Monotonia, citită din semnul derivatei (M2, științe ale naturii)

Într-un reactor de laborator temperatura urcă o vreme, atinge un vârf și apoi coboară, iar tehnicianul care supraveghează procesul are nevoie să știe nu atât cât de cald e acum, cât încotro merge temperatura. În clasa a XI-a, la profilul științe ale naturii (M2), matematica îți dă instrumentul care răspunde dintr-o singură privire la întrebarea asta, fără grafic desenat și fără zeci de valori calculate: semnul derivatei întâi. Este prima aplicație din unitatea „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" și pasul cu care continuă, la Bacalaureatul M2, prima problemă de la Subiectul al III-lea după ce ai aflat $f^{\prime }$.

Până acum ai învățat să calculezi derivate. De astăzi înveți să le citești: o derivată nu e doar un rezultat de exercițiu, ci un semnal cu două stări — plus înseamnă „mărimea crește", minus înseamnă „mărimea scade". Toată lecția stă pe această traducere, iar restul e o rutină de cinci pași pe care o vei repeta la fiecare studiu de funcție.

Ce vei învăța

• Vei ști să enunți regula monotoniei — legătura dintre semnul lui $f^{\prime }$ pe un interval și sensul de variație al lui $f$ — și să spui pe ce se sprijină la profilul științe ale naturii.
• Vei ști să parcurgi cei cinci pași: domeniul, derivata factorizată, zerourile ei, tabelul de semn, concluzia.
• Vei ști să construiești un tabel de semn al derivatei și ce se scrie în fiecare celulă a lui.
• Vei ști de ce concluzia se formulează pe un interval și de ce o reuniune nu are voie să apară în răspuns.
• Vei ști să recunoști cazul în care derivata se anulează fără să schimbe semnul.
• Vei ști să traduci monotonia în limbajul unei probleme din fizică, chimie sau biologie, cu unitatea de măsură scrisă lângă rezultat.

Hai să descoperim împreună

1. Cum se vede pe grafic că o mărime crește?

Într-un reactor de laborator, temperatura probei, măsurată în grade Celsius, urmează legea $T(t)=-t^2+10t+20$, unde $t$ este timpul în ore, $t\in [0,8]$. Câteva valori:

Citind tabelul de la stânga la dreapta, vezi că temperatura urcă la început și coboară la sfârșit, dar tabelul nu spune unde se face schimbarea: între $4$ și $6$ ore valorile sunt egale, așa că din ele nu poți decide nici măcar dacă mărimea a urcat și apoi a coborât sau a rămas pe loc.

Monotonia unei funcții pe un interval înseamnă că valorile ei se schimbă, pe tot intervalul, în același sens: $f$ este strict crescătoare pe intervalul $I$ dacă, oricare ar fi $x_1<x_2$ din $I$, are loc $f(x_1)<f(x_2)$, și *strict descrescătoare* dacă, în aceleași condiții, are loc $f(x_1)>f(x_2)$. Definiția o cunoști din clasa a IX-a, de la monotonia și extremul funcției de gradul al doilea; se schimbă acum unealta cu care o verifici.

Unealta este derivata. Calculăm, cu regulile de derivare, $T^{\prime }(t)=-2t+10$ și îi urmărim valorile: $T^{\prime }(2)=6$, $T^{\prime }(4)=2$, $T^{\prime }(5)=0$, $T^{\prime }(7)=-4$. Primele două sunt pozitive, ultima negativă, iar între ele stă un zero. Or, $T^{\prime }(t_0)$ este panta tangentei în punctul de abscisă $t_0$: pantă pozitivă înseamnă tangentă care urcă, pantă negativă tangentă care coboară. Semnul derivatei se vede deci pe desen, ca înclinare.

2. Ce hotărăște semnul derivatei pe un interval?

Observația din tabel nu e un accident, ci un rezultat general, pe care programa de științe ale naturii îl cere enunțat și folosit.

Regula monotoniei. Fie $f$ derivabilă pe un interval $I$. Când $f^{\prime }(x)>0$ în fiecare punct al lui $I$, funcția urcă strict pe $I$, adică este strict crescătoare acolo. Când $f^{\prime }(x)<0$ peste tot pe $I$, funcția coboară strict, adică este strict descrescătoare. Când $f^{\prime }$ se anulează în toate punctele lui $I$, funcția rămâne constantă.

Trei cuvinte din enunț nu se pot tăia. „Derivabilă": regula vorbește despre funcții care au derivată în fiecare punct al intervalului. „Pe un interval": ipoteza pare decorativă și este, de fapt, singura care produce greșeli la examen — îi dedicăm paragraful 5. „Pentru orice $x$": semnul trebuie să fie același pe tot intervalul.

