Limite de putere și radical (M2, științe ale naturii)

Un obiect scăpat de la etajul întâi ajunge jos după o secundă; de la etajul al patrulea, unde înălțimea e de patru ori mai mare, nu cade în patru secunde, ci în două. Legea care leagă timpul de înălțime conține un radical, iar radicalul e cel care „strivește" creșterea. În clasa a XI-a, la științe ale naturii (M2), puterile și radicalii formează a doua familie de funcții pentru care se cere calculul limitelor, după polinoame și rapoarte; la bacalaureatul M2 ele apar la Subiectul al III-lea, iar programa de examen le fixează exact: exponentul și ordinul iau doar valorile $2$ și $3$.

Lecția aceasta e, în bună parte, un tabel: patru funcții, domeniile lor și ce fac la capete. Restul este felul în care tabelul se folosește — la funcții compuse, ca $\sqrt{5x+1}$, și în capătul unui domeniu închis, unde singura limită care are sens este cea laterală. Nimic peste ce cere programa: exponenți mari, radicali de ordin $4$ sau puteri cu exponent real nu intră la M2.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui care sunt funcțiile putere și radical cerute la M2 și care sunt domeniile lor.
• Vei ști pe de rost tabelul limitelor la capete pentru $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$, și să explici de unde vine fiecare rând.
• Vei ști să calculezi limita unei funcții compuse cu radical, trecând limita sub radical atunci când ai voie.
• Vei ști să tratezi capătul închis $0$ al domeniului lui $\sqrt{x}$, unde limita este laterală.
• Vei ști să scoți factor forțat de sub un radical la capete și să pui corect modulul, deci semnul.
• Vei ști să citești un rezultat cu radical într-o formulă de fizică, cu unitatea lui de măsură.

Hai să descoperim împreună

1. Care sunt funcțiile putere și radical cerute la M2?

Sunt patru, și merită numite de la început, ca să nu pierzi timp cu altele.

Funcția putere de exponent natural $n\ge 2$ este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^n$, iar funcția radical de ordin $n\ge 2$ este funcția $g(x)=\sqrt[n]{x}$, definită pe $[0,+\infty )$ când $n$ este par și pe $\mathbb{R}$ când $n$ este impar. Programa de examen de la M2 cere aceste două familii pentru $n=2$ și $n=3$, deci cele patru funcții ale lecției sunt $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$.

Le-ai întâlnit deja, cu grafice cu tot, în clasele anterioare: funcția radical de ordinul al doilea și funcția putere cu exponent întreg. Ce se adaugă acum e o singură întrebare nouă, pusă la capetele domeniului: încotro merg valorile? Răspunsul la ea închide de fapt și ultimul rând din lista de familii pe care programa le cere calculate.

O precizare de graniță, ca să știi ce nu cauți aici: expresii de forma $\frac{1}{x^2}$ sau $\frac{1}{x^3}$ nu sunt tratate în lecția aceasta ca puteri, ci ca rapoarte de polinoame — limitele lor au fost calculate cu regula gradelor, în lecția despre limitele funcțiilor polinomiale și raționale.

2. Ce fac puterile $x^2$ și $x^3$ la capete?

Într-un punct finit nu e nimic de discutat: puterile sunt polinoame, deci limita se obține prin înlocuire. De pildă, limita lui $x^3$ în $-2$ este $-8$.

La capete, totul se reduce la paritatea exponentului. Ridicarea la puterea a doua desființează semnul: și numerele mari pozitive, și cele mari negative dau pătrate mari pozitive, așa că $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$. Ridicarea la puterea a treia păstrează semnul, deci cele două capete se despart: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3=+\infty$, dar $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$.

Se vede și pe numere, fără niciun raționament: pentru $x=-1000$ avem $x^2=1000000$, iar $x^3=-1000000000$. Primul număr e mare și pozitiv, al doilea e mare și negativ. Regula de reținut e scurtă: exponentul par unește capetele, exponentul impar le desparte.

