Matrice inversabilă: criteriul determinantului (M2, științe ale naturii)

Într-un laborator de chimie, un spectrofotometru măsoară cât de mult absoarbe o probă lumina de două lungimi de undă diferite. Dacă în probă se află două substanțe, aparatul nu îți spune câte miligrame are fiecare: el îți dă două numere, două absorbanțe, din care concentrațiile trebuie scoase prin calcul. Drumul de la concentrații la absorbanțe este o înmulțire cu o matrice; drumul înapoi, de la absorbanțe la concentrații, cere o matrice care desface înmulțirea. Uneori ea există, alteori nu — și, surprinzător, răspunsul încape într-un singur număr. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), lecția aceasta îți dă acel număr: determinantul. Tema apare la bacalaureatul M2 la Subiectul al II-lea, la problema de matrice și determinanți.

Este prima noțiune „de existență" din capitol. Până acum totul se calcula: aduni, înmulțești, desfaci un determinant după o linie. De aici înainte, înainte de a calcula ceva, trebuie să decizi dacă obiectul căutat există.

Ce vei învăța

• Vei ști să spui ce înseamnă că o matrice pătratică este inversabilă și să faci dovada completă, cu ambele înmulțiri scrise pe foaie.
• Vei ști să folosești criteriul determinantului și să decizi în câteva zeci de secunde, la ordinele $2$ și $3$, dacă inversa există.
• Vei ști să folosești corect cuvintele singulară și nesingulară.
• Vei ști să răspunzi la cerința „determinați valorile parametrului pentru care matricea este inversabilă", fără să încurci soluțiile ecuației cu răspunsul.
• Vei ști să citești, într-un tablou de măsurători, ce înseamnă un determinant nul: datele nu se pot reface, iar metoda de lucru trebuie schimbată.
• Vei ști de ce numai matricele pătratice intră în discuție.

Hai să descoperim împreună

1. Cum citești un tabel de măsurători înapoi?

Rămânem în laborator. Proba conține două substanțe, cu concentrațiile $c_1$ și $c_2$, măsurate în miligrame pe litru. Aparatul citește două absorbanțe, iar legea lui Lambert-Beer spune că fiecare absorbanță este o sumă de contribuții:

$$A_1=3c_1+c_2,A_2=2c_1+c_2,$$

unde numerele $3$, $1$, $2$, $1$ sunt coeficienți de absorbție, în litri pe miligram, măsurați o singură dată pentru substanțele respective. Tabloul lor este matricea $E=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$, iar înmulțirea cu $E$ duce concentrațiile în absorbanțe. Pentru $c_1=2$ și $c_2=5$ mg/L obținem $A_1=11$ și $A_2=9$; absorbanța este un număr fără unitate de măsură, fiindcă litrii pe miligram se simplifică cu miligramele pe litru.

Chimistul are însă întrebarea inversă: citește $11$ și $9$ pe ecran și vrea concentrațiile. I-ar trebui un al doilea tablou, care să ducă absorbanțele înapoi în concentrații. Să încercăm $B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$: din $1\cdot 11-1\cdot 9=2$ și $-2\cdot 11+3\cdot 9=5$ obținem exact concentrațiile de la care am plecat. Nu e o coincidență, pentru că înmulțind cele două tablouri iese matricea unitate:

$$E\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-2& -3+3\\ 2-2& -2+3\end{array}\right)=I_2,B\cdot E=I_2.$$

O matrice inversabilă este o matrice pătratică $A$ pentru care există o matrice $B$, de același ordin, astfel încât $A\cdot B=B\cdot A=I_n$; pe $B$ o notăm $A^{-1}$ și îi spunem inversa lui $A$.

2. Ce cere definiția, cuvânt cu cuvânt

Trei precizări, fiecare fiind o sursă de greșeli la lucrări.

