Metoda lui Cramer, la cel mult 3 necunoscute (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un elev de clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), care a scris deja un sistem sub forma matriceală $A X = B$ ajunge repede la întrebarea practică: cum scot numerele din el, fără substituții care se încurcă? Răspunsul cerut de programa de examen este o rețetă care nu are nevoie de nicio idee nouă — doar de determinanți, pe care îi calculezi deja. Fiecare necunoscută iese ca raport a două numere, iar la bacalaureatul M2 tema apare la Subiectul al II-lea.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: metoda lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare este cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014) la clasa a XI-a, deși în programa nouă capitolul de sisteme s-a mutat la clasa a XII-a. Numele vine de la Gabriel Cramer, matematician din Geneva, care a tipărit formulele în anul 1750; metoda are un farmec anume: odată pornită, merge singură, fără să ceară vreo alegere inspirată. În schimb, cere răbdare la semne — iar acolo se strecoară greșelile.

Ce vei învăța

Vei ști ce înseamnă că un sistem este de tip Cramer și de ce cele două condiții din definiție nu se pot despărți.
Vei ști să scrii determinantul principal și pe cei auxiliari, schimbând de fiecare dată coloana care trebuie.
Vei ști să afli fiecare necunoscută ca raport de doi determinanți, la sisteme cu două și cu trei necunoscute.
Vei ști ce se poate spune despre un sistem când determinantul principal se anulează și ce nu se poate spune.
Vei ști să discuți, după un parametru, dacă metoda se poate aplica.
Vei ști trei controale scurte care prind o greșeală de determinant înainte să-ți strice tot exercițiul.

Hai să descoperim împreună

1. De unde apar determinanții când rezolvi prin reducere?

Luăm un sistem mărunt și îl rezolvăm cum ai învățat în gimnaziu, prin reducere, dar urmărind ce numere se formează pe drum:

${3 x + 2 y = 12 5 x + 4 y = 22$

Eliminăm necunoscuta $y$ amplificând prima ecuație cu $4$ , a doua cu $2$ , apoi scăzându-le: rămâne $(12 - 10) x = 48 - 44$ , adică $2 x = 4$ și $x = 2$ . Ca să-l eliminăm pe $x$ procedăm la fel, cu $5$ și cu $3$ , scăzând de data asta în ordine inversă: $(12 - 10) y = 66 - 60$ , deci $2 y = 6$ și $y = 3$ . Verificarea în ambele ecuații: $6 + 6 = 12$ și $10 + 12 = 22$ .

Privește acum cele trei numere care au apărut: $2$ , $4$ și $6$ . Primul, $12 - 10$ , este chiar determinantul matricei sistemului. Al doilea, $48 - 44$ , este determinantul aceleiași matrice în care coloana lui $x$ a fost înlocuită cu coloana termenilor liberi. Al treilea, $66 - 60$ , este același determinant cu coloana lui $y$ înlocuită:

$3524 = 2, 122224 = 4, 351222 = 6.$

Nu a fost o coincidență: reducerea produce de fiecare dată aceleași combinații de coeficienți, oricare ar fi numerele, iar ele se scriu cel mai scurt ca determinanți. De aici, numele temei. Sistemul de tip Cramer este sistemul liniar care are numărul ecuațiilor egal cu cel al necunoscutelor și determinantul matricei sale diferit de zero. Cele două condiții merg împreună: prima face tabloul pătratic, deci înzestrat cu determinant, a doua îngăduie împărțirea de la final.

2. Ce sunt determinantul principal și cei auxiliari?

Determinantul principal al unui sistem pătratic este determinantul matricei sistemului și se notează $Δ$ . Pentru fiecare necunoscută se construiește apoi câte un determinant auxiliar: în $Δ_{1}$ prima coloană se dă la o parte, iar pe locul ei vine coloana $B$ ; în $Δ_{2}$ pleacă a doua coloană, în $Δ_{3}$ a treia. Restul coloanelor rămân neatinse, iar termenii liberi se copiază în ordinea ecuațiilor.

Rețeta se reține ușor: indicele lui $Δ_{k}$ arată ce coloană pleacă din tablou. La un sistem cu trei necunoscute ai deci de calculat patru determinanți de ordinul $3$ : $Δ$ , $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ , $Δ_{3}$ . La unul cu două necunoscute, trei determinanți de ordinul $2$ .

O precizare de notație, ca să nu se ciocnească simbolurile. În lecția despre inversa unei matrice, $Δ_{ij}$ — cu doi indici — era minorul obținut ștergând o linie și o coloană. Aici indicele este unul singur și numără necunoscuta, nu o poziție din tablou. Sunt obiecte diferite, chiar dacă poartă aceeași literă grecească.