3. De ce radicalul de ordin par are alt domeniu decât cel de ordin impar?

Pentru că un pătrat nu poate fi negativ. Ecuația $y^2=-4$ nu are soluție reală, deci $\sqrt{-4}$ nu există în mulțimea numerelor reale, iar domeniul funcției $\sqrt{x}$ începe de la $0$. În schimb, $y^3=-8$ are soluția $y=-2$, deci $\sqrt[3]{-8}=-2$ are perfect sens, iar funcția $\sqrt[3]{x}$ e definită pe toată dreapta reală.

Urmarea pentru limite e imediată. La $\sqrt{x}$ există un singur capăt de studiat, cel din dreapta: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$. Întrebarea „cât este limita lui $\sqrt{x}$ la $-\infty$" nu are răspuns pentru că nu are obiect — funcția nu e definită acolo, deci nu există valori pe care să le urmărim. La $\sqrt[3]{x}$ ambele capete sunt de studiat, și fiecare își păstrează semnul: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=-\infty$.

Mai rămâne capătul $0$ al domeniului lui $\sqrt{x}$, care este închis: punctul aparține domeniului, dar funcția nu e definită la stânga lui. Acolo singura limită care are sens este cea la dreapta, și ea se scrie ca atare: $$\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0.$$ Valoarea coincide cu $\sqrt{0}=0$, ceea ce nu e o întâmplare, dar deocamdată reține forma scrierii: la un capăt închis se cere întotdeauna limita laterală dinspre interiorul domeniului.

4. Tabelul de citit dintr-o privire

Iată, strâns într-un singur loc, tot ce se cere la M2 despre aceste patru funcții:

Trei observații care fac tabelul de neuitat. Rândurile impare — $x^3$ și $\sqrt[3]{x}$ — arată la fel, pentru că amândouă păstrează semnul. Coloana lui $+\infty$ e plină de $+\infty$: toate patru cresc nemărginit spre dreapta, deși cu viteze foarte diferite. Iar singura căsuță care nu conține un simbol este cea a radicalului de ordin par la $-\infty$, și acolo răspunsul corect la examen nu e „nu există limita", ci „întrebarea nu are sens, funcția nu e definită acolo".

5. Cum se calculează limita unei funcții compuse cu radical?

În practică radicalul vine rar singur; de obicei sub el stă o expresie. Regula e simplă și se aplică fără teamă atâta vreme cât are sens: limita trece sub radical, adică $$\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{u(x)}=\sqrt{\underset{x\to x_0}{\lim }u(x)},$$ cu condiția ca limita expresiei de sub radical să existe și să fie un număr nenegativ, sau $+\infty$.

Două exemple de calcul, pas cu pas. Pentru $\sqrt{5x+1}$ în punctul $3$: expresia de sub radical tinde la $16$, număr pozitiv, deci $\underset{x\to 3}{\lim }\sqrt{5x+1}=4$. Pentru aceeași funcție la capătul din dreapta: $5x+1$ crește nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{5x+1}=+\infty$.

Condiția de semn nu e o formalitate. La $\sqrt{x^2+9}$, expresia de sub radical este pozitivă oricare ar fi $x$, deci funcția e definită pe toată dreapta, iar la ambele capete pătratul o trage în sus: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2+9}=+\infty$. La $\sqrt{5x+1}$, dimpotrivă, domeniul se oprește la $-\frac{1}{5}$, așa că întrebarea de la capătul din stânga nici nu se pune. Verifică deci întâi ce face expresia de sub radical, abia apoi scrie limita.

La radicalul de ordin impar nu ai nicio condiție de semn, fiindcă e definit peste tot: $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt[3]{x-10}=-2$, pentru că sub radical rămâne $-8$.

6. Cum se scoate factor forțat de sub un radical la capete?

Există o singură prelucrare de care vei avea nevoie mai târziu, la asimptote, și se învață cel mai bine acum. Când sub radical stă un pătrat care crește nemărginit, îl scoți afară — cu grijă la semn: $$\sqrt{4x^2+1}=\sqrt{x^2\left(4+\frac{1}{x^2}\right)}=|x|\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}.$$ Modulul e obligatoriu, pentru că $\sqrt{x^2}$ este $|x|$, nu $x$: la $x=-5$ radicalul din $25$ este $5$, nu $-5$.

