Limitele funcțiilor polinomiale și raționale (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Două rezistoare montate în paralel se poartă ciudat la prima vedere: oricât de mare ai face rezistența celui de-al doilea, rezistența echivalentă a montajului nu trece niciodată de rezistența primului. Formula care descrie asta este un raport de două expresii de gradul I, iar întrebarea „până unde urcă?" se rezolvă cu o limită. În clasa a XI-a, la științe ale naturii (M2), polinoamele și rapoartele de polinoame sunt cele mai dese funcții din subiecte, iar la bacalaureatul M2 limitele lor apar la Subiectul al III-lea, în problemele de analiză matematică.

Lecția de astăzi îți dă trei unelte care acoperă aproape tot ce se cere: înlocuirea directă într-un punct, termenul dominant la capete și compararea gradelor la un raport. Toate trei sunt scurte, se învață într-o oră și se aplică aproape mecanic — cu condiția să recunoști de fiecare dată în ce situație te afli, pentru că unealta potrivită se alege după întrebare, nu după cum arată formula.

Ce vei învăța

Vei ști să calculezi limita unei funcții polinomiale într-un punct, prin înlocuire directă, și să spui de ce are voie să se facă așa.
Vei ști să determini comportarea unui polinom la capete, scoțând termenul dominant factor comun.
Vei ști să calculezi limita unei funcții raționale într-un punct în care numitorul nu se anulează.
Vei ști să aplici regula gradelor la $\pm \infty$ și să alegi corect semnul la fiecare capăt.
Vei ști să recunoști cazul în care numitorul se anulează și să decizi, cu limitele laterale, ce se întâmplă acolo.
Vei ști să interpretezi rezultatul într-un montaj electric sau într-un raport din biologie, cu unitatea de măsură potrivită.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se calculează limita unei funcții polinomiale într-un punct?

Cel mai simplu caz din tot capitolul, și e bine să știi de ce este simplu.

Limita unei funcții polinomiale într-un punct $x_{0}$ este chiar valoarea polinomului în acel punct: se înlocuiește $x$ cu $x_{0}$ și se face calculul. Pentru $P : R \to R$ , $P (x) = 2 x^{2} - 5 x + 3$ , avem $P (4) = 32 - 20 + 3 = 15$ , deci $x \to 4 lim (2 x^{2} - 5 x + 3) = 15$ .

De ce e permis? Pentru că un polinom nu are salturi și nici puncte în care să nu fie definit: când $x$ se apropie oricât de mult de $4$ , fiecare termen se apropie de valoarea lui din $4$ , iar suma lor se apropie de $15$ . Proprietatea aceasta are un nume, pe care îl vei folosi peste câteva lecții: polinoamele sunt funcții continue pe $R$ , iar tema e tratată pe îndelete în lecția despre continuitatea unei funcții într-un punct și pe interval. Deocamdată reține regula și motivul ei scurt: la polinoame, limita se citește înlocuind.

Ce ai de câștigat din enunțul acesta nu e viteza de calcul, ci liniștea: la orice cerință de forma „calculați $x \to x_{0} lim P (x)$ ", unde $P$ e polinom și $x_{0}$ e număr, nu ai de căutat nicio tehnică. Tehnicile încep abia acolo unde înlocuirea dă ceva fără sens.

2. Ce face un polinom la capetele domeniului?

Aici înlocuirea nu mai merge, pentru că $+ \infty$ nu e număr. În schimb intervine o observație care te scapă de tot restul calculului: la valori mari ale lui $x$ , termenul de grad maxim îi domină pe toți ceilalți. Se vede scoțându-l factor comun: $2 x^{2} - 5 x + 3 = x^{2} (2 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x ^{2}}) .$ Paranteza tinde la $2$ la ambele capete, fiindcă fiecare fracție se stinge, exact cum ai văzut la limitele la plus infinit și la minus infinit. Rămâne $x^{2}$ , care crește nemărginit în ambele direcții, așa că $x \to + \infty lim (2 x^{2} - 5 x + 3) = + \infty$ și $x \to - \infty lim (2 x^{2} - 5 x + 3) = + \infty$ .

Gradul impar se poartă altfel. Pentru $Q (x) = x^{3} - 4 x$ scriem $x^{3} - 4 x = x^{3} (1 - \frac{4}{x ^{2}})$ ; paranteza tinde la $1$ , iar $x^{3}$ păstrează semnul lui $x$ , deci $x \to + \infty lim (x^{3} - 4 x) = + \infty$ , dar $x \to - \infty lim (x^{3} - 4 x) = - \infty$ . Comportarea puterilor $x^{n}$ la capete, cu tabelul complet al exponenților care se cer la M2, este tema lecției despre limitele funcțiilor putere și radical; aici o folosim ca pe un fapt cunoscut.

Reține concluzia în forma ei scurtă, pentru că se aplică la orice polinom: la capete, un polinom se poartă ca termenul lui de grad maxim. Semnul se decide din doi factori — paritatea gradului și semnul coeficientului dominant — și se scrie separat pentru fiecare capăt.