De ce funcționează regula? Derivata pozitivă înseamnă tangentă care urcă în fiecare punct, iar o curbă ale cărei tangente urcă peste tot nu are cum să coboare. La profilul matematică-informatică, intuiția aceasta se transformă în demonstrație cu ajutorul teoremei lui Lagrange. Programa de științe ale naturii nu conține teorema lui Lagrange, așa că aici regula se admite și se folosește — exact ca regula lui l'Hôspital, pe care programa o dă explicit „fără demonstrație". La examen ți se cere să o aplici corect, nu să o demonstrezi.

Regula nu spune însă nimic despre puncte izolate: dacă derivata se anulează într-un singur punct, dar păstrează același semn de o parte și de alta, monotonia strictă nu se strică (paragraful 6). Și nici despre reciprocă: o funcție strict crescătoare poate avea derivata nulă într-un punct.

3. Care sunt pașii determinării intervalelor de monotonie?

Rețeta e aceeași la orice funcție din programă și se scrie pe hârtie în ordinea aceasta — scrii toți pașii, nu doar concluzia.

1. Domeniul. Scrii $D$ și îl desparți în intervalele din care e alcătuit. Tot ce urmează se petrece în interiorul acestor intervale.
2. Derivata, factorizată. Calculezi $f^{\prime }$ și o aduci la o formă din care semnul se citește: produs de factori, fracție cu numitor de semn cunoscut, pătrat perfect.
3. Zerourile derivatei. Rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$ și reții numai soluțiile din domeniu; adaugi punctele în care $f$ nu e derivabilă, dacă există.
4. Tabelul de semn. Așezi pe axă punctele găsite și stabilești semnul lui $f^{\prime }$ pe fiecare interval dintre ele, printr-o valoare de probă.
5. Concluzia, în cuvinte. Traduci fiecare semn într-o propoziție despre $f$: „strict crescătoare pe …", „strict descrescătoare pe …".

Să o aplicăm pe $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3x^2-45x+7$. Domeniul este $\mathbb{R}$, un singur interval. Derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-45$, pe care o factorizăm: $3x^2-6x-45=3(x-5)(x+3)$. Zerourile ei sunt $-3$ și $5$, amândouă în domeniu, iar funcția e derivabilă peste tot, deci alte puncte de tăiere nu există.

Semnul unui produs de doi factori de gradul întâi cu coeficient pozitiv în față e cunoscut din clasa a IX-a: plus în afara rădăcinilor, minus între ele. Verificăm oricum cu valori de probă, pentru că o probă costă cinci secunde și prinde orice greșeală de factorizare: $f^{\prime }(-4)=48+24-45=27>0$, $f^{\prime }(0)=-45<0$, $f^{\prime }(6)=108-36-45=27>0$.

Concluzia se scrie în trei propoziții, una pentru fiecare interval: pe $(-\infty ,-3]$ funcția urcă strict; pe $[-3,5]$ coboară strict; pe $[5,+\infty )$ urcă iarăși. Valorile din punctele de tăiere, $f(-3)=88$ și $f(5)=-168$, arată cât de mult coboară funcția pe porțiunea din mijloc și vor fi chiar valorile extreme studiate în lecția următoare.

4. Cum se scrie tabelul de semn al derivatei?

Tabelul de mai sus are un format fix, pe care îl vei folosi până la sfârșitul liceului. Rândul de antet este rândul lui $x$ și conține, în ordine crescătoare, capetele domeniului și punctele de tăiere. După fiecare punct urmează o coloană lăsată goală în antet: aceea este coloana-interval, cea în care se scrie semnul. Cu $k$ puncte de tăiere, tabelul are $k$ coloane-punct, $k+1$ coloane-interval și două coloane pentru capete.

Pe rândul $f^{\prime }(x)$: în coloanele-interval scrii $+$ sau $-$; în coloanele-punct scrii valoarea derivatei acolo, adică $0$ în zerourile ei, sau bara $|$ dacă funcția nu e definită acolo ori nu e derivabilă; la $-\infty$ și la $+\infty$ celula rămâne goală, pentru că infinitul nu e un punct al axei.

Două precizări care se uită des. Tabelul acesta este al derivatei: semnele din el nu spun dacă $f$ e pozitivă sau negativă, ci dacă urcă sau coboară. Și nu e același lucru cu tabelul de variație complet, cel cu valorile lui $f$ și cu limitele la capete; acela se completează cap-coadă în lecția despre tabelul de variație.

5. De ce concluzia nu se scrie pe o reuniune de intervale?

Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{4\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$. Derivând cu regula câtului obținem $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x-4)-(2x+1)}{(x-4{)}^2}=\frac{-9}{(x-4{)}^2}.$$ Numitorul este un pătrat, deci strict pozitiv oriunde funcția e definită, iar numărătorul este constant negativ: $f^{\prime }(x)<0$ pe tot domeniul.