De aici, comportarea raportului $\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}$ la cele două capete este diferită, deși expresia arată la fel. La $+\infty$ modulul se înlocuiește cu $x$ însuși, deci raportul devine $\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$, care tinde la $2$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=2$. La $-\infty$ modulul se înlocuiește cu $-x$, deci raportul devine $-\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$, iar $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x}=-2$. Aceeași tehnică pregătește lecția despre asimptota oblică și condițiile ei de existență, unde se calculează exact rapoarte de acest fel.

7. Ce spune radicalul într-o problemă de fizică?

Că efectul crește mai încet decât cauza. Într-o cădere liberă, fără frecarea cu aerul și cu accelerația gravitațională luată $g\approx 10$ metri pe secundă la pătrat, un corp lăsat de la înălțimea $h$ metri atinge solul după $t(h)=\sqrt{\frac{h}{5}}$ secunde, cu viteza $v(h)=\sqrt{20h}$ metri pe secundă.

Radicalul spune că, pentru a dubla timpul de cădere, nu e de ajuns să dublezi înălțimea: trebuie să o faci de patru ori mai mare. Tot el spune că viteza la impact crește și ea încet, dar nemărginit: $\underset{h\to +\infty }{\lim }\sqrt{20h}=+\infty$, adică, în modelul fără aer, nu există o viteză maximă de impact. Realitatea pune o limită pe care matematica nu o conține — frecarea cu aerul —, iar deosebirea dintre model și fenomen merită spusă de fiecare dată când folosești o formulă la fizică.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citește tabelul de valori al puterilor

Se consideră funcțiile $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $p(x)=x^2$, și $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $q(x)=x^3$. Folosind tabelul de mai jos, spuneți ce limite au cele două funcții la capete.

Rezolvare. Rândul lui $p$ este simetric: valorile din stânga le repetă pe cele din dreapta, pentru că pătratul desființează semnul. Ele cresc și într-o parte, și în cealaltă, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$.

Rândul lui $q$ este, dimpotrivă, antisimetric: aceleași cifre, cu semne opuse. Spre dreapta valorile urcă peste orice prag, spre stânga coboară sub orice prag, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$.

Observă și un lucru pe care tabelul îl arată, dar pe care nu l-am folosit ca justificare: la aceeași abscisă, cubul e mult mai mare în valoare absolută decât pătratul. Tabelul rămâne o ilustrare; justificarea scrisă este paritatea exponentului.

Exemplul 2 — Domeniile și capetele celor doi radicali

Precizați domeniul maxim și limitele la capete pentru $f(x)=\sqrt{x}$ și pentru $g(x)=\sqrt[3]{x}$.

Rezolvare. Pentru $f$, expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, deci domeniul maxim este $[0,+\infty )$. Capătul din dreapta dă $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}=+\infty$, iar capătul din stânga este $0$ și e închis, deci acolo se cere limita laterală: $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\sqrt{x}=0$. Nu are rost să întrebi ce face $f$ la $-\infty$: nu e definită acolo.

Pentru $g$, ordinul fiind impar, nu există nicio condiție, deci domeniul maxim este $\mathbb{R}$. Ambele capete se studiază, iar semnul se păstrează: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=+\infty$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=-\infty$. Verificare pe un număr: $\sqrt[3]{-1000}=-10$, adică o valoare mare în valoare absolută și negativă, cum era de așteptat.

Exemplul 3 — Radical peste o expresie

Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{49x+8}{x}}$ și $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{7x-2}$.

Rezolvare. Prima cerință are sub radical un raport de două polinoame de gradul I, iar el se duce mai întâi până la capăt: gradele sunt egale, coeficienții dominanți sunt $49$ și $1$, deci $\frac{49x+8}{x}$ tinde la $49$. Fiind un număr pozitiv, limita are voie să treacă sub radical: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{49x+8}{x}}=\sqrt{49}=7.$$ Reține ordinea: expresia de sub radical se calculează întâi, radicalul se extrage abia din rezultat. Cine scoate radicalul termen cu termen obține altceva.

