Determină intervalele de monotonie ale funcției $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=x^3-6x^2-36x+5$$.

strict crescătoare pe $$(-\infty,-2]$$, strict descrescătoare pe $$[-2,6]$$ și strict crescătoare pe $$[6,+\infty)$$

strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

strict descrescătoare pe $$(-\infty,2]$$ și strict crescătoare pe $$[2,+\infty)$$

strict descrescătoare pe $$(-\infty,-2]$$, strict crescătoare pe $$[-2,6]$$ și strict descrescătoare pe $$[6,+\infty)$$

O funcție $$f$$, derivabilă pe $$\mathbb{R}$$, are $$f'(x)=(x-4)(x+11)$$. Atunci:

$$f$$ este strict descrescătoare pe $$[-11,4]$$

$$f$$ este strict crescătoare pe $$[-11,4]$$

$$f$$ este strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

$$4$$ este punct de maxim local al funcției $$f$$

Funcția $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$, $$f(x)=\left(x^2-10x+30\right)e^{x}$$, este:

strict crescătoare pe $$\mathbb{R}$$

strict descrescătoare pe $$\mathbb{R}$$

strict descrescătoare pe $$(-\infty,5]$$ și strict crescătoare pe $$[5,+\infty)$$

strict crescătoare pe $$(-\infty,4]$$ și strict descrescătoare pe $$[4,+\infty)$$

Este 1/x descrescătoare pe tot domeniul ei?

Nu. Derivata - 1/x² este negativă, deci funcția scade pe (-∞,0) și pe (0,+∞), separat. Pe reuniune însă -1<1, iar 1/(-1)=-1<1= 1/1, deci valoarea crește. Monotonia se afirmă pe fiecare interval.

Pentru ce m este o funcție crescătoare pe R?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Monotonia cu derivata

Ceri ca derivata să nu fie negativă nicăieri, cu zerouri doar în puncte izolate. La o funcție de gradul al treilea, derivata este un trinom de gradul al doilea, iar cu coeficientul lui $x^{2}$ pozitiv condiția devine $Δ \leq 0$ . Pentru $f (x) = x^{3} + m x^{2} + 12 x$ : $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 m x + 12$ , iar $Δ = 4 m^{2} - 144 \leq 0$ dă $m \in [- 6, 6]$ . Pentru $m = \pm 6$ , $f^{'} (x) = 3 (x \pm 2)^{2}$ se anulează într-un singur punct, deci funcția rămâne strict crescătoare.

Programa de examen M_șt-nat cere, la „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor", rolul derivatei de ordinul I în stabilirea monotoniei; la proba MAT_P2 din $2030$ tema e scrisă pe nume, ca legătură între semnul pe care $f^{'}$ îl păstrează pe un interval și sensul în care variază funcția.

Regula. Dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{'} (x) > 0$ acolo, atunci $f$ urcă strict pe $I$ ; dacă $f^{'} (x) < 0$ , coboară strict. La acest profil rezultatul se admite și se aplică, fiindcă teoremele care îl justifică rămân la matematică-informatică.

Cei cinci pași: domeniul despărțit în intervale, derivata adusă la formă factorizată, zerourile ei păstrate numai dacă sunt în domeniu, tabelul de semn cu o valoare de probă pe fiecare interval și concluzia scrisă ca propoziție despre funcție, nu despre derivată.

Cuvântul care produce greșelile este „interval". Pe o mulțime cu o gaură, precum $R ∖ {a}$ , concluzia se dă separat, pe fiecare ramură: două puncte de pe ramuri diferite nu se compară între ele. Un zerou izolat al derivatei, la care semnul nu se schimbă, lasă stricta monotonie neatinsă — contează schimbarea semnului, nu anularea. Iar la un model din științe rezultatul primește unitatea derivatei, adică unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei, și nu se duce dincolo de intervalul pe care modelul e declarat.

De reținut

crescătoare pe $R$ : $f^{'} (x) \geq 0$ pentru orice $x$ , cu zerouri izolate
trinomul $a x^{2} + b x + c$ cu $a > 0$ este nenegativ peste tot $⟺ Δ \leq 0$
strict crescătoare $\Rightarrow$ injectivă

Greșeala tipică

Se cere $Δ < 0$ și se pierd valorile $m = \pm 6$ ; când $Δ = 0$ , derivata se anulează într-un singur punct, iar funcția rămâne strict crescătoare.

