Morfisme și izomorfisme de grupuri (M2, științe ale naturii)

La lecția despre grupuri de matrice ai folosit, fără să-i dai un nume, o egalitate surprinzătoare: $\det (AB)=\det A\cdot \det B$. Citește-o cu atenție. În stânga înmulțești matricele și apoi calculezi un determinant; în dreapta calculezi întâi cei doi determinanți și apoi înmulțești două numere. Două drumuri complet diferite, același rezultat de fiecare dată. Tot așa, la clasele de resturi, a aduna două numere și a reduce suma dă același lucru cu a reduce fiecare număr și a aduna clasele. Funcțiile care se poartă așa poartă un nume, iar la clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), ele închid capitolul de grupuri. Tema se dă la bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, la Subiectul al II-lea.

Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 din sesiunile 2027, 2028 și 2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) are, la elementele de algebră, rândul „Morfism și izomorfism de grupuri", în timp ce programa nouă a clasei a XII-a (OMEC 6930/2025, anexa 28) nu mai conține structurile algebrice. Ce se cere este exact ce scrie acolo: să verifici relația dintre cele două operații și, când e cazul, bijectivitatea. O precizare de notație, făcută o dată pentru toată lecția: litera $e$ înseamnă aici element neutru, niciodată numărul lui Euler.

Ce vei învăța

• Vei ști ce cere egalitatea $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$ și de ce cele două semne de operație din ea nu înseamnă același lucru.
• Vei ști să verifici o funcție calculând separat cei doi membri, cu litere, și să respingi una singură printr-un contraexemplu numeric.
• Vei ști să deduci, din singura egalitate a definiției, ce se alege de neutru și de simetric după trecerea prin funcție.
• Vei ști să folosești testul elementului neutru ca instrument rapid de respingere — și să înțelegi de ce nu e un instrument de confirmare.
• Vei ști ce este un izomorfism și să dovedești bijectivitatea scriind funcția inversă.
• Vei ști să rezolvi cerința de tip Bacalaureat M2 „arătați că funcția dată este izomorfism între cele două grupuri".

Hai să descoperim împreună

1. Ce este un morfism de grupuri?

Așază una lângă alta cele două egalități din deschidere. Prima leagă înmulțirea matricelor de înmulțirea numerelor, a doua leagă adunarea numerelor întregi de adunarea claselor. Mulțimile n-au nimic comun, semnele de operație nici atât, și totuși tiparul se repetă: treci prin funcție înainte sau după ce calculezi — nimerești în același loc.

Morfismul de grupuri este funcția care mută compusul a două elemente exact în compusul imaginilor lor; ea leagă două grupuri, fiecare cu legea lui, și are o singură cerință.

Definiție. Fie $(G,\ast )$ și $(G^{\prime },\circ )$ două grupuri. Funcția $f:G\to G^{\prime }$ e morfism de grupuri când

$$f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)\text{oricare ar fi }x,y\in G.$$

Două precizări de scriere, valabile peste tot mai jos. Semnele $\ast$ și $\circ$ arată, de cele mai multe ori, operații fără nicio legătură între ele: primul lucrează pe elemente din $G$, al doilea pe imaginile lor din $G^{\prime }$; iar $\circ$ e aici un semn de lege de compoziție, nu semnul prin care se compun două funcții. Cât despre neutre, ele se scriu $e$ la plecare și $e^{\prime }$ la sosire — apostroful e doar o etichetă de apartenență, nu simbolul simetricului.

Noțiunea nu e o invenție de dragul definiției. Ea a fost întâi observată — la determinanți, la clase de resturi, la logaritmi, la trecerile dintr-o unitate de măsură în alta — și abia apoi botezată. Câștigul e că o relație adevărată într-un grup ajunge, fără niciun efort, adevărată și în celălalt.

2. Cum verifici că o funcție este morfism?

Rețeta are trei gesturi și nu se scurtează, pentru că fiecare prinde o greșeală tipică.

Gestul întâi: notează capetele. De unde pleacă funcția, unde ajunge și care e legea la fiecare capăt. Fără rândul acesta nu știi nici măcar ce ai de comparat.

Gestul al doilea: calculează separat membrul stâng și membrul drept, cu litere. Nu unul „din" celălalt, ci fiecare pe rândul lui, pornind de la definiții.

Gestul al treilea: compară expresiile obținute. Egalitatea trebuie să fie o identitate, adevărată pentru orice $x$ și $y$, nu o coincidență pe o pereche.

O aplicăm pe un exemplu curat. Fie $s:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$, $s(x)=\sqrt{x}$. Ambele grupuri au aceeași lege, înmulțirea numerelor pozitive.

Membrul stâng: $s(x\cdot y)=\sqrt{xy}$. Membrul drept: $s(x)\cdot s(y)=\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}$. Cele două coincid pentru orice $x,y>0$, fiindcă radicalul unui produs de numere pozitive este produsul radicalilor — proprietate cunoscută din clasa a IX-a. Deci $s$ este morfism de grupuri.