Discuția are sens numai pentru tablouri pătratice. La o matrice cu $3$ linii și $2$ coloane, cele două înmulțiri din definiție ies de ordine diferite, așa că egalitățile cerute nu au cum să fie adevărate deodată. Întrebarea „este inversabilă?" nici nu se pune pentru un tablou dreptunghiular, oricât de frumoase ar fi numerele din el.

Se cer amândouă produsele. Înmulțirea matricelor nu este comutativă, așa că $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt, în principiu, lucruri diferite. La matricele pătratice se poate arăta că una dintre egalități o atrage pe cealaltă, dar la examen se scriu amândouă: sunt scurte și fac dovada completă.

Ca să vezi cât de repede se verifică amândouă, ia tabloul din laborator. Produsul $E\cdot B$ l-am scris deja; pentru celălalt, $B\cdot E=\left(\begin{array}{cc}3-2& 1-1\\ -6+6& -2+3\end{array}\right)=I_2$, adică patru înmulțiri și două scăderi. Pe o lucrare, cele două rânduri fac diferența dintre o rezolvare completă și una lăsată la jumătate.

Inversa, dacă există, este una singură. Tocmai de aceea are dreptul la un nume propriu, $A^{-1}$, la fel cum inversul unui număr real nenul este unic. Și încă o consecință de limbaj: nu există „împărțire cu o matrice". Nu scrie niciodată o matrice sub o linie de fracție; spune „înmulțim cu inversa" și precizează de care parte, fiindcă $A^{-1}\cdot B$ și $B\cdot A^{-1}$ sunt de obicei matrice diferite.

3. Criteriul determinantului

Verificarea prin definiție are un defect: ea presupune că ai deja o matrice candidată. În laborator nu o ai; ai doar tabloul $E$ și întrebarea dacă se poate merge înapoi. Răspunsul vine dintr-un singur număr.

Teoremă (criteriul determinantului). O matrice pătratică are inversă exact atunci când determinantul ei este diferit de zero.

Programa de științe ale naturii nu cere demonstrația, ci folosirea corectă a criteriului, așa că îl luăm ca pe o regulă verificată. Merită însă înțeles de ce un determinant nul strică totul, iar laboratorul o arată mai bine decât orice calcul. Presupune că a doua substanță absoarbe, la ambele lungimi de undă, exact de două ori mai puternic decât prima; tabloul coeficienților devine $\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 2& 4\end{array}\right)$, cu determinantul $3\cdot 4-6\cdot 2=0$. Ce se întâmplă fizic? O probă cu $c_1=4$ și $c_2=1$ dă aceleași două absorbanțe ca una cu $c_1=2$ și $c_2=2$: aparatul nu are cum să le deosebească. Informația s-a pierdut, iar nicio matrice din lume nu o poate reface.

Determinantul nul înseamnă deci exact acest lucru: două intrări diferite dau același rezultat, deci drumul înapoi nu este bine definit. Aceeași idee o cunoști din clasa a IX-a, de la intersecția a două drepte: două drepte se taie într-un singur punct exact când nu sunt nici paralele, nici confundate. Ce aduce clasa a XI-a este traducerea acestor două situații în coeficienți: ele apar exact când coeficienții lui $x$ și $y$ din cele două ecuații sunt proporționali — iar „coeficienți proporționali" înseamnă tocmai determinant nul.

4. Nesingulară, singulară și decizia de un minut

Două cuvinte pe care le vei folosi până la sfârșitul capitolului:

• determinant nenul: tabloul se cheamă nesingular și are inversă;
• determinant nul: tabloul se cheamă singular și nu are inversă.

Puterea criteriului stă în preț. La ordinul $2$, decizia costă două înmulțiri și o scădere; la ordinul $3$, cele șase produse ale regulii lui Sarrus, învățată la determinanții de ordinul 2 și 3. Iată două decizii luate fără să calculăm vreo inversă:

$$\det \left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 4& 6\end{array}\right)=36-36=0\Rightarrow \text{singulara˘};\det \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)=-12\ne 0\Rightarrow \text{nesingulara˘}.$$

Reține, ca reflex de lucrare: determinantul se calculează întotdeauna înaintea oricărei alte socoteli. Dacă iese zero, te oprești și scrii concluzia; dacă nu, poți trece la construirea inversei, lucru pe care îl facem în lecția următoare, despre inversa calculată cu matricea adjunctă.