3. Cum se calculează limita unei funcții raționale într-un punct?

O funcție rațională este un raport de două polinoame, iar prima întrebare la care trebuie să răspunzi nu e „ce tehnică folosesc?", ci „se anulează numitorul în punctul cerut?".

Dacă nu se anulează, înlocuirea directă merge ca la polinoame. Pentru $f : R ∖ {1} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x + 6}{x - 1}$ , în punctul $x_{0} = 3$ numitorul dă $2 \neq = 0$ , deci $x \to 3 lim \frac{2 x + 6}{x - 1} = \frac{12}{2} = 6$ . Un rezultat obținut din două înlocuiri și o împărțire, fără nicio prelucrare.

Dacă numitorul se anulează, ai două situații diferite, care se recunosc dintr-o privire, după ce face numărătorul în același punct. Ele sunt subiectul secțiunii următoare, și merită despărțite cu grijă, pentru că răspunsurile lor nu seamănă deloc.

4. Ce se întâmplă când numitorul se anulează?

Cazul întâi: numărătorul nu se anulează. Fie $f : R ∖ {3} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ , și punctul $x_{0} = 3$ . Numărătorul tinde la $7$ , numitorul la $0$ — iar $\frac{7}{0}$ nu este o operație permisă. Se trece atunci la limitele laterale, unealta din lecția despre compararea limitelor laterale într-un punct, și se discută semnul numitorului: pentru $x$ puțin mai mic decât $3$ , diferența $x - 3$ este negativă, iar pentru $x$ puțin mai mare, pozitivă. Notând acest lucru $\frac{7}{0 ^{-}} = - \infty$ , respectiv $\frac{7}{0 ^{+}} = + \infty$ , obținem $x \to 3 x < 3 lim \frac{2 x + 1}{x - 3} = - \infty, x \to 3 x > 3 lim \frac{2 x + 1}{x - 3} = + \infty.$ Cele două limite laterale sunt diferite, deci funcția nu are limită în punctul $3$ . Notațiile $0^{-}$ și $0^{+}$ se folosesc numai în acest pas, ca prescurtare pentru discuția de semn a numitorului; ele nu sunt notații de limită laterală.

Cazul al doilea: se anulează amândouă. Atunci raportul ia forma $\frac{0}{0}$ , care este unul dintre cele trei cazuri exceptate ale programei de examen de la M2 — celelalte două fiind $\frac{\infty}{\infty}$ și $0 \cdot \infty$ . Unealta e simplificarea: dacă ambele polinoame se anulează în $x_{0}$ , amândouă se divid cu $x - x_{0}$ , deci factorul acesta se scoate și se simplifică. De exemplu, pentru orice $x \neq = 2$ , $\frac{x ^{2} + 5 x - 14}{x - 2} = \frac{( x - 2 ) ( x + 7 )}{x - 2} = x + 7,$ iar expresia rămasă se poate evalua direct: $x \to 2 lim \frac{x ^{2} + 5 x - 14}{x - 2} = 9$ . Observă că numărătorul nu era o diferență de pătrate, deci n-ai avut la îndemână nicio formulă gata: rădăcina $2$ s-a citit din faptul că numitorul se anulează acolo, iar al doilea factor s-a găsit prin identificare. Mențiunea „pentru $x \neq = 2$ " nu e un moft: fără ea, simplificarea ar arăta ca o împărțire la zero. Lista completă a cazurilor exceptate și celelalte două situații sunt strânse în lecția despre operațiile cu limite și cazurile exceptate.

5. Care este regula gradelor la capete?

La $\pm \infty$ nu are rost să înlocuiești nimic; compari. Scoate termenul dominant și din numărător, și din numitor, și vei vedea că totul se reduce la raportul lor. Notăm cu $m$ gradul numărătorului și cu $n$ gradul numitorului. Sunt trei situații:

situația	limita la un capăt
$m < n$	$0$
$m = n$	raportul coeficienților dominanți
$m > n$	$+ \infty$ sau $- \infty$ , după semnul raportului termenilor dominanți în capătul cerut

Le verifici pe câte un exemplu, ca să nu le înveți pe de rost. Pentru $\frac{5 x - 1}{x ^{2} + 3}$ gradul de sus e mai mic, deci limita e $0$ la ambele capete: numitorul crește mult mai repede și strivește fracția. Pentru $\frac{3 x ^{2} - x + 4}{x ^{2} + 2}$ gradele sunt egale, iar coeficienții dominanți sunt $3$ și $1$ , deci $x \to + \infty lim \frac{3 x ^{2} - x + 4}{x ^{2} + 2} = 3$ . Pentru $\frac{x ^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ gradul de sus e mai mare, raportul termenilor dominanți este $\frac{x ^{2}}{2 x} = \frac{x}{2}$ , deci $x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 3 x}{2 x + 1} = + \infty$ și $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} - 3 x}{2 x + 1} = - \infty$ .