Tentația e să scrii dintr-o suflare că funcția coboară strict pe $\mathbb{R}\setminus \{4\}$. Ar fi fals, și se vede din două numere: $f(0)=-\frac{1}{4}$, iar $f(5)=11$. Avem $0<5$ și totuși $f(0)<f(5)$ — exact contrariul a ce înseamnă „descrescătoare". Nu e nicio contradicție cu regula: ea cere ca mulțimea pe care tragi concluzia să fie interval, iar $\mathbb{R}\setminus \{4\}$ nu este, pentru că are o gaură. Punctele comparate stau pe ramuri diferite ale graficului, iar între ele funcția „sare" peste asimptota verticală.

Formularea corectă are două propoziții, una pentru fiecare ramură: pe $(-\infty ,4)$ funcția coboară strict, iar pe $(4,+\infty )$ coboară strict din nou. Capetele sunt aici paranteze rotunde pentru că $4$ nu aparține domeniului; la paragraful 3 am scris paranteze drepte în $-3$ și în $5$, unde funcția este definită și continuă.

6. Ce se întâmplă când derivata se anulează fără să schimbe semnul?

Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2+12x+5$. Derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2+12x+12=3(x+2{)}^2$, care se anulează în $-2$ și este strict pozitivă în rest. Tabelul are un singur punct de tăiere, iar de o parte și de alta a lui semnul este același:

Concluzia corectă: pe $(-\infty ,-2]$ funcția urcă strict, iar pe $[-2,+\infty )$ urcă strict din nou; cele două intervale având capătul comun $-2$, unde funcția e continuă, ea este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$. Verificarea directă confirmă: $f(-3)=-4$, $f(-2)=-3$, $f(-1)=-2$.

Un zerou izolat al derivatei nu strică deci stricta monotonie; contează doar dacă semnul se schimbă sau nu. Punctul $-2$ e special în alt fel: tangenta la grafic e orizontală acolo, dar graficul continuă să urce. Cum se numesc asemenea puncte și când sunt ele, totuși, vârfuri ale graficului, se lămurește în lecția despre puncte critice și puncte de extrem.

7. Ce citești din monotonie într-o problemă din științe?

Într-o seră tratată cu un prădător natural, numărul de dăunători evoluează după legea $N(t)=t^3-12t^2+36t+50$, unde $t$ este timpul în săptămâni, $t\in [0,8]$, iar $N$ se măsoară în indivizi. Derivata este $N^{\prime }(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)$, cu zerourile $2$ și $6$, amândouă în intervalul de lucru.

Populația crește pe $[0,2]$, scade pe $[2,6]$ și crește din nou pe $[6,8]$, cu valorile $N(0)=50$, $N(2)=82$, $N(6)=50$ și $N(8)=82$ — toate pozitive, cum se cuvine unui număr de indivizi, iar modelul e valabil numai pe cele opt săptămâni ale observației. În cuvintele biologului: prădătorul prinde din urmă înmulțirea dăunătorului în două săptămâni, ține populația în scădere patru săptămâni, apoi, rămas fără hrană, o lasă să crească iarăși.

Un rezultat aplicativ se scrie întotdeauna cu unitatea de măsură a derivatei — unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei. Aici $N^{\prime }$ se exprimă în indivizi pe săptămână, iar $N^{\prime }(1)=3-24+36=15$ înseamnă „după o săptămână ritmul de creștere era de cincisprezece indivizi pe săptămână". Concluzia nu se extrapolează: modelul nu spune nimic despre ce se întâmplă după a opta săptămână.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — O funcție de gradul al doilea

Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-12x+5$.

Rezolvare. Domeniul este $\mathbb{R}$. Derivata este $f^{\prime }(x)=2x-12$, care se anulează în $x=6$, este negativă pentru $x<6$ și pozitivă pentru $x>6$.

Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,6]$ și strict crescătoare pe $[6,+\infty )$.

Control. Rezultatul se potrivește cu ce știi din clasa a IX-a: ramurile parabolei fiind în sus, schimbarea de sens se face în vârf, la $x_V=-\frac{b}{2a}=6$. Derivata regăsește abscisa vârfului fără nicio formulă memorată și, spre deosebire de formulă, merge la orice funcție.

Exemplul 2 — O funcție de gradul al treilea

Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-18x^2+48x-5$.

Rezolvare. Derivata este $f^{\prime }(x)=6x^2-36x+48=6(x-2)(x-4)$, cu zerourile $2$ și $4$. Probe: $f^{\prime }(0)=48>0$, $f^{\prime }(3)=54-108+48=-6<0$, $f^{\prime }(5)=150-180+48=18>0$.

Citind tabelul de la stânga la dreapta: creștere până în $2$, scădere între $2$ și $4$, apoi creștere. Punctele de despărțire sunt $x=2$, unde $f(2)=35$, și $x=4$, unde $f(4)=27$.

