Pentru un sistem cu $$\Delta=\begin{vmatrix}2&5&1\\3&1&4\\1&2&2\end{vmatrix}$$ și coloana termenilor liberi $$B=\begin{pmatrix}7\\9\\5\end{pmatrix}$$, care determinant este $$\Delta_2$$?

$$\begin{vmatrix}2&7&1\\3&9&4\\1&5&2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}2&5&1\\7&9&5\\1&2&2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}7&5&1\\9&1&4\\5&2&2\end{vmatrix}$$

$$\begin{vmatrix}7&7&1\\9&9&4\\5&5&2\end{vmatrix}$$

Ce este un sistem de tip Cramer?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Metoda lui Cramer

Un sistem se numește de tip Cramer dacă numărul ecuațiilor este egal cu numărul necunoscutelor, iar $det A \neq = 0$ . Atunci are soluție unică, iar fiecare necunoscută este un raport de determinanți: $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ . De exemplu, $2 x + y = 7$ , $x - y = - 1$ are $Δ = - 3$ , $Δ_{x} = - 6$ și $Δ_{y} = - 9$ , deci $x = 2$ și $y = 3$ . Proba: $4 + 3 = 7$ și $2 - 3 = - 1$ .

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029: programa de examen din 2014 cere metoda lui Cramer la clasa a XI-a, iar programa nouă a coborât capitolul de sisteme mai târziu.

Un sistem este de tip Cramer când numărul ecuațiilor e egal cu al necunoscutelor și matricea lui are determinant nenul. Cele două condiții nu se despart: prima face tabloul pătratic, a doua îngăduie împărțirea de la final. Un sistem ca acesta are soluție unică, iar fiecare necunoscută iese ca raport de doi determinanți, cu $Δ$ mereu la numitor.

Determinantul principal $Δ$ este cel al matricei sistemului. Fiecare auxiliar $Δ_{k}$ se construiește pornind din tabloul lui $Δ$ , nu din cel dinainte: pleacă doar coloana a $k$ -a, iar pe locul ei vin termenii liberi, copiați de sus în jos, așa cum sunt scrise ecuațiile. La trei necunoscute se calculează patru determinanți.

Ce nu spune regula contează la fel de mult. Un $Δ$ nul înseamnă numai că metoda nu se aplică: sistemul poate fi fără soluții sau cu o infinitate, iar deosebirea se face cercetând ecuațiile. Un auxiliar nul, atunci când $Δ \neq = 0$ , nu strică nimic: arată doar că necunoscuta lui are valoarea zero. Rezultatele fracționare sunt firești și se lasă ca fracții ordinare, iar controlul care nu poate fi păcălit este substituția în sistemul inițial.

De reținut

tip Cramer: sistem pătratic cu $Δ \neq = 0$
$x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , unde $Δ_{x}$ are coloana lui $x$ înlocuită cu termenii liberi
$Δ = 0$ și un $Δ_{x} \neq = 0$ : sistem incompatibil

Greșeala tipică

Se înlocuiește o linie a lui $Δ$ cu termenii liberi în loc de o coloană; fiecare necunoscută are coloana ei, deci termenii liberi intră pe coloană.

Exerciții din această mini-lecție

Pentru un sistem cu $Δ = 231512142$ și coloana termenilor liberi $B = 795$ , care determinant este $Δ_{2}$ ?
- a) $271592152$
- b) $231795142$
- c) $795512142$
- d) $795795142$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $231795142$

Indicele lui $Δ_{k}$ arată ce coloană pleacă din tablou, iar pe locul ei vin termenii liberi, în de sus în jos, ca ecuațiile. La $Δ_{2}$ pleacă a doua coloană, restul rămâne neatins: $Δ_{2} = 231795142$ . Varianta a) înlocuiește o linie, c) prima coloană, iar d) înlocuiește două coloane deodată — acel determinant are două coloane identice, deci este $0$ .
Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul ${7 x + 4 y = 24 5 x + 3 y = 17$ .
- a) $x = 4$ , $y = - 1$
- b) $x = - 1$ , $y = 4$
- c) $x = \frac{1}{4}$ , $y = - 1$
- d) $x = 4$ , $y = 1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $x = 4$ , $y = - 1$

