Care este regula gradelor la limite?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Limite raționale

La $\pm \infty$ , limita unui raport de polinoame se decide comparând gradele. Dacă numărătorul are grad mai mic, limita este $0$ ; la grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți; dacă numărătorul are grad mai mare, limita este $+ \infty$ sau $- \infty$ , după semn. Exemple: $\frac{4 x ^{2} - x}{2 x ^{2} + 5} \to 2$ , $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} \to 0$ , iar $\frac{x ^{2} + 1}{x - 2} \to + \infty$ la $+ \infty$ . Regula nu se aplică într-un punct finit.

Aproape tot ce se cere încape în trei mișcări. Într-un punct finit, un polinom se evaluează pur și simplu; un raport de polinoame la fel, cu condiția verificată dinainte ca numitorul să nu se stingă acolo. Spre capete contează numai termenul de grad maxim: scoțându-l factor comun, ce rămâne în paranteză se apropie de coeficientul lui, iar semnul iese din paritatea gradului combinată cu semnul acelui coeficient.

Pentru un raport la $\pm \infty$ se compară gradele. Numărător de grad mai mic: rezultatul e zero. Grade la fel: raportul celor doi coeficienți conducători — care iese $1$ numai dacă ei coincid. Numărător de grad mai mare: rezultatul e infinit, iar acolo se dau două răspunsuri, fiindcă semnul se întoarce odată cu capătul.

Capcana. Întrebarea alege unealta, nu forma fracției: gradele descriu doar comportarea spre capete și nu spun nimic despre un punct finit. Dacă numitorul se stinge, prima privire merge la numărător — nenul, urmează laterale și discuție de semn; nul, se taie factorul $x - x_{0}$ , cu mențiunea de valabilitate. Iar gradul se numără abia după ce parantezele au fost desfăcute.

De reținut

grad numărător < grad numitor: limita la $\pm \infty$ este $0$
grade egale: limita este raportul coeficienților dominanți
grad numărător > grad numitor: limita este $\pm \infty$ , după semn

Greșeala tipică

Se aplică regula gradelor și într-un punct finit, de exemplu în $x \to 1$ ; acolo se înlocuiește direct sau se simplifică, iar gradele nu contează.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează $x \to - 3 lim (2 x^{2} + 9 x - 11)$ .
- a) $- 56$
- b) $34$
- c) $- 9$
- d) $- 20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $- 20$

Funcția fiind polinomială, se înlocuiește direct: $2 \cdot 9 + 9 \cdot (- 3) - 11 = 18 - 27 - 11 = - 20$ . Varianta a) ia $(- 3)^{2} = - 9$ , b) înlocuiește cu $3$ în loc de $- 3$ , iar c) uită termenul liber.
Calculează $x \to + \infty lim \frac{13 x ^{2} - x + 4}{5 x ^{2} + 2}$ .
- a) $1$
- b) $\frac{13}{5}$
- c) $\frac{5}{13}$
- d) $+ \infty$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{13}{5}$

Gradele sunt egale, amândouă $2$ , deci limita este raportul coeficienților dominanți: $\frac{13}{5}$ . Varianta a) presupune că grade egale dau $1$ , c) inversează raportul, iar d) citește numărătorul singur. Rezultatul se lasă ca fracție, nu se rotunjește.
Calculează $x \to - 7 lim \frac{x ^{2} + 4 x - 21}{x ^{2} + 8 x + 7}$ .
- a) $1$
- b) $- \frac{5}{3}$
- c) $\frac{5}{3}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{5}{3}$

Amândouă polinoamele se anulează în $- 7$ , deci este cazul $\frac{0}{0}$ . Numărătorul are rădăcinile $- 7$ și $3$ , numitorul pe $- 7$ și $- 1$ : $\frac{( x + 7 ) ( x - 3 )}{( x + 7 ) ( x + 1 )} = \frac{x - 3}{x + 1}$ pentru $x \neq = - 7$ . Înlocuind, $\frac{- 10}{- 6} = \frac{5}{3}$ . Varianta a) simplifică $x^{2}$ cu $x^{2}$ termen cu termen, d) înlocuiește cu $+ 7$ , iar b) pierde un semn la împărțire.

Întrebări conexe

Cât este limita unui polinom de gradul 2 la minus infinit?

O decide termenul $a x^{2}$ : pentru $a > 0$ limita este $+ \infty$ , pentru $a < 0$ este $- \infty$ , la ambele capete, fiindcă $x^{2}$ este pozitiv. De exemplu, $- 2 x^{2} + 5 x$ tinde la $- \infty$ atât spre $+ \infty$ , cât și spre $- \infty$ , fiindcă termenul $- 2 x^{2}$ domină.

Cum calculez limita unei funcții raționale într-un punct unde numitorul nu se anulează?

Înlocuiești direct, după ce verifici că numitorul este nenul în acel punct. De exemplu, $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 1}{x + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Regula gradelor nu are niciun rol aici; ea privește doar capetele $\pm \infty$ .

Ce fac când numitorul se anulează, dar numărătorul nu?

Studiezi semnul numitorului de fiecare parte a punctului. Pentru $\frac{x + 1}{x - 2}$ în $2$ , numărătorul tinde la $3$ ; la stânga numitorul e negativ, deci $l_{s} = - \infty$ , iar la dreapta e pozitiv, deci $l_{d} = + \infty$ . Limita în $2$ nu există, iar $x = 2$ este asimptotă verticală.

Ce arată regula gradelor pentru o concentrație care scade în timp?

Dacă un medicament are în sânge concentrația $c (t) = \frac{30 t}{t ^{2} + 9}$ mg/L, numărătorul are gradul $1$ , iar numitorul gradul $2$ . Regula dă $t \to + \infty lim c (t) = 0$ : după mult timp medicamentul este eliminat aproape complet.

Cum aflu un parametru ca limita la infinit să aibă o valoare dată?

Scrii limita cu regula gradelor și rezolvi ecuația. Pentru $x \to + \infty lim \frac{a x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = 3$ , gradele sunt egale, deci limita este $\frac{a}{2}$ . Condiția $\frac{a}{2} = 3$ dă $a = 6$ ; verificare: $\frac{6 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x}$ tinde la $3$ .

Oamenii mai întreabă și: regula gradelor la limite de funcții raționale · limita raport de polinoame la infinit · comparăm gradele la limită · limita unei fracții de polinoame la infinit