Exemplul 3 — O funcție cu radical

Studiați monotonia funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6\sqrt{x}-x$, precizând pe ce mulțime este derivabilă.

Rezolvare. Funcția este continuă pe $[0,+\infty )$, dar derivabilă doar pe $(0,+\infty )$, pentru că $\sqrt{x}$ nu e derivabilă în origine. Pe $(0,+\infty )$, $$f^{\prime }(x)=\frac{6}{2\sqrt{x}}-1=\frac{3}{\sqrt{x}}-1=\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}.$$ Numitorul este strict pozitiv, deci semnul este dat de $3-\sqrt{x}$: pozitiv cât timp $\sqrt{x}<3$, adică $x<9$, și negativ pentru $x>9$.

În capătul $0$, care aparține domeniului, funcția are valoarea $f(0)=0$, dar nu este derivabilă — graficul pornește acolo cu semitangentă verticală —, așa că în rândul lui $f^{\prime }$ se pune bara $|$; goală rămâne numai coloana lui $+\infty$, care nu e un punct al axei.

Funcția este strict crescătoare pe $[0,9]$ și strict descrescătoare pe $[9,+\infty )$, cu $f(9)=18-9=9$. Am inclus capătul $0$ deși acolo funcția nu e derivabilă: regula se aplică pe interiorul intervalului, iar continuitatea în capăt permite alipirea lui la concluzie.

Exemplul 4 — Un model din chimie, cu unități de măsură

Într-un vas de reacție, masa de produs, în grame, la $t$ minute de la amestecare, este $m(t)=\frac{48t}{t+4}$, $t\in [0,20]$. Arătați că masa crește pe tot intervalul și calculați viteza de formare a produsului la $t=4$ minute.

Rezolvare. Derivăm cu regula câtului: $$m^{\prime }(t)=\frac{48(t+4)-48t}{(t+4{)}^2}=\frac{192}{(t+4{)}^2}.$$ Numărătorul e o constantă pozitivă, iar numitorul un pătrat, deci $m^{\prime }(t)>0$ pentru orice $t$ din $[0,20]$: masa de produs este strict crescătoare pe tot intervalul, ceea ce se și cuvine — o masă de produs care ar scădea ar însemna că reacția merge înapoi.

La $t=4$ minute, $m^{\prime }(4)=\frac{192}{64}=3$, adică 3 grame pe minut. Compară cu $m^{\prime }(16)=\frac{192}{400}=0,48$ grame pe minut: reacția încetinește pe măsură ce reactanții se consumă. Derivata nu se anulează nicăieri, deci tabelul de semn are un singur interval, fără coloane-punct — cazul cel mai simplu care poate apărea.

Exemplul 5 — Citește tabelul de semn

Despre o funcție $f$, continuă pe $\mathbb{R}$ și derivabilă pe $\mathbb{R}$, se știe doar tabelul de semn al derivatei:

a) Precizați intervalele de monotonie ale funcției $f$. b) Așezați în ordine crescătoare numerele $f(-3)$, $f(0)$ și $f(2)$.

Rezolvare. a) Rândul al doilea este al derivatei. Semnul minus pe prima coloană-interval dă $f$ strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$; plusul următor, strict crescătoare pe $[-1,4]$; ultimul minus, strict descrescătoare pe $[4,+\infty )$.

b) Punctele $0$ și $2$ stau amândouă în intervalul de creștere $[-1,4]$, iar $0<2$, deci $f(0)<f(2)$; tot acolo, $f(-1)<f(0)$. Pe $(-\infty ,-1]$ funcția scade și $-3<-1$, deci $f(-3)>f(-1)$. Atât se poate spune: despre poziția lui $f(-3)$ față de $f(0)$ și $f(2)$ tabelul nu spune nimic, fiindcă ar trebui cunoscute valorile. Răspuns: $f(-1)<f(0)<f(2)$, iar $f(-3)$ nu se poate compara cu ele fără informații suplimentare.

Un tabel de semn dă ordinea valorilor numai în interiorul aceluiași interval de monotonie; comparațiile peste un punct de schimbare cer valorile funcției, nu semnele derivatei.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2-6x+12\right)e^x$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=\left(x^2-4x+6\right)e^x$, $x\in \mathbb{R}$. b) Arătați că funcția $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. c) Arătați că $f(x)\ge 12$ pentru orice $x\ge 0$.

