Media aritmetică și media ponderată a unui set de date

O firmă își caută angajați și scrie în anunț: „salariul mediu în echipa noastră este de $5700$ de lei". Sună excelent. Numai că echipa are zece oameni, iar salariile lor sunt $3000$, $3200$, $3400$, $3500$, $3600$, $3800$, $4000$, $4200$, $4300$ și $24000$ de lei — ultimul fiind al patronului. Media este într-adevăr $5700$, calculul e corect, dar nouă din zece angajați câștigă sub această „medie". Anunțul nu minte matematic; minte statistic.

De aici pornește lecția. Media aritmetică este cel mai cunoscut și cel mai folosit indicator din statistică — o știi din gimnaziu și din carnetul de note — dar la clasa a X-a o privim cu ochi mai atenți: învățăm să o calculăm eficient dintr-un tabel de frecvențe, să o calculăm și când datele sunt grupate pe clase, să înțelegem când e potrivită și, mai ales, când ne induce în eroare. Pe drum apare și sora ei mai flexibilă, media ponderată, cu care se calculează media generală de la Bacalaureat și media pe semestru. La final vei ști nu doar să calculezi o medie, ci și să răspunzi la întrebarea care contează cu adevărat: media asta descrie corect setul meu de date?

Ce vei învăța

• Vei ști să calculezi media aritmetică a unui set de date, cu notația $\bar{x}$ și cu simbolul de sumă.
• Vei ști să calculezi rapid media dintr-un tabel de frecvențe, fără să desfășori toate valorile.
• Vei ști să calculezi o medie ponderată, cu ponderi sau coeficienți, așa cum se face la media generală și la Bacalaureat.
• Vei ști să calculezi media unui set de date grupate pe clase, cu ajutorul centrelor de clasă, și să înțelegi de ce rezultatul este aproximativ.
• Vei ști să folosești două proprietăți utile: suma abaterilor față de medie este zero și media se află întotdeauna între valoarea minimă și cea maximă.
• Vei ști să recunoști situațiile în care media este trasă de valorile extreme și să spui ce indicator ar fi mai potrivit.

Hai să descoperim împreună

1. Media aritmetică: definiție și notație

Fie un set de date $x_1,x_2,\dots ,x_n$. Media aritmetică a setului este numărul

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i.$$

Bara de deasupra literei se citește „x barat" și este notația universală pentru media unui set de date; o vom folosi peste tot de acum înainte, inclusiv în lecția Abaterea standard: formulă și interpretare.

Exemplu. Notele obținute de un elev la șapte lucrări sunt $4,6,7,7,7,8,10$. Suma lor este $49$, iar

$$\bar{x}=\frac{49}{7}=7.$$

O imagine care ajută: media este punctul de echilibru al datelor. Dacă așezi valorile ca niște greutăți egale pe o riglă, rigla stă în echilibru exact în dreptul mediei. De aceea o singură greutate așezată foarte departe (salariul patronului) mută punctul de echilibru mult mai mult decât te-ai aștepta.

2. Media dintr-un tabel de frecvențe

Când valorile se repetă, nu are rost să le adunăm una câte una. Dacă valoarea $x_i$ apare de $n_i$ ori, contribuția ei la sumă este $n_i{x}_i$, deci

$$\bar{x}=\frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2+\cdots +n_k{x}_k}{n_1+n_2+\cdots +n_k}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n},n=\sum n_i.$$

Exemplu. Notele la teză într-o clasă de $20$ de elevi:

$$\bar{x}=\frac{144}{20}=7,2.$$

Rândul al treilea al tabelului este singurul truc: îl completezi înmulțind rândurile de deasupra, apoi aduni. Verificarea că suma frecvențelor dă $20$ o știi deja de la Colectarea și organizarea datelor. Tabele de frecvențe absolute.