A doua cerință schimbă ordinul radicalului, și odată cu el toate condițiile. Radicalul de ordinul al treilea este definit pentru orice număr real, deci nu ai nimic de verificat înainte: expresia $7x-2$ scade nemărginit la capătul din stânga, iar radicalul de ordin impar îi păstrează semnul, așa că $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{7x-2}=-\infty$. Compară cele două cerințe: la prima a trebuit să arăți că numărul de sub radical e pozitiv, la a doua întrebarea nici nu se pune — ordinul radicalului, nu prezența lui, hotărăște ce ai de verificat.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „limita funcției $x^2$ la $-\infty$ este $-\infty$, pentru că $x$ ia valori negative din ce în ce mai mari în valoare absolută." Găsiți greșeala și scrieți rezolvarea corectă.

Rezolvare. Elevul a citit corect ce face variabila, dar a uitat să treacă semnul prin ridicarea la pătrat. Un număr negativ ridicat la puterea a doua dă un număr pozitiv: pentru $x=-100$, $x^2=10000$, nu $-10000$.

Corect: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty$. Greșeala are și o formă mai subtilă, de care merită să te ferești din timp: dacă exponentul ar fi fost impar, răspunsul elevului ar fi fost cel bun, pentru că $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$. De aceea regula nu se reține ca „la $-\infty$ iese minus", ci ca „paritatea exponentului decide". Un singur cuvânt din enunț — exponentul — schimbă complet răspunsul.

Exemplul 5 — Căderea liberă

Într-un model fără frecarea cu aerul, cu $g\approx 10$ metri pe secundă la pătrat, un corp lăsat liber de la înălțimea $h$ metri cade în $t(h)=\sqrt{\frac{h}{5}}$ secunde. a) Completați tabelul timpilor de cădere pentru înălțimile $5$, $20$, $45$ și $80$ de metri. b) Ce se întâmplă cu timpul de cădere când înălțimea crește nemărginit și de ce răspunsul nu descrie o cădere reală?

Rezolvare. a) Se înlocuiește în formulă:

Citește tabelul de la dreapta la stânga: ca timpul să se dubleze, de la $2$ la $4$ secunde, înălțimea a trebuit să crească de patru ori, de la $20$ la $80$ de metri. Exact asta face radicalul cu o creștere.

b) Sub radical stă $\frac{h}{5}$, care crește nemărginit, deci $\underset{h\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{h}{5}}=+\infty$: în model, timpul de cădere nu are nicio margine superioară. O cădere reală se poartă altfel, pentru că frecarea cu aerul limitează viteza, iar de la o înălțime încolo corpul coboară aproape uniform. Modelul e bun pentru zeci de metri și pentru corpuri compacte; limita matematică spune ce face formula, nu ce face piatra.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{4x+9}$. a) Arătați că $f(4)=5$. b) Calculați $\underset{x\to 4}{\lim }f(x)$. c) Arătați că $f(x)\ge 3$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

Rezolvare.

a) Prin înlocuire: sub radical rămâne $16+9=25$, iar $f(4)=5$.

b) Expresia de sub radical tinde la $25$, număr pozitiv, deci limita trece sub radical și $\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{4x+9}=5$. Se observă că rezultatul coincide cu valoarea funcției din punct, calculată la a) — o coincidență care se va numi, peste câteva lecții, continuitate.

c) Pentru $x\ge 0$ avem $4x\ge 0$, deci $4x+9\ge 9$. Radicalul de ordin par este crescător, așa că $\sqrt{4x+9}\ge \sqrt{9}=3$, adică $f(x)\ge 3$, ceea ce trebuia arătat. Egalitatea are loc numai pentru $x=0$.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe urmează forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: o valoare cerută „arătați că", o limită și o inegalitate. Observă că punctul c) nu cere niciun calcul de limită — se rezolvă cu monotonia radicalului, adică tot cu ce știi din clasa a IX-a. Cerințele de acest fel se pierd, la clasă, nu din necunoaștere, ci pentru că elevul caută o tehnică de analiză acolo unde e nevoie doar de o inegalitate scrisă îngrijit.

Să exersăm

La fiecare cerință, întreabă-te întâi dacă punctul aparține domeniului și dacă expresia de sub radical are voie să fie acolo.

1. Reface din memorie tabelul celor patru funcții ale lecției, cu domeniul și cele două capete, și scrie lângă fiecare rând cuvântul care îl justifică: paritatea exponentului sau ordinul radicalului. Spune și de ce una dintre căsuțe nu se completează.

