Media: punctul de echilibru al datelor: pe scurt

Media aritmetică a unui set $x_1,\dots ,x_n$ este $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ — punctul de echilibru al datelor, situat mereu între valoarea minimă și cea maximă. Dintr-un tabel de frecvențe, formula devine $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$, iar pentru date grupate pe clase se folosesc centrele claselor, $\bar{x}\approx \frac{\sum n_i{c}_i}{n}$ — rezultat aproximativ, pentru că valorile reale nu sunt niciodată distribuite perfect simetric în interiorul fiecărei clase.

Media ponderată apare atunci când valorile nu contează la fel: fiecărei $x_i$ i se atribuie o pondere (coeficient) $p_i$, iar ${\bar{x}}_p=\frac{\sum p_i{x}_i}{\sum p_i}$ — exact formula folosită la media generală de la Bacalaureat sau la media pe semestru, unde teza cântărește mai mult decât o ascultare. Media dintr-un tabel de frecvențe este, de fapt, o medie ponderată cu frecvențele.

O proprietate utilă pentru verificare: suma abaterilor față de medie este zero, $\sum (x_i-\bar{x})=0$. Atenție și la o capcană frecventă: media a două grupuri de efective diferite nu este media celor două medii, ci media ponderată cu efectivele lor. În fine, media este sensibilă la valori extreme — câteva salarii foarte mari pot ridica «media» mult peste ce câștigă majoritatea — motiv pentru care, în astfel de situații, se raportează și mediana.

Exerciții din această mini-lecție

1. Calculați media setului de date $6,9,11,14,15$.

   • a) $11$
   • b) $10$
   • c) $12$
   • d) $55$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: a) $11$

   Suma valorilor este $6+9+11+14+15=55$, iar $n=5$, deci $\bar{x}=\frac{55}{5}=11$.

2. Un elev are notele $7$ și $9$, fiecare cu ponderea $1$, și nota $10$ la teză, cu ponderea $3$. Calculați media ponderată.

   • a) $8,67$
   • b) $9,2$
   • c) $9$
   • d) $8,5$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: b) $9,2$

   ${\bar{x}}_p=\frac{1\cdot 7+1\cdot 9+3\cdot 10}{1+1+3}=\frac{46}{5}=9,2$. Media simplă a celor trei note ar fi fost $\frac{26}{3}\approx 8,67$ — diferită, pentru că teza cântărește de trei ori mai mult.

3. Media a $8$ numere este $12$. Dacă la fiecare număr se adună $3$, care este noua medie?

   • a) $12$
   • b) $36$
   • c) $15$
   • d) $9$
   Vezi răspunsul

   Răspuns corect: c) $15$

   Dacă la fiecare valoare se adaugă o constantă $a$, suma crește cu $8a$, deci media crește cu $a$. Aici $a=3$, deci noua medie este $12+3=15$.