3. Media ponderată

Uneori valorile nu contează la fel de mult. La Bacalaureat, nota finală se obține din notele probelor, fiecare cu coeficientul ei; la media pe semestru, teza cântărește mai mult decât o ascultare. În astfel de situații atribuim fiecărei valori $x_i$ o pondere $p_i$ și calculăm

$${\bar{x}}_p=\frac{p_1{x}_1+p_2{x}_2+\cdots +p_k{x}_k}{p_1+p_2+\cdots +p_k}.$$

Exemplu 1. Un elev are la matematică notele $8$ și $6$ (ponderea $1$ fiecare) și nota $9$ la teză (ponderea $2$):

$${\bar{x}}_p=\frac{1\cdot 8+1\cdot 6+2\cdot 9}{1+1+2}=\frac{32}{4}=8.$$

Exemplu 2. La un concurs, proba scrisă are coeficientul $3$, proba practică $2$, iar proba orală $5$. Un candidat obține $6$, $9$ și, respectiv, $8$:

$${\bar{x}}_p=\frac{3\cdot 6+2\cdot 9+5\cdot 8}{3+2+5}=\frac{18+18+40}{10}=\frac{76}{10}=7,6.$$

Observă că media simplă a celor trei note ar fi fost $\frac{6+9+8}{3}\approx 7,67$ — apropiată, dar diferită. Ponderile contează.

Legătura care merită reținută: media dintr-un tabel de frecvențe este o medie ponderată, în care ponderile sunt chiar frecvențele. Este aceeași formulă, în două haine diferite.

4. Media pentru date grupate pe clase

Când datele au fost grupate, așa cum am făcut la Gruparea datelor pe clase. Histograma, valorile individuale nu se mai văd. Le înlocuim atunci pe toate cele dintr-o clasă cu centrul clasei $c_i$, presupunând că se împart echilibrat în jurul lui:

$$\bar{x}\approx \frac{\sum n_i{c}_i}{n}.$$

Exemplu. Timpii de navetă ai celor $40$ de elevi:

$$\bar{x}\approx \frac{900}{40}=22,5\text{ minute}.$$

Dacă însă adunăm cele $40$ de valori brute, obținem suma $880$ și media exactă

$$\bar{x}=\frac{880}{40}=22\text{ minute}.$$

Cele două rezultate diferă cu o jumătate de minut, și e normal să difere: în clasa $[20,30)$, de exemplu, datele reale nu sunt așezate simetric față de $25$. Semnul $\approx$ nu e o eleganță, ci o obligație: media pe date grupate este o aproximare, iar când ai datele brute la îndemână, folosești datele brute.

5. Două proprietăți care se folosesc des

Proprietatea 1: media se află între valoarea minimă și cea maximă.

$$x_{\min }\le \bar{x}\le x_{\max }.$$

E o verificare instantanee: dacă îți iese o medie a notelor egală cu $11$, ai greșit undeva.

Proprietatea 2: suma abaterilor față de medie este zero.

$$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0.$$

Justificare: $\sum (x_i-\bar{x})=\sum x_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0$, pentru că $\sum x_i=n\bar{x}$ chiar din definiția mediei.

Pe exemplul cu notele $4,6,7,7,7,8,10$ și $\bar{x}=7$: abaterile sunt $-3,-1,0,0,0,1,3$, iar suma lor este $0$ ✓. Proprietatea explică de ce, la Abaterea standard: formulă și interpretare, abaterile se ridică la pătrat înainte de a fi adunate: altfel s-ar anula între ele și n-am măsura nimic.

Două consecințe practice. Dacă adaugi aceeași constantă $a$ la toate datele, media crește cu $a$: notele $4,6,7,7,7,8,10$ mărite cu $2$ dau media $9$. Dacă înmulțești toate datele cu $a$, media se înmulțește cu $a$: dublate, aceleași note dau media $14$. Regula e utilă la schimbări de unitate de măsură (lei în euro, metri în centimetri).

6. Când media minte: valorile extreme

Revenim la salariile de la începutul lecției: $3000$, $3200$, $3400$, $3500$, $3600$, $3800$, $4000$, $4200$, $4300$, $24000$.

$$\bar{x}=\frac{57000}{10}=5700\text{ lei}.$$

Dacă îl înlocuim pe $24000$ cu un salariu obișnuit, să zicem $4500$, suma devine $37500$ și media scade la $3750$ de lei. O singură valoare a mutat media cu aproape $2000$ de lei — pentru că media adună toate valorile, deci fiecare dată își face simțită mărimea, oricât de neobișnuită ar fi.