La ordinul $3$ merită câteva secunde de privit înainte de a porni cele șase produse ale regulii lui Sarrus. Dacă o linie este formată numai din zerouri, dacă două linii sunt egale sau dacă una este multiplul alteia, determinantul este nul și matricea este singulară, fără niciun calcul — sunt proprietățile pe care le-ai fixat în lecția despre proprietățile determinanților. Abia dacă nimic din toate acestea nu se vede, treci la calcul. Reflexul acesta economisește, la o lucrare de o oră, câteva minute bune.

5. Ce se întâmplă când matricea depinde de un parametru?

Criteriul transformă atunci o întrebare despre existența unui obiect complicat într-o ecuație obișnuită, de gradul întâi sau al doilea. Fie

$$A(m)=\left(\begin{array}{cc}m+1& 3\\ 2& m\end{array}\right),m\in \mathbb{R}.$$

Determinantul este $\det A(m)=(m+1)m-6=m^2+m-6=(m+3)(m-2)$. Matricea este inversabilă exact când acest produs este nenul, adică pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{-3,2\}$, și este singulară doar pentru $m=-3$ și $m=2$.

Rețeta are trei pași și ultimul se sare cel mai des: calculezi $\det A(m)$; rezolvi ecuația $\det A(m)=0$; scoți soluțiile găsite din mulțimea numerelor reale și scrii ce a rămas. Soluțiile ecuației sunt tocmai valorile „rele", cele pentru care inversa nu există; dacă le dai ca răspuns la o cerință de inversabilitate, spui fix pe dos.

6. Ce înseamnă, într-un tablou de date, că determinantul este zero?

Înseamnă că tabloul nu poate fi citit înapoi. Iar în practică asta nu e o curiozitate matematică, ci o veste despre experiment: măsurătorile pe care le-ai făcut nu conțin destulă informație. În exemplul cu spectrofotometrul, soluția chimistului nu e să calculeze mai atent, ci să aleagă alte două lungimi de undă, la care substanțele să nu se comporte proporțional.

La examen, citirea este mai simplă și merită spusă limpede: dacă determinantul iese zero, răspunsul complet este „matricea nu este inversabilă", plus motivul, adică valoarea determinantului. Nu se cere nimic în plus și nu există „inversă parțială". Iar dacă enunțul cere totuși inversa unei matrice al cărei determinant ai găsit că e nul, atunci determinantul a fost calculat greșit — merită refăcut, pentru că problemele de examen se construiesc astfel încât cerințele să aibă răspuns.

Aici se cuvine și o precizare de onestitate, pentru că elevii o cer des. Matematic, determinantul este ori zero, ori nu; nu există „aproape zero". În laborator, însă, coeficienții vin din măsurători cu mici erori, iar dacă determinantul iese foarte mic în comparație cu numerele din tablou, concentrațiile calculate devin extrem de sensibile: o eroare mică la citire produce o eroare mare la rezultat. De aceea un chimist evită situațiile în care determinantul e aproape nul, deși, strict matematic, matricea este inversabilă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Verificarea prin definiție

Arătați că $B=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ -5& 4\end{array}\right)$ este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 5& 4\end{array}\right)$.

Rezolvare. Calculăm ambele produse:

$$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}16-15& -12+12\\ 20-20& -15+16\end{array}\right)=I_2,B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}16-15& 12-12\\ -20+20& -15+16\end{array}\right)=I_2.$$

Ambele produse dau $I_2$, deci, prin definiție, $B=A^{-1}$. Control rapid: $\det A=16-15=1\ne 0$, deci inversa chiar trebuia să existe.

Exemplul 2 — Decizia numai cu determinantul

Stabiliți care dintre matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}6& 5& 0\\ 4& 4& 3\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 4& 6& 2\\ 1& 0& 5\end{array}\right)$ sunt inversabile.