Observă asimetria dintre confirmare și respingere, pentru că ea schimbă felul în care lucrezi: ca să confirmi, calculezi cu litere; ca să infirmi, cauți numere. O singură pereche pentru care egalitatea nu se verifică este de ajuns ca să respingi funcția, dar o sută de perechi care se verifică nu dovedesc nimic.

3. Ce duce un morfism în ce?

Definiția are un singur rând, însă el aduce cu sine două rezultate pe care le vei folosi la aproape orice cerință.

Proprietatea 1. Dacă $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este morfism, atunci $f(e)=e^{\prime }$.

Demonstrație. În $G$ avem $e\ast e=e$; trecem egalitatea prin funcție și obținem $f(e)=f(e)\circ f(e)$. Notăm $u=f(e)$, deci $u=u\circ u$. Elementul $u$ trăiește într-un grup, așadar are un simetric $u^{\prime }$, pe care îl compunem cu ambii membri, de aceeași parte:

$$u^{\prime }\circ u=u^{\prime }\circ (u\circ u)=(u^{\prime }\circ u)\circ u.$$

Membrul din stânga e $e^{\prime }$, cel din dreapta e $e^{\prime }\circ u$, adică $u$. Rămâne $u=e^{\prime }$, adică tocmai ce trebuia arătat.

Proprietatea 2. În aceleași condiții, $f(x^{\prime })=(f(x){)}^{\prime }$ pentru orice $x\in G$.

Demonstrație. Trecem prin funcție egalitatea $x\ast x^{\prime }=e$ și folosim Proprietatea 1: iese $f(x)\circ f(x^{\prime })=e^{\prime }$. Din $x^{\prime }\ast x=e$ iese, la fel, $f(x^{\prime })\circ f(x)=e^{\prime }$. Cele două egalități spun împreună că $f(x^{\prime })$ joacă, față de $f(x)$, exact rolul de simetric, în amândouă ordinele. Într-un grup nu există decât un singur simetric al unui element, deci $f(x^{\prime })$ nu are ce altceva să fie.

Reține un amănunt de fond: niciuna dintre cele două demonstrații nu se uită la ce sunt, concret, elementele. Ele funcționează neschimbate la clase de resturi, la matrice și la o lege dată printr-o formulă.

4. Testul elementului neutru — și ce nu poate el

Proprietatea 1 se întoarce și se folosește pe dos, ca filtru: o funcție care nu duce $e$ în $e^{\prime }$ este eliminată pe loc, fără niciun calcul în plus.

Ia $u:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $u(x)=7-x$. Elementul neutru al grupului de plecare este $0$, iar $u(0)=7\ne 0$. Gata: $u$ nu este morfism. Verificarea directă confirmă — $u(x+y)=7-x-y$, în timp ce $u(x)+u(y)=14-x-y$ —, dar ea nici nu mai era necesară.

Atenție însă la sensul afirmației, fiindcă aici se greșește ușor. Testul respinge, nu confirmă. Există funcții care duc cuminte neutrul în neutru și nu sunt morfisme, iar Exemplul $2$ este exact un asemenea caz. Formulat scurt: $f(e)=e^{\prime }$ este o consecință a definiției, nu o definiție alternativă.

5. Când devine un morfism izomorfism?

Adăugăm o singură condiție și obținem noțiunea care identifică două grupuri, nu doar le compară.

Definiție. Un izomorfism de grupuri este un morfism bijectiv. Dacă între $(G,\ast )$ și $(G^{\prime },\circ )$ există un izomorfism, spunem că grupurile sunt izomorfe și scriem $G\simeq G^{\prime }$.

La profilul științe ale naturii ai o metodă foarte comodă de a dovedi bijectivitatea, învățată la Funcții bijective pe intervale: scrie funcția inversă. Dacă găsești o funcție care, aplicată după $f$, readuce fiecare element de unde a plecat, și care e definită pe tot grupul de sosire, atunci $f$ e bijectivă și nu mai ai nimic de demonstrat.

Reluăm funcția $s(x)=\sqrt{x}$ de la punctul $2$, despre care știm deja că e morfism. Este ea bijectivă de la $(0,+\infty )$ la $(0,+\infty )$? Da: funcția $u\mapsto u^2$, definită pe $(0,+\infty )$, o inversează, fiindcă $(\sqrt{x}{)}^2=x$ și $\sqrt{u^2}=u$ pentru numere pozitive. Deci $s$ este izomorfism.

Și acum contrastul, care arată că bijectivitatea chiar adaugă ceva. Fie $g:({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )\to ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$, $g(x)=x^2$. Este morfism, pentru că $(xy{)}^2=x^2{y}^2$. Este chiar surjectivă, fiindcă orice număr pozitiv este pătratul unui număr real nenul. Dar nu este injectivă: $g(5)=g(-5)=25$. Deci $g$ nu este izomorfism. Un izomorfism nu are voie să piardă informație; $g$ pierde semnul.

