescătoare și nemărginită superior:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{2}x=+\infty .$$

c) Egalitatea ${\log }_{2}m=-3$ înseamnă, prin definiția logaritmului, $m=2^{-3}$, adică

$$m=\frac{1}{8}.$$

Valoarea obținută este pozitivă, deci se află în domeniu, iar condiția $m>0$ este respectată.

De la examen la lecție. În modelul oficial al probei M_șt-nat, cerințele de la Subiectul al III-lea au exact această formă — „Arătați că…" la primele două puncte și „Determinați numărul real…" la al treilea —, iar prima problemă pornește de la o funcție care conține exponențiala, $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$. La examen, punctele care cer derivate se rezolvă cu regulile de derivare, care vin în unitatea următoare; cerința de tip limită, ca cea de la b), se rezolvă cu tabelul din această lecție. Ecuațiile logaritmice, ca cea de la c), apar și la Subiectul I.

Să exersăm

Ordinea de redactare: domeniul și capătul, poziția bazei față de $1$, limita scrisă complet.

1. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{6}^x$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{6}^x$.

2. Scrie limitele funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)={\left(\frac{2}{5}\right)}^x$, la cele două capete ale domeniului.

3. Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\lg x$ și limita funcției logaritm zecimal în punctul $0$, scriind condiția care trebuie pusă sub semnul limitei.

4. Pentru $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{\frac{1}{4}}x$, scrie limitele la capetele domeniului.

5. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }{3}^x$ și $\underset{x\to 32}{\lim }{\log }_{2}x$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Există un număr real $x$ pentru care $5^x=0$."

7. Fără să faci vreun calcul, spune care dintre limitele $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{5}{4}\right)}^x$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ este $0$ și motivează prin poziția bazei față de $1$, nu prin comparația dintre numărător și numitor.

8. Determină numărul real $m$, $m>0$, pentru care ${\log }_{5}m=-2$.

9. (Problemă aplicată.) Un preparat radioactiv are la început $48$ mg de substanță activă, iar cantitatea rămasă după $t$ perioade de înjumătățire este $N(t)=48\cdot (0,5{)}^t$, în miligrame. Calculează $N(3)$ și scrie limita cantității când $t\to +\infty$, cu interpretarea ei.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{7}\right)}^x$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_{7}x$. Arată că $f(49)=2$ și că limita funcției $f$ în punctul $0$ este $-\infty$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3^x$. Arată că $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=9$.

13. Scrie, în ordinea de redactare, rezolvarea completă a limitei $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{9}{4}\right)}^x$: domeniul și capătul, poziția bazei față de $1$, limita scrisă complet.

14. Calculează sau estimează valorile funcțiilor $2^x$ și ${\log }_{2}x$ pentru $x=1000$ și spune ce anume despre cele două funcții nu se vede din faptul că amândouă cresc nemărginit la $+\infty$.

15. (Problemă aplicată.) Într-o cultură, numărul de bacterii după $t$ ore este $B(t)=500\cdot 2^t$. Calculează $B(4)$, scrie $\underset{t\to +\infty }{\lim }B(t)$ și explică de ce modelul nu poate descrie cultura oricât de mult timp.

16. Calculează $\underset{x\to 0,5}{\lim }{4}^x$.

17. Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x$, scrie limitele la cele două capete ale domeniului și precizează valoarea $f(0)$.

18. (Provocare.) Aciditatea unei soluții apoase se exprimă prin $\mathrm{pH}=-\lg c$, unde $c$ este concentrația ionilor de hidrogen, în moli pe litru. Arată că $\underset{\begin{array}{c}c\to 0\\ c>0\end{array}}{\lim }\left(-\lg c\right)=+\infty$ și explică de ce, în practică, pH-ul unei soluții apoase obișnuite nu trece de $14$.

Răspunsuri și explicații

1. Baza este $6>1$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{6}^x=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{6}^x=0$.

2. Baza este $\frac{2}{5}=0,4$, subunitară, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{5}\right)}^x=0$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{5}\right)}^x=+\infty$.

3. Baza logaritmului zecimal este $10>1$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\lg x=+\infty$, iar în capătul $0$ al domeniului $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\lg x=-\infty$. Condiția $x>0$ este obligatorie: la stânga lui zero funcția nu este definită.