Indicatorul care rezistă la astfel de valori este mediana: în ambele situații ea rămâne $3700$ de lei, adică exact mijlocul șirului ordonat. O studiem în lecția următoare, Mediana unui set de date.

Regula de decizie, pe care merită să o reții pentru tot restul capitolului:

Dacă datele sunt aproximativ simetrice și fără valori extreme $\Rightarrow$ media descrie bine setul. Dacă apar valori mult diferite de restul (salarii, prețuri de locuințe, timpi de reacție) $\Rightarrow$ media singură induce în eroare; se raportează și mediana.

Nu întâmplător, în presa economică se scrie mereu „salariul median", nu „salariul mediu", atunci când se vorbește despre venitul unui om obișnuit.

7. Cu foaia de calcul

În Excel sau Google Sheets, media simplă se obține cu =AVERAGE(A2:A41) (în versiunea românească a Excel, =MEDIE(A2:A41)). Pentru media dintr-un tabel de frecvențe, în care valorile sunt în coloana A și frecvențele în B, formula elegantă este

=SUMPRODUCT(A2:A7; B2:B7) / SUM(B2:B7),

care înmulțește perechile și adună produsele, adică exact $\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$. Aceeași formulă calculează și o medie ponderată — pui în coloana B ponderile în locul frecvențelor. Pentru date grupate, în coloana A treci centrele claselor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Media unui set mic

Calculați media setului de date $12,15,18,20,25$.

Rezolvare. Suma: $12+15+18+20+25=90$. Numărul de date: $n=5$. Deci

$$\bar{x}=\frac{90}{5}=18.$$

Verificare rapidă: $12\le 18\le 25$ ✓, media se află între extreme.

Exemplul 2 — Media dintr-un tabel de frecvențe

Numărul de frați ai elevilor unei clase este dat de tabelul: $0$ frați — $8$ elevi, $1$ frate — $12$ elevi, $2$ frați — $6$ elevi, $3$ frați — $4$ elevi. Calculați media.

Rezolvare. Efectivul: $n=8+12+6+4=30$ de elevi. Suma produselor:

$$0\cdot 8+1\cdot 12+2\cdot 6+3\cdot 4=0+12+12+12=36.$$

$$\bar{x}=\frac{36}{30}=1,2\text{ frați}.$$

Rezultatul nu e un număr întreg, și e firesc să nu fie: media este un indicator, nu o valoare care trebuie să existe în set.

Exemplul 3 — Media ponderată

La un examen, proba scrisă are coeficientul $3$, proba practică $2$, iar proba orală $5$. Un candidat a obținut notele $6$, $9$ și $8$. Calculați media finală.

Rezolvare.

$${\bar{x}}_p=\frac{3\cdot 6+2\cdot 9+5\cdot 8}{3+2+5}=\frac{18+18+40}{10}=\frac{76}{10}=7,6.$$

Observație. Nota cea mai mare, $9$, are cel mai mic coeficient, iar nota cea mai mică, $6$, are un coeficient mediu. De aceea media ponderată, $7,6$, este puțin mai mică decât media simplă, $\frac{23}{3}\approx 7,67$.

Exemplul 4 — Media pe date grupate

Punctajele a $50$ de elevi la un test sunt grupate în clasele $[0,20)$, $[20,40)$, $[40,60)$, $[60,80)$, $[80,100)$, cu frecvențele $4$, $9$, $17$, $14$, $6$. Calculați media.

Rezolvare. Centrele claselor: $10$, $30$, $50$, $70$, $90$. Produsele:

$$4\cdot 10+9\cdot 30+17\cdot 50+14\cdot 70+6\cdot 90=40+270+850+980+540=2680.$$

$$\bar{x}\approx \frac{2680}{50}=53,6\text{ puncte}.$$

Verificare: $53,6$ se află în clasa cu cei mai mulți elevi, $[40,60)$ — plauzibil ✓.