Rezolvare. Cu regula lui Sarrus, $\det A=(48+30+0)-(0+18+40)=20\ne 0$, deci $A$ este nesingulară.

Pentru $B$ nici nu e nevoie de toate cele șase produse: linia a doua este dublul primei linii, iar o matrice cu două linii proporționale are determinantul nul, așa cum ai văzut la proprietățile determinanților. Deci $\det B=0$ și $B$ este singulară. Calculul complet confirmă: $(60+6+0)-(6+0+60)=0$.

Exemplul 3 — Citește tabelul de laborator

Într-o analiză se măsoară două absorbanțe pentru un amestec de două substanțe. Coeficienții de absorbție, în litri pe miligram, sunt trecuți în tabel:

Se poate afla, din cele două absorbanțe, concentrația fiecărei substanțe?

Rezolvare. Tabloul coeficienților este $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 6& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $3\cdot 2-1\cdot 6=0$. Matricea este singulară, deci răspunsul este nu: din cele două absorbanțe concentrațiile nu se pot determina.

Motivul se citește direct în tabel: a doua linie este dublul primei, adică la ${\lambda }_2$ ambele substanțe absorb exact de două ori mai puternic decât la ${\lambda }_1$. Cele două măsurători spun același lucru, una fiind dublul celeilalte, deci a doua nu aduce nicio informație nouă. Practic, laboratorul trebuie să aleagă o altă pereche de lungimi de undă. Dacă a doua linie ar fi fost, de pildă, $(2,1)$, determinantul ar fi ieșit $3\cdot 1-1\cdot 2=1\ne 0$, iar concentrațiile s-ar fi putut scoate.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Cerință: „Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 5\\ 2& m-3\end{array}\right)$ este inversabilă." Un elev scrie: „$\det A(m)=m(m-3)-10=m^2-3m-10=(m-5)(m+2)$; ecuația $\det A(m)=0$ are soluțiile $m=5$ și $m=-2$, deci matricea este inversabilă pentru $m\in \{-2,5\}$." Găsiți greșeala și scrieți răspunsul corect.

Rezolvare. Calculul determinantului și rezolvarea ecuației sunt corecte; greșit este ultimul pas, cel cu o singură propoziție. Criteriul cere $\det A(m)\ne 0$, nu $\det A(m)=0$, deci valorile găsite sunt exact cele pentru care inversa nu există. Răspunsul corect este $m\in \mathbb{R}\setminus \{-2,5\}$.

Proba se face în zece secunde, cu o valoare oarecare: pentru $m=0$ avem $\det A(0)=-10\ne 0$, deci matricea este inversabilă — iar $0$ nu se află în mulțimea dată de elev. Obișnuiește-te să verifici răspunsul pe o valoare simplă înainte de a-l încercui.

Exemplul 5 — O matrice de ordinul 3 cu parametru

Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $B(m)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& m& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ este inversabilă, apoi calculați $\det B(3)$.

Rezolvare. Desfacem determinantul după prima linie, fiindcă are un zero:

$$\det B(m)=2\cdot (2m-1)-1\cdot (2-0)+0=4m-2-2=4(m-1).$$

Condiția $4(m-1)\ne 0$ dă $m\ne 1$, deci $B(m)$ este inversabilă pentru $m\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$ și singulară doar pentru $m=1$. Pentru $m=3$ obținem $\det B(3)=4\cdot 2=8\ne 0$, ceea ce se potrivește cu răspunsul.

Observă de ce cerința este ușoară la ordinul $3$: determinantul iese o expresie de gradul întâi în $m$, pentru că parametrul apare o singură dată în tablou. Când parametrul apare pe două sau trei poziții, expresia crește în grad, iar ecuația finală poate fi de gradul al doilea sau al treilea.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x-2& 1\\ 3& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real. a) Arătați că $\det (A(4))=5$. b) Determinați numerele reale $x$ pentru care matricea $A(x)$ nu este inversabilă. c) Demonstrați că numărul $N=\det (A(k))+4$ este natural, pentru orice număr întreg $k$.