Rezolvare.

a) Aplicăm regula produsului: $f^{\prime }(x)=(2x-6)e^x+\left(x^2-6x+12\right)e^x$. Dăm factor comun $e^x$ și adunăm parantezele: $2x-6+x^2-6x+12=x^2-4x+6$, deci $f^{\prime }(x)=\left(x^2-4x+6\right)e^x$.

b) Factorul $e^x$ este strict pozitiv pentru orice $x$ real. Pentru celălalt factor scriem forma canonică: $x^2-4x+6=(x-2{)}^2+2$, sumă dintre un pătrat și un număr strict pozitiv, deci $x^2-4x+6\ge 2>0$. Prin urmare $f^{\prime }(x)>0$ pe tot $\mathbb{R}$, care este interval, iar regula monotoniei dă: $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) Din stricta creștere pe $\mathbb{R}$ rezultă că, pentru orice $x\ge 0$, avem $f(x)\ge f(0)$. Cum $f(0)=12$, obținem $f(x)\ge 12$, ceea ce trebuia arătat.

De la examen la lecție. Cele trei cerințe au forma din modelul oficial al probei M_șt-nat: la a) se verifică o formulă a derivatei, la b) se stabilește o proprietate a funcției, la c) se demonstrează o inegalitate. Punctul c) merită privit de două ori: inegalitatea nu se demonstrează prin calcule, ci prin monotonie — dacă funcția crește pe un interval, cea mai mică valoare a ei se ia în capătul din stânga. Discriminantul lui $x^2-4x+6$ este $\Delta =16-24=-8<0$, ceea ce dă aceeași concluzie ca forma canonică.

Să exersăm

Ordinea de redactare: domeniul, derivata factorizată, zerourile ei, tabelul de semn, concluzia în cuvinte.

1. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x-4$.

2. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x^2+21x+4$.

3. Arată că funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+4x-7$, este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

4. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă derivata unei funcții este pozitivă într-un punct, atunci funcția este strict crescătoare pe tot domeniul ei."

6. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+7}{x-3}$ și explică de ce aici concluzia încape într-o singură propoziție.

7. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=4\ln x-x+1$.

8. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x\sqrt{x}-3x$.

9. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+2)e^x$.

10. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-8x^2+3$.

11. (Problemă aplicată.) Adâncimea până la care a pătruns apa într-un sol uscat, în centimetri, după $t$ ore de ploaie, este $h(t)=\frac{20t}{t+5}$, $t\in [0,60]$. Arată că adâncimea crește pe tot intervalul, calculează $h^{\prime }(5)$ și precizează unitatea de măsură a rezultatului.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x+5$. Calculează $f^{\prime }(x)$ și determină intervalele de monotonie ale funcției $f$.

13. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+3}{x^2+1}$. a) Arată că $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$. b) Determină intervalele de monotonie ale funcției $f$.

14. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2+6x-1$. Arată că funcția $f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

15. Determină intervalele de monotonie ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3-x)e^x$.

16. Determină numerele reale $k$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+kx+5$, este strict crescătoare pe $[3,+\infty )$.

17. Explică, în trei-patru rânduri, de ce afirmația „funcția $f:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}-x$, este strict descrescătoare pe ${\mathbb{R}}^{\ast }$" este greșită, și scrie concluzia corectă.

18. (Provocare.) Determină numerele reale $m$ pentru care funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-3m{x}^2+3x+1$, nu este monotonă pe $\mathbb{R}$.

Răspunsuri și explicații

1. $f^{\prime }(x)=2x+6$, cu zeroul $-3$; semnul este $-$ înainte și $+$ după. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și strict crescătoare pe $[-3,+\infty )$.

2. $f^{\prime }(x)=3x^2-24x+21=3(x-1)(x-7)$, cu zerourile $1$ și $7$. Probe: $f^{\prime }(0)=21>0$, $f^{\prime }(4)=-27<0$, $f^{\prime }(8)=21>0$. Monotonia se citește direct din semne: creștere pe $(-\infty ,1]$, scădere pe $[1,7]$, apoi din nou creștere pe $[7,+\infty )$; valorile din punctele de despărțire sunt $f(1)=14$ și $f(7)=-94$.

3. $f^{\prime }(x)=3x^2+4$, sumă dintre un pătrat și un număr strict pozitiv, deci $f^{\prime }(x)\ge 4>0$ pentru orice $x$ real. Domeniul $\mathbb{R}$ fiind interval, regula monotoniei dă direct stricta creștere.

4. $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x-3)(x+1)$. Coeficientul dominant este negativ, deci semnele sunt $-$, $+$, $-$; proba: $f^{\prime }(-2)=-12-12+9=-15<0$, $f^{\prime }(0)=9>0$, $f^{\prime }(4)=-48+24+9=-15<0$. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, strict crescătoare pe $[-1,3]$ și strict descrescătoare pe $[3,+\infty )$.

5. Fals. Semnul derivatei într-un singur punct nu spune nimic despre un interval întreg. Contraexemplu: $f(x)=2x^3+9x^2-24x$ are $f^{\prime }(x)=6x^2+18x-24=6(x+4)(x-1)$, deci $f^{\prime }(2)=36>0$, dar pe $[-4,1]$ derivata este negativă și funcția scade acolo. Regula monotoniei cere semn constant pe tot intervalul.