6. Ce păstrează un izomorfism?

Dacă $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este izomorfism, atunci tot ce se poate spune despre $G$ folosind numai legea lui se traduce în ceva adevărat despre $G^{\prime }$. Trei consecințe se folosesc mereu.

Întâi, neutrul merge în neutru și simetricul în simetric — sunt chiar proprietățile de la punctul $3$, valabile pentru orice morfism. Ele dau și o cale rapidă de a afla elementul neutru al unui grup necunoscut: dacă știi izomorfismul, neutrul este preimaginea lui $e^{\prime }$.

Apoi, comutativitatea se transmite. Fie $G$ comutativ și fie $u$, $v$ două elemente din $G^{\prime }$; cum $f$ este surjectivă, există $x$, $y$ în $G$ cu $u=f(x)$ și $v=f(y)$. Atunci

$$u\circ v=f(x)\circ f(y)=f(x\ast y)=f(y\ast x)=f(y)\circ f(x)=v\circ u.$$

În fine, numărul de elemente se păstrează, fiindcă între două mulțimi finite există o bijecție numai dacă au același cardinal. De aici prima verificare într-o problemă de izomorfism între grupuri finite: compară $\mathrm{card}G$ cu $\mathrm{card}{G}^{\prime }$; dacă nu coincid, nu mai ai ce căuta.

7. Ce se cere efectiv la examenul M2 din tema aceasta?

La bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029, programa de examen — cea din 2014 — conține la elementele de algebră rândul „Morfism și izomorfism de grupuri", imediat după rândul cu exemplele de grupuri. Sunt exact cele două noțiuni ale lecției de față, în ordinea în care le-ai învățat aici.

Despre forma probei, sursa cea mai apropiată este modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026 la specializarea științe ale naturii: toate subiectele sunt obligatorii, se acordă zece puncte din oficiu, timpul de lucru este de trei ore, iar cele trei subiecte valorează câte $30$ de puncte. Subiectul al II-lea are două probleme de câte trei cerințe de $5$ puncte, iar el este locul algebrei în toată proba; o lege dată prin formulă, împreună cu funcția care o traduce într-o operație familiară, își are locul într-una dintre ele. În modelul acesta cele două probleme sunt despre matrice și despre un polinom: un model arată formatul probei, nu temele fiecărei sesiuni, iar tema de față e cerută de programă. Cerințele din lecție sunt construite pe tema din programă, în formatul probei, dar nu sunt o prezicere a subiectului.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un izomorfism care este propria lui inversă

Arată că $f:({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=\frac{1}{x}$, este izomorfism de grupuri.

Rezolvare. Ambele grupuri au aceeași lege, înmulțirea numerelor reale nenule.

Morfismul. Membrul stâng: $f(xy)=\frac{1}{xy}$. Membrul drept: $f(x)\cdot f(y)=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{xy}$. Sunt egale pentru orice $x,y$ nenule.

Bijectivitatea. Funcția inversă este chiar $f$: din $u=\frac{1}{x}$ rezultă $x=\frac{1}{u}$, iar $\frac{1}{u}$ este definit pentru orice $u\ne 0$. Deci $f$ este bijectivă și, prin urmare, izomorfism.

Control pe proprietăți: $f(1)=1$, deci neutrul merge în neutru; iar $f\left(\frac{1}{x}\right)=x=\frac{1}{f(x)}$, deci simetricul merge în simetric.

Exemplul 2 — Neutrul merge în neutru, dar funcția nu e morfism

Stabilește dacă $f:((0,+\infty ),\cdot )\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=x-1$, este morfism de grupuri.

Rezolvare. Începem cu testul rapid. Elementul neutru al grupului de plecare este $1$, cel al grupului de sosire este $0$, iar $f(1)=0$. Testul trece, deci nu putem respinge funcția așa.

Trecem la verificarea propriu-zisă. Membrul stâng: $f(x\cdot y)=xy-1$. Membrul drept: $f(x)+f(y)=(x-1)+(y-1)=x+y-2$. Cele două expresii nu coincid ca identități; ca să fim siguri, căutăm numere: pentru $x=y=2$ obținem $f(4)=3$, în timp ce $f(2)+f(2)=1+1=2$. Cum $3\ne 2$, funcția nu este morfism.

Reține situația: testul elementului neutru poate să treacă, iar funcția să nu fie totuși morfism. Trecerea testului nu ține loc de calculul celor doi membri.

Exemplul 3 — Un izomorfism între clase de resturi

Arată că $f:({\mathbb{Z}}_4,+)\to ({\mathbb{Z}}_4,+)$, $f(\hat{k})=-\hat{k}$, este izomorfism de grupuri.

