Care dintre matricele următoare este singulară?

$$\begin{pmatrix}14 & 10\\21 & 15\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}9 & 6\\7 & 1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}2 & 12\\1 & 8\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}4 & 9\\5 & 11\end{pmatrix}$$

Care dintre matricele următoare nu este inversabilă?

$$\begin{pmatrix}2 & 1 & 4\\4 & 2 & 8\\3 & 7 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}6 & 4 & 1\\3 & 4 & 3\\5 & 5 & 4\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 5\\2 & 5 & 2\\2 & 3 & 5\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}4 & -2 & 1\\2 & 0 & 1\\4 & 3 & 4\end{pmatrix}$$

Determină numerele reale $$m$$ pentru care matricea $$A(m)=\begin{pmatrix}m & 6\\2 & m-4\end{pmatrix}$$ nu este inversabilă.

$$\mathbb{R}\setminus\{-2,\ 6\}$$

Ce este o matrice singulară?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Matrice inversabilă

O matrice pătratică este singulară când determinantul ei este $0$ și nesingulară când determinantul este nenul. Numai matricele nesingulare sunt inversabile. De exemplu, $(6946)$ are determinantul $36 - 36 = 0$ , deci este singulară și nu are inversă; se vede și fără calcul, fiindcă a doua linie este $1, 5$ ori prima. În schimb, $(6947)$ are determinantul $6$ , deci este inversabilă.

Este prima noțiune de existență din capitol: înainte de a calcula ceva, trebuie hotărât dacă obiectul căutat există. Un tablou pătratic se numește inversabil când se găsește un al doilea, de același ordin, care înmulțit cu el în amândouă ordinile dă tabloul unitate; acel al doilea este unic și se notează $A^{- 1}$ . Întrebarea nu are sens pentru un dreptunghi, fiindcă cele două produse cerute nici nu ar avea același ordin.

Verificarea prin definiție presupune însă că știi deja candidatul. Criteriul înlocuiește căutarea cu o singură socoteală: tabloul are invers exact atunci când numărul $det A$ nu este zero. Un tablou cu determinant nenul se numește nesingular, unul cu determinant nul, singular. De aici și reflexul care ține tot capitolul — determinantul se calculează primul, chiar dacă enunțul nu-l cere.

Când tabloul depinde de o literă, criteriul preface o întrebare despre existență într-o ecuație obișnuită. Ultimul pas este și cel sărit: soluțiile ecuației $det A (m) = 0$ sunt valorile rele, iar răspunsul la cerința de inversabilitate este mulțimea numerelor reale din care ele se scot.

Capcana. Un determinant nul într-un tablou de măsurători nu e o curiozitate: el spune că două intrări diferite duc la același rezultat, deci informația s-a pierdut pe drum, iar drumul înapoi nu mai poate fi refăcut prin niciun calcul.

De reținut

singulară: $det A = 0$ ; nesingulară: $det A \neq = 0$
$A$ este inversabilă dacă și numai dacă $det A \neq = 0$
$det (A B) = det A \cdot det B$ , deci produsul a două matrice nesingulare e nesingular

Greșeala tipică

La cerința „matricea este inversabilă” se dau ca răspuns soluțiile ecuației $det A = 0$ ; acelea sunt tocmai valorile excluse, iar răspunsul corect este restul numerelor reale.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre matricele următoare este singulară?
- a) $(9761)$
- b) $(21128)$
- c) $(14211015)$
- d) $(45911)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(14211015)$

Singulară înseamnă determinant nul. La c) avem $14 \cdot 15 - 10 \cdot 21 = 210 - 210 = 0$ , iar lucrul se vedea și fără socoteală: al doilea rând este primul înmulțit cu $\frac{3}{2}$ . Celelalte trei au determinanții $- 33$ , $4$ și $- 1$ , toți nenuli, deci sunt nesingulare și au invers. Prezența unor numere mari sau a unor cifre care se repetă nu spune nimic; ce contează este relația dintre rânduri.
Care dintre matricele următoare nu este inversabilă?
- a) $635445134$
- b) $243127485$
- c) $122053525$
- d) $424 - 2 03 114$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $243127485$

La varianta b) al doilea rând este dublul primului, deci determinantul se anulează și criteriul spune că tabloul nu are invers; calculul complet confirmă, fiindcă grupul cu plus dă $20 + 24 + 112$ , iar cel cu minus $24 + 112 + 20$ . Celelalte trei au determinanții $13$ , $- 1$ și $2$ , toți nenuli. Zerourile din tablou nu decid nimic: varianta c) are un zero și este inversabilă, iar b) nu are niciunul și nu este.
Determină numerele reale $m$ pentru care matricea $A (m) = (m 2 6 m - 4)$ nu este inversabilă.
- a) $R ∖ {- 2, 6}$
- b) ${- 2, 6}$
- c) ${2, - 6}$
- d) ${4, - 3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) ${- 2, 6}$

Determinantul este $m (m - 4) - 12 = m^{2} - 4 m - 12$ , iar ecuația $m^{2} - 4 m - 12 = 0$ are discriminantul $16 + 48 = 64$ , deci rădăcinile $6$ și $- 2$ . Cerința fiind „nu este inversabilă", răspunsul este chiar mulțimea acestor rădăcini. Varianta a) răspunde la cerința inversă, adică la cea de inversabilitate; c) schimbă semnele; d) propune numere care dau $- 12$ și respectiv $9$ , deci nu anulează determinantul.

Întrebări conexe

Pentru ce valori ale lui m este o matrice inversabilă?

Calculezi determinantul în funcție de $m$ și elimini valorile care îl anulează. Pentru $(m 8 2 m)$ determinantul este $m^{2} - 16$ , nul pentru $m = \pm 4$ . Matricea este inversabilă pentru $m \in R ∖ {- 4, 4}$ : răspunsul este complementul soluțiilor ecuației, nu soluțiile.

Este produsul a două matrice nesingulare tot nesingular?

Da: $det (A B) = det A \cdot det B$ , iar produsul a două numere nenule este nenul. Dacă $det A = 3$ și $det B = - 2$ , atunci $det (A B) = - 6$ , deci $A B$ este inversabilă. Invers, dacă măcar una dintre matrice este singulară, produsul este singular.

Este suma a două matrice inversabile tot inversabilă?

Nu neapărat. $I_{2}$ și $- I_{2}$ au amândouă determinantul $1$ , dar suma lor este $O_{2}$ , cu determinantul $0$ . Proprietatea de produs nu se transferă la adunare, așa că determinantul sumei se calculează separat.

Cum verific prin înmulțire că o matrice este inversa alteia?

Calculezi ambele produse și obții $I_{n}$ . Pentru $A = (2513)$ și $B = (3 - 5 - 1 2)$ : $A B = (6 - 5 15 - 15 - 2 + 2 - 5 + 6) = I_{2}$ , iar la fel iese $B A = I_{2}$ , deci $B = A^{- 1}$ . La matricele pătratice, dacă un produs dă $I_{n}$ , îl dă și celălalt, dar proba pe ambele ordini se scrie complet.

Ce înseamnă o matrice singulară pentru un sistem de ecuații?

Dacă matricea coeficienților este singulară, sistemul nu are soluție unică: fie nu are soluții, fie are o infinitate. Sistemul $2 x + 3 y = 5$ , $4 x + 6 y = 10$ are determinantul $12 - 12 = 0$ , iar a doua ecuație este dublul primei, deci are o infinitate de soluții.

Oamenii mai întreabă și: matrice singulară sau nesingulară · ce înseamnă matrice nesingulară · matrice cu determinant zero · când este o matrice singulară