6. $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3)-(x+7)}{(x-3{)}^2}=\frac{-10}{(x-3{)}^2}<0$ pe tot domeniul, iar domeniul $(3,+\infty )$ este interval: regula monotoniei se aplică pe el întreg, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(3,+\infty )$. Proba: $f(4)=11$ și $f(13)=2$.

7. $f^{\prime }(x)=\frac{4}{x}-1=\frac{4-x}{x}$. Pe $(0,+\infty )$ numitorul este pozitiv, deci semnul este al lui $4-x$: pozitiv pentru $x<4$, negativ pentru $x>4$. Funcția este strict crescătoare pe $(0,4]$ și strict descrescătoare pe $[4,+\infty )$.

8. Scriem $f(x)=x\sqrt{x}-3x$ și derivăm produsul: $f^{\prime }(x)=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}-3=\frac{3\sqrt{x}}{2}-3$. Derivata se anulează când $\sqrt{x}=2$, adică $x=4$, este negativă înainte și pozitivă după. Funcția este strict descrescătoare pe $[0,4]$ și strict crescătoare pe $[4,+\infty )$, cu $f(4)=8-12=-4$.

9. $f^{\prime }(x)=e^x+(x+2)e^x=(x+3)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul este al lui $x+3$. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-3]$ și strict crescătoare pe $[-3,+\infty )$.

10. $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$, cu zerourile $-2$, $0$ și $2$. Probe: $f^{\prime }(-3)=-108+48=-60<0$, $f^{\prime }(-1)=-4+16=12>0$, $f^{\prime }(1)=4-16=-12<0$, $f^{\prime }(3)=108-48=60>0$. Funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ,-2]$, strict crescătoare pe $[-2,0]$, strict descrescătoare pe $[0,2]$ și strict crescătoare pe $[2,+\infty )$.

11. $h^{\prime }(t)=\frac{20(t+5)-20t}{(t+5{)}^2}=\frac{100}{(t+5{)}^2}>0$ pentru orice $t$ din $[0,60]$, deci adâncimea crește pe tot intervalul; pornește de la $h(0)=0$ și se apropie de $20$ de centimetri fără să atingă valoarea aceasta. La $t=5$ ore, $h^{\prime }(5)=\frac{100}{100}=1$, adică 1 centimetru pe oră — unitatea derivatei este unitatea mărimii împărțită la unitatea variabilei.

12. $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, cu zerourile $-2$ și $2$; semnele sunt $+$, $-$, $+$. Semnele dau monotonia: crește pe $(-\infty ,-2]$, scade pe $[-2,2]$ și crește iar pe $[2,+\infty )$; în punctele de despărțire, $f(-2)=21$ și $f(2)=-11$.

13. a) Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x\left(x^2+1\right)-\left(x^2+3\right)\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, iar numărătorul este $2x^3+2x-2x^3-6x=-4x$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{-4x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. b) Numitorul fiind strict pozitiv, semnul este al lui $-4x$: pozitiv pentru $x<0$, negativ pentru $x>0$. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict descrescătoare pe $[0,+\infty )$.

14. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x+6=3\left(x^2+2x+2\right)=3\left((x+1{)}^2+1\right)$. Paranteza este suma dintre un pătrat și $1$, deci $f^{\prime }(x)\ge 3>0$ pentru orice $x$ real; domeniul fiind interval, funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. (Același rezultat se obține din $\Delta =36-72=-36<0$ și coeficient dominant pozitiv.)

15. $f^{\prime }(x)=-e^x+(3-x)e^x=(2-x)e^x$. Cum $e^x>0$, semnul este al lui $2-x$: pozitiv pentru $x<2$, negativ pentru $x>2$. Funcția este strict crescătoare pe $(-\infty ,2]$ și strict descrescătoare pe $[2,+\infty )$, cu $f(2)=e^2$.

16. $f^{\prime }(x)=2x+k$, iar condiția este $f^{\prime }(x)\ge 0$ pentru orice $x\ge 3$. Derivata fiind crescătoare, cea mai mică valoare a ei pe $[3,+\infty )$ se ia în capăt: $f^{\prime }(3)=6+k\ge 0$, adică $k\ge -6$. Pentru $k=-6$ derivata se anulează doar în $3$, un zerou izolat, deci stricta creștere se păstrează.

17. $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}-1<0$ pe tot domeniul, deci pe fiecare ramură funcția chiar coboară. Afirmația rămâne totuși falsă, pentru că ${\mathbb{R}}^{\ast }$ nu este interval: avem $f(-1)=0$ și $f(1)=0$, adică două valori egale pentru $-1<1$, ceea ce contrazice stricta descreștere. Concluzia corectă are două propoziții: $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0)$ și strict descrescătoare pe $(0,+\infty )$.