Rezolvare. Morfismul. Membrul stâng este $f(\hat{k}+\hat{l})=-(\hat{k}+\hat{l})$, iar membrul drept este $f(\hat{k})+f(\hat{l})=(-\hat{k})+(-\hat{l})$. Cele două coincid — este egalitatea demonstrată la exercițiul $18$ din lecția despre grupul aditiv al claselor de resturi, pe care o reluăm aici, nu o redemonstrăm.

Bijectivitatea. Funcția inversă este tot $f$, fiindcă simetricul simetricului este elementul însuși: $f(f(\hat{k}))=-(-\hat{k})=\hat{k}$. Deci $f$ este bijectivă și izomorfism.

Pe elemente, folosind formula $-\hat{a}=\widehat{4-a}$: $f(\hat{0})=\hat{0}$, $f(\hat{1})=\hat{3}$, $f(\hat{2})=\hat{2}$ și $f(\hat{3})=\hat{1}$. Se vede limpede că fiecare clasă apare exact o dată printre imagini.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev vrea să arate că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=x^2-2x$, este morfism. El scrie: „Verific pe $x=0$ și $y=2$. Avem $f(0+2)=f(2)=0$, iar $f(0)+f(2)=0+0=0$. Egalitatea se verifică, iar $f(0)=0$, deci neutrul merge în neutru. Prin urmare $f$ este morfism." Unde greșește?

Rezolvare. Ambele calcule ale elevului sunt corecte, și tocmai asta face greșeala instructivă: el a nimerit o pereche pentru care egalitatea chiar are loc și a confundat o coincidență cu o identitate.

Verificarea corectă se face cu litere. Membrul stâng: $f(x+y)=(x+y{)}^2-2(x+y)=x^2+2xy+y^2-2x-2y$. Membrul drept: $f(x)+f(y)=x^2-2x+y^2-2y$. Diferența lor este $2xy$, care nu este nulă decât când unul dintre numere este zero — exact cazul ales de elev. Un contraexemplu: pentru $x=y=1$ avem $f(2)=0$, în timp ce $f(1)+f(1)=-1-1=-2$.

Concluzia: $f$ nu este morfism. Regula de aur rămâne cea de la punctul $2$ — un exemplu numeric poate doar să infirme, niciodată să confirme.

Exemplul 5 — Determinantul, verificat pe o pereche

Fie $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 8& 5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 5\end{array}\right)$. Verifică pe această pereche că funcția $f(A)=\det A$ se poartă ca un morfism de la $(G{L}_2(\mathbb{R}),\cdot )$ la $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ și determină $\det (B^{-1})$.

Rezolvare. Determinanții sunt $\det A=25-24=1$ și $\det B=10-7=3$, deci ambele matrice aparțin lui $G{L}_2(\mathbb{R})$. Produsul lor este

$$AB=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 8& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 50\\ 21& 81\end{array}\right),$$

cu $\det (AB)=13\cdot 81-50\cdot 21=1053-1050=3$. Într-adevăr, $3=1\cdot 3=\det A\cdot \det B$.

Pentru $\det (B^{-1})$ nu mai calculăm nicio matrice: folosim Proprietatea 2, care spune că simetricul merge în simetric. Simetricul lui $B$ în grupul de plecare este $B^{-1}$, iar simetricul lui $3$ în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$ este $\frac{1}{3}$. Deci $\det (B^{-1})=\frac{1}{3}$.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Pe mulțimea $G=(1,+\infty )$ se consideră legea de compoziție $x\ast y=xy-x-y+2$, despre care se știe că $(G,\ast )$ este grup comutativ, și funcția $h:G\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $h(x)=x-1$.

a) Arată că $x\ast y=(x-1)(y-1)+1$, pentru orice $x$, $y$ din $G$.

b) Arată că $h$ este izomorfism de la $(G,\ast )$ la $({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

c) Rezolvă în $G$ ecuația $x\ast x=5$.

Rezolvare. a) Desfacem membrul drept: $(x-1)(y-1)+1=xy-x-y+1+1=xy-x-y+2$, adică exact legea dată. Control numeric, cu $x=3$ și $y=4$: legea dă $12-3-4+2=7$, iar forma factorizată dă $2\cdot 3+1=7$.

b) Morfismul. Membrul stâng: $h(x\ast y)=(x\ast y)-1=(x-1)(y-1)$, folosind punctul a). Membrul drept: $h(x)\cdot h(y)=(x-1)(y-1)$. Sunt egale pentru orice $x$, $y$ din $G$.

Bijectivitatea. Funcția $h(x)=x-1$ duce intervalul $(1,+\infty )$ pe intervalul $(0,+\infty )={\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, iar inversa ei este $u\mapsto u+1$, definită pe tot $(0,+\infty )$ și cu valori în $(1,+\infty )$. Deci $h$ este bijectivă, prin urmare izomorfism, și $(G,\ast )\simeq ({\mathbb{R}}_{+}^{\ast },\cdot )$.

c) Cu forma factorizată, ecuația devine $(x-1{)}^2+1=5$, adică $(x-1{)}^2=4$, deci $x-1=2$ sau $x-1=-2$. A doua variantă dă $x=-1$, care nu aparține lui $G$. Rămâne $x=3$. Verificare directă: $3\ast 3=9-3-3+2=5$.