4. Baza este $\frac{1}{4}$, subunitară, deci $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{\frac{1}{4}}x=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\log }_{\frac{1}{4}}x=-\infty$.

5. Amândouă punctele sunt în domeniu, deci se înlocuiește direct: $\underset{x\to 4}{\lim }{3}^x=3^4=81$ și $\underset{x\to 32}{\lim }{\log }_{2}x={\log }_{2}32=5$, pentru că $2^5=32$.

6. Fals. Codomeniul funcției exponențiale este $(0,+\infty )$, deci $5^x>0$ pentru orice $x$ real. Valoarea $0$ este limita funcției la $-\infty$, adică o valoare de care ne apropiem oricât de mult, nu una pe care funcția o ia.

7. Prima. Baza $\frac{5}{4}=1,25$ este supraunitară, deci la $-\infty$ exponențiala tinde la $0$; baza $\frac{4}{5}=0,8$ este subunitară, deci acolo funcția tinde la $+\infty$. Amândouă sunt scrise ca fracții, deci forma scrierii nu spune nimic: hotărăște doar poziția față de $1$.

8. Din ${\log }_{5}m=-2$ obținem $m=5^{-2}=\frac{1}{25}$, valoare pozitivă, deci acceptabilă.

9. $N(3)=48\cdot (0,5{)}^3=48\cdot 0,125=6$ mg. Baza $0,5$ este subunitară, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }48\cdot (0,5{)}^t=0$: cantitatea activă scade sub orice prag măsurabil, rămânând totuși strict pozitivă la orice moment finit.

10. Baza $\frac{3}{7}$ este subunitară, fiind mai mică decât $1$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{7}\right)}^x=0$.

11. Punctul $49$ este în domeniu, deci valoarea se calculează prin înlocuire: ${\log }_{7}49=2$, pentru că $7^2=49$. Domeniul este $(0,+\infty )$, iar $0$ este capăt finit și deschis al lui, deci limita se scrie cu condiția $x>0$. Baza este $7>1$, prin urmare $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }{\log }_{7}x=-\infty$.

12. Punctul $2$ aparține domeniului $\mathbb{R}$, deci limita este valoarea funcției: $\underset{x\to 2}{\lim }{3}^x=3^2=9$.

13. Domeniul și capătul: funcția este definită pe $\mathbb{R}$, iar $-\infty$ este un capăt al domeniului. Poziția bazei: $\frac{9}{4}=2,25$, deci baza este supraunitară, $a>1$. Limita: pentru bază supraunitară, primul rând al tabelului dă $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{9}{4}\right)}^x=0$. Cei trei pași se scriu toți: o rezolvare care sare peste al doilea arată ca un răspuns ghicit, iar una care scrie doar cifra finală, fără semnul limitei, rămâne incompletă chiar cu rezultatul corect.

14. Valorile nu se compară: $2^{1000}$ are peste trei sute de cifre, în timp ce ${\log }_{2}1000\approx 9,97$. Faptul că amândouă cresc nemărginit nu spune nimic despre ritm: exponențiala urcă exploziv, logaritmul urcă foarte încet. Limita descrie destinația, nu viteza cu care se ajunge la ea; comparația riguroasă a celor două ritmuri cere unelte din unitatea de derivate.

15. $B(4)=500\cdot 2^4=500\cdot 16=8000$ de bacterii. Baza $2$ este supraunitară, deci $\underset{t\to +\infty }{\lim }500\cdot 2^t=+\infty$. Modelul descrie numai faza de început: hrana, spațiul și acumularea de produși ai metabolismului opresc dublarea, deci limita spune ce ar face modelul, nu ce face cultura reală.

16. Punctul $0,5$ este în domeniu, deci $\underset{x\to 0,5}{\lim }{4}^x=4^{0,5}=\sqrt{4}=2$.

17. Baza este $e\approx 2,72>1$, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$; valoarea în origine este $f(0)=e^0=1$, punctul prin care trec graficele tuturor exponențialelor.