$Δ = 21 - 20 = 1 \neq = 0$ , deci sistemul este de tip Cramer. Apoi $Δ_{1} = 241743 = 72 - 68 = 4$ și $Δ_{2} = 752417 = 119 - 120 = - 1$ , de unde $x = \frac{4}{1} = 4$ și $y = \frac{- 1}{1} = - 1$ . Verificare: $28 - 4 = 24$ și $20 - 3 = 17$ . Varianta b) schimbă necunoscutele între ele, c) răstoarnă raportul la $x$ , iar d) pierde semnul lui $y$ .
Pentru sistemul $⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y + 2 z = 2 x + 2 y + 4 z = - 1 2 x + 3 y + 5 z = 1$ , cu $Δ = - 5$ , cât este $Δ_{3}$ ?
- a) $- 5$
- b) $15$
- c) $10$
- d) $0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $10$

A treia coloană a tabloului lui $Δ$ se înlocuiește cu termenii liberi: $Δ_{3} = 312123 2 - 1 1 = (6 - 2 + 6) - (8 - 9 + 1) = 10 - 0 = 10$ . Controlul: $z = \frac{10}{- 5} = - 2$ , iar tripletul $(1, 3, - 2)$ verifică toate cele trei ecuații. Varianta a) confundă auxiliarul cu determinantul principal; b) înlocuiește a treia linie și dă $15$ ; d) pornește din tabloul lui $Δ_{1}$ , greșeala pe care o trădează un determinant nul.

Întrebări conexe

Este de tip Cramer un sistem cu 2 ecuații și 3 necunoscute?

Nu: matricea lui are formatul $2 \times 3$ , nu este pătratică, deci nu are determinant. Un astfel de sistem, dacă este compatibil, are de obicei o infinitate de soluții, iar o necunoscută rămâne ca parametru.

Cum calculez $Δ_{z}$ la un sistem cu trei necunoscute?

Înlocuiești a treia coloană a lui $Δ$ cu termenii liberi. Pentru $x + y + z = 6$ , $x - y + z = 2$ , $x + y - z = 0$ : $Δ = 4$ și $Δ_{z} = 111 1 - 1 1 620 = 12$ , deci $z = 3$ . Apoi rezultă $x = 1$ și $y = 2$ , iar proba în prima ecuație dă $1 + 2 + 3 = 6$ .

Pentru ce m este de tip Cramer un sistem cu parametru?

Ceri ca determinantul să fie nenul. Pentru $m x + 2 y = 1$ , $2 x + m y = 3$ , $Δ = m^{2} - 4$ , care se anulează în $m = \pm 2$ . Sistemul este de tip Cramer pentru $m \in R ∖ {- 2, 2}$ , adică pentru toate celelalte valori.

Ce aflu dacă Δ = 0, dar un determinant auxiliar este nenul?

Sistemul este incompatibil. Orice soluție ar trebui să verifice $Δ \cdot x = Δ_{x}$ , adică $0 = Δ_{x}$ . Pentru $x + y = 2$ , $2 x + 2 y = 5$ : $Δ = 0$ , iar $Δ_{x} = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = - 1 \neq = 0$ , deci sistemul nu are soluții. Geometric, cele două ecuații sunt drepte paralele.

Cum aflu curenții dintr-un circuit cu metoda lui Cramer?

Legile lui Kirchhoff dau un sistem liniar în curenți. Pentru $I_{1} - I_{2} = 1$ și $2 I_{1} + 3 I_{2} = 12$ : $Δ = 5$ , $Δ_{1} = 15$ , $Δ_{2} = 10$ , deci $I_{1} = 3$ A și $I_{2} = 2$ A. Verificare: $3 - 2 = 1$ și $6 + 6 = 12$ .

Oamenii mai întreabă și: sistem de tip Cramer definiție · când este un sistem de tip Cramer · condițiile unui sistem Cramer · sistem Cramer determinant nenul