Să exersăm

La fiecare exercițiu scrie mai întâi cele două grupuri cu operațiile lor, apoi calculează separat cei doi membri, cu litere. Dacă bănuiești că funcția nu e morfism, caută întâi numere — e mai rapid decât orice calcul general.

1. Arată că $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$, $f(x)=x^3$, este morfism de grupuri.

2. Fie $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_{15},+)$, $f(k)=\hat{k}$. Calculează $f(47)$ și $f(-23)$.

3. Arată că $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$, $f(x)=2x$, nu este morfism, folosind testul elementului neutru.

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă o funcție între două grupuri duce elementul neutru în elementul neutru, atunci ea este morfism de grupuri.

5. Fie $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ morfism de grupuri. Arată că $f(x\ast y\ast z)=f(x)\circ f(y)\circ f(z)$, pentru orice $x$, $y$, $z$ din $G$.

6. Determină funcția inversă a funcției de la exercițiul $1$ și arată că ea este izomorfism.

7. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pe $(1,+\infty )$ se consideră legea $x\ast y=xy-x-y+2$ și funcția $h(x)=x-1$. a) Calculează $4\ast 6$. b) Verifică, pe perechea $x=4$, $y=6$, egalitatea $h(x\ast y)=h(x)\cdot h(y)$.

8. Fie $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ funcția care duce fiecare element în $e^{\prime }$. Arată că $f$ este morfism și spune în ce caz este izomorfism.

9. (Problemă aplicată.) Într-un laborator de chimie, o probă se diluează în serie: fiecare pas împarte concentrația la $10$, iar un pas „înapoi" — o concentrare — o înmulțește cu $10$. Arată că funcția care duce numărul întreg de pași în factorul total este morfism de la $(\mathbb{Z},+)$ la $((0,+\infty ),\cdot )$, calculează factorul după $5$ pași și spune ce mărime fizică nu se citește din model.

10. (Adevărat/Fals cu motivare.) Orice morfism injectiv de grupuri este izomorfism.

11. Fie $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ izomorfism. Arată că, dacă $G$ este comutativ, atunci și $G^{\prime }$ este comutativ.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Pe $\mathbb{R}$ se consideră legea $x\circ y=x+y-13$, unde $\circ$ este o lege de compoziție, nu compunerea funcțiilor, și funcția $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},\circ )$, $f(x)=x+13$. a) Calculează $4\circ 9$. b) Arată că $f$ este morfism. c) Arată că $f$ este izomorfism, scriind funcția inversă.

13. Determină numărul real $a$ pentru care funcția $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},+)$, $f(x)=(2a-1)x+a-6$, este morfism de grupuri.

14. Fie $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$ un morfism de grupuri. Arată că $f(1)=1$ și că $f\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{f(x)}{f(y)}$.

15. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este morfism, atunci $f(x\ast x^{\prime })=e^{\prime }$ pentru orice $x$ din $G$.

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Fie $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ((0,+\infty ),\cdot )$ un morfism de grupuri pentru care $f(5)=20$. a) Calculează $f(1)$. b) Calculează $f(25)$. c) Calculează $f\left(\frac{1}{5}\right)$.

17. Fie $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ morfism de grupuri și $x\in G$ cu $x\ast x=e$. Arată că $f(x)\circ f(x)=e^{\prime }$.

18. (Provocare.) Fie $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ izomorfism de grupuri. Arată că funcția inversă $f^{-1}:(G^{\prime },\circ )\to (G,\ast )$ este tot izomorfism.

Răspunsuri și explicații

1. Membrul stâng: $f(xy)=(xy{)}^3=x^3{y}^3$. Membrul drept: $f(x)f(y)=x^3\cdot y^3$. Sunt egale pentru orice $x,y>0$, deci $f$ este morfism.

2. $47=15\cdot 3+2$, deci $f(47)=\hat{2}$. Pentru $-23$: $-23=15\cdot (-2)+7$, deci $f(-23)=\hat{7}$. Control cu Proprietatea 2: $f(23)=\hat{8}$, iar opusul lui $\hat{8}$ în ${\mathbb{Z}}_{15}$ este $\hat{7}$.

3. Elementul neutru al grupului $((0,+\infty ),\cdot )$ este $1$, la plecare și la sosire. Avem $f(1)=2\ne 1$, deci $f$ nu duce neutrul în neutru și, după Proprietatea 1, nu poate fi morfism. (Verificare directă: $f(xy)=2xy$, iar $f(x)f(y)=4xy$.)

4. Fals. Proprietatea $f(e)=e^{\prime }$ este o consecință a definiției, nu o condiție care s-o înlocuiască. Contraexemplul complet este Exemplul $2$ din lecție: acolo $f(1)=0$, adică neutrul merge în neutru, dar $f(4)=3$, în timp ce $f(2)+f(2)=2$.