Exemplul 5 — Media a două grupuri reunite

Clasa A are $25$ de elevi, cu media $23,8$ ore de studiu pe lună; clasa B are tot $25$ de elevi, cu media $19$ ore. Care este media celor $50$ de elevi împreună? Dar dacă prima clasă ar avea $12$ elevi cu media $8$, iar a doua $18$ elevi cu media $7$?

Rezolvare. Media a două grupuri nu este media mediilor decât dacă grupurile au același efectiv. Corect se procedează prin sume:

$$\bar{x}=\frac{25\cdot 23,8+25\cdot 19}{50}=\frac{595+475}{50}=\frac{1070}{50}=21,4\text{ ore}.$$

Aici grupurile fiind egale, rezultatul coincide cu media mediilor. În al doilea caz nu mai coincide:

$$\bar{x}=\frac{12\cdot 8+18\cdot 7}{12+18}=\frac{96+126}{30}=\frac{222}{30}=7,4,$$

în timp ce media mediilor ar fi dat $7,5$. Reține: media reunită este o medie ponderată cu efectivele.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat

Media a șase note ale unui elev este $7,5$. Cinci dintre note sunt $6$, $7$, $8$, $8$, $9$. Determinați a șasea notă. Arătați apoi că suma abaterilor tuturor celor șase note față de medie este zero.

Rezolvare. Din definiția mediei, suma celor șase note este

$$S=6\cdot 7,5=45.$$

Suma celor cinci note cunoscute: $6+7+8+8+9=38$. Deci a șasea notă este $45-38=7$.

Pentru a doua cerință, abaterile față de $7,5$ sunt:

$$-1,5;-0,5;0,5;0,5;1,5;-0,5.$$

Suma: $(-1,5-0,5-0,5)+(0,5+0,5+1,5)=-2,5+2,5=0$ ✓, exact ce prezice proprietatea demonstrată în lecție.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. La fiecare medie calculată, verifică dacă rezultatul se află între valoarea minimă și cea maximă a setului.

1. Calculează media setului $3,5,8,9,10$.

2. Calculează media setului $12,15,18,20,25$.

3. Un elev are notele $4$, $6$, $7$, $7$, $7$, $8$, $10$. Calculează media și verifică faptul că suma abaterilor față de ea este zero.

4. Într-o clasă de $20$ de elevi, notele la teză au fost: nota $5$ — $2$ elevi, $6$ — $4$, $7$ — $6$, $8$ — $5$, $9$ — $2$, $10$ — $1$. Calculează media clasei.

5. Numărul de frați: $0$ frați — $8$ elevi, $1$ frate — $12$, $2$ frați — $6$, $3$ frați — $4$. Calculează media.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Media unui set de date este întotdeauna una dintre valorile setului."

7. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă adunăm $5$ la fiecare dată a unui set, media crește tot cu $5$."

8. Un elev are notele $8$ și $6$ cu ponderea $1$ și nota $9$ cu ponderea $2$. Calculează media ponderată.

9. (Problemă aplicată.) La un concurs, probele au coeficienții $3$, $2$ și $5$, iar un candidat obține $6$, $9$ și $8$. Calculează media ponderată și compar-o cu media simplă a celor trei note.

10. Punctajele a $50$ de elevi sunt grupate în clasele $[0,20)$, $[20,40)$, $[40,60)$, $[60,80)$, $[80,100)$, cu frecvențele $4$, $9$, $17$, $14$, $6$. Calculează media pe date grupate.

11. Masele a $25$ de sportivi sunt grupate în clasele $[45,50)$, $[50,55)$, $[55,60)$, $[60,65)$, $[65,70)$, $[70,75)$, cu frecvențele $3$, $4$, $7$, $6$, $3$, $2$. Calculează media pe date grupate.

12. Media a șase note este $7,5$, iar cinci dintre ele sunt $6$, $7$, $8$, $8$, $9$. Determină a șasea notă.

13. (Problemă aplicată.) O grupă de $12$ elevi are media $8$, iar altă grupă, de $18$ elevi, are media $7$. Calculează media celor $30$ de elevi împreună și explică de ce nu este $7,5$.