Rezolvare.

a) Pentru $x=4$ avem $A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$, deci $\det (A(4))=2\cdot 4-1\cdot 3=5$.

b) În general, $\det (A(x))=(x-2)x-3=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$. Matricea nu este inversabilă exact când determinantul se anulează, adică pentru $x=3$ și $x=-1$.

c) $N=k^2-2k-3+4=k^2-2k+1=(k-1{)}^2$. Cum $k$ este întreg, $k-1$ este întreg, iar pătratul unui întreg este un număr natural. Deci $N\in \mathbb{N}$ pentru orice $k$ întreg.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se cere valoarea unui determinant pentru un caz numeric, la b) o discuție după parametru, iar la c) o demonstrație scurtă despre un număr construit din determinant. Litera parametrului s-a schimbat la c) tocmai pentru că întrebarea privește numerele întregi, nu toate numerele reale.

Să exersăm

Începe fiecare rezolvare cu determinantul, chiar dacă enunțul nu îl cere.

1. Arată, calculând ambele produse, că $B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -7& 5\end{array}\right)$ este inversa matricei $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 7& 3\end{array}\right)$.

2. Stabilește dacă matricea $\left(\begin{array}{cc}12& 20\\ 9& 15\end{array}\right)$ este inversabilă.

3. Stabilește dacă matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 3& 1& 4\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$ este inversabilă.

4. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{cc}m+4& 3\\ m& 2\end{array}\right)$ este inversabilă.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „O matrice cu $2$ linii și $3$ coloane este inversabilă dacă unul dintre determinanții ei de ordinul $2$ este nenul."

6. Care dintre matricele $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 6& 8\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 4\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ sunt singulare?

7. Stabilește, calculând un singur determinant, dacă matricea $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 4\\ 1& 3& 9\end{array}\right)$ este inversabilă.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă toate elementele unei matrice pătratice sunt numere nenule, atunci matricea este inversabilă."

9. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$ este inversabilă.

10. (Problemă aplicată.) Un crescător amestecă două furaje. Primul conține $4$ unități de proteină și $2$ de grăsime la kilogram, al doilea $1$ unitate de proteină și $3$ de grăsime la kilogram. Scrie matricea conținuturilor, calculează-i determinantul și spune dacă, știind totalul de proteină și totalul de grăsime din amestec, se pot afla cantitățile din fiecare furaj. Ce s-ar întâmpla dacă al doilea furaj ar avea $2$ unități de proteină și $1$ de grăsime la kilogram?

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A(m)=\left(\begin{array}{cc}m& 4\\ 1& m-3\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det (A(1))$. b) Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(m)$ nu este inversabilă.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -4& 3\end{array}\right)$. a) Arătați că $\det A=1$. b) Arătați că $B$ este inversa matricei $A$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră $C(m)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& m& 1\\ 3& 0& m\end{array}\right)$, $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det (C(2))$. b) Arătați că $C(m)$ este inversabilă pentru orice număr real $m$.

14. Arată că matricea unitate $I_3$ este inversabilă și că este propria ei inversă.

15. Arată că o matrice pătratică de ordinul $3$ care are o linie formată numai din zerouri nu este inversabilă.

16. Se știe că matricea $A$, de ordinul $3$, are $\det A=7$. Este $A$ inversabilă? Dar matricea obținută din $A$ schimbând între ele două linii?

17. Explică, în trei-patru fraze, de ce o matrice singulară nu poate avea inversă, folosind ideea din laboratorul de la §3.

18. (Provocare.) Arată că matricea $\left(\begin{array}{cc}m& m+1\\ m-1& m\end{array}\right)$ este inversabilă pentru orice număr real $m$.