2. Precizează domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{x^2-64}$ și calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

3. Calculează $\underset{x\to -5}{\lim }{x}^3$.

4. Calculează valorile funcțiilor $\sqrt{x}$ și $x^2$ în $x=100$ și în $x=10000$, apoi spune care dintre ele crește mai repede, deși amândouă au aceeași limită la $+\infty$.

5. Precizează domeniul maxim al funcției $g(x)=\sqrt{18-2x}$, calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }g(x)$ și limita în capătul închis al domeniului.

6. Calculează $\underset{x\to 9}{\lim }\sqrt{x}$.

7. Calculează $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{11x+3}$, arătând că expresia de sub radical este pozitivă în punct.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Funcția $\sqrt[3]{x}$ ia numai valori pozitive, deci limita ei la $-\infty$ este $0$."

9. Determină $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2+121}$ și spune de ce întrebarea are sens, deși radicalul e de ordin par.

10. Calculează $\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt[3]{x-31}$.

11. (Problemă aplicată.) Pe o coardă cu masa de $10$ grame pe metru, viteza unei unde este $v(F)=\sqrt{100F}$ metri pe secundă, unde $F$ este forța de întindere, în newtoni. Calculează $v(4)$ și $v(9)$, apoi $\underset{F\to +\infty }{\lim }v(F)$, și spune ce mărginește în realitate viteza.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:[-2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+2}$. Arată că $f(7)=3$ și calculează $\underset{x\to 7}{\lim }f(x)$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x}$. Calculează $\underset{x\to -27}{\lim }f(x)$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\left[-\frac{7}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2x+7}$. Calculează $\underset{x\to 9}{\lim }f(x)$.

15. Precizează pentru ce numere reale $x$ are sens $\sqrt{x-6}$ și calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x-6}$.

16. Arată că $\sqrt{9x^2+2}=|x|\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}$ pentru orice $x\ne 0$ și calculează $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+2}}{x}$.

17. Pentru aceeași expresie, calculează $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+2}}{x}$ și explică de unde vine deosebirea de semn.

18. (Provocare.) Arată că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+5}}{x+1}=2$, scoțând factor forțat și la numărător, și la numitor.

Răspunsuri și explicații

1. Tabelul are patru rânduri. $x^2$, definită pe $\mathbb{R}$: $+\infty$ la amândouă capetele — paritatea exponentului, care unește capetele. $x^3$, definită pe $\mathbb{R}$: $-\infty$ la stânga, $+\infty$ la dreapta — tot paritatea exponentului, de data aceasta impară, care desparte capetele. $\sqrt{x}$, definită pe $[0,+\infty )$: căsuța de la $-\infty$ rămâne goală, iar la $+\infty$ răspunsul este $+\infty$ — ordinul par al radicalului îngustează domeniul. $\sqrt[3]{x}$, definită pe $\mathbb{R}$: $-\infty$ și $+\infty$ — ordinul impar lasă domeniul întreg. Căsuța goală nu se completează cu propoziția despre inexistența limitei, ci cu observația că funcția nu e definită la stânga, deci întrebarea nu are obiect.

2. Condiția de existență este $x^2-64\ge 0$, adică $x\le -8$ sau $x\ge 8$; domeniul maxim este $(-\infty ,-8]\cup [8,+\infty )$, o reuniune de două intervale. La amândouă capetele pătratul crește nemărginit, deci și expresia de sub radical: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-64}=+\infty$ și $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2-64}=+\infty$. Deși radicalul este de ordin par, capătul din stânga există aici — pentru că expresia de sub el, nu ordinul radicalului, hotărăște domeniul.

3. Punct finit, funcție polinomială, deci înlocuire: $\underset{x\to -5}{\lim }{x}^3=-125$.

4. În $x=100$: $\sqrt{100}=10$, iar $100^2=10000$. În $x=10000$: $\sqrt{10000}=100$, iar $10000^2=100000000$. Amândouă funcțiile au limita $+\infty$, dar ritmurile nu se compară: când argumentul s-a înmulțit cu o sută, radicalul s-a înmulțit cu zece, iar pătratul cu zece mii. Pătratul crește mult mai repede; limita spune încotro merg valorile, nu cât de iute merg.