18. $f^{\prime }(x)=3x^2-6mx+3=3\left(x^2-2mx+1\right)$. Funcția este monotonă pe $\mathbb{R}$ exact când derivata păstrează un semn constant, adică atunci când trinomul nu are două rădăcini distincte. Cerem deci contrariul: două rădăcini distincte, adică $\Delta >0$. Avem $\Delta =36m^2-36=36\left(m^2-1\right)$, iar $\Delta >0$ înseamnă $m^2>1$, adică $m\in (-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$. Pentru aceste valori derivata schimbă semnul de două ori, deci funcția crește, scade, crește — nu este monotonă.

De reținut

• Regula monotoniei se enunță pe un interval: dacă $f$ e derivabilă pe intervalul $I$ și $f^{\prime }(x)>0$ pe $I$, atunci $f$ e strict crescătoare pe $I$; dacă $f^{\prime }(x)<0$ pe $I$, e strict descrescătoare. La profilul științe ale naturii regula se admite și se folosește, nu se demonstrează.
• Rețeta are cinci pași: întâi domeniul, apoi derivata adusă la formă factorizată, apoi punctele în care ea se anulează sau nu există, apoi tabelul semnelor și, la sfârșit, concluzia scrisă în cuvinte despre $f$.
• Răspunsul cerut e o propoziție despre funcție, nu un tabel: „$f$ este strict crescătoare pe $[2,+\infty )$", nu „$f^{\prime }$ este pozitivă pe $(2,+\infty )$".
• Concluzia se scrie pe câte un interval, niciodată pe o reuniune; capetele finite se includ când funcția e definită și continuă acolo și se exclud când punctul nu aparține domeniului.
• Anularea derivatei într-un punct izolat lasă monotonia strictă neatinsă: singurul lucru care contează e dacă semnul lui $f^{\prime }$ se schimbă la trecerea prin acel punct.

Greșeli frecvente

• Te oprești la tabel și nu scrii concluzia. Tabelul de semn e un instrument de lucru, nu un răspuns; cerința „determinați intervalele de monotonie" se rezolvă cu propoziții despre $f$, iar tocmai ele sunt răspunsul cerut.
• Rezolvi $f(x)=0$ în loc de $f^{\prime }(x)=0$. Zerourile funcției sunt punctele în care graficul taie axa $Ox$ și nu au legătură cu sensul de variație; punctele de tăiere ale tabelului sunt zerourile derivatei.
• Incluzi în interval un capăt care nu e în domeniu. La $f(x)=\frac{2x+1}{x-4}$ se scrie „pe $(-\infty ,4)$", nu „pe $(-\infty ,4]$": funcția nu există în $4$.
• Crezi că „derivata crește" înseamnă „funcția crește". Funcția crește când $f^{\prime }$ e pozitivă, indiferent dacă $f^{\prime }$ însăși urcă sau coboară. La $f(x)=x^2-12x+5$, derivata $2x-12$ e crescătoare peste tot, dar funcția scade pe $(-\infty ,6]$.
• Dai răspunsul aplicativ fără unitate și fără sens fizic. „Derivata este $15$" nu spune nimic; răspunsul complet e „populația creștea cu 15 indivizi pe săptămână", iar concluzia nu se extinde în afara intervalului de valabilitate al modelului.

Aplică acasă

1. Umbra de la prânz. Timp de o zi, măsoară din două în două ore lungimea umbrei unui băț înfipt vertical în pământ. Spune pe ce interval de timp lungimea a scăzut și pe ce interval a crescut, apoi marchează ora schimbării. Ai obținut, cu date reale, exact ce dă un tabel de semn: intervalele de monotonie și punctul de tăiere dintre ele.

2. Semnul derivatei, verificat cu rigla. Pentru $f(x)=x^3-12x^2+21x+4$ din exercițiul 2, calculează valorile din unitate în unitate pe $[0,8]$ și desenează graficul pe hârtie milimetrică. Așază rigla ca tangentă în punctele de abscise $0$, $4$ și $8$ și notează dacă urcă sau coboară; compară cu semnele din tabelul tău.

3. Un model pe care îl testezi tu. Cântărește zilnic, o săptămână, o felie de măr lăsată la aer. Calculează variațiile de la o zi la alta și spune dacă masa scade monoton pe toată săptămâna. Dacă ai scrie o funcție care descrie datele, ar avea derivata mereu de același semn sau și-ar schimba semnul?