5. Aplicăm definiția de două ori: $f((x\ast y)\ast z)=f(x\ast y)\circ f(z)=(f(x)\circ f(y))\circ f(z)$. Cum ambele legi sunt asociative, parantezele se pot scoate, deci rezultatul este $f(x)\circ f(y)\circ f(z)$.

6. Inversa este $f^{-1}(u)=\sqrt[3]{u}$, definită pe tot $(0,+\infty )$ și cu valori în $(0,+\infty )$, fiindcă $(\sqrt[3]{u}{)}^3=u$ și $\sqrt[3]{x^3}=x$. Deci $f$ este bijectivă; fiind și morfism, este izomorfism.

7. a) $4\ast 6=24-4-6+2=16$. b) Membrul stâng: $h(16)=15$. Membrul drept: $h(4)\cdot h(6)=3\cdot 5=15$. Egalitatea se verifică pe această pereche.

8. Membrul stâng este $f(x\ast y)=e^{\prime }$, iar membrul drept este $f(x)\circ f(y)=e^{\prime }\circ e^{\prime }=e^{\prime }$; sunt egale, deci $f$ este morfism. El este izomorfism numai dacă este bijectiv, iar imaginea lui are un singur element: asta cere ca și $G$, și $G^{\prime }$ să aibă câte un singur element.

9. Notăm cu $d(k)$ factorul total după $k$ pași, cu $k$ întreg: un pas înainte împarte la $10$, unul înapoi înmulțește cu $10$, deci $d(k)=10^{-k}$, număr strict pozitiv pentru orice $k$. Atunci $d(k+l)=10^{-(k+l)}=10^{-k}\cdot 10^{-l}=d(k)\cdot d(l)$: adunarea pașilor se traduce în înmulțirea factorilor, deci $d$ este morfism, iar $(\mathbb{Z},+)$ este într-adevăr grup, spre deosebire de mulțimea numerelor naturale. După $5$ pași, $d(5)=10^{-5}$, adică o concentrație de o sută de mii de ori mai mică decât cea inițială. Nu se citește din model volumul probei: algebra dă raportul concentrațiilor, nu cantitatea de soluție rămasă.

10. Fals. Izomorfismul cere bijectivitate, adică injectivitate și surjectivitate. Contraexemplu: $f:((0,+\infty ),\cdot )\to ({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, $f(x)=x$, este morfism și este injectivă, dar niciun număr negativ nu este imaginea vreunui element, deci nu este surjectivă.

11. Fie $u$, $v$ din $G^{\prime }$. Cum $f$ este surjectivă, există $x$, $y$ din $G$ cu $u=f(x)$ și $v=f(y)$. Atunci $u\circ v=f(x)\circ f(y)=f(x\ast y)=f(y\ast x)=f(y)\circ f(x)=v\circ u$, unde egalitatea din mijloc folosește comutativitatea lui $G$.

12. a) $4\circ 9=4+9-13=0$. b) Membrul stâng: $f(x+y)=x+y+13$. Membrul drept: $f(x)\circ f(y)=(x+13)+(y+13)-13=x+y+13$. Sunt egale, deci $f$ este morfism. c) Inversa este $f^{-1}(u)=u-13$, definită pe tot $\mathbb{R}$; deci $f$ este bijectivă și izomorfism. Control cu Proprietatea 1: neutrul lui $(\mathbb{R},+)$ este $0$, iar $f(0)=13$, care este într-adevăr neutrul legii $\circ$, fiindcă $x\circ 13=x$.

13. Condiția necesară $f(0)=0$ dă $a-6=0$, deci $a=6$. Verificăm că valoarea găsită chiar merge: pentru $a=6$ funcția este $f(x)=11x$, iar $f(x+y)=11x+11y=f(x)+f(y)$. Deci $a=6$.

14. Din Proprietatea 1, neutrul $1$ al grupului de plecare merge în neutrul $1$ al grupului de sosire, deci $f(1)=1$. Apoi, scriind $\frac{x}{y}=x\cdot \frac{1}{y}$ și folosind definiția morfismului împreună cu Proprietatea 2, obținem $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)\cdot f\left(\frac{1}{y}\right)=f(x)\cdot \frac{1}{f(y)}=\frac{f(x)}{f(y)}$.

15. Adevărat. Într-un grup, $x\ast x^{\prime }=e$, deci $f(x\ast x^{\prime })=f(e)$, iar după Proprietatea 1 această valoare este $e^{\prime }$. Afirmația este, așadar, o consecință imediată a proprietății neutrului.

16. a) Elementul neutru al ambelor grupuri este $1$, iar după Proprietatea 1 orice morfism îl duce în el însuși: $f(1)=1$. b) Din $25=5\cdot 5$ și din definiția morfismului, $f(25)=f(5)\cdot f(5)=20\cdot 20=400$. c) Numărul $\frac{1}{5}$ este simetricul lui $5$ în grupul de plecare, deci, după Proprietatea 2, imaginea lui este simetricul lui $20$, adică $\frac{1}{20}$.