3. Regula lui Cramer

Pentru un sistem cu două necunoscute, calculul din §1 a arătat deja totul: reducerea dă $Δ \cdot x = Δ_{1}$ și $Δ \cdot y = Δ_{2}$ , iar dacă $Δ \neq = 0$ se poate împărți. Pentru trei necunoscute, calculul este de același fel, doar mai lung, iar programa de științe nu îl cere scris. Enunțul se reține ca atare:

Regula lui Cramer. Dacă un sistem liniar are tot atâtea ecuații câte necunoscute și $Δ \neq = 0$ , atunci el are exact o soluție, iar necunoscutele se află cu formulele $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ .

Regula spune două lucruri deodată, și amândouă contează la examen: că soluția există, și că este unică. De aceea, la o cerință de tipul „arătați că sistemul are soluție unică", răspunsul complet este calculul lui $Δ$ însoțit de constatarea că nu e zero — nu mai e nevoie să rezolvi.

Ce nu spune regula este la fel de important: ea nu se aplică sistemelor cu mai multe ecuații decât necunoscute și nici celor cu $Δ = 0$ . Aparatul care tratează aceste cazuri — rangul unei matrice și teoremele de compatibilitate — aparține traseului de mate-info, iar în programa nouă abia clasei a XII-a.

4. Un sistem cu trei necunoscute, dus până la capăt

$⎩ ⎨ ⎧ 4 x + 3 y + 2 z = 23 5 x + 2 y + z = 21 3 x + 2 y + z = 15$

Ordinea de lucru nu se schimbă niciodată: întâi determinantul principal, abia apoi ceilalți. Folosim regula lui Sarrus, bună numai la ordinul $3$ și la niciun altul:

$Δ = 453322211 = (8 + 9 + 20) - (12 + 8 + 15) = 37 - 35 = 2.$

Fiind nenul, sistemul este de tip Cramer și are soluție unică. Schimbăm acum, pe rând, câte una dintre coloane cu cea a termenilor liberi, pornind de fiecare dată din tabloul lui $Δ$ , nu din cel dinainte:

$Δ_{1} = 232115322211 = 6, Δ_{2} = 453232115211 = 2, Δ_{3} = 453322232115 = 8.$

De pildă, pentru $Δ_{1}$ : $(46 + 45 + 84) - (60 + 46 + 63) = 175 - 169 = 6$ . Împărțind, $x = \frac{6}{2} = 3$ , $y = \frac{2}{2} = 1$ , $z = \frac{8}{2} = 4$ .

Verificarea, obligatorie, în toate cele trei ecuații: $12 + 3 + 8 = 23$ ; $15 + 2 + 4 = 21$ ; $9 + 2 + 4 = 15$ . Soluția este, așadar, $x = 3$ , $y = 1$ , $z = 4$ .

5. Ce faci când determinantul principal este zero?

Te oprești — dar nu tragi nicio concluzie pripită. Un $Δ$ nul înseamnă doar că metoda nu se aplică: împărțirea de la final n-ar avea sens. Sistemul poate fi în oricare dintre cele două situații rămase, și numai cercetarea ecuațiilor le deosebește.

Ia $2 x + 6 y = 5$ împreună cu $3 x + 9 y = 8$ . Determinantul este $18 - 18 = 0$ . Înmulțind prima ecuație cu $\frac{3}{2}$ obținem $3 x + 9 y = 7, 5$ , în contradicție cu $8$ : sistemul este incompatibil. Dacă însă a doua ecuație ar fi fost $3 x + 9 y = 7, 5$ , ea ar fi repetat-o pe prima, iar sistemul ar fi avut o infinitate de soluții.

Reține și greșeala simetrică, la fel de frecventă: dacă $Δ \neq = 0$ , iar un auxiliar iese $0$ , nu s-a stricat nimic. Înseamnă pur și simplu că necunoscuta respectivă este nulă. La un sistem cu $Δ = 7$ și $Δ_{1} = 0$ avem $x = 0$ , iar sistemul rămâne compatibil determinat.

6. Cum discuți un sistem cu parametru?

Enunțurile pot da sistemul cu o literă în coeficienți, iar întrebarea „pentru ce valori se poate aplica metoda?" devine „pentru ce valori este $Δ \neq = 0$ ?". Fie

${2 x + m y = 4 m x + 8 y = 10, Δ = 16 - m^{2} .$

Ecuația $16 - m^{2} = 0$ are rădăcinile $m = 4$ și $m = - 4$ , deci sistemul este de tip Cramer pentru orice $m \in R ∖ {- 4, 4}$ . Pentru o valoare concretă, calculul merge mai departe fără nimic special: la $m = 2$ avem $Δ = 12$ , iar $Δ_{1} = 12$ și $Δ_{2} = 12$ , deci $x = 1$ și $y = 1$ ; verificare: $2 + 2 = 4$ și $2 + 8 = 10$ .