14. (Problemă aplicată.) Salariile a zece angajați sunt $3000$, $3200$, $3400$, $3500$, $3600$, $3800$, $4000$, $4200$, $4300$ și $24000$ de lei. Calculează media. Recalculeaz-o înlocuind ultimul salariu cu $4500$ de lei și comentează diferența.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat.) Media aritmetică a numerelor $x$, $12$, $15$ și $21$ este egală cu $16$. Determinați numărul $x$.

16. Temperaturile înregistrate în $15$ zile au fost $4$, $6$, $7$, $9$, $11$, $12$, $13$, $14$, $16$, $17$, $18$, $19$, $21$, $22$, $24$ (grade Celsius). Calculează media.

17. (Problemă aplicată.) Într-o foaie de calcul, valorile sunt în A2:A7, iar frecvențele lor în B2:B7. Scrie formula care calculează media și explică ce face fiecare parte a ei.

18. (Provocare.) Un set de date grupate pe clase are media pe date grupate egală cu $22,5$, în timp ce media calculată din datele brute este $22$. Explică de unde vine diferența și în ce caz particular cele două valori ar coincide exact.

Răspunsuri și explicații

1. Suma este $3+5+8+9+10=35$, iar $n=5$, deci $\bar{x}=\frac{35}{5}=7$.

2. Suma este $90$, $n=5$, deci $\bar{x}=\frac{90}{5}=18$. Într-adevăr, $12\le 18\le 25$ ✓.

3. Suma notelor: $4+6+7+7+7+8+10=49$, deci $\bar{x}=\frac{49}{7}=7$. Abaterile: $-3$, $-1$, $0$, $0$, $0$, $1$, $3$; suma lor: $-3-1+1+3=0$ ✓.

4. Produsele $n_i{x}_i$: $10$, $24$, $42$, $40$, $18$, $10$, cu suma $144$. Efectivul: $2+4+6+5+2+1=20$. Media: $\bar{x}=\frac{144}{20}=7,2$.

5. $n=30$; suma produselor: $0\cdot 8+1\cdot 12+2\cdot 6+3\cdot 4=36$; media: $\frac{36}{30}=1,2$ frați.

6. Fals. Media este un indicator calculat, nu neapărat o valoare observată. Media numărului de frați a ieșit $1,2$, deși niciun elev nu are $1,2$ frați. Media coincide cu o valoare din set doar întâmplător.

7. Adevărat. Dacă fiecare $x_i$ devine $x_i+5$, suma crește cu $5n$, deci media crește cu $\frac{5n}{n}=5$. La fel, înmulțind toate datele cu un număr, media se înmulțește cu acel număr.

8. ${\bar{x}}_p=\frac{1\cdot 8+1\cdot 6+2\cdot 9}{1+1+2}=\frac{32}{4}=8$.

9. Media ponderată: $\frac{3\cdot 6+2\cdot 9+5\cdot 8}{10}=\frac{76}{10}=7,6$. Media simplă: $\frac{6+9+8}{3}=\frac{23}{3}\approx 7,67$. Media ponderată e mai mică pentru că nota cea mai mare, $9$, are cel mai mic coeficient.

10. Centrele: $10$, $30$, $50$, $70$, $90$. Suma produselor: $40+270+850+980+540=2680$. Media: $\frac{2680}{50}=53,6$ puncte.

11. Centrele: $47,5$; $52,5$; $57,5$; $62,5$; $67,5$; $72,5$. Produsele: $142,5$; $210$; $402,5$; $375$; $202,5$; $145$, cu suma $1477,5$. Media: $\frac{1477,5}{25}=59,1$ kg.

12. Suma celor șase note este $6\cdot 7,5=45$; suma celor cinci cunoscute este $38$; a șasea notă este $45-38=7$.

13. Suma tuturor notelor: $12\cdot 8+18\cdot 7=96+126=222$; efectivul: $30$; media: $\frac{222}{30}=7,4$. Nu este $7,5$ pentru că grupele au efective diferite: grupa mai numeroasă, cea cu media $7$, „trage" rezultatul spre ea. Media reunită este o medie ponderată cu efectivele, nu media mediilor.