Ultimul rând al tabelului e singurul care cere atenție: acolo răspunsul depinde de capăt, așa că nu se scrie niciodată un singur semn pentru amândouă. Programa de examen de la M2 cere calculul limitelor pentru „funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2", deci în subiecte gradele sunt mici și cele trei situații se recunosc imediat.

6. Cum se citește rezultatul într-un montaj sau într-un raport din biologie?

Reia montajul din deschidere. Dacă un rezistor de $12$ ohmi este legat în paralel cu unul de $x$ ohmi, rezistența echivalentă, tot în ohmi, este $R (x) = \frac{12 x}{12 + x}$ , pentru $x > 0$ . Câteva valori:

$x$ (ohmi)	$12$	$36$	$108$	$228$
$R (x)$ (ohmi)	$6$	$9$	$10, 8$	$11, 4$

Gradele sunt egale, coeficienții dominanți sunt $12$ și $1$ , deci $x \to + \infty lim \frac{12 x}{12 + x} = 12$ . Rezistența echivalentă crește spre $12$ ohmi și nu îi atinge niciodată: oricât ai mări al doilea rezistor, montajul rămâne mai bun conducător decât primul rezistor singur. Rezultatul nu e o curiozitate de calcul, ci regula pe care un electrician o știe din practică.

Aceeași unealtă răspunde și la o întrebare de biologie. Pentru un organism simplu, modelat ca un cub de latură $x$ , raportul dintre aria suprafeței și volum este $\frac{6 x ^{2}}{x ^{3}}$ ; gradul de sus e mai mic, deci raportul tinde la $0$ când corpul crește. De aici vine o lege cu urmări reale: cu cât un animal e mai mare, cu atât are mai puțină suprafață pe unitatea de volum, deci pierde mai greu căldura — motiv pentru care mamiferele mici mănâncă, raportat la masă, mult mai mult decât cele mari.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un polinom, în punct și la capete

Se consideră funcția $P : R \to R$ , $P (x) = 3 x^{2} - 12 x + 4$ . a) Calculați $x \to 2 lim P (x)$ . b) Determinați limitele la cele două capete.

Rezolvare. a) Polinomul se evaluează direct: $P (2) = 12 - 24 + 4 = - 8$ , deci $x \to 2 lim (3 x^{2} - 12 x + 4) = - 8$ .

b) Scoatem termenul dominant: $3 x^{2} - 12 x + 4 = x^{2} (3 - \frac{12}{x} + \frac{4}{x ^{2}})$ . Paranteza tinde la $3$ la ambele capete, iar $x^{2}$ crește nemărginit în ambele direcții, deci $x \to + \infty lim (3 x^{2} - 12 x + 4) = + \infty$ și $x \to - \infty lim (3 x^{2} - 12 x + 4) = + \infty$ . Gradul fiind par și coeficientul dominant pozitiv, cele două capete dau același răspuns — spre deosebire de punctul a), unde valoarea era chiar negativă.

Exemplul 2 — Grade egale la un raport

Calculați $x \to 1 lim \frac{7 x ^{2} - 2 x + 5}{2 x ^{2} + 3}$ și $x \to + \infty lim \frac{7 x ^{2} - 2 x + 5}{2 x ^{2} + 3}$ .

Rezolvare. În punctul $1$ numitorul dă $5 \neq = 0$ , deci se înlocuiește: numărătorul este $7 - 2 + 5 = 10$ , iar $x \to 1 lim \frac{7 x ^{2} - 2 x + 5}{2 x ^{2} + 3} = \frac{10}{5} = 2$ .

La capăt lucrurile se schimbă complet: nu mai contează termenii mici, ci doar cei dominanți. Gradele sunt egale, amândouă $2$ , coeficienții dominanți sunt $7$ și $2$ , deci $x \to + \infty lim \frac{7 x ^{2} - 2 x + 5}{2 x ^{2} + 3} = \frac{7}{2}$ . Compară cele două rezultate, $2$ și $\frac{7}{2}$ : ele răspund la întrebări diferite și n-au de ce să semene. Prima spune ce valoare ia funcția lângă $1$ , a doua spune spre ce se așază funcția la capătul din dreapta. Observă și că limita la capăt nu e obligatoriu un număr întreg: raportul coeficienților dominanți se lasă ca fracție, nu se rotunjește.

Exemplul 3 — Găsește greșeala

Un elev calculează $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 11 x}{3 x - 1}$ și scrie: „Gradul numărătorului e mai mare decât al numitorului, deci limita este $+ \infty$ ." Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Elevul a recunoscut corect situația — gradul de sus e mai mare —, dar a sărit peste jumătatea care contează: semnul. Când gradul numărătorului îl întrece pe al numitorului, răspunsul e infinit, dar semnul se citește din raportul termenilor dominanți, în capătul cerut.