Litera parametrului este $m$ peste tot în lecție, tocmai ca să nu se încurce cu necunoscutele $x$ , $y$ , $z$ și nici cu coeficienții. Când enunțul folosește altă literă, primul gest util este să notezi pe ciornă care e parametrul și care sunt necunoscutele.

7. Trei controale care prind o greșeală de determinant

Metoda are un defect: dacă greșești un semn într-un singur determinant, rezultatul iese „frumos" și nimic nu te avertizează. De aceea merită trei verificări scurte, în ordinea aceasta.

Controlul coloanei. Uită-te la $Δ_{2}$ : coloana întâi și coloana a treia trebuie să fie identice cu cele din $Δ$ , iar în mijloc să stea termenii liberi, în ordinea ecuațiilor. O privire, două secunde.

Controlul împărțirii. Necunoscuta este $\frac{Δ _{k}}{Δ}$ , cu determinantul principal la numitor. Dacă ai obținut un număr mult mai mare decât coeficienții din enunț, verifică dacă nu ai răsturnat raportul.

Controlul prin substituție. Ultimul și singurul care nu poate fi păcălit: pui valorile găsite în toate ecuațiile sistemului inițial. Dacă ies, rezultatul e bun oricum ai fi calculat; dacă nu ies, ai unde căuta. La un exercițiu de examen, substituția durează sub un minut și salvează toate punctele problemei.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un sistem cu două necunoscute, complet

Rezolvați cu regula lui Cramer sistemul $5 x + 3 y = 26$ , $2 x + y = 10$ .

Rezolvare. Sistemul are două ecuații și două necunoscute, deci se calculează întâi determinantul principal:

$Δ = 5231 = 5 - 6 = - 1 \neq = 0,$

prin urmare sistemul este de tip Cramer. Înlocuim pe rând coloanele cu coloana termenilor liberi:

$Δ_{1} = 261031 = 26 - 30 = - 4, Δ_{2} = 522610 = 50 - 52 = - 2.$

Deci $x = \frac{- 4}{- 1} = 4$ și $y = \frac{- 2}{- 1} = 2$ . Verificare în ambele ecuații: $20 + 6 = 26$ și $8 + 2 = 10$ . Determinantul negativ nu e o problemă: el apare la numitor, iar semnele se simplifică.

Exemplul 2 — Un sistem cu trei necunoscute și cu zerouri

Rezolvați sistemul $x + 2 y = 8$ , $2 y + z = 10$ , $2 x + z = 8$ .

Rezolvare. Necunoscutele care lipsesc dau coeficienți $0$ , deci matricea sistemului este $A = 102220011$ și

$Δ = (2 + 4 + 0) - (0 + 0 + 0) = 6 \neq = 0.$

Zerourile ajută și la auxiliari, pentru că trei dintre cele șase produse ale lui Sarrus dispar:

$Δ_{1} = 8108220011 = 12, Δ_{2} = 1028108011 = 18, Δ_{3} = 1022208108 = 24.$

Împărțind la $6$ , obținem $x = 2$ , $y = 3$ , $z = 4$ . Verificare: $2 + 6 = 8$ ; $6 + 4 = 10$ ; $4 + 4 = 8$ .

Exemplul 3 — Când soluția nu este întreagă

Rezolvați sistemul $3 x + y + 2 z = 10$ , $x + 2 y + z = 7$ , $2 x + y + 3 z = 11$ .

Rezolvare. Cu regula lui Sarrus,

$Δ = 312121213 = (18 + 2 + 2) - (8 + 3 + 3) = 22 - 14 = 8 \neq = 0.$

Auxiliarii sunt $Δ_{1} = 10$ , $Δ_{2} = 14$ și $Δ_{3} = 18$ , deci

$x = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}, y = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}, z = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} .$

Verificare în prima ecuație: $\frac{15}{4} + \frac{7}{4} + \frac{18}{4} = \frac{40}{4} = 10$ . Soluțiile fracționare sunt firești — necunoscuta este un raport de două numere întregi și nu are niciun motiv să iasă întreagă. Se lasă sub formă de fracție ordinară simplificată, nu în scriere zecimală.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Pentru sistemul $2 x + y + 3 z = 17$ , $x + 3 y + z = 9$ , $3 x + y + 2 z = 15$ , un elev calculează corect $Δ = - 13$ și $Δ_{1} = - 26$ . Apoi scrie: „pentru $Δ_{2}$ înlocuiesc coloana a doua în tabloul de la $Δ_{1}$ " și obține $1791517915312 = 0$ , de unde conchide că $y = 0$ . Găsiți greșeala și duceți calculul până la capăt.