14. Suma: $57000$ de lei, deci $\bar{x}=5700$ de lei. Cu ultimul salariu de $4500$: suma devine $37500$, iar media $3750$ de lei. O singură valoare a schimbat media cu $1950$ de lei, adică peste o treime din ea — ilustrarea perfectă a sensibilității mediei la valori extreme. În primul caz, media nu descrie corect echipa: nouă din zece angajați câștigă sub ea.

15. Din definiția mediei, $\frac{x+12+15+21}{4}=16$, deci $x+48=64$ și $x=16$.

16. Suma temperaturilor este $213$, iar $n=15$, deci $\bar{x}=\frac{213}{15}=14,2$ grade Celsius.

17. =SUMPRODUCT(A2:A7; B2:B7) / SUM(B2:B7). Funcția SUMPRODUCT înmulțește fiecare valoare cu frecvența ei și adună toate produsele, adică realizează $\sum n_i{x}_i$; SUM(B2:B7) calculează efectivul total $n$; împărțirea dă chiar formula mediei dintr-un tabel de frecvențe.

18. Diferența vine din faptul că, la date grupate, toate valorile unei clase sunt înlocuite cu centrul ei. În realitate, datele nu sunt așezate simetric în interiorul fiecărei clase — la timpii de navetă, de exemplu, valorile din clasa $[20,30)$ se înghesuie mai mult spre capătul de jos, așa că centrul $25$ le supraevaluează. Cele două valori ar coincide exact dacă, în fiecare clasă, media datelor reale ar fi chiar centrul clasei — de pildă, dacă datele ar fi perfect simetrice în raport cu mijlocul fiecărui interval.

De reținut

• Media aritmetică: $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$; dintr-un tabel de frecvențe, $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$, unde $n=\sum n_i$.
• Media ponderată: ${\bar{x}}_p=\frac{\sum p_i{x}_i}{\sum p_i}$ — aceeași formulă, cu ponderi în locul frecvențelor; așa se calculează media generală și mediile cu coeficienți.
• Pe date grupate, valorile se înlocuiesc cu centrele claselor: $\bar{x}\approx \frac{\sum n_i{c}_i}{n}$ — rezultatul este o aproximare.
• Media se află întotdeauna între $x_{\min }$ și $x_{\max }$, iar suma abaterilor față de medie este zero: $\sum (x_i-\bar{x})=0$.
• Media este sensibilă la valori extreme; când setul conține astfel de valori, ea se raportează împreună cu mediana.

Greșeli frecvente

• Împărțirea la numărul de valori distincte, nu la efectiv. La un tabel de frecvențe, numitorul este $n=\sum n_i$ (aici $20$ de elevi), nu numărul de rânduri ale tabelului (aici $6$ note diferite).
• Media mediilor. Pentru două grupuri de efective diferite, media reunită nu este media celor două medii. Se adună sumele și se împarte la efectivul total: $\frac{12\cdot 8+18\cdot 7}{30}=7,4$, nu $7,5$.
• Uitarea ponderilor la numitor. La media ponderată se împarte la suma ponderilor, nu la numărul de note. Cu coeficienții $3$, $2$, $5$, numitorul este $10$, nu $3$.
• Prezentarea mediei pe date grupate drept valoare exactă. Ea este o aproximare, obținută înlocuind datele cu centrele claselor. Când ai datele brute, calculezi media din ele.
• Folosirea mediei acolo unde ea induce în eroare. La salarii, prețuri de locuințe sau timpi de așteptare, câteva valori extreme deformează media. Se raportează și mediana, iar concluzia se formulează cu prudență.

Aplică acasă

1. Media ta reală. Ia notele tale de la o materie și calculează media simplă. Apoi recalculeaz-o dând tezei ponderea $2$ și celorlalte note ponderea $1$. Compară cele două valori și scrie o frază despre cât de mult contează teza.

2. Cumpărăturile familiei. Notează, timp de o săptămână, valoarea fiecărui bon de cumpărături din casă. Calculează media. Verifică dacă există un bon mult mai mare decât celelalte (o cumpărătură mare) și recalculează media fără el. Diferența îți arată concret ce înseamnă o valoare extremă.

