Cum aflu temperatura unui amestec de apă?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Media aritmetică și ponderată

Faci media temperaturilor ponderată cu masele, dacă vasul nu pierde căldură și e aceeași substanță. La apă, masele sunt proporționale cu volumele. Exemplu: $3$ L de apă la $15$ °C amestecați cu $1$ L la $75$ °C dau $t = \frac{3 \cdot 15 + 1 \cdot 75}{3 + 1} = \frac{120}{4} = 30$ °C. Rezultatul e mai aproape de $15$ °C, pentru că apa rece e mai multă; media simplă, $45$ °C, ar fi greșită.

Media aritmetică este suma valorilor împărțită la câte valori sunt. Are unitatea de măsură a datelor și nu poate ieși nici sub minim, nici peste maxim; în laborator ea este numărul raportat după mai multe măsurători ale aceleiași mărimi.

Controlul abaterilor. Diferențele dintre fiecare valoare și medie au suma zero, oricare ar fi datele. Dacă suma lor nu iese zero, media a fost calculată greșit.

Media ponderată. Când valorile nu contează la fel, fiecare se înmulțește cu ponderea ei, iar suma se împarte la suma ponderilor. Media dintr-un tabel de frecvențe este un caz particular, în care frecvențele joacă rolul ponderilor. Exemple din științe: masa atomică se obține cu proporțiile izotopilor, temperatura unui amestec cu masele, viteza medie cu duratele.

Date grupate. Fiecare clasă se înlocuiește cu centrul ei, iar rezultatul este o estimare, scrisă cu $\approx$ .

Transformări. O translație a tuturor datelor mută media cu aceeași cantitate, iar o schimbare de scară o înmulțește cu același factor. O singură valoare foarte depărtată poate muta media mult.

De reținut

media ponderată: $\frac{p _{1} x _{1} + \dots + p _{k} x _{k}}{p _{1} + \dots + p _{k}}$
la amestecuri de aceeași substanță, ponderile sunt masele
media a două grupe se ponderează cu efectivele lor

Greșeala tipică

Se face media simplă a temperaturilor, $\frac{15 + 75}{2} = 45$ °C, ignorând cantitățile; cu $3$ L de apă rece și $1$ L de apă caldă, temperatura este $30$ °C.

Exerciții din această mini-lecție

Media aritmetică a numerelor $12$ , $15$ , $19$ și $22$ este:
- a) $17$
- b) $68$
- c) $16, 5$
- d) $19$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $17$

Suma este $12 + 15 + 19 + 22 = 68$ , iar $\frac{68}{4} = 17$ . Numărul $68$ este suma, nu media.
Suma abaterilor unor date față de media lor este întotdeauna:
- a) egală cu media
- b) egală cu numărul datelor
- c) $0$
- d) $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $0$

Suma valorilor este $n \overset{x}{ˉ}$ , iar din ea se scade de $n$ ori $\overset{x}{ˉ}$ ; rezultatul este $0$ pentru orice set.
Valorile $2$ , $4$ și $6$ au frecvențele $5$ , $3$ și $2$ . Media setului este:
- a) $4$
- b) $3, 4$
- c) $12$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3, 4$

Media ponderată cu frecvențele: $\frac{2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 6 \cdot 2}{5 + 3 + 2} = \frac{34}{10} = 3, 4$ . Media simplă a valorilor, $4$ , ignoră frecvențele.

Întrebări conexe

Cum aflu o valoare lipsă când știu media?

Refaci suma din medie și scazi valorile cunoscute. Dacă media a cinci măsurători este $12$ , suma lor este $5 \cdot 12 = 60$ . Cu patru valori cunoscute, $10$ , $14$ , $9$ și $15$ , cu suma $48$ , a cincea este $60 - 48 = 12$ .

Cum influențează o valoare aberantă media?

O singură valoare foarte depărtată mută media mult. Măsurătorile $4, 1$ ; $4, 3$ ; $4, 2$ ; $4, 4$ au media $4, 25$ , iar adăugând greșit $9, 0$ , media devine $\frac{26}{5} = 5, 2$ , peste toate valorile corecte. De aceea o valoare suspectă se verifică înainte de medie.

Cum calculez media a două grupe cu efective diferite?

Ponderezi mediile cu efectivele. O grupă de $20$ de elevi cu media $7, 5$ și una de $30$ de elevi cu media $8$ au împreună media $\frac{20 \cdot 7 , 5 + 30 \cdot 8}{50} = \frac{390}{50} = 7, 8$ , nu $7, 75$ , cât ar da media simplă a celor două medii.

Cum estimez media dacă datele sunt grupate pe clase?

Înlocuiești fiecare clasă cu centrul ei și faci media ponderată cu frecvențele. Pentru clasele $[10, 20)$ , $[20, 30)$ , $[30, 40)$ cu frecvențele $4$ , $10$ , $6$ , centrele sunt $15$ , $25$ , $35$ , deci $\overset{x}{ˉ} \approx \frac{60 + 250 + 210}{20} = 26$ .

Cum se schimbă media dacă schimb unitatea de măsură?

Media urmează aceeași transformare ca datele. Dacă temperaturile au media $20$ °C, în grade Fahrenheit, cu $F = 1, 8 C + 32$ , media devine $1, 8 \cdot 20 + 32 = 68$ °F. O translație mută media, iar o schimbare de scară o înmulțește.

Oamenii mai întreabă și: temperatura finală a unui amestec de apă caldă și rece · media ponderată la amestecuri · cum calculez temperatura după amestecare · amestec de apă la temperaturi diferite