18. Baza logaritmului zecimal este $10>1$, deci $\underset{\begin{array}{c}c\to 0\\ c>0\end{array}}{\lim }\lg c=-\infty$; cum pH-ul este opusul acestei mărimi, el tinde la $+\infty$. În practică, într-o soluție apoasă concentrația ionilor de hidrogen nu coboară sub aproximativ $10^{-14}$ moli pe litru, din cauza echilibrului de ionizare a apei, deci pH-ul se oprește în jurul valorii $14$: matematica permite orice, chimia mărginește intervalul pe care modelul este valabil.

De reținut

• Comportarea unei exponențiale la capete se decide dintr-o singură comparație, baza cu numărul $1$, iar pasul acesta se scrie în rezolvare, pentru că el justifică rezultatul.
• Pentru $a>1$ avem $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }{a}^x=+\infty$; pentru $0<a<1$ cele două rezultate se schimbă între ele, iar motivul este identitatea ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=\frac{1}{a^x}$.
• Funcția logaritmică are domeniul $(0,+\infty )$, deci limita în capătul $0$ se scrie întotdeauna cu condiția $x>0$, iar spre $-\infty$ nu se pune nicio întrebare: acest capăt nu există.
• Într-un punct din interiorul domeniului limita se obține prin înlocuire directă, atât la exponențială, cât și la logaritm; tabelul de la capete se folosește numai la capete.
• Simbolurile $+\infty$ și $-\infty$ nu sunt numere reale: nu se scrie $f(+\infty )$ și nu se scrie ${\log }_{a}0$, ci limita corespunzătoare, cu semnul $\lim$ scris complet.

Greșeli frecvente

• Muți semnul de la exponent la valoare. Din „exponentul tinde la $-\infty$" nu urmează „funcția tinde la $-\infty$": o putere a unui număr pozitiv rămâne pozitivă, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }{2}^x=0$, nu $-\infty$.
• Compari numărătorul cu numitorul, în loc să compari baza cu $1$. La ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ baza este supraunitară, deși e scrisă ca fracție, deci funcția crește; la ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ este subunitară și funcția scade.
• Scrii ${\log }_{2}0=-\infty$ ca pe o valoare a funcției. Numărul $0$ nu aparține domeniului, iar $-\infty$ nu este număr real; singura scriere corectă este limita cu condiția $x>0$ sub semnul ei.
• Înlocuiești $\infty$ în formula funcției și scrii $f(+\infty )$ sau $2^{+\infty }$ ca rezultat final. Simbolurile infinitului apar numai sub semnul limitei sau ca rezultat al ei; într-o redactare de examen, o valoare a funcției se calculează doar în puncte din domeniu.
• Dai limita unui model aplicat fără unitate de măsură și fără intervalul de valabilitate. La dezintegrare, limita $0$ înseamnă „sub orice prag măsurabil", nu „substanța dispare"; la creșterea unei culturi, limita $+\infty$ descrie modelul, nu vasul din laborator, care se epuizează.

Aplică acasă

1. Ceaiul cronometrat. Toarnă o cană de ceai fierbinte, notează temperatura camerei și măsoară temperatura ceaiului din cinci în cinci minute, timp de o jumătate de oră. Calculează de fiecare dată diferența dintre temperatura ceaiului și cea a camerei și observă că ea se micșorează aproape de același număr de ori la intervale egale. Spune ce valoare arată limita din §7 și verifică dacă măsurătorile tale se apropie de ea.

2. Foaia îndoită de șapte ori. Măsoară grosimea unui teanc de o sută de coli, împarte la o sută și află grosimea unei foi. Îndoaie apoi o foaie de șapte ori, măsoară grosimea obținută și compar-o cu grosimea unei foi înmulțită cu $2^7$. Explică de ce modelul $2^n$ descrie bine primele îndoituri și de ce, în realitate, nu poți ajunge la a douăzecea, deși limita matematică ar fi $+\infty$.

3. Prospectul unui medicament. Caută pe prospectul unui medicament din casă timpul de înjumătățire plasmatică și calculează ce fracțiune din doză mai rămâne după una, două, trei și patru astfel de perioade. Scrie rezultatele ca valori ale unei funcții exponențiale cu baza $0,5$ și explică, folosind limita, de ce medicul stabilește un interval între doze în loc să aștepte „până la zero".