Rezolvare. Greșeala nu este de aritmetică — determinantul scris de elev chiar este $0$ , fiindcă are două coloane identice. Greșit este tabloul însuși: fiecare auxiliar se construiește pornind de la $Δ$ , nu de la cel dinainte. Elevul a înlocuit a doua coloană într-un tablou din care prima coloană fusese deja stricată, așa că a obținut un determinant care nu are nicio legătură cu sistemul.

Pornind corect de la determinantul principal, $Δ_{2} = 21317915312 = - 13$ și $Δ_{3} = 21313117915 = - 52$ , de unde $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 4$ . Verificare: $4 + 1 + 12 = 17$ ; $2 + 3 + 4 = 9$ ; $6 + 1 + 8 = 15$ .

Două coloane identice într-un auxiliar sunt semnalul acestei greșeli: determinantul iese automat $0$ , iar necunoscuta pare că se anulează. Când vezi un zero suspect, uită-te întâi la tabloul din care ai pornit.

Exemplul 5 — Legea de creștere a unei plante

Într-un experiment de biologie, lungimea unei frunze de porumb se măsoară în zilele $1$ , $2$ și $4$ de la apariție și iese, în centimetri, $6$ , $12$ și, respectiv, $30$ . Pe acest interval creșterea se potrivește cu un model de forma $h (t) = a + b t + c t^{2}$ , cu $t$ în zile. Determinați coeficienții $a$ , $b$ , $c$ și spuneți cât era lungimea la apariție.

Rezolvare. Fiecare măsurătoare dă o ecuație liniară în necunoscutele $a$ , $b$ , $c$ — ele sunt necunoscutele, deși în model stau pe post de coeficienți. Pentru $t = 1$ , $t = 2$ și $t = 4$ obținem

$⎩ ⎨ ⎧ a + b + c = 6 a + 2 b + 4 c = 12 a + 4 b + 16 c = 30 Δ = 1111241416 = (32 + 4 + 4) - (2 + 16 + 16) = 6.$

Determinantul fiind nenul, cele trei măsurători determină complet modelul. Auxiliarii sunt $Δ_{1} = 12$ , $Δ_{2} = 18$ și $Δ_{3} = 6$ , deci $a = 2$ , $b = 3$ și $c = 1$ , adică $h (t) = 2 + 3 t + t^{2}$ .

Citirea în context: coeficientul $a = 2$ este chiar lungimea la apariție, pentru că $h (0) = 2$ centimetri; $b$ se măsoară în centimetri pe zi, iar $c$ în centimetri pe zi la pătrat. Modelul e bun numai pe intervalul măsurat, adică pentru $t$ între $0$ și circa $5$ zile: prelungit la nesfârșit, el ar da o plantă care crește din ce în ce mai repede, ceea ce nicio frunză nu face. Controlul rezultatului se face pe a doua măsurătoare: $2 + 6 + 4 = 12$ centimetri.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră sistemul $x + y + z = 6$ , $2 x + y + 3 z = 13$ , $x + 2 y + z = 8$ . a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Arătați că sistemul este de tip Cramer. c) Rezolvați sistemul.

Rezolvare.

a) Cu regula lui Sarrus,

$Δ = 121112131 = (1 + 3 + 4) - (1 + 6 + 2) = 8 - 9 = - 1.$

b) Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, iar $Δ = - 1 \neq = 0$ ; ambele condiții din definiție fiind îndeplinite, sistemul este de tip Cramer, deci are soluție unică.

c) Auxiliarii, construiți fiecare din $Δ$ , sunt $Δ_{1} = - 1$ , $Δ_{2} = - 2$ și $Δ_{3} = - 3$ , de unde $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ . Verificare în toate ecuațiile: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $2 + 2 + 9 = 13$ ; $1 + 4 + 3 = 8$ .

De la examen la lecție. Înlănțuirea cerințelor — determinantul, justificarea, rezolvarea — este forma în care tema apare la prima problemă a Subiectului al II-lea. Punctul b) se rezolvă în două rânduri, iar singura capcană e să uiți să spui că numărul ecuațiilor este egal cu cel al necunoscutelor.

Să exersăm

Calculează întâi $Δ$ ; dacă iese zero, oprește-te și spune de ce. Verifică apoi fiecare soluție în toate ecuațiile.

1. Rezolvă cu regula lui Cramer sistemul $2 x + y = 7$ , $3 x - y = 3$ .

2. Rezolvă sistemul $4 x + 3 y = 18$ , $x + 2 y = 7$ .

3. Rezolvă sistemul $5 x - 2 y = 11$ , $3 x + 4 y = 17$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Formulele lui Cramer se pot aplica oricărui sistem cu trei ecuații și trei necunoscute."