Aici raportul termenilor dominanți este $\frac{x ^{2}}{3 x} = \frac{x}{3}$ . La $- \infty$ , treimea unui număr care scade nemărginit scade și ea nemărginit, deci $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 11 x}{3 x - 1} = - \infty$ . Proba se face cu un singur număr: pentru $x = - 1000$ raportul este aproximativ $- 329, 56$ , iar pentru $x = - 10000$ este aproximativ $- 3329, 56$ — valorile coboară, nu urcă. Reține regula de siguranță: la ultimul rând al tabelului scrii întotdeauna două răspunsuri, unul pentru fiecare capăt.

Exemplul 4 — Numitorul se anulează

Se consideră funcția $f : R ∖ {- 5} \to R$ , $f (x) = \frac{4 x - 3}{x + 5}$ . Studiați ce se întâmplă în punctul $- 5$ .

Rezolvare. Se verifică întâi ce fac cele două polinoame în $- 5$ : numărătorul dă $- 23$ , numitorul dă $0$ . Nu suntem deci în cazul exceptat $\frac{0}{0}$ , ci într-unul în care fracția „explodează": un număr fix împărțit la ceva din ce în ce mai mic dă ceva din ce în ce mai mare în valoare absolută.

Rămâne de hotărât semnul, iar aici el se citește cu o atenție în plus, fiindcă numărătorul este negativ. Pentru $x < - 5$ numitorul e negativ, deci $\frac{- 23}{0 ^{-}} = + \infty$ ; pentru $x > - 5$ numitorul e pozitiv, deci $\frac{- 23}{0 ^{+}} = - \infty$ . Scriem cele două limite laterale: $x \to - 5 x < - 5 lim \frac{4 x - 3}{x + 5} = + \infty, x \to - 5 x > - 5 lim \frac{4 x - 3}{x + 5} = - \infty.$ Fiind diferite, funcția nu are limită în $- 5$ , iar răspunsul complet la o asemenea cerință conține amândouă limitele laterale și concluzia. Un răspuns de forma „limita este infinită" ar fi greșit aici, pentru că ascunde tocmai deosebirea dintre cele două părți; iar ordinea semnelor s-a răsturnat față de situația cu numărător pozitiv, tocmai pentru că semnul rezultatului este produsul celor două semne.

Exemplul 5 — Două rezistoare în paralel

Un rezistor de $20$ de ohmi este legat în paralel cu un rezistor reglabil de $x$ ohmi, $x > 0$ . Rezistența echivalentă a montajului, în ohmi, este $R (x) = \frac{20 x}{20 + x}$ . a) Calculați rezistența echivalentă pentru $x = 5$ și pentru $x = 80$ . b) Arătați că montajul nu poate ajunge la $20$ de ohmi, oricât de mare ar fi $x$ .

Rezolvare. a) Prin înlocuire directă, numitorul nefiind nul: $R (5) = \frac{100}{25} = 4$ ohmi și $R (80) = \frac{1600}{100} = 16$ ohmi. Rezistorul reglabil a crescut de șaisprezece ori, iar rezistența echivalentă doar de patru ori — semnul unui proces care se apropie de un plafon.

b) Gradele numărătorului și numitorului sunt egale, iar coeficienții dominanți sunt $20$ și $1$ , deci $x \to + \infty lim \frac{20 x}{20 + x} = 20$ . Valoarea $20$ nu se atinge: egalitatea $\frac{20 x}{20 + x} = 20$ ar cere ca $20 x$ să fie egal cu $20 (20 + x)$ , adică $400$ să fie zero — fals. Așadar rezistența echivalentă urcă spre $20$ de ohmi fără să ajungă acolo — exact ce spune și fizica montajului în paralel, unde rezistența echivalentă este mereu mai mică decât fiecare dintre cele două rezistențe.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f : R ∖ {- 2} \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 2}$ . a) Arătați că $f (x) = x + 1$ , pentru orice $x \in R ∖ {- 2}$ . b) Calculați $x \to - 2 lim f (x)$ . c) Calculați $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x}$ .

Rezolvare.

a) Numărătorul are rădăcinile $- 1$ și $- 2$ , deci se descompune: $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ . Pentru orice $x \neq = - 2$ se poate simplifica prin $x + 2$ : $\frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 2} = \frac{( x + 1 ) ( x + 2 )}{x + 2} = x + 1.$

b) În $- 2$ ambele polinoame se anulează, deci suntem în cazul $\frac{0}{0}$ ; tocmai de aceea simplificarea de la punctul a) a fost primul pas. Expresia rămasă este un polinom, așa că se înlocuiește: $x \to - 2 lim \frac{x ^{2} + 3 x + 2}{x + 2} = - 1$ .

c) Folosind din nou forma simplificată, $\frac{f ( x )}{x} = \frac{x + 1}{x}$ , un raport de două polinoame de gradul I. Gradele fiind egale și coeficienții dominanți amândoi $1$ , obținem $x \to + \infty lim \frac{x + 1}{x} = 1$ .