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la unitatea XI.2 „Limite de funcții și continuitate", în conținutul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit calculul limitelor pentru funcția logaritmică și pentru funcția exponențială, iar acestea apar la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial al probei, nu se presupune: în modelul publicat, prima problemă a Subiectului al III-lea pornește de la funcția $f(x)=e^x\left(x^2+x-1\right)$, iar Subiectul I conține o ecuație logaritmică.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul stabilește domeniul înainte de a alege capătul în care pune limita; (2) că justifică rezultatul prin poziția bazei față de $1$, nu prin memorare; (3) că scrie condiția $x>0$ la logaritm în zero; (4) că traduce rezultatul în limbajul problemei aplicate, cu unitate de măsură. Patru întrebări de control, de pus oral: „Care este domeniul funcției și câte capete are?"; „Unde stă baza față de $1$ și ce urmează de aici?"; „Ce înseamnă, în cuvintele problemei, că limita este zero?"; „De ce nu putem scrie ${\log }_{2}0$?". Semne că a înțeles: începe rezolvarea cu domeniul, spune cu voce tare poziția bazei și adaugă unitatea de măsură la rezultatul unui model. Continuarea firească este lecția despre operațiile cu limite și cele trei cazuri exceptate, iar pasul dinaintea ei a fost lecția despre limitele funcțiilor putere și radical.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)? Rezultatele de la capete sunt aceleași, dar programa profilului științe ale naturii se oprește aici. La mate-info se studiază în plus limitele fundamentale cu numărul $e$ și cu logaritmul, folosite la ridicarea nedeterminărilor. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: limitele funcțiilor exponențială și logaritmică tratează și acele teme suplimentare.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o limită cu exponențială sau logaritm? La Subiectul al III-lea, care cuprinde două probleme de analiză matematică a câte trei cerințe de cinci puncte. În modelul oficial al probei, prima problemă pornește de la o funcție care conține exponențiala, iar una dintre cerințe este de tipul „Arătați că limita… este…". Ecuațiile logaritmice apar separat, la Subiectul I.

Care este ordinea pașilor într-o rezolvare de limită cu exponențială? Trei pași, în această ordine: scrii domeniul funcției și precizezi capătul sau punctul în care calculezi limita; scrii poziția bazei față de $1$, adică „$a>1$" sau „$0<a<1$"; scrii limita completă, cu semnul $\lim$, cu variabila, cu ținta ei și cu rezultatul. Pasul al doilea este cel care justifică răspunsul.

Se poate scrie ${\log }_{2}0$? Nu. Domeniul funcției logaritmice este $(0,+\infty )$, deci în zero funcția nu are valoare, iar $-\infty$ nu este număr real. Corect se scrie limita funcției în punctul $0$, cu condiția $x>0$ sub semnul limitei; rezultatul acelei limite este $-\infty$ pentru bază supraunitară. La bază subunitară aceeași limită iese $+\infty$, așa că scrierea prescurtată ar ascunde tocmai deosebirea dintre cele două cazuri.

Ce înseamnă, într-o problemă de dezintegrare, că limita este zero? Înseamnă că, oricât de mic ai alege un prag, cantitatea rămasă coboară sub el după un timp suficient de lung. Nu înseamnă că substanța dispare: la orice moment finit cantitatea este strict pozitivă. De aceea protocoalele de laborator lucrează cu praguri de siguranță, nu cu valoarea zero.

Numărul $e$ se cere la profilul științe ale naturii? Da, ca bază a funcției exponențiale naturale și a logaritmului natural — apare chiar în modelul oficial de subiect. Fiind un număr supraunitar, $e\approx 2,72$, limitele lui $e^x$ sunt cele din primul rând al tabelului. Limitele fundamentale în care $e$ apare ca rezultat aparțin programei de matematică-informatică.

Cum verific rapid dacă am scris bine rezultatul? Calculează valoarea funcției în două puncte depărtate, în direcția în care merge variabila, și privește tendința. Pentru ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ la $+\infty$, valorile în $10$ și în $20$ sunt aproximativ $0,00098$ și $0,00000095$: scad spre zero, deci rezultatul $0$ este corect. Controlul durează câteva secunde și prinde confuziile de semn.