3. Media în foaia de calcul. Introdu într-o foaie de calcul un tabel de frecvențe cu notele clasei tale și calculează media în două feluri: cu AVERAGE pe lista desfășurată a tuturor notelor și cu SUMPRODUCT pe tabelul de frecvențe. Cele două rezultate trebuie să coincidă — dacă nu, ai greșit undeva frecvențele.

Pentru părinți și profesori

Media aritmetică este cunoscută de elevi din gimnaziu, dar lecția de față îi adaugă trei straturi noi, toate cerute de programă (X.CS.3.3): calculul din tabel de frecvențe, media ponderată și media pe date grupate. Al patrulea strat este cel critic: judecata asupra rezultatului. Elevul trebuie să iasă din lecție știind că o medie corect calculată poate descrie prost realitatea.

Ce verificați în caietul elevului: (1) la tabelele de frecvențe împarte la efectivul total, nu la numărul de rânduri; (2) la media ponderată împarte la suma ponderilor; (3) la datele grupate scrie semnul $\approx$ și folosește centrele claselor; (4) verifică dacă media obținută se află între valoarea minimă și cea maximă. Întrebări bune de control: „De ce media a două clase nu e media mediilor?"; „Ce se întâmplă cu media dacă adaug $10$ la fiecare valoare?"; „De ce se scrie în presă «salariul median» și nu «salariul mediu»?".

La Bacalaureat, media apare în formulări scurte de tip „media aritmetică a numerelor … este …; determinați …", rezolvabile printr-o ecuație de gradul întâi, precum și în probleme cu tabele de frecvențe. Semne că elevul a înțeles: recunoaște tabelul de frecvențe ca pe o medie ponderată, folosește proprietatea sumei abaterilor pentru verificare și sesizează singur când un set conține o valoare extremă.

Întrebări frecvente

Cum se calculează media unui set de date statistice? Aduni toate valorile și împarți la numărul lor: $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$. Dacă valorile se repetă, folosești formula cu frecvențe, $\bar{x}=\frac{\sum n_i{x}_i}{n}$, care dă exact același rezultat, dar cu mult mai puține adunări.

Care este diferența dintre media aritmetică și media ponderată? La media aritmetică toate valorile contează la fel; la media ponderată fiecare valoare are o pondere (un coeficient) care arată cât cântărește. Formula devine ${\bar{x}}_p=\frac{\sum p_i{x}_i}{\sum p_i}$. Media dintr-un tabel de frecvențe este, de fapt, o medie ponderată cu frecvențele.

Cum calculez media când datele sunt grupate pe clase? Înlocuiești fiecare clasă cu centrul ei $c_i=\frac{a+b}{2}$, înmulțești centrele cu frecvențele, aduni și împarți la efectiv: $\bar{x}\approx \frac{\sum n_i{c}_i}{n}$. Rezultatul este aproximativ, pentru că valorile reale din fiecare clasă nu sunt așezate exact simetric în jurul centrului.

De ce este suma abaterilor față de medie egală cu zero? Pentru că $\sum (x_i-\bar{x})=\sum x_i-n\bar{x}$, iar din definiția mediei $\sum x_i=n\bar{x}$. Practic, abaterile negative (valorile sub medie) compensează exact abaterile pozitive — media este punctul de echilibru al datelor.

De ce media poate induce în eroare? Pentru că adună toate valorile, deci o singură valoare foarte mare sau foarte mică o deplasează semnificativ. La zece salarii dintre care unul de $24000$ de lei, media iese $5700$ de lei, deși nouă angajați din zece câștigă sub $4400$. În astfel de situații se raportează și mediana.

Media a două clase este media celor două medii? Numai dacă cele două clase au același număr de elevi. În general se adună sumele și se împarte la efectivul total: pentru $12$ elevi cu media $8$ și $18$ elevi cu media $7$, media reunită este $\frac{222}{30}=7,4$, nu $7,5$.

Ce se întâmplă cu media dacă modific toate datele la fel? Dacă adaugi o constantă $a$ la fiecare dată, media crește cu $a$. Dacă înmulțești toate datele cu $a$, media se înmulțește cu $a$. Proprietățile sunt utile la schimbarea unității de măsură — de exemplu, la trecerea de la lei la euro.