5. Rezolvă sistemul $x + 2 y + z = 11$ , $2 x - y + z = 4$ , $x + y + 3 z = 14$ .

6. Rezolvă sistemul $2 x + 3 y - z = 5$ , $x - y + 2 z = 5$ , $3 x + y + z = 8$ .

7. (Problemă aplicată.) Pe acoperișul unei școli se montează $20$ de panouri fotovoltaice, de trei tipuri. Un panou de primul tip dă $3$ sute de wați și ocupă $2$ metri pătrați, unul de al doilea tip dă $4$ sute de wați și ocupă $2$ metri pătrați, iar unul de al treilea dă $5$ sute de wați și ocupă $3$ metri pătrați. În total s-au obținut $77$ de sute de wați pe $45$ de metri pătrați. Câte panouri de fiecare tip s-au montat?

8. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $x + y + 2 z = 10$ , $2 x + 3 y + z = 13$ , $3 x + y + z = 11$ . a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Rezolvați sistemul cu regula lui Cramer.

9. Câți determinanți trebuie calculați pentru a rezolva prin această metodă un sistem cu două necunoscute? Dar unul cu trei?

10. La un sistem de tip Cramer cu trei necunoscute s-au obținut $Δ = 4$ , $Δ_{1} = 8$ , $Δ_{2} = 0$ și $Δ_{3} = - 12$ . Scrie soluția și spune dacă sistemul este compatibil.

11. Determină valorile lui $m \in R$ pentru care sistemul $3 x + m y = 5$ , $2 x + 4 y = 7$ este de tip Cramer.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $3 x + y + 2 z = 13$ , $x + 2 y + z = 7$ , $2 x + 3 y + z = 10$ . a) Arătați că determinantul matricei sistemului este $- 4$ . b) Rezolvați sistemul.

13. Arată că sistemul $4 x + 10 y = 6$ , $6 x + 15 y = 9$ nu este de tip Cramer și stabilește dacă are soluții.

14. Rezolvă sistemul $4 x + 6 y = 11$ , $2 x - 2 y = 1$ și lasă rezultatul sub formă de fracții ordinare.

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră sistemul $3 x + y + z = 6$ , $x + 3 y + z = 6$ , $x + y + 3 z = 8$ . a) Calculați $Δ$ . b) Rezolvați sistemul.

16. Explică, în trei-patru fraze, de ce determinantul principal se calculează înaintea celor auxiliari și ce economisești procedând așa.

17. La un sistem cu trei necunoscute se știe că $Δ = 3$ și că soluția lui este $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 4$ . Determină $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ și $Δ_{3}$ fără să calculezi vreun determinant.

18. (Provocare.) Un sistem se numește omogen când toți termenii lui liberi sunt $0$ . Arată că un sistem omogen de tip Cramer are ca unică soluție tripletul $(0, 0, 0)$ și verifică afirmația pe sistemul $3 x + y - 2 z = 0$ , $x - 2 y + z = 0$ , $2 x + y + z = 0$ .

Răspunsuri și explicații

1. $Δ = - 2 - 3 = - 5 \neq = 0$ ; $Δ_{1} = 73 1 - 1 = - 10$ și $Δ_{2} = 2373 = - 15$ , deci $x = 2$ și $y = 3$ . Verificare: $4 + 3 = 7$ și $6 - 3 = 3$ .

2. $Δ = 8 - 3 = 5$ ; $Δ_{1} = 36 - 21 = 15$ și $Δ_{2} = 28 - 18 = 10$ , deci $x = 3$ și $y = 2$ . Verificare: $12 + 6 = 18$ și $3 + 4 = 7$ .

3. $Δ = 20 + 6 = 26$ ; $Δ_{1} = 44 + 34 = 78$ și $Δ_{2} = 85 - 33 = 52$ , deci $x = 3$ și $y = 2$ . Verificare: $15 - 4 = 11$ și $9 + 8 = 17$ .

4. Fals. Pe lângă egalitatea dintre numărul ecuațiilor și cel al necunoscutelor, definiția cere $Δ \neq = 0$ . Contraexemplu: sistemul $x + y + z = 1$ , $2 x + 2 y + 2 z = 2$ , $3 x + 3 y + 3 z = 3$ are trei ecuații și trei necunoscute, dar determinantul lui este $0$ , iar formulele nu se pot folosi — de altfel el are o infinitate de soluții.

5. $Δ = - 11$ ; $Δ_{1} = - 22$ , $Δ_{2} = - 33$ și $Δ_{3} = - 33$ , deci $x = 2$ , $y = 3$ , $z = 3$ . Verificare: $2 + 6 + 3 = 11$ ; $4 - 3 + 3 = 4$ ; $2 + 3 + 9 = 14$ .

