Calculează $$\lim\limits_{x\to5}\sqrt[3]{x-130}$$.

limita nu există, fiindcă numărul de sub radical este negativ

Se consideră funcția $$g:[7,+\infty)\to\mathbb{R}$$, $$g(x)=\sqrt{x-7}+41$$. Care scriere este corectă în punctul $$7$$?

$$\lim\limits_{\substack{x\to7\\ x>7}}g(x)=41$$

$$\lim\limits_{\substack{x\to7\\ x<7}}g(x)=41$$

limita nu există, fiindcă limita la stânga nu se poate calcula

Cât este limita lui ∛x la minus infinit?

Este -∞. Radicalul de ordinul 3 este definit pe toate numerele reale și păstrează semnul, de exemplu ∛(-1000)=-10. Pe măsură ce x coboară nemărginit, și rădăcina cubică coboară nemărginit, deși mai încet decât x.

Cât este limita lui (√(9x²+x))/(x+1) la plus infinit?

Scoți x² de sub radical: pentru x>0, √(9x²+x)=x √(9+ 1/x). Fracția devine (√(9+ 1/x))/(1+ 1/x), care tinde la 3/1=3. Gradele „efective” ale numărătorului și numitorului sunt egale, amândouă 1.

Cum scot factorul de sub radical la infinit?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Puteri și radicali

Scoți factor comun puterea dominantă de sub radical și folosești $x^{2} = ∣ x ∣$ . La $+ \infty$ , $∣ x ∣ = x$ ; la $- \infty$ , $∣ x ∣ = - x$ . De exemplu, $\frac{4 x ^{2} + 1}{x} = \frac{∣ x ∣ 4 + \frac{1}{x ^{2}}}{x}$ . La $- \infty$ fracția devine $- 4 + \frac{1}{x ^{2}}$ , care tinde la $- 2$ , iar la $+ \infty$ aceeași expresie tinde la $2$ . Dacă modulul este uitat, semnul iese greșit la $- \infty$ .

Lista e scurtă și fixată de programă: $x^{2}$ , $x^{3}$ , $x$ și $3 x$ ; exponenți mai mari, ordine peste trei și puteri cu exponent real nu se cer. Comportarea spre capete se reține dintr-o vorbă: paritatea decide. Un exponent par aduce ambele capete la același răspuns, unul impar le trimite în direcții opuse; un ordin par taie domeniul la $[0, + \infty)$ , unul impar îl lasă întreg. De aceea $x$ nu primește nicio întrebare în stânga, iar formularea potrivită nu e că limita lipsește, ci că întrebarea rămâne fără obiect.

Între capete, valoarea se obține prin înlocuire. Pentru o compunere, radicalul poate fi trecut peste semnul limitei atunci când expresia de dedesubt are limită nenegativă sau infinită — iar verificarea aceasta se scrie, nu se gândește. Radicalul de ordin impar nu pune nicio condiție.

Capcana. Extragerea unui pătrat lasă $∣ x ∣$ , nu $x$ ; în stânga modulul se citește $- x$ și întoarce semnul întregului rezultat — aici se pierd cele mai multe rapoarte cu radical calculate la $- \infty$ . A doua: în punctul $0$ al domeniului lui $x$ se scrie limita laterală, cu restricția trecută sub semn.

De reținut

$x^{2} = ∣ x ∣$ : la $+ \infty$ este $x$ , la $- \infty$ este $- x$
$3 x$ are limita $+ \infty$ la $+ \infty$ și $- \infty$ la $- \infty$
sub radicalul de ordinul $2$ limita trece doar dacă rezultatul este nenegativ

Greșeala tipică

La $- \infty$ se scrie $4 x^{2} + 1 = 2 x 1 + \dots$ și se obține $+ 2$ în loc de $- 2$ ; corect este $4 x^{2} = 2∣ x ∣ = - 2 x$ pentru $x < 0$ .