5. Condiția de existență este $18-2x\ge 0$, adică $x\le 9$; domeniul maxim este $(-\infty ,9]$. La $-\infty$ expresia de sub radical crește nemărginit, fiindcă din $18$ se scade un număr negativ tot mai mare în valoare absolută, deci $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{18-2x}=+\infty$. Capătul închis este $9$, iar funcția nu e definită la dreapta lui, așa că acolo se scrie limita dinspre stânga: $\underset{\begin{array}{c}x\to 9\\ x<9\end{array}}{\lim }\sqrt{18-2x}=0$.

6. Punctul $9$ e în interiorul domeniului, iar sub radical stă un număr pozitiv: $\underset{x\to 9}{\lim }\sqrt{x}=3$.

7. În $2$, expresia de sub radical este $11\cdot 2+3=25>0$, deci limita trece sub radical: $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{11x+3}=5$.

8. Fals. Radicalul de ordin impar e definit pe toată dreapta reală și ia valori negative pentru numere negative: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[3]{x}=-\infty$, nu $0$. Doar radicalul de ordin par ia numai valori nenegative.

9. Expresia $x^2+121$ este pozitivă pentru orice $x$ real, deci funcția e definită și pe semiaxa negativă, iar la capătul din stânga pătratul crește nemărginit: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2+121}=+\infty$. Ordinul radicalului fixează condiția, dar expresia de sub el hotărăște domeniul.

10. Sub radical rămâne $4-31=-27$, iar radicalul de ordin impar are voie să lucreze cu numere negative: $\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt[3]{x-31}=-3$, pentru că $(-3{)}^3=-27$.

11. $v(4)=\sqrt{400}=20$ de metri pe secundă și $v(9)=\sqrt{900}=30$ de metri pe secundă. Sub radical, $100F$ crește nemărginit, deci $\underset{F\to +\infty }{\lim }\sqrt{100F}=+\infty$: modelul nu pune nicio margine vitezei undei. În realitate coarda se rupe la o forță de întindere pe care materialul nu o mai suportă, deci formula are sens numai până la sarcina ei maximă.

12. $f(7)=\sqrt{9}=3$. Sub radical stă $x+2$, care în $7$ dă $9>0$, deci $\underset{x\to 7}{\lim }\sqrt{x+2}=3$.

13. Radicalul de ordin impar se calculează direct: $\underset{x\to -27}{\lim }\sqrt[3]{x}=-3$, pentru că $(-3{)}^3=-27$.

14. În $9$, expresia de sub radical este $18+7=25$, deci $\underset{x\to 9}{\lim }\sqrt{2x+7}=5$.

15. Condiția de existență este $x-6\ge 0$, adică $x\ge 6$; domeniul maxim e $[6,+\infty )$. La capătul din dreapta expresia de sub radical crește nemărginit, deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x-6}=+\infty$.

16. Scoatem $x^2$ de sub radical: $\sqrt{9x^2+2}=\sqrt{x^2\left(9+\frac{2}{x^2}\right)}=|x|\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}$. La capătul din dreapta $x$ e pozitiv, deci modulul e chiar $x$, iar raportul devine $\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}$, de unde $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+2}}{x}=3$.

17. La capătul din stânga $x$ e negativ, deci modulul e $-x$, iar raportul devine $-\sqrt{9+\frac{2}{x^2}}$. Prin urmare $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9x^2+2}}{x}=-3$. Deosebirea vine numai din modul: radicalul dă întotdeauna un rezultat nenegativ, în timp ce numitorul își schimbă semnul.

18. Numărătorul se scrie $\sqrt{4x^2+5}=|x|\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}$, iar la $+\infty$ modulul este chiar $x$. Numitorul se scrie $x+1=x\left(1+\frac{1}{x}\right)$. Simplificând prin $x$, raportul devine $\frac{\sqrt{4+\frac{5}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}$, iar cele două fracții mici se sting: numărătorul tinde la $2$, numitorul la $1$. Deci $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{4x^2+5}}{x+1}=2$.