Răspunsuri și explicații

1. $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}15-14& -10+10\\ 21-21& -14+15\end{array}\right)=I_2$ și $B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}15-14& 6-6\\ -35+35& -14+15\end{array}\right)=I_2$. Ambele produse fiind $I_2$, $B=A^{-1}$. Control: $\det A=15-14=1$.

2. $\det =12\cdot 15-20\cdot 9=180-180=0$, deci matricea este singulară și nu are inversă. Se vedea și direct: a doua linie este prima înmulțită cu $\frac{3}{4}$.

3. Cu regula lui Sarrus, $\det =(1+0+6)-(4+4+0)=-1\ne 0$, deci matricea este inversabilă.

4. $\det =2(m+4)-3m=8-m$, iar condiția de inversabilitate este ca acest număr să fie nenul: $m\in \mathbb{R}\setminus \{8\}$. Aici determinantul iese de gradul întâi, fiindcă parametrul apare pe aceeași coloană de două ori.

5. Fals. Inversabilitatea se pune numai pentru matrice pătratice, iar o matrice cu $2$ linii și $3$ coloane nu este pătratică: produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$ nu pot fi amândouă egale cu aceeași matrice unitate. Determinanții de ordinul $2$ care se pot forma din ea nu schimbă cu nimic concluzia.

6. Prima are $\det =24-24=0$, deci este singulară; a doua are $\det =8-7=1\ne 0$, deci este nesingulară; a treia are $\det =0-0=0$, deci este singulară.

7. $\det =(18+4+3)-(2+12+9)=25-23=2\ne 0$, deci matricea este inversabilă.

8. Fals. Contraexemplu: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ are toate elementele nenule, dar $\det =4-4=0$, deci este singulară. Ce contează nu este prezența zerourilor, ci relația dintre linii: aici a doua linie este dublul primei.

9. Desfăcând după prima linie, $\det =m\cdot m-1\cdot 1+1\cdot 1=m^2$. Condiția $m^2\ne 0$ dă $m\ne 0$, deci matricea este inversabilă pentru $m\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

10. Cu proteina pe prima linie și grăsimea pe a doua, matricea conținuturilor este $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$, cu $\det =12-2=10\ne 0$: cantitățile se pot afla din cele două totaluri. În al doilea caz matricea devine $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, cu $\det =4-4=0$: al doilea furaj are exact jumătate din fiecare nutrient față de primul, deci cele două nu se mai pot deosebi din totaluri, oricâte calcule ai face.

11. a) $\det (A(1))=1\cdot (-2)-4=-6$. b) $\det (A(m))=m(m-3)-4=m^2-3m-4=(m-4)(m+1)$, deci matricea nu este inversabilă pentru $m=4$ și $m=-1$.

12. a) $\det A=3\cdot 3-2\cdot 4=1$. b) $A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}9-8& -6+6\\ 12-12& -8+9\end{array}\right)=I_2$ și, la fel, $B\cdot A=I_2$, deci $B=A^{-1}$.

13. a) Desfăcând după prima linie, $\det (C(m))=1\cdot m^2-2\cdot (0-3)+0=m^2+6$, deci $\det (C(2))=10$. b) Cum $m^2\ge 0$, avem $m^2+6\ge 6>0$ pentru orice $m$ real, deci determinantul nu se anulează niciodată și $C(m)$ este mereu inversabilă.

14. $I_3\cdot I_3=I_3$, deci ambele produse cerute de definiție dau matricea unitate, iar inversa lui $I_3$ este chiar $I_3$. Control cu criteriul: $\det I_3=1\ne 0$.

15. Desfacem determinantul chiar după linia de zerouri: toți termenii au în față un element nul, deci determinantul este $0$, iar criteriul spune că matricea nu este inversabilă.

16. Da, $A$ este inversabilă, fiindcă $\det A=7\ne 0$. Schimbarea a două linii schimbă semnul determinantului, deci noua matrice are determinantul $-7$, tot nenul: și ea este inversabilă.

