Grupurile $$(\mathbb{Z}_{38},+)$$ și $$(\mathbb{Z}_{40},+)$$ nu sunt izomorfe. Motivul este:

nu au același număr de elemente

unul este comutativ, celălalt nu

clasa $$\hat{0}$$ nu are opus în $$\mathbb{Z}_{38}$$

cele două legi se notează amândouă cu semnul $$+$$

Funcția $$f:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R},+)$$, $$f(x)=9x-45$$, nu este morfism de grupuri. Argumentul corect este:

$$f(0)=-45$$, iar elementul neutru al grupului de sosire este $$0$$

$$f$$ nu este definită pentru $$x<5$$

Este f(x)=3x un izomorfism de la (ℝ,+) la (ℝ,+)?

Da. Morfismul se verifică cu litere: 3(x+y)=3x+3y. Funcția este bijectivă, cu inversa x/3, deci este izomorfism. Orice funcție f(x)=kx cu k≠0 se comportă la fel.

Cum aflu f(5) dacă f:(ℤ,+)→(ℝ^*,·) e morfism cu f(1)=2?

Scrii 5=1+1+1+1+1, iar morfismul transformă suma în produs: f(5)=f(1)⁵=32. La fel, f(-1) este inversul lui f(1), adică 1/2, fiindcă simetricul trece în simetric. Un astfel de morfism este determinat complet de valoarea lui în 1.

Ce morfism transformă înmulțirea în adunare?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche → ·

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Morfisme și izomorfisme

Logaritmul natural: $f : ((0, + \infty), \cdot) \to (R, +)$ , $f (x) = ln x$ , verifică $ln (x y) = ln x + ln y$ pentru orice numere pozitive. De exemplu, $ln (2 \cdot 5) = ln 10 = ln 2 + ln 5$ . Neutrul $1$ al înmulțirii ajunge în neutrul $0$ al adunării, iar inversul $\frac{1}{x}$ ajunge în opusul $- ln x$ . Funcția este bijectivă, deci este chiar un izomorfism: cele două grupuri au aceeași structură, scrisă cu alte operații.

Definiția. $f : (G, *) \to (G^{'}, \circ)$ e morfism când $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ pentru orice două elemente. Cele două semne arată, de obicei, operații fără nicio legătură: primul lucrează la plecare, al doilea la sosire. Verificarea are trei gesturi — notezi capetele cu legile lor, calculezi separat cei doi membri cu litere, apoi îi compari.

Ce se deduce din singura egalitate. Orice morfism duce elementul neutru în elementul neutru, $f (e) = e^{'}$ , și simetricul în simetric, $f (x^{'}) = (f (x))^{'}$ . Prima se întoarce și lucrează ca filtru: orice funcție la care $f (e)$ nu nimerește în $e^{'}$ cade pe loc. Filtrul respinge, nu confirmă — există funcții care îl trec și nu sunt morfisme.

Izomorfismul e un morfism bijectiv; cel mai comod se dovedește scriind funcția inversă, cu domeniul precizat. Două grupuri izomorfe au același număr de elemente, iar dacă într-unul compunerea nu vede care element e scris întâi, la fel se poartă și celălalt — de aceea prima verificare la grupuri finite e compararea cardinalelor.

Regula de aur. Ca să confirmi, lucrezi cu litere; ca să infirmi, cauți o pereche de numere. O sută de perechi care ies bine nu dovedesc nimic.

De reținut

morfism: $f (x * y) = f (x) \circ f (y)$ , arătat cu litere
$ln (x y) = ln x + ln y$ : izomorfism de la $((0, + \infty), \cdot)$ la $(R, +)$
izomorfism = morfism bijectiv

Greșeala tipică

Se verifică morfismul pe un singur exemplu numeric, de pildă $f (1 + 2) = f (1) + f (2)$ , și se trage concluzia; egalitatea trebuie arătată cu litere, pentru orice pereche de elemente.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre funcțiile de mai jos este morfism de grupuri de la $(R, +)$ la $(R, +)$ ?
- a) $f (x) = - 6 x$
- b) $f (x) = x + 6$
- c) funcția constantă $f (x) = 6$
- d) $f (x) = ∣ x ∣$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $f (x) = - 6 x$