De reținut

• La M2 se cer doar patru funcții din aceste familii: $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$; exponenții și ordinele mai mari nu intră în programa de examen.
• Paritatea hotărăște totul: exponentul par unește capetele, iar cel impar le desparte; ordinul par îngustează domeniul la $[0,+\infty )$, iar cel impar îl lasă întreg.
• La radicalul de ordin par, capătul din stânga al domeniului este $0$ și e închis, deci acolo se scrie limita laterală la dreapta, niciodată o limită bilaterală.
• Limita trece sub radical dacă expresia de dedesubt are limită nenegativă sau $+\infty$; verificarea acestei condiții este primul pas al rezolvării, nu o formalitate.
• Când scoți un pătrat de sub radical scrii $|x|$, nu $x$: la capătul din stânga modulul devine $-x$ și schimbă semnul întregului rezultat.

Greșeli frecvente

• Scrii că $\sqrt{x^2}$ ar fi $x$. Egalitatea corectă este $\sqrt{x^2}=|x|$, iar pentru $x$ negativ modulul înseamnă $-x$. De aici vine cea mai costisitoare greșeală de semn din capitol, la rapoartele cu radical calculate la $-\infty$.
• Treci limita sub radical fără să verifici semnul. Dacă expresia de sub un radical de ordin par tinde la un număr negativ, punctul nu aparține domeniului și cerința nu are răspuns; verificarea se scrie, nu se subînțelege.
• Calculezi $\sqrt[3]{-8}$ ca $\sqrt[3]{8}$ și adaugi semnul la sfârșit, din memorie. Radicalul de ordin impar poartă semnul numărului de sub el, iar rezultatul se scrie direct: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Obiceiul de a „lucra cu modulul și a pune semnul la urmă" duce la erori când sub radical stă o expresie.
• Amesteci exponentul cu ordinul radicalului. Deși programa cere pentru amândouă familiile aceleași valori, $2$ și $3$, funcțiile nu se poartă la fel: $x^2$ crește la ambele capete, iar $\sqrt{x}$ nici măcar nu e definită la stânga.
• Ceri limita bilaterală în $0$ pentru $\sqrt{x}$. În capătul închis al unui domeniu nu există decât o singură parte din care te poți apropia, așa că scrierea corectă conține condiția $x>0$ sub limită.

Aplică acasă

1. Cronometrul și scara blocului. Lasă o minge să cadă, de la o înălțime pe care o poți măsura cu o ruletă, și cronometrează căderea de trei ori; ia media. Compară rezultatul cu $t(h)=\sqrt{\frac{h}{5}}$ și notează cu cât diferă. Vei vedea că modelul e bun la câțiva metri, iar discuția despre unde începe să se abată e chiar discuția despre limitele unui model fizic.

2. Radicalul de ordinul al treilea, pe calculatorul de buzunar. Cere-i calculatorului sau aplicației de pe telefon valoarea lui $\sqrt[3]{-8}$ și vezi ce răspunde: unele dau $-2$, altele semnalează eroare, pentru că folosesc definiția cu puteri reale, valabilă doar pe semiaxa pozitivă. Scrie ce ai obținut și explică, în două rânduri, de ce la școală $\sqrt[3]{-8}=-2$.