6. $Δ = 5$ ; $Δ_{1} = 5$ , $Δ_{2} = 10$ și $Δ_{3} = 15$ , deci $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ . Verificare: $2 + 6 - 3 = 5$ ; $1 - 2 + 6 = 5$ ; $3 + 2 + 3 = 8$ .

7. Cu $x$ , $y$ , $z$ numărul de panouri din fiecare tip, cele trei condiții — numărul total, puterea totală și suprafața totală — dau sistemul $x + y + z = 20$ , $3 x + 4 y + 5 z = 77$ , $2 x + 2 y + 3 z = 45$ . Determinantul principal este $Δ = 1$ , iar $Δ_{1} = 8$ , $Δ_{2} = 7$ , $Δ_{3} = 5$ , deci $x = 8$ , $y = 7$ și $z = 5$ panouri. Verificare: $8 + 7 + 5 = 20$ panouri; $24 + 28 + 25 = 77$ de sute de wați; $16 + 14 + 15 = 45$ de metri pătrați. Numerele au ieșit întregi și pozitive, deci și citirea în context este corectă.

8. a) $Δ = 123131211 = (3 + 3 + 4) - (18 + 1 + 2) = 10 - 21 = - 11$ . b) $Δ_{1} = - 22$ , $Δ_{2} = - 22$ și $Δ_{3} = - 33$ , deci $x = 2$ , $y = 2$ , $z = 3$ . Verificare: $2 + 2 + 6 = 10$ ; $4 + 6 + 3 = 13$ ; $6 + 2 + 3 = 11$ .

9. Pentru două necunoscute, trei determinanți de ordinul $2$ : principalul și doi auxiliari. Pentru trei necunoscute, patru determinanți de ordinul $3$ . Numărul lor este întotdeauna cu unu mai mare decât numărul necunoscutelor, iar de aici se vede și de ce metoda devine greoaie la sisteme mari.

10. Cum $Δ = 4 \neq = 0$ , sistemul este de tip Cramer, deci compatibil determinat. Soluția este $x = 2$ , $y = 0$ , $z = - 3$ . Auxiliarul nul nu înseamnă nimic rău: el spune doar că a doua necunoscută este zero.

11. $Δ = 12 - 2 m$ , iar condiția este $12 - 2 m \neq = 0$ , adică $m \neq = 6$ . Pentru $m = 6$ a doua ecuație ar fi proporțională cu prima în privința coeficienților, iar metoda nu s-ar mai aplica.

12. a) $Δ = (6 + 2 + 6) - (8 + 9 + 1) = 14 - 18 = - 4$ . b) $Δ_{1} = - 8$ , $Δ_{2} = - 4$ și $Δ_{3} = - 12$ , deci $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 3$ . Verificare: $6 + 1 + 6 = 13$ ; $2 + 2 + 3 = 7$ ; $4 + 3 + 3 = 10$ .

13. $Δ = 60 - 60 = 0$ , deci sistemul nu este de tip Cramer și metoda se oprește. Cercetând ecuațiile: înmulțind prima cu $\frac{3}{2}$ obținem chiar a doua ecuație, $6 x + 15 y = 9$ . Ea nu aduce nicio condiție nouă, așa că rămâne una singură, verificată de o infinitate de perechi — de pildă $(4, - 1)$ și $(- 1, 1)$ . Sistemul este compatibil nedeterminat: determinantul nul nu înseamnă „fără soluții".

14. $Δ = - 8 - 12 = - 20$ ; $Δ_{1} = 111 6 - 2 = - 28$ și $Δ_{2} = 42111 = - 18$ , deci $x = \frac{- 28}{- 20} = \frac{7}{5}$ și $y = \frac{- 18}{- 20} = \frac{9}{10}$ . Verificare în a doua ecuație: $\frac{14}{5} - \frac{9}{5} = 1$ .

15. a) $Δ = (27 + 1 + 1) - (3 + 3 + 3) = 29 - 9 = 20$ . b) $Δ_{1} = 20$ , $Δ_{2} = 20$ și $Δ_{3} = 40$ , deci $x = 1$ , $y = 1$ , $z = 2$ . Verificare: $3 + 1 + 2 = 6$ ; $1 + 3 + 2 = 6$ ; $1 + 1 + 6 = 8$ .

16. Pentru că determinantul principal decide dacă metoda se poate aplica: dacă el este zero, auxiliarii nu mai folosesc la nimic, iar la un sistem cu trei necunoscute ai economisit trei determinanți de ordinul $3$ , adică aproape tot efortul. În plus, valoarea lui $Δ$ te avertizează din timp dacă soluția va ieși fracționară — se întâmplă ori de câte ori $Δ$ nu este $1$ sau $- 1$ și nu divide auxiliarii.