La a): $f (x + y) = - 6 (x + y) = - 6 x - 6 y = f (x) + f (y)$ , pentru orice numere reale. La b) și c) cade testul elementului neutru: $f (0) = 6 \neq = 0$ . La d) testul trece, $f (0) = 0$ , dar egalitatea nu: pentru $x = 1$ și $y = - 1$ avem $f (0) = 0$ , în timp ce $f (1) + f (- 1) = 2$ .
Grupurile $(Z_{38}, +)$ și $(Z_{40}, +)$ nu sunt izomorfe. Motivul este:
- a) unul este comutativ, celălalt nu
- b) nu au același număr de elemente
- c) clasa $\hat{0}$ nu are opus în $Z_{38}$
- d) cele două legi se notează amândouă cu semnul $+$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) nu au același număr de elemente

Un izomorfism este în particular o bijecție, iar între două mulțimi finite există bijecție numai dacă au același cardinal; aici $card Z_{38} = 38$ și $card Z_{40} = 40$ . Varianta a) e falsă: amândouă grupurile sunt comutative. Varianta c) e falsă: opusul lui $\hat{0}$ este $\hat{0}$ . Varianta d) nu spune nimic despre structură.
Funcția $f : (R, +) \to (R, +)$ , $f (x) = 9 x - 45$ , nu este morfism de grupuri. Argumentul corect este:
- a) $f$ nu este bijectivă
- b) $f (0) = - 45$ , iar elementul neutru al grupului de sosire este $0$
- c) $f$ ia și valori negative
- d) $f$ nu este definită pentru $x < 5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $f (0) = - 45$ , iar elementul neutru al grupului de sosire este $0$

Orice morfism duce elementul neutru în elementul neutru, deci ar trebui să avem $f (0) = 0$ ; cum $f (0) = - 45$ , funcția e respinsă fără niciun alt calcul. Varianta a) e falsă și ca premisă: $f$ este bijectivă pe $R$ . Varianta c) nu are legătură cu definiția, iar d) e falsă: $f$ este definită pe tot $R$ .

Întrebări conexe

Este $f (x) = 2^{x}$ un morfism de la $(R, +)$ la $((0, + \infty), \cdot)$ ?

Da: $2^{x + y} = 2^{x} \cdot 2^{y}$ pentru orice numere reale, deci suma din grupul de plecare devine produs la sosire. Neutrul $0$ ajunge în $1$ , iar funcția este bijectivă, cu inversa $lo g_{2}$ , deci este izomorfism.

Ce legătură are pH-ul cu un morfism de grupuri?

pH-ul folosește logaritmul zecimal, $pH = - l g [H^{+}]$ , care transformă produsele în sume. O diluare de zece ori împarte concentrația la $10$ , iar $l g \frac{c}{10} = l g c - 1$ , deci pH-ul crește exact cu $1$ .

Este $f (x) = 3 x$ un izomorfism de la $(R, +)$ la $(R, +)$ ?

Da. Morfismul se verifică cu litere: $3 (x + y) = 3 x + 3 y$ . Funcția este bijectivă, cu inversa $\frac{x}{3}$ , deci este izomorfism. Orice funcție $f (x) = k x$ cu $k \neq = 0$ se comportă la fel.

Cum aflu $f (5)$ dacă $f : (Z, +) \to (R^{*}, \cdot)$ e morfism cu $f (1) = 2$ ?

Scrii $5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1$ , iar morfismul transformă suma în produs: $f (5) = f (1)^{5} = 32$ . La fel, $f (- 1)$ este inversul lui $f (1)$ , adică $\frac{1}{2}$ , fiindcă simetricul trece în simetric. Un astfel de morfism este determinat complet de valoarea lui în $1$ .

Poate un morfism să fie injectiv, dar nu surjectiv?

Da. Funcția $f : (Z, +) \to (Z, +)$ , $f (x) = 2 x$ , este morfism și este injectivă, dar ia doar valori pare, deci nu atinge numărul $1$ . Nefiind bijectivă, ea nu este izomorfism.

Oamenii mai întreabă și: logaritmul ca morfism de grupuri · izomorfismul dintre înmulțire și adunare · ln x morfism de grupuri · morfism de la numere pozitive la numere reale