De la examen la lecție. Structura celor trei cerințe — o simplificare cerută la a), o limită într-un punct la b) și o limită la infinit la c) — este cea din modelul oficial al probei M_șt-nat, unde limita apare la Subiectul al III-lea, în prima problemă. Observă cum punctul a) le ține pe celelalte două: la examen, o simplificare scrisă corect, cu mențiunea „pentru $x \neq = - 2$ ", este pasul pe care se sprijină restul.

Să exersăm

Înainte de orice calcul, răspunde la două întrebări: lucrez într-un punct sau la un capăt? Și, dacă e într-un punct, se anulează numitorul acolo?

1. Calculează $x \to 2 lim (3 x^{2} - x + 5)$ .

2. Calculează $x \to - 1 lim (x^{3} + 2 x^{2} - 4)$ .

3. Determină $x \to + \infty lim (4 x^{2} - 9 x + 1)$ și $x \to - \infty lim (4 x^{2} - 9 x + 1)$ , justificând cu termenul dominant.

4. Determină $x \to - \infty lim (2 x^{3} - x)$ și explică rolul parității gradului.

5. Calculează $x \to 3 lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1}$ , după ce verifici numitorul.

6. Calculează $x \to + \infty lim \frac{7 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 5}$ .

7. Calculează $x \to + \infty lim \frac{3 x - 8}{x ^{2} + 1}$ și spune care grad l-a învins pe celălalt.

8. Determină $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 4}{x - 2}$ , cu atenție la semn.

9. (Adevărat/Fals cu motivare.) „La un raport de două polinoame de același grad, limita la $+ \infty$ este întotdeauna $1$ ."

10. Calculează $x \to 6 lim \frac{x ^{2} - 2 x - 24}{x - 6}$ , scriind și mențiunea de simplificare.

11. Pentru $f : R ∖ {2} \to R$ , $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ , determină cele două limite laterale în $2$ și spune dacă funcția are limită acolo.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculează $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1}$ .

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ . Calculează $x \to + \infty lim \frac{f ( x )}{x ^{2}}$ .

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f : R ∖ {3} \to R$ , $f (x) = \frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x - 3}$ . Arată că $f (x) = 2 x + 1$ pentru orice $x \neq = 3$ și calculează $x \to 3 lim f (x)$ .

15. (Problemă aplicată.) Un rezistor de $30$ de ohmi este legat în paralel cu unul de $x$ ohmi, iar rezistența echivalentă este $R (x) = \frac{30 x}{30 + x}$ ohmi. Calculează $R (10)$ , $R (120)$ și $x \to + \infty lim R (x)$ , apoi interpretează rezultatul.

16. Determină numărul real $k$ pentru care $x \to + \infty lim \frac{k x ^{2} + 3}{2 x ^{2} - 1} = 4$ .

17. (Problemă aplicată.) Numărul de alge dintr-un lac, în mii de indivizi la litru, la $x$ zile de la începutul verii, este descris de modelul $N (x) = \frac{600 x ^{2}}{x ^{2} + 81}$ , pentru $x \geq 0$ . Calculează $N (9)$ și $x \to + \infty lim N (x)$ , apoi spune ce reprezintă numărul obținut la limită și până când are sens modelul.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $a$ și $b$ pentru care $x \to + \infty lim \frac{a x ^{3} + b x ^{2} + 1}{5 x ^{2} + 2} = 6$ . Arată apoi că, pentru orice $a > 0$ și orice $b$ , aceeași funcție are limita $+ \infty$ la $+ \infty$ și $- \infty$ la $- \infty$ .

Răspunsuri și explicații

1. Polinom, punct finit, deci înlocuire: $12 - 2 + 5 = 15$ , adică $x \to 2 lim (3 x^{2} - x + 5) = 15$ .

2. Tot prin înlocuire: $- 1 + 2 - 4 = - 3$ , deci $x \to - 1 lim (x^{3} + 2 x^{2} - 4) = - 3$ .

3. Scoatem termenul dominant: $4 x^{2} - 9 x + 1 = x^{2} (4 - \frac{9}{x} + \frac{1}{x ^{2}})$ , paranteza tinde la $4$ , iar $x^{2}$ crește nemărginit în ambele direcții. Deci $x \to + \infty lim (4 x^{2} - 9 x + 1) = + \infty$ și $x \to - \infty lim (4 x^{2} - 9 x + 1) = + \infty$ .

4. $2 x^{3} - x = x^{3} (2 - \frac{1}{x ^{2}})$ ; paranteza tinde la $2$ , iar $x^{3}$ păstrează semnul lui $x$ , deci la capătul din stânga valorile coboară: $x \to - \infty lim (2 x^{3} - x) = - \infty$ . Gradul impar face ca cele două capete să dea semne opuse.