17. Din formulele $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ și $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ se scot direct auxiliarii, înmulțind: $Δ_{1} = 3 \cdot 2 = 6$ , $Δ_{2} = 3 \cdot 1 = 3$ și $Δ_{3} = 3 \cdot 4 = 12$ .

18. La un sistem omogen, coloana termenilor liberi este formată numai din zerouri. Fiecare auxiliar are atunci o coloană nulă, iar un determinant cu o coloană de zerouri este $0$ ; prin urmare $Δ_{1} = Δ_{2} = Δ_{3} = 0$ și, împărțind la $Δ \neq = 0$ , toate necunoscutele ies nule. Pe exemplu: $Δ = (- 6 + 2 - 2) - (8 + 3 + 1) = - 6 - 12 = - 18 \neq = 0$ , deci sistemul este de tip Cramer, iar soluția lui este tripletul $(0, 0, 0)$ — se verifică imediat prin înlocuire.

De reținut

Sistem de tip Cramer înseamnă două lucruri deodată: tot atâtea ecuații câte necunoscute și determinantul matricei sistemului nenul. Un astfel de sistem are exact o soluție.
Formulele: $x = \frac{Δ _{1}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{2}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{3}}{Δ}$ , cu determinantul principal întotdeauna la numitor.
Fiecare auxiliar pornește de la $Δ$ , nu de la cel dinainte: în $Δ_{k}$ se schimbă o singură coloană, a $k$ -a, cu coloana termenilor liberi, luată în ordinea ecuațiilor.
Determinantul principal se calculează primul. Dacă iese zero, metoda se oprește acolo, iar sistemul se cercetează direct, pe ecuații: poate fi incompatibil sau cu o infinitate de soluții.
Un auxiliar nul, cu $Δ \neq = 0$ , nu strică nimic — spune doar că necunoscuta corespunzătoare este $0$ . Rezultatele fracționare sunt și ele firești și se lasă ca fracții ordinare.

Greșeli frecvente

Împarți invers. Scrii $x = \frac{Δ}{Δ _{1}}$ în loc de $\frac{Δ _{1}}{Δ}$ . Se recunoaște după ordinul de mărime al rezultatului, care nu se potrivește deloc cu numerele din enunț, și se evită scriind formula o dată, complet, înainte de a înlocui.
Construiești $Δ_{2}$ pornind de la $Δ_{1}$ . Tabloul din care pornești este întotdeauna $Δ$ , cel original. Semnalul greșelii este un auxiliar cu două coloane identice, deci nul — exact capcana din Exemplul 4.
Adaugi coloana termenilor liberi în loc să înlocuiești o coloană. Rezultatul ar avea trei linii și patru coloane, adică n-ar mai fi un determinant. Auxiliarul are exact aceleași dimensiuni ca $Δ$ .
Copiezi termenii liberi în altă ordine decât ecuațiile. Coloana lui $B$ se transcrie de sus în jos, în ordinea în care sunt scrise ecuațiile; două valori inversate dau un determinant cu totul altul, dar la fel de „frumos".
Tratezi $Δ_{k}$ ca pe o matrice. Determinantul este un număr, scris între bare verticale, nu un tablou între paranteze rotunde. Cu el se fac împărțiri, nu produse de tablouri, iar rezultatul nu se „simplifică" pe coloane.

Aplică acasă

Cele patru tablouri, fără niciun calcul. Ia din culegere un sistem cu trei necunoscute și scrie, unul lângă altul, cele patru tablouri: $Δ$ , $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ , $Δ_{3}$ , colorând în fiecare coloana înlocuită. Calculează apoi numai $Δ$ . Exercițiul durează cinci minute și fixează singurul pas la care se greșește sistematic.
Valoarea care strică metoda. Scrie un sistem de două ecuații cu un parametru $m$ într-un coeficient și află valoarea pentru care $Δ = 0$ . Înlocuiește apoi acea valoare în sistem și privește cele două ecuații: sunt una dubla celeilalte sau se contrazic? Notează răspunsul, e cea mai bună dovadă că determinantul nul nu decide singur nimic.
Dreapta prin două puncte, cu determinanți. Alege două puncte cu coordonate întregi și caută dreapta $y = a x + b$ care trece prin ele: cele două condiții formează un sistem cu necunoscutele $a$ și $b$ . Rezolvă-l cu regula lui Cramer, apoi compară rezultatul cu ecuația dreptei prin două puncte, învățată în clasa a IX-a.