17. Dacă determinantul este nul, două intrări diferite dau, prin înmulțirea cu matricea, același rezultat — exact ca la cele două probe din laborator, care aveau aceleași absorbanțe. O matrice care ar duce rezultatul înapoi ar trebui să aleagă între cele două intrări, ceea ce este imposibil: înmulțind un rezultat cu ea obții un singur tablou, nu două. Așadar o asemenea matrice nu poate exista, iar concluzia nu ține de priceperea celui care calculează, ci de informația pierdută pe drum.

18. $\det =m\cdot m-(m+1)(m-1)=m^2-(m^2-1)=1$. Determinantul este $1$ pentru orice valoare a lui $m$, deci matricea este inversabilă indiferent de parametru. Verificare pe două valori: pentru $m=0$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, iar pentru $m=3$ este $\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 3\end{array}\right)$; amândouă au determinantul $1$.

De reținut

• Definiția: $A$ este inversabilă dacă există o matrice $B$, de același ordin, cu $A\cdot B=B\cdot A=I_n$; atunci $B$ este unică și se notează $A^{-1}$. Numai matricele pătratice intră în discuție.
• Criteriul determinantului: $A$ este inversabilă dacă și numai dacă $\det A\ne 0$. O matrice cu determinant nenul se numește nesingulară, una cu determinant nul, singulară.
• Determinantul se calculează primul, înaintea oricărei alte socoteli: el hotărăște dacă obiectul căutat există.
• La cerințele cu parametru, soluțiile ecuației $\det A(m)=0$ sunt valorile excluse; răspunsul se scrie ca mulțimea numerelor reale din care le scoți.
• Un determinant nul într-un tablou de date înseamnă că două intrări diferite dau același rezultat: informația s-a pierdut și niciun calcul nu o mai poate reface.

Greșeli frecvente

• Cauți inversa unui tablou dreptunghiular. O matrice cu $3$ linii și $2$ coloane nu poate fi inversabilă, oricât de frumos ar arăta numerele: cele două produse din definiție nici măcar nu au același ordin.
• Dai ca răspuns soluțiile ecuației $\det A(m)=0$. Ele sunt exact valorile pentru care inversa nu există. Răspunsul corect este mulțimea numerelor reale din care scoți aceste soluții.
• Crezi că $A^{-1}$ este un număr. Inversa este o matrice de același ordin cu $A$, nu fracția $\frac{1}{\det A}$. Determinantul decide doar dacă ea există.
• Decizi la ordinul $3$ după un determinant de ordinul $2$. Criteriul se aplică determinantului întregii matrice; un colț de ordinul $2$ cu determinant nenul nu spune nimic despre matricea de ordinul $3$.
• Crezi că suma a două matrice inversabile este inversabilă. Contraexemplu imediat: $A$ și $-A$ sunt amândouă inversabile când $\det A\ne 0$, dar suma lor este matricea nulă, care nu are inversă.

Aplică acasă

1. Două bonuri, două prețuri. Caută două bonuri de cumpărături în care ai luat aceleași două produse, în cantități diferite. Scrie matricea cantităților, de ordinul $2$, și calculează-i determinantul. Dacă iese nenul, cele două totaluri de plată sunt de ajuns ca să afli prețurile unitare; dacă ai cumpărat de fiecare dată în același raport, determinantul iese zero și prețurile nu se pot afla — încearcă și vei vedea de ce.

2. Cartonașele cu DA și NU. Scrie pe zece cartonașe câte o matrice, cinci de ordinul $2$ și cinci de ordinul $3$, iar pe verso doar „DA" sau „NU". Amestecă-le și antrenează-te să decizi inversabilitatea în cel mult un minut pentru ordinul $3$ și în douăzeci de secunde pentru ordinul $2$. Notează la ce ordin greșești mai des.