17. Aplicăm definiția morfismului membrului stâng: $f(x)\circ f(x)=f(x\ast x)$. Din ipoteză, $x\ast x=e$, deci expresia devine $f(e)$, iar după Proprietatea 1 avem $f(e)=e^{\prime }$. Prin urmare $f(x)\circ f(x)=e^{\prime }$.

18. Funcția $f^{-1}$ este bijectivă, fiindcă inversa oricărei bijecții este bijecție. Rămâne condiția de morfism. Fie $u$, $v$ din $G^{\prime }$ și notăm $x=f^{-1}(u)$, $y=f^{-1}(v)$, deci $u=f(x)$ și $v=f(y)$. Atunci $u\circ v=f(x)\circ f(y)=f(x\ast y)$, de unde $f^{-1}(u\circ v)=x\ast y=f^{-1}(u)\ast f^{-1}(v)$. Deci $f^{-1}$ este morfism bijectiv, adică izomorfism.

De reținut

• Un morfism de grupuri $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ mută compusul în compusul imaginilor: $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$, oricare ar fi elementele luate din grupul de plecare, cu operații care de obicei nu seamănă între ele.
• Verificarea se face calculând separat cei doi membri, cu litere; un exemplu numeric poate doar să infirme, niciodată să confirme.
• Orice morfism duce neutrul în neutru, $f(e)=e^{\prime }$, și simetricul în simetric, $f(x^{\prime })=(f(x){)}^{\prime }$; ambele se demonstrează fără să folosească structura concretă a grupurilor.
• Testul $f(e)=e^{\prime }$ este un instrument de respingere: dacă nu se verifică, funcția sigur nu e morfism; dacă se verifică, nu s-a dovedit nimic.
• Un izomorfism este un morfism bijectiv, iar bijectivitatea se dovedește cel mai comod scriind funcția inversă; grupurile izomorfe au același cardinal și, dacă unul e comutativ, la fel e și celălalt.

Greșeli frecvente

• Verificarea pe o singură pereche de numere. Egalitatea nimerită pe două valori alese nu spune nimic despre celelalte; cerința e o identitate și se controlează cu litere. Exemplul $4$ arată cât de ușor se dă peste o pereche „cuminte".
• Folosirea testului neutrului ca dovadă. Din $f(e)=e^{\prime }$ nu rezultă că funcția e morfism; implicația merge doar invers. Cine se oprește acolo pierde tot restul cerinței.
• Amestecarea celor două operații. Stânga egalității se calculează acolo de unde pleacă funcția, dreapta acolo unde ajunge. Cele două semne pot ascunde lucruri fără legătură — o adunare și o înmulțire, de pildă —, iar cine le tratează la fel greșește chiar primul rând al rezolvării.
• Uitarea surjectivității la izomorfism. Se demonstrează injectivitatea și se declară izomorfismul. Bijectivitatea cere ambele, iar cel mai sigur mod de a le obține deodată este scrierea funcției inverse, cu domeniul ei precizat.
• Ignorarea mulțimii pe care se lucrează. O funcție poate fi morfism pe un interval și să nu fie definită sau bijectivă pe altul; la legile date prin formulă, mulțimea din enunț face parte din problemă, nu e un detaliu.

Aplică acasă

1. Vânătoarea de morfisme. Scrie pe o coloană funcțiile $x+5$, $5x$, $x^2$ și $\sqrt[3]{x}$, iar pe un rând cele două grupuri $(\mathbb{R},+)$ și $((0,+\infty ),\cdot )$. Completează tabelul cu „da" sau „nu" acolo unde expresia are sens, iar în căsuțele cu „nu" pune și perechea de numere care te-a lămurit.

2. Legea ta de compoziție. Alege un număr întreg $c$ și definește pe $\mathbb{R}$ legea $x\ast y=x+y+c$. Arată că funcția $f(x)=x-c$ este morfism către $(\mathbb{R},+)$, scrie-i inversa și verifică pe trei perechi de numere. Notează ce element devine neutrul legii tale.

3. Testul care nu ajunge. Caută, printre funcțiile pe care le cunoști, încă două exemple diferite de cel din Exemplul $2$: funcții care duc neutrul în neutru, dar nu sunt morfisme. Pentru fiecare, scrie perechea de numere care le infirmă.

Pentru părinți și profesori

Lecția verifică trei lucruri măsurabile: dacă elevul notează, înaintea oricărui calcul, de unde pleacă funcția și unde ajunge, cu legea fiecărui capăt; dacă evaluează pe rânduri separate cele două expresii de comparat, cu litere; și dacă se oprește la timp cu testul neutrului, folosindu-l numai ca să respingă. Al treilea punct e cel care separă înțelegerea de memorare.