Exerciții din această mini-lecție

Determină intervalele de monotonie ale funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + 5$ .
- a) strict crescătoare pe $R$
- b) strict descrescătoare pe $(- \infty, 2]$ și strict crescătoare pe $[2, + \infty)$
- c) strict crescătoare pe $(- \infty, - 2]$ , strict descrescătoare pe $[- 2, 6]$ și strict crescătoare pe $[6, + \infty)$
- d) strict descrescătoare pe $(- \infty, - 2]$ , strict crescătoare pe $[- 2, 6]$ și strict descrescătoare pe $[6, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) strict crescătoare pe $(- \infty, - 2]$ , strict descrescătoare pe $[- 2, 6]$ și strict crescătoare pe $[6, + \infty)$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 = 3 (x - 6) (x + 2)$ , cu zerourile $- 2$ și $6$ . Probe: $f^{'} (- 3) = 27 + 36 - 36 = 27 > 0$ , $f^{'} (0) = - 36 < 0$ , $f^{'} (7) = 147 - 84 - 36 = 27 > 0$ , deci semnele sunt $+$ , $-$ , $+$ . Varianta d) inversează semnele, b) folosește zeroul lui $f^{''} = 6 x - 12$ în loc de zerourile lui $f^{'}$ , iar a) sare peste tabelul de semn.
O funcție $f$ , derivabilă pe $R$ , are $f^{'} (x) = (x - 4) (x + 11)$ . Atunci:
- a) $f$ este strict crescătoare pe $[- 11, 4]$
- b) $f$ este strict descrescătoare pe $[- 11, 4]$
- c) $f$ este strict crescătoare pe $R$
- d) $4$ este punct de maxim local al funcției $f$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f$ este strict descrescătoare pe $[- 11, 4]$

Trinomul $(x - 4) (x + 11)$ are coeficient dominant pozitiv, deci este negativ între rădăcini: $f^{'} (x) < 0$ pe $(- 11, 4)$ , iar $f$ coboară strict pe $[- 11, 4]$ . În afara rădăcinilor $f^{'}$ este pozitivă, ceea ce respinge a) și c). În $4$ semnul trece de la minus la plus, deci acolo se află un punct de minim, nu de maxim.
Funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - 10 x + 30) e^{x}$ , este:
- a) strict crescătoare pe $R$
- b) strict descrescătoare pe $R$
- c) strict descrescătoare pe $(- \infty, 5]$ și strict crescătoare pe $[5, + \infty)$
- d) strict crescătoare pe $(- \infty, 4]$ și strict descrescătoare pe $[4, + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) strict crescătoare pe $R$

Regula produsului dă $f^{'} (x) = (2 x - 10) e^{x} + (x^{2} - 10 x + 30) e^{x} = (x^{2} - 8 x + 20) e^{x}$ . Cum $e^{x} > 0$ , semnul este al trinomului, care are $Δ = 64 - 80 = - 16 < 0$ și coeficient dominant pozitiv, deci este strict pozitiv peste tot. Domeniul $R$ fiind interval, funcția urcă strict. Varianta c) folosește vârful lui $x^{2} - 10 x + 30$ , iar d) vârful derivatei — niciunul nu este zerou al lui $f^{'}$ .

Întrebări conexe

Pentru ce m este descrescătoare o funcție de gradul întâi?

Funcția $f (x) = (m - 2) x + 5$ are derivata constantă $m - 2$ . Ea este strict descrescătoare pe $R$ când $m - 2 < 0$ , adică $m < 2$ . Pentru $m = 2$ funcția este constantă, deci nu este strict monotonă, iar pentru $m > 2$ este strict crescătoare.

Cum arăt că funcția $e^{x} + x$ este injectivă?

Derivata este $e^{x} + 1 > 0$ pe $R$ , deci funcția este strict crescătoare. O funcție strict crescătoare nu poate lua aceeași valoare în două puncte diferite, deci este injectivă. Argumentul acesta evită rezolvarea ecuației $f (a) = f (b)$ .

Cum demonstrez o inegalitate cu ajutorul monotoniei?

Muți totul într-o parte și studiezi funcția obținută. Pentru $ln (1 + x) < x$ când $x > 0$ , iei $g (x) = x - ln (1 + x)$ : $g^{'} (x) = \frac{x}{1 + x} > 0$ , deci $g$ crește pe $(0, + \infty)$ . Cum $g (0) = 0$ , rezultă $g (x) > 0$ pentru $x > 0$ .

Este $\frac{1}{x}$ descrescătoare pe tot domeniul ei?

Nu. Derivata $- \frac{1}{x ^{2}}$ este negativă, deci funcția scade pe $(- \infty, 0)$ și pe $(0, + \infty)$ , separat. Pe reuniune însă $- 1 < 1$ , iar $\frac{1}{- 1} = - 1 < 1 = \frac{1}{1}$ , deci valoarea crește. Monotonia se afirmă pe fiecare interval.

Cum arăt dintr-un model că o mărime crește tot timpul?

Derivezi modelul și arăți că derivata este pozitivă. Pentru o populație $N (t) = 100 - 80 e^{- 0, 2 t}$ mii de indivizi, $N^{'} (t) = 16 e^{- 0, 2 t} > 0$ , deci populația crește la orice moment. Totuși, derivata scade, așa că creșterea încetinește, iar $N$ se apropie de $100$ .

Oamenii mai întreabă și: pentru ce m funcția este strict crescătoare · parametru funcție crescătoare pe R · condiția ca funcția cu parametru să fie monotonă · funcție crescătoare pe R cu parametru m