3. Când se strică măsurătoarea. Caută în manualul de chimie sau într-o sursă de laborator coeficienții de absorbție a două substanțe la două lungimi de undă. Scrie matricea lor și calculează determinantul. Dacă iese mic față de numerele din tablou, explică în două fraze de ce analiza devine nesigură și ce ar trebui schimbat în experiment.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Algebră, la XI.1 „Matrice și determinanți", unde conținutul se încheie cu propoziția „Inversa unei matrice". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema apare explicit: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere „matrice inversabile din ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, $n=2,3$"; tablourile cu care se lucrează la M2 au însă elemente reale, iar programa nouă (anexa 28) le dă direct în $\mathbb{R}$. La proba scrisă, prima problemă a Subiectului al II-lea este cea de matrice și determinanți, iar în modelul oficial cerințele ei sunt de tipul „arătați că determinantul este egal cu…", „determinați numărul real pentru care…" și „demonstrați că…". Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Lecția verifică patru lucruri: (1) definiția scrisă cu ambele produse; (2) reflexul de a calcula determinantul înaintea oricărei alte socoteli; (3) răspunsul corect la cerințele cu parametru, adică mulțimea complementară soluțiilor; (4) folosirea corectă a cuvintelor „singulară" și „nesingulară". Întrebări de control, de pus oral: „Are sens să întrebi dacă un tablou cu $3$ linii și $2$ coloane are inversă?"; „Ce calculezi primul și de ce?"; „Dacă ecuația $\det A(m)=0$ are soluțiile $2$ și $5$, ce scrii la cerința de inversabilitate?"; „Ce înseamnă, pentru un tabel de măsurători, că determinantul este nul?". Semne că elevul a înțeles: începe rezolvarea cu determinantul fără să i se ceară și își probează răspunsul de la cerința cu parametru pe o valoare simplă.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă tema „matrice inversabilă" la M2 față de M1? La profilul științe ale naturii se rămâne la criteriul determinantului și la ordinele $2$ și $3$. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: definiția și criteriul determinantului merge mai departe, cu demonstrația unicității, cu proprietățile inversei unui produs și cu matrice de ordinul $4$. La M2 accentul cade pe decizie și pe interpretarea ei.

La ce subiect apare matricea inversabilă la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, la prima problemă, cea de matrice și determinanți. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 cere matricele inversabile de ordinele $2$ și $3$, iar cerințele modelului oficial au forma „arătați că", cu o valoare dată, sau „determinați numărul real pentru care".

Ce calculez primul: determinantul sau inversa? Determinantul, întotdeauna. El se obține din câteva înmulțiri și decide dacă inversa există. Dacă iese zero, te oprești acolo și scrii concluzia; dacă ai început cu inversa, ai făcut o muncă lungă pe care ar fi trebuit să nu o începi. Regula se aplică la orice ordin.

Ce înseamnă, într-un tabel de date, că determinantul este zero? Înseamnă că datele nu se pot reface din rezultate: două seturi diferite de valori de intrare produc exact aceleași rezultate, deci drumul înapoi nu este bine definit. În practică e semnalul că o măsurătoare o repetă pe alta și că experimentul trebuie schimbat, nu calculul refăcut.

Un determinant foarte mic înseamnă că matricea e „aproape neinversabilă"? Matematic nu există grade: determinantul este ori zero, ori nenul. În măsurători, însă, un determinant mic față de numerele din tablou face rezultatele foarte sensibile la erorile de citire, așa că un chimist sau un fizician evită asemenea situații, deși matricea este, strict vorbind, inversabilă.

Poate fi inversabilă o matrice care are elemente egale cu zero? Da, fără nicio problemă. Matricea unitate $I_3$ are șase zerouri și este inversabilă, fiind propria ei inversă. Ce contează nu este prezența zerourilor, ci valoarea determinantului: o matrice fără niciun zero poate fi singulară, iar una plină de zerouri poate fi nesingulară.

Se cere demonstrația criteriului determinantului la profilul științe ale naturii? Nu. Programa de examen precizează că se folosește exprimarea „proprietatea lui…", „regula lui…", pentru rezultate matematice care se aplică, dar a căror demonstrație este în afara programei. Criteriul se enunță, se verifică pe exemple și se aplică; demonstrația lui completă aparține traseului de matematică-informatică.