5. Numitorul în $3$ este $2 \neq = 0$ , deci se înlocuiește: $x \to 3 lim \frac{x ^{2} + 1}{x - 1} = \frac{10}{2} = 5$ .

6. Grade egale, coeficienți dominanți $7$ și $1$ : $x \to + \infty lim \frac{7 x ^{2} + 2 x}{x ^{2} - 5} = 7$ .

7. Gradul numitorului e mai mare, deci numitorul învinge și fracția se stinge: $x \to + \infty lim \frac{3 x - 8}{x ^{2} + 1} = 0$ .

8. Gradul de sus e mai mare cu o unitate, iar raportul termenilor dominanți este $\frac{x ^{2}}{x} = x$ , care la capătul din stânga scade nemărginit: $x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 4}{x - 2} = - \infty$ .

9. Fals. Limita este raportul coeficienților dominanți, nu $1$ . Contraexemplu: $x \to + \infty lim \frac{5 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{5}{2}$ . Ar fi $1$ doar dacă cei doi coeficienți dominanți ar fi egali.

10. Ambele polinoame se anulează în $6$ , deci se simplifică prin $x - 6$ : numărătorul are rădăcinile $6$ și $- 4$ , așa că, pentru orice $x \neq = 6$ , $\frac{x ^{2} - 2 x - 24}{x - 6} = \frac{( x - 6 ) ( x + 4 )}{x - 6} = x + 4$ . Prin urmare $x \to 6 lim \frac{x ^{2} - 2 x - 24}{x - 6} = 10$ .

11. Numărătorul în $2$ dă $7$ , numitorul $0$ , deci se discută semnul: pentru $x < 2$ numitorul e negativ, pentru $x > 2$ e pozitiv. Obținem $x \to 2 x < 2 lim \frac{3 x + 1}{x - 2} = - \infty$ și $x \to 2 x > 2 lim \frac{3 x + 1}{x - 2} = + \infty$ . Fiind diferite, funcția nu are limită în $2$ .

12. Cazul $\frac{0}{0}$ : numărătorul se descompune, $x^{2} + 2 x - 3 = (x - 1) (x + 3)$ , deci pentru $x \neq = 1$ fracția este $x + 3$ . Rezultă $x \to 1 lim \frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = 4$ .

13. Împărțim termen cu termen: $\frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x ^{2}} = 1 - \frac{6}{x} + \frac{5}{x ^{2}}$ , iar cele două fracții se sting. Deci $x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 6 x + 5}{x ^{2}} = 1$ . Se putea și cu regula gradelor: grade egale, coeficienți dominanți $1$ și $1$ .

14. Numărătorul are rădăcina $3$ , deci $2 x^{2} - 5 x - 3 = (x - 3) (2 x + 1)$ ; pentru orice $x \neq = 3$ obținem $\frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x - 3} = 2 x + 1$ . Expresia rămasă e polinom, deci $x \to 3 lim \frac{2 x ^{2} - 5 x - 3}{x - 3} = 7$ .

15. $R (10) = \frac{300}{40} = 7, 5$ ohmi și $R (120) = \frac{3600}{150} = 24$ de ohmi. Grade egale, coeficienți dominanți $30$ și $1$ , deci $x \to + \infty lim \frac{30 x}{30 + x} = 30$ : rezistența echivalentă urcă spre $30$ de ohmi fără să-i atingă. Montajul în paralel rămâne mereu sub rezistența celui mai mic dintre rezistoare.

16. Cele două grade coincid, așa că limita se citește din cei doi coeficienți dominanți, adică $\frac{k}{2}$ . Condiția $\frac{k}{2} = 4$ dă $k = 8$ . Verificare: $x \to + \infty lim \frac{8 x ^{2} + 3}{2 x ^{2} - 1} = 4$ .

17. Numitorul nu se anulează în $9$ , deci se înlocuiește: $N (9) = \frac{600 \cdot 81}{81 + 81} = \frac{48 600}{162} = 300$ mii de indivizi la litru. La capăt gradele sunt egale, amândouă $2$ , iar coeficienții dominanți sunt $600$ și $1$ , deci $x \to + \infty lim \frac{600 x ^{2}}{x ^{2} + 81} = 600$ mii de indivizi la litru: acesta este plafonul pe care mediul îl poate hrăni, iar populația urcă spre el fără să-l atingă. La ziua $9$ populația este exact la jumătatea plafonului. Modelul are sens numai pe durata verii, cât timp lumina și hrana rămân aproape constante; toamna condițiile se schimbă și formula nu mai descrie lacul.