3. Trei formule cu radical din manualul de fizică. Caută trei formule în care apare un radical — de exemplu perioada unui pendul, viteza la impact, viteza unei unde pe o coardă. Pentru fiecare, spune ce mărime stă sub radical și ce se întâmplă cu rezultatul când mărimea aceea crește nemărginit. Vei observa că, de fiecare dată, creșterea rezultatului e mult mai lentă decât a cauzei.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", la punctul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen (OMEN 4430/2014) cere explicit calculul limitelor pentru „funcția putere ($n=2,3$)" și „funcția radical ($n=2,3$)", ceea ce fixează exact cele patru funcții din tabelul lecției. În modelul oficial al probei M_șt-nat, limita apare la Subiectul al III-lea, problema 1, subpunctul b); forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția este scurtă ca teorie și densă ca reflexe. Miza ei nu e memorarea tabelului — patru rânduri se rețin într-o oră —, ci cele două verificări care îl însoțesc: dacă punctul aparține domeniului și dacă expresia de sub radical are voie să fie acolo. Elevii care sar peste ele calculează corect nouă exerciții din zece și greșesc exact la al zecelea, cel construit pe un capăt de domeniu.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul deosebește paritatea exponentului de paritatea ordinului; (2) că scrie limita laterală în capătul închis al domeniului; (3) că verifică semnul expresiei de sub radicalul de ordin par înainte de a calcula; (4) că pune modulul când scoate un pătrat de sub radical. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce face un exponent par cu semnul?"; „De ce nu are sens limita lui $\sqrt{x}$ la minus infinit?"; „Cât este $\sqrt[3]{-27}$ și de ce?"; „Când scrii $|x|$ în loc de $x$?". Semne că elevul a înțeles: începe prin a scrie domeniul, folosește tabelul ca pe o listă de fapte, nu ca pe o rețetă, și explică diferența de semn dintre cele două capete la rapoartele cu radical. Urmează lecția despre limitele funcțiilor exponențială și logaritmică, care închide familia de funcții cerute de programa de examen.

Întrebări frecvente

Ce exponenți și ce ordine de radical se cer la bacalaureatul M2? Doar $2$ și $3$, pentru amândouă familiile: funcțiile $x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$ și $\sqrt[3]{x}$. Programa de examen le numește explicit „funcția putere" și „funcția radical", cu $n$ egal cu $2$ sau $3$. Exponenții mari, radicalii de ordinul al patrulea și puterile cu exponent real nu intră în materia acestui profil, deci nu are rost să le exersezi.

Cum se calculează limita unei funcții cu radical într-un punct din domeniu? Se verifică întâi ce face expresia de sub radical în acel punct. Dacă limita ei există și este un număr nenegativ, limita trece sub radical și se calculează radicalul acelui număr. De exemplu, pentru $\sqrt{5x+1}$ în $3$, sub radical rămâne $16$, deci limita este $4$. Pasul de verificare se scrie, nu se face doar în gând.

Ce se întâmplă cu $\sqrt{x}$ în capătul $0$ al domeniului? Punctul $0$ aparține domeniului, dar funcția nu e definită la stânga lui, așa că singura limită cu sens este cea dinspre dreapta, iar ea este $0$. Se scrie cu condiția $x>0$ sub semnul limitei. O limită bilaterală în $0$ ar presupune valori ale funcției și pentru numere negative, care nu există.

De ce $\sqrt{x^2}$ nu este $x$? Pentru că radicalul de ordin par dă întotdeauna un rezultat nenegativ, iar $x$ poate fi negativ. Egalitatea corectă este $\sqrt{x^2}=|x|$, adică $x$ pentru numere pozitive și $-x$ pentru numere negative. Verifică pe un exemplu: pentru $x=-5$, radicalul din $25$ este $5$, nu $-5$. De aici vin toate deosebirile de semn dintre cele două capete.

Ce se studiază în plus la mate-info față de M2, la aceste funcții? La matematică-informatică se adaugă puterile cu exponent întreg negativ și cu exponent real, discuția punctelor de acumulare ale domeniului maxim și tratarea riguroasă a cazurilor în care limita nu există. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: limitele funcțiilor putere și radical, cu exponenți oarecare arată întreaga întindere a temei. La M2 rămân cele patru funcții și tabelul lor.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o limită cu radical? La Subiectul al III-lea, cel de analiză matematică. În modelul oficial al probei, una dintre cele două probleme ale acestui subiect pornește de la o funcție care conține un radical; forma exactă a cerințelor se citește în model, nu se presupune. Radicalul poate apărea și în cerințele despre asimptote, pentru că acolo se calculează rapoarte de forma celor din ultimele exerciții ale lecției.

La ce folosește un radical într-o formulă din fizică? Arată că efectul crește mult mai încet decât cauza. Timpul de cădere crește cu radicalul înălțimii, perioada unui pendul cu radicalul lungimii, viteza la impact cu radicalul înălțimii. Practic, ca să dublezi rezultatul trebuie să faci mărimea de sub radical de patru ori mai mare — iar rezultatul are întotdeauna unitatea lui de măsură, care se scrie la fel de obligatoriu ca valoarea.