Pentru părinți și profesori

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema apare în domeniul Analiză matematică, la XI.4 „Aplicații ale derivatelor în studiul funcțiilor" — „Monotonia funcțiilor: relația dintre semnul derivatei de ordinul I pe un interval și monotonia funcției". Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029, unde tema este cerută explicit de programa de examen (OMEN 4430/2014), la capitolul „Studiul funcțiilor cu ajutorul derivatelor" — „rolul derivatelor de ordinul I și de ordinul al II-lea în studiul funcțiilor: monotonie, puncte de extrem, concavitate, convexitate". Ea apare la Subiectul al III-lea, la prima problemă; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, ultima cerință a acestei probleme se rezolvă tocmai prin semnul derivatei. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie.

O deosebire de traseu, utilă părinților care compară manualele: la profilul matematică-informatică legătura dintre semnul derivatei și monotonie se demonstrează, ca o consecință a teoremei lui Lagrange. Programa de științe ale naturii nu conține nici teorema lui Rolle, nici pe a lui Lagrange, nici teorema lui Fermat, așa că aici regula se enunță și se aplică. Elevul nu pierde nimic din capacitatea de a rezolva subiecte, dar trebuie să știe că regula are o ipoteză care nu se poate sări: concluzia se trage pe un interval.

Lecția verifică patru lucruri: (1) derivata e factorizată înainte de a i se citi semnul; (2) zerourile reținute sunt numai cele din domeniu; (3) concluzia e formulată despre funcție, nu despre derivată; (4) la problemele aplicate apare unitatea de măsură. Trei întrebări de control: „De ce ai scris paranteză dreaptă aici și rotundă dincolo?"; „Dacă derivata se anulează într-un punct, ce știi sigur despre funcție?"; „Ce înseamnă, în problema asta, că derivata e negativă?". Semne că a înțeles: începe cu domeniul, verifică semnul cu o valoare de probă, nu scrie monotonie pe o reuniune.

Întrebări frecvente

Cum aflu intervalele de monotonie ale unei funcții cu ajutorul derivatei? Calculezi $f^{\prime }$, o factorizezi, rezolvi ecuația $f^{\prime }(x)=0$ și reții soluțiile din domeniu, apoi stabilești semnul derivatei pe fiecare interval dintre ele, cu o valoare de probă. Unde $f^{\prime }$ e pozitivă, funcția e strict crescătoare; unde e negativă, strict descrescătoare. Concluzia se scrie cu propoziții despre funcție, câte una pentru fiecare interval.

Ce diferență este între monotonie la M2 și la mate-info (M1)? Rezultatul folosit e același, dar statutul lui diferă. La profilul științe ale naturii regula se admite și se aplică, pentru că programa nu conține teoremele lui Rolle, Lagrange și Fermat. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: monotonia din semnul derivatei o deduce ca pe o consecință a teoremei lui Lagrange și adaugă tehnici pe care M2 nu le cere.

La ce subiect apare monotonia la bacalaureatul M2? La Subiectul al III-lea, la prima problemă, care pleacă de la o funcție și de la derivata ei. Cerințele obișnuite sunt „arătați că $f^{\prime }(x)=\dots$", urmată de „determinați intervalele de monotonie" sau de o inegalitate care se demonstrează prin monotonie. Fiecare subpunct valorează cinci puncte, iar rezolvarea se scrie pe pași.

Trebuie să demonstrez la examen legătura dintre semnul derivatei și monotonie? Nu. Programa de științe ale naturii cere relația dintre semnul derivatei de ordinul I și monotonia funcției ca rezultat de aplicat, nu de demonstrat, la fel cum dă regula lui l'Hôspital „fără demonstrație". În rezolvare se citează pe scurt — „derivata fiind pozitivă pe interval, funcția este strict crescătoare acolo" — și se trece la calcule.

Se schimbă monotonia dacă adun o constantă la funcție? Nu. Derivata unei constante este zero, deci $f$ și $f+c$ au aceeași derivată, aceleași zerouri ale ei și același tabel de semn; graficul se translatează pe verticală, dar sensul de variație rămâne identic. De aceea, la $x^3-12x^2+21x+4$ și la $x^3-12x^2+21x+25$ răspunsul este exact același.

Ce fac dacă funcția are radical și nu e derivabilă în capătul domeniului? Aplici regula pe interiorul domeniului, unde derivata există, apoi alipești capătul la concluzie dacă funcția e continuă acolo. La $f(x)=6\sqrt{x}-x$ derivata nu există în $0$, dar funcția e continuă pe $[0,+\infty )$, așa că se scrie „strict crescătoare pe $[0,9]$", cu capătul inclus.

Pot citi monotonia direct de pe graficul derivatei? Da, și e cea mai rapidă cale când ți se dă graficul lui $f^{\prime }$ în loc de formulă. Porțiunile în care graficul derivatei stă deasupra axei $Ox$ dau intervalele de creștere ale lui $f$, cele de sub axă dau intervalele de descreștere, iar punctele în care taie axa sunt punctele de tăiere ale tabelului. Se citește poziția față de axă, nu urcarea graficului lui $f^{\prime }$.