18. Dacă $a \neq = 0$ , numărătorul are gradul $3$ , cu o unitate mai mult decât numitorul, iar raportul termenilor dominanți este $\frac{a x ^{3}}{5 x ^{2}} = \frac{a x}{5}$ , care crește nemărginit în modul: limita n-ar mai fi un număr. Rămâne deci $a = 0$ , iar expresia devine $\frac{b x ^{2} + 1}{5 x ^{2} + 2}$ , cu grade egale; limita este raportul coeficienților dominanți, adică $\frac{b}{5}$ . Condiția $\frac{b}{5} = 6$ dă $b = 30$ . Verificare: $x \to + \infty lim \frac{30 x ^{2} + 1}{5 x ^{2} + 2} = 6$ . Pentru $a > 0$ , raportul termenilor dominanți rămâne $\frac{a x}{5}$ , oricare ar fi $b$ : la capătul din dreapta el crește nemărginit, iar la cel din stânga scade nemărginit, fiindcă gradul de la numărător este impar, iar cel de la numitor par.

De reținut

Într-un punct finit, limita unui polinom se obține prin înlocuire directă, iar limita unui raport de polinoame tot prin înlocuire, cu condiția ca numitorul să nu se anuleze acolo.
La capete, un polinom se poartă ca termenul lui de grad maxim: se scoate factor comun, restul se stinge, iar semnul se decide din paritatea gradului și din semnul coeficientului dominant.
Regula gradelor la un raport are trei situații: grad mai mic sus dă $0$ , grade egale dau raportul coeficienților dominanți, grad mai mare sus dă infinit — iar în ultimul caz se scriu două răspunsuri, unul pentru fiecare capăt.
Când numitorul se anulează, întâi te uiți la numărător: dacă nu se anulează, răspunsul se dă prin limite laterale și discuție de semn; dacă se anulează și el, ești în cazul $\frac{0}{0}$ și simplifici prin $x - x_{0}$ , scriind mențiunea „pentru $x \neq = x_{0}$ ".
La bacalaureatul M2 rapoartele cerute au grade cel mult $2$ , așa că fiecare situație din tabel se recunoaște dintr-o privire; timpul se pierde doar când sari peste verificarea numitorului.

Greșeli frecvente

Aplici regula gradelor într-un punct finit. Compararea gradelor descrie comportarea la capete; în $x_{0}$ finit se înlocuiește. Un răspuns de tipul „gradele sunt egale, deci limita în $1$ este $3$ " amestecă două întrebări diferite.
Înlocuiești fără să te uiți la numitor. Verificarea numitorului în punctul cerut este primul pas al oricărei limite de funcție rațională; sărind peste el, ajungi să scrii fracții cu numitor nul ca și cum ar fi numere.
Uiți coeficienții dominanți la grade egale. Limita nu e $1$ pentru că gradele coincid, ci raportul celor doi coeficienți dominanți; la $\frac{5 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x}$ răspunsul este $\frac{5}{2}$ , nu $1$ .
Citești gradul numărătorului înainte de a-l aduce la forma redusă. La $\frac{( x - 1 ) ^{2} - x ^{2}}{x + 1}$ numărătorul este $- 2 x + 1$ , deci gradul lui e $1$ , nu $2$ ; regula gradelor se aplică abia după ce ai desfăcut parantezele și ai adunat termenii asemenea.
Numeri gradul după cum arată scrierea, nu după exponentul cel mai mare. Polinomul $3 - 5 x + x^{2}$ are gradul $2$ , chiar dacă începe cu un număr; ordinea termenilor nu schimbă nici gradul, nici coeficientul dominant.

Aplică acasă

Când preia conducerea termenul dominant. Calculează valorile polinomului $x^{2} - 40 x + 100$ pentru $x = 10$ , $50$ , $200$ și $1000$ și notează, la fiecare pas, cât face $x^{2}$ și cât face $- 40 x$ . Vei vedea limpede momentul în care pătratul îl depășește pe termenul de gradul I și nu îl mai lasă să conteze — exact motivul pentru care la capete se scoate factor comun termenul dominant.
Suprafață pe volum, cu zahărul de pe masă. Măsoară latura unui cub de zahăr, apoi imaginează-ți cuburi de $2$ , $5$ și $10$ centimetri. Calculează pentru fiecare raportul $\frac{6 x ^{2}}{x ^{3}}$ și pune rezultatele într-un tabel. Explică-i cuiva din familie de ce un șoarece are nevoie de mult mai multă mâncare pe kilogram decât un cal.
Montajul în paralel, pe hârtie sau în trusă. Dacă ai o trusă de fizică, măsoară rezistența echivalentă a două rezistoare în paralel, cu al doilea din ce în ce mai mare; dacă nu, calculează $R (x) = \frac{50 x}{50 + x}$ pentru $x = 50$ , $200$ , $1000$ și $5000$ . Spune ce număr nu poate fi depășit și verifică-l cu regula gradelor, apoi compară-l cu rezistența fiecărui rezistor în parte.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.2 „Limite de funcții și continuitate", la punctul „Calculul limitelor: limitele funcțiilor studiate". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029; programa acelui examen (OMEN 4430/2014) cere explicit „calculul limitelor pentru funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea, … funcția raport de două funcții cu grad cel mult 2", ceea ce fixează și nivelul exercițiilor din lecție. În modelul oficial al probei M_șt-nat, limita apare la Subiectul al III-lea, problema 1, subpunctul b); forma exactă a cerințelor se citește în modelul oficial, nu se presupune. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția pune accentul pe alegerea uneltei, nu pe calcul: aproape toate greșelile de la clasă vin din aplicarea regulii gradelor într-un punct finit sau din omiterea verificării numitorului. Un elev care întreabă de fiecare dată „punct sau capăt?" și „se anulează numitorul?" rezolvă corect chiar și când calculul e lung, în timp ce un elev care recunoaște „tipul de exercițiu" după cum arată fracția greșește la primul enunț neobișnuit.