La izomorfisme, dificultatea nu e morfismul, ci bijectivitatea, unde mulți se opresc după injectivitate. Cel mai sigur reflex de format este scrierea funcției inverse, cu domeniul precizat: ea rezolvă ambele condiții deodată și se leagă de ce s-a învățat la clasa a XI-a despre funcții bijective pe intervale.

Întrebări de control, bune de pus acasă: „Ce se calculează în fiecare parte a egalității din definiție?"; „De unde iese că neutrul ajunge tot în neutru?"; „Ce lipsește unui morfism ca să fie izomorfism?"; „De ce un calcul pe numere nu ține loc de demonstrație?".

Programa și examenul. Lecția face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027, 2028 și 2029. Elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a sunt pe programa veche, iar programa lor de examen (OMEN 4430/2014) cere explicit, la elementele de algebră ale clasei a XII-a, „Morfism și izomorfism de grupuri"; locul temei la proba scrisă este Subiectul al II-lea, cel de algebră. În programa nouă (OMEC 6930/2025, anexa 28) structurile algebrice nu mai apar deloc la clasa a XII-a, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema nu figurează în programa de examen. Pentru prima promoție care învață după programa nouă, lecția rămâne lectură suplimentară utilă, nu materie de examen. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OME 4138/2026), nu o probă obligatorie. Numărul de ore pe care se sprijină planificarea — trei pe săptămână — vine din planurile-cadru aprobate prin OMEC 4350/2025.

Întrebări frecvente

Ce cere, concret, definiția morfismului de grupuri?

Cere o singură egalitate, verificată fără excepție: imaginea compusului să fie compusul imaginilor, $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$. Cu alte cuvinte, drumul „calculez, apoi trec prin funcție" și drumul „trec prin funcție, apoi calculez" trebuie să ducă în același element al grupului de sosire, oricare ar fi cele două elemente de la care pleci.

Cum arăt, pas cu pas, că o funcție păstrează operația?

Notezi întâi capetele, cu legea fiecăruia. Apoi scrii pe rânduri diferite expresia din stânga și expresia din dreapta, amândouă cu litere, și abia la final le pui față în față. Coincid ca identități? Ai morfism. Ți-a ieșit o singură pereche de valori care le desparte? Ai și dovada că nu este.

De unde iese că neutrul ajunge tot în neutru?

Din faptul că $e$ compus cu el însuși se dă pe sine. Trecând egalitatea prin funcție, imaginea lui $e$ se dovedește compusă cu ea însăși egală cu ea însăși, iar într-un grup singurul element cu această însușire este neutrul. Rezultatul e o consecință dedusă, nu o condiție adăugată definiției, și e folosit mai ales pe dos, ca filtru de respingere.

Dacă o funcție duce neutrul în neutru, este ea morfism?

Nu. Implicația merge într-un singur sens. Exemplul din lecție este funcția $f(x)=x-1$ de la $((0,+\infty ),\cdot )$ la $(\mathbb{R},+)$: ea duce $1$ în $0$, deci trece testul, dar $f(4)=3$, în timp ce $f(2)+f(2)=2$. Testul respinge, nu confirmă. Ca să arăți că o funcție este morfism, verifici egalitatea $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$ pentru orice $x$, $y$ din grup.

Ce este un izomorfism de grupuri?

Este un morfism bijectiv. Dacă între două grupuri există un izomorfism, ele se numesc izomorfe și se scrie $G\simeq G^{\prime }$: din punctul de vedere al operației, sunt același grup cu alte nume pentru elemente. Bijectivitatea se dovedește cel mai comod scriind funcția inversă și precizându-i domeniul.

Cum rezolv cerința cu o lege dată prin formulă?

Aduci legea la forma factorizată, care îți arată singură ce funcție trebuie propusă. Verifici apoi egalitatea de morfism cu litere, iar la urmă scrii inversa funcției, precizându-i domeniul — ea îți dă bijectivitatea dintr-o mișcare. Exemplul $6$ merge pe drumul acesta, pentru legea $x\ast y=xy-x-y+2$ luată pe intervalul $(1,+\infty )$.

Prin ce diferă tema aceasta de cea de la mate-info (M1)?

Programa de examen M2 are un singur rând, „Morfism și izomorfism de grupuri", adică relația dintre operații plus bijectivitatea, și atât se cere aici. La celălalt profil tema se întinde pe mai multe lecții și duce mai departe, spre tehnici care la M2 nu apar nicăieri. Pentru comparație: Capitolul de morfisme de la mate-info (M1).

La ce subiect apare tema la Bacalaureatul M2?

La Subiectul al II-lea, cel de algebră: acolo își au locul o lege dată prin formulă și funcția care o duce într-o operație cunoscută, în cerințe de câte cinci puncte. Modelul oficial de la această specializare pune acolo o problemă de matrice și una de polinoame, deci morfismele nu apar în el; ele vin din rândul de programă citat mai sus. Vezi și clasele de resturi.