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la clasa a XI-a, „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare", împreună cu sistemele de cel mult trei necunoscute; la proba scrisă, capitolul de calcul matriceal și sisteme este prima problemă a Subiectului al II-lea. În modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, pe acel loc au fost o matrice și un determinant, nu un sistem — forma exactă a cerinței se citește în model, nu se presupune. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) metoda lui Cramer a coborât la clasa a XII-a, în domeniul Algebră, la unitatea „Sisteme de ecuații liniare", unde apare alături de rangul unei matrice și de studiul compatibilității, pentru sisteme cu cel mult $4$ ecuații și $4$ necunoscute. La Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema se regăsește tot acolo, în domeniul Algebră. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Metoda este ușor de învățat și ușor de greșit, iar cele două lucruri nu se contrazic: algoritmul nu cere nicio idee, dar cere patru determinanți scriși corect. Din experiența clasei, aproape toate erorile se împart în trei: coloana înlocuită greșit, raportul răsturnat și un semn pierdut într-un determinant de ordinul $3$ . De verificat în caiet: (1) $Δ$ scris și calculat înaintea auxiliarilor; (2) fiecare auxiliar pornit din tabloul original; (3) regula lui Sarrus folosită numai la ordinul $3$ ; (4) rezultatele fracționare lăsate ca fracții ordinare; (5) soluția substituită în toate ecuațiile. Întrebări de control: „Ce trebuie îndeplinit ca un sistem să fie de tip Cramer?"; „Din ce tablou pornești ca să scrii $Δ_{3}$ și ce muți în el?"; „Determinantul principal ți-a ieșit zero — ce urmează?"; „Ce înseamnă $Δ_{3} = 0$ la un sistem cu $Δ = 6$ ?". O comparație utilă la oră: aceeași temă, la mate-info, se demonstrează pornind de la matricea adjunctă, în vreme ce la științe se sprijină pe reducerea din §1; ambele duc la aceleași formule. Metoda lui Gauss, care rezolvă sistemele prin transformări succesive, nu intră în programa de examen a acestui profil. Lecția următoare compară regula lui Cramer cu rezolvarea prin matricea inversă, din punctul de vedere al timpului de lucru.

Întrebări frecvente

Cu ce diferă metoda lui Cramer la M2 față de M1? Formulele sunt aceleași, dar la profilul științe ale naturii se opresc la trei necunoscute și nu sunt însoțite de demonstrație. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: sistemele de tip Cramer demonstrează regula pornind de la matricea adjunctă și o continuă cu rangul, cu teoremele de compatibilitate și cu sisteme de patru ecuații — teme care nu apar în programa de examen a profilului științe.

La ce subiect apare metoda lui Cramer la bacalaureatul M2? La Subiectul al II-lea, prima problemă, cea construită pe matrice, determinanți și sisteme. Cerințele se pot înlănțui astfel: determinantul matricei sistemului, justificarea faptului că sistemul este de tip Cramer și rezolvarea propriu-zisă, uneori cu un parametru care trebuie discutat înainte.

Câți determinanți am de calculat la un sistem cu trei necunoscute? Patru: determinantul principal și trei auxiliari, toți de ordinul $3$ . Numărul lor este mereu cu unu mai mare decât numărul necunoscutelor, iar dacă $Δ$ iese zero te oprești după primul. Tocmai de aceea ordinea de lucru începe cu el, nu cu auxiliarii.

Se dau sisteme cu patru necunoscute la examenul M2? Nu. Programa de examen pentru sesiunile 2027–2029 spune limpede „sisteme liniare cu cel mult 3 necunoscute", așa că un sistem cu patru necunoscute nu poate apărea la această probă. În programa nouă, unde tema s-a mutat la clasa a XII-a, limita urcă la patru ecuații și patru necunoscute.

Cât durează rezolvarea unui sistem cu trei necunoscute? Cu antrenament, în jur de opt-zece minute: patru determinanți de ordinul $3$ , trei împărțiri și verificarea. Cea mai mare parte a timpului se duce pe determinanți, așa că merită scriși unul sub altul, nu împrăștiați pe foaie, iar termenii liberi copiați o singură dată, cu atenție.

Cum îmi dau seama repede că am greșit un determinant? După trei semne. Un auxiliar cu două coloane identice arată că ai pornit din tabloul greșit. O necunoscută mult mai mare decât toate numerele din enunț arată un raport răsturnat. Iar o soluție care nu verifică una dintre ecuații arată un semn pierdut; substituția este singurul control care nu poate fi păcălit și durează sub un minut.

Metoda lui Cramer mai e materie de clasa a XI-a? La bacalaureatul M2 din 2027–2029, da: programa de examen o cere la clasa a XI-a. În programa nouă însă capitolul de sisteme, cu tot cu metoda lui Cramer, a fost mutat la clasa a XII-a și lărgit cu rangul unei matrice. De aceea lecția stă în suplimentul acestui traseu, nu în unitatea de matrice și determinanți.