Lecția verifică patru lucruri: (1) că elevul spune în ce situație e, înainte de a scrie ceva; (2) că justifică limita la capăt prin termenul dominant, nu prin „se vede"; (3) că la grade egale scrie raportul coeficienților dominanți; (4) că la numitor nul scrie ambele limite laterale și concluzia. Patru întrebări de control, de pus oral: „Ce faci întâi, când vezi o fracție și un punct?"; „De ce la capete nu contează termenii mici?"; „Ce schimbă paritatea gradului?"; „Când are voie o funcție rațională să nu aibă limită într-un punct?". Semne că elevul a înțeles: verifică numitorul înainte de orice, scrie mențiunea „pentru $x \neq = x_{0}$ " la simplificare și dă două răspunsuri la ultimul rând al tabelului gradelor. Pasul următor este lecția despre limitele funcțiilor putere și radical, iar baza de plecare a fost funcția polinomială și valorile ei, din clasa a IX-a.

Întrebări frecvente

Cum se calculează limita unui polinom într-un punct? Se înlocuiește direct: limita lui $P$ în $x_{0}$ este $P (x_{0})$ . Motivul e că polinoamele sunt funcții continue pe toată dreapta reală, deci valorile lor urmează fără salturi valorile variabilei. De exemplu, limita lui $2 x^{2} - 5 x + 3$ în $4$ este $15$ . Nicio tehnică specială nu e necesară, iar la examen pasul acesta se scrie într-un singur rând.

Ce înseamnă termenul dominant și de ce contează numai el la capete? Termenul dominant este cel de grad maxim. Scoțându-l factor comun, restul polinomului devine o sumă de fracții cu numitor care crește nemărginit, deci se stinge. Rămâne termenul dominant, care hotărăște și mărimea, și semnul rezultatului. La $2 x^{2} - 5 x + 3$ rămâne $2 x^{2}$ , deci limita este $+ \infty$ la ambele capete.

Regula gradelor se aplică și într-un punct finit? Nu. Compararea gradelor descrie doar ce se întâmplă la $+ \infty$ și la $- \infty$ . Într-un punct finit se înlocuiește, după ce verifici numitorul; dacă numitorul se anulează, treci fie la limite laterale, fie la simplificare. Este cea mai frecventă confuzie din capitol și se recunoaște imediat în lucrări, după răspunsuri care „nimeresc" gradele în locul valorilor.

Ce grade de polinoame pot apărea la bacalaureatul M2? Programa de examen vorbește despre funcția de gradul I, funcția de gradul al II-lea și raportul a două funcții cu grad cel mult $2$ . Nu vei avea de comparat grade mari, nici de descompus polinoame complicate, ci de recunoscut repede în care dintre cele trei situații din tabel te afli și de calculat corect semnul la capătul cerut.

Cum verific rapid dacă am greșit semnul la minus infinit? Înlocuiește cu un număr negativ mare, de pildă $- 1000$ , și uită-te doar la semnul rezultatului, nu la valoare. Dacă semnul obținut nu se potrivește cu răspunsul scris, ai greșit undeva discuția de semn. Proba durează zece secunde și prinde cea mai scumpă greșeală din capitol, aceea în care răspunsul de la un capăt e copiat la celălalt.

Ce se cere în plus la mate-info față de M2, la aceleași funcții raționale? La matematică-informatică se studiază pe larg nedeterminările, cu descompuneri mai grele, cu schema lui Horner și cu tehnici pe care programa de științe ale naturii nu le cere. Versiunea pentru mate-info (M1), care merge mai departe, la nedeterminări: nedeterminarea zero supra zero la funcții raționale arată cât de mult se poate adânci tema. La M2 rămân regula gradelor, înlocuirea directă și o simplificare simplă.

La ce subiect apare la bacalaureatul M2 o limită de funcție rațională? La Subiectul al III-lea, cel de analiză matematică — singurul subiect al probei care conține analiză. În modelul oficial publicat, prima problemă pornește de la o funcție dată și cere, pe subpuncte, o derivată, o limită și o inegalitate. O limită de raport poate apărea fie ca cerință de sine stătătoare, fie ca pas într-un raționament mai lung despre comportarea funcției; forma exactă a cerințelor se citește în model, nu se presupune.