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to 5 lim 3 x - 130$ .
- a) $5$
- b) $- 125$
- c) $- 5$
- d) limita nu există, fiindcă numărul de sub radical este negativ
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 5$

Radicalul de ordinul al treilea este definit pentru orice număr real, deci nu ai nimic de verificat înainte: sub radical rămâne $5 - 130 = - 125$ , iar $3 - 125 = - 5$ , pentru că $(- 5)^{3} = - 125$ . Varianta a) pune semnul la urmă din memorie, b) uită să extragă radicalul, iar d) aplică radicalului impar condiția de semn a celui par.
Se consideră funcția $g : [7, + \infty) \to R$ , $g (x) = x - 7 + 41$ . Care scriere este corectă în punctul $7$ ?
- a) $x \to 7 lim g (x) = 0$
- b) $x \to 7 x > 7 lim g (x) = 41$
- c) $x \to 7 x < 7 lim g (x) = 41$
- d) limita nu există, fiindcă limita la stânga nu se poate calcula
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x \to 7 x > 7 lim g (x) = 41$

Punctul $7$ este capătul închis al domeniului: el aparține domeniului, dar la stânga lui nu se află nicio valoare a funcției, așa că singura limită cu sens este cea dinspre dreapta, scrisă cu condiția $x > 7$ sub semnul limitei. Ea valorează $0 + 41 = 41$ . Varianta a) cere o limită bilaterală imposibilă și reține doar radicalul, c) alege partea greșită, iar d) confundă lipsa de obiect cu inexistența.
Calculează $x \to 10 lim 28 x + 9$ .
- a) $17$
- b) $289$
- c) $28 + 3$
- d) $37$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17$

Expresia de sub radical tinde la $28 \cdot 10 + 9 = 289$ , număr pozitiv, deci limita trece sub radical: $289 = 17$ . Varianta b) uită extragerea radicalului, c) îl distribuie peste sumă, iar d) adună $28$ cu $9$ fără să înmulțească.

Întrebări conexe

Cât este limita lui $3 x$ la minus infinit?

Este $- \infty$ . Radicalul de ordinul $3$ este definit pe toate numerele reale și păstrează semnul, de exemplu $3 - 1000 = - 10$ . Pe măsură ce $x$ coboară nemărginit, și rădăcina cubică coboară nemărginit, deși mai încet decât $x$ .

Cât este limita lui $\frac{9 x ^{2} + x}{x + 1}$ la plus infinit?

Scoți $x^{2}$ de sub radical: pentru $x > 0$ , $9 x^{2} + x = x 9 + \frac{1}{x}$ . Fracția devine $\frac{9 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ , care tinde la $\frac{3}{1} = 3$ . Gradele „efective” ale numărătorului și numitorului sunt egale, amândouă $1$ .

Pot trece limita sub un radical de ordinul 3?

Da, pentru orice limită reală, fără condiție de semn, fiindcă radicalul de ordinul $3$ este definit peste tot. De exemplu, $x \to 2 lim 3 x^{3} - 16 = 3 8 - 16 = 3 - 8 = - 2$ . La rădăcina pătrată, limita trece sub radical doar când rezultatul ei este un număr pozitiv sau zero.

De ce dă aceeași expresie cu radical limite opuse la cele două capete?

Pentru că modulul din $x^{2} = ∣ x ∣$ se desface diferit. Pentru $\frac{x ^{2} + 3}{2 x}$ limita este $\frac{1}{2}$ la $+ \infty$ și $- \frac{1}{2}$ la $- \infty$ : radicalul rămâne pozitiv, iar numitorul își schimbă semnul. Capetele se tratează separat.

Ce se întâmplă cu perioada unui pendul când lungimea tinde la zero?

Perioada $T = 2 π \frac{ℓ}{g}$ tinde la $0$ , fiindcă $ℓ$ tinde la $0$ când $ℓ$ tinde la $0$ prin valori pozitive. Relația arată și ritmul: dacă lungimea crește de $4$ ori, perioada crește doar de $2$ ori.

Oamenii mai întreabă și: scoaterea factorului de sub radical la infinit · limita cu radical la infinit · radical din x pătrat la minus